（应用数学专业论文）非线性偏微分方程几种解法的研究.pdf

目录 摘要 i a b s t ra c t 1 i 第一章绪论 1 1 1 非线性偏微分方程精确求解的研究概况 1 1 2 本文主要工作 2 第二章t a n h 方法及其应用 4 2 1t a n h 方法简介 4 2 2 t a n h 方法在一类变系数偏微分方程中的应用 5 第三章指数函数法及其应用 8 3 1 指数函数方法基本介绍 8 3 2 指数函数方法应用举例 9 3 2 1指数函数方法在一类常系数偏微分方程中应用 9 3 2 2 指数函数方法在一类变系数偏微分方程中应用 1 5 第四章求解偏微分方程的一种新方法一 石 展开法 2 4 否 展开法基本思想 加 4 2 石 展开法的应用举例 2 4 2 1经典的k d v 方程 2l 4 2 2 b u r g e r s 方程 2 4 4 2 3 k d v b u r g e r s 方程 j 2 6 4 2 4非线性k l e i n g o r d o n 方程 2 9 4 3 用 石 展开法求解一类常系数偏微分方程 2 4 4 用 石 展开法求解一类变系数偏微分方程 4 第五章总结与展望 3 8 参考文献 4 0 者简介 4 4 谢 2 1 5 摘要 在非线性物理学和力学中 常常把复杂的非线性系统简化为非线性演化或 发展方程来研究 通过对这些非线性方程的解的研究来确定物理量之间关系 因此 求解非线性方程一直是力学 物理学等领域科学工作者致力于研究的极 为重要的问题 近年来 随着符号计算的蓬勃发展 非线性偏微分方程的研究 成果不断涌现 尤其是新的求解方法层出不穷 这里以几个非线性偏微分方程为研究对象 借助于计算机符号软件 主要 研究了t a n h 方法和指数函数方法在非线性偏微分方程精确求解中的应用 并且 在许多专家学者所做的研究的基础上 提出了一种新的求解非线性偏微分方程 精确解的方法 并用此方法得到了某些偏微分方程的一系列精确解 首先分别简单介绍了t a n h 方法和指数函数法的基本思想 然后借助符号计 算软件 分别运用t a n h 方法和指数函数法 解决了在物理学和力学上具有实际 应用背景的常系数非线性偏微分方程和变系数非线性偏微分方程 得到了丰富 类型的精确解 其次在对非线性偏微分方程的解法进行了较为深入研究的基础上 基于f 一 展开法 指数函数法 齐次平衡法 罟 展开法等方法提出了求解非线性偏微 分方程精确解的一种新方法 石 展开法 并通过经典k d v 方程 b u r g e r s 方程 k d y b u r g e r s 方程和非线性k l e i n g o r d o n 方程加以验证了该方 法求解非线性偏微分方程精确解的可行性 最后以 3 1 维j i m 洲w a 方程和变系数k d v 方程为例 运用 古 展 开法得到了一系列精确解 结果表明该方法在求解复杂的有实际意义的非线性 偏微分方程和变系数偏微分方程精确解时具有同样的简洁性和有效性 关键词 非线性偏微分方程 伽血方法 指数函数法 吉 展开法 a b s t r a c t i nn o n l i n e a rp h y s i c sa n dm e c h a n i c s s i m p l i f i e dn o n l i n e a re v o l u t i o n se q u a t i o n s a l eo f t e ne m p l o y e dt od e s c r i b et h ec o m p l e xn o n l i n e a rp h y s i c ss y s t e m t h er e l a t i o n s b e t w e e np h y s i c a lq u a n t i f i e sc a nb er e v e a l e db ys o l v i n gt h en o n l i n e a re q u a t i o n s t h e r e f o r e s o l v i n gn o n l i n e a re q u a t i o n si sak e yp r o b l e mi nn o n l i n e a rm e c h a n i c sa n d p h y s i c s i nr e c e n ty e a r s w i t ht h ed e v e l o p m e n to fs y m b o l i cc o m p u t a t i o na c c e l e r a t e s t h er e s e a r c ho fn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nh a sa t t a i n e dg r e a td e v e l o p m e n t s m a n yn o v e lm e t h o d sf o rt h ee x a c ts o l u t i o n so fn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a r ep r o p o s e d t h i sd i s s e r t a t i o nm a i n l ys t u d i e ss o m ea s p e c t so fn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw i t ht h ea i do fs y m b o l i cc o m p u t a t i o n i n c l u d i n gt h es e a r c h i n ge x a c t s o l u t i o n so fs o m en o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sb yt h et a n hm e t h o d sa n dt h e e x p f u n c t i o nm e t h o d b e s i d e s b a s e do nt h er e s e a r c h e so fm a n ye x p e r t sa n ds c h o l a r s an e wm e t h o do fs o l v i n gn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n si sp r o p o s e d t h e n f o rs o m ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w eo b t a i nas e r i e so ft h ee x a c ts o l u t i o n sb y u s i n gt h i sm e t h o d f i r s t i n t r o d u c et h eb a s i ct h e o r i e so ft h et a n hm e t h o da n dt h ee x p f u n c t i o n m e t h o d a n dt h e nw i t ht h ea i do fs y m b o l i cc o m p u t a t i o n w eg e tr i c ht y p e so fe x a c t s o l u t i o n sb yu s i n gt a n hm e t h o da n dt h ee x p f u n c t i o nm e t h o df o rs o l v i n gc o n s t a n t c o e f f i c i e n t sn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dv a r i a b l ec o e f f i c i e n tn o n l i n e a r p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o nw h i c hh a v ep r a c t i c a la p p l i c a t i o no fb a c k g r o u n di n p h y s i c sa n dm e c h a n i c s s e c o n d w i t ham o r ei n d e p t hr e s e a r c ho nn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s o l u t i o n s an e wm e t h o df o rs o l v i n gn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n si s p r o p o s e db a s e do nf e x p a n s i o nm e t h o d t h ee x p f u n c t i o nm e t h o d t h eh o m o g e n e o u s b 甜锄c e 眦蝴跹a 罟 e 冲锄溉m e 也o d w er e 衙t o 也e 脚 s e a 雠岫嬲 位 品 e 冲纽s m e 删 s o h e 位c 嬲s 沁k d v 叼戚 玛b 崦e r s e q u a t i o n k d v b u r g e r se q u a t i o na n dt h en o n l i n e a rk l e i n g o r d o ne q u a t i o nb yt h i s m e t h o d t h er e s u l t ss h o wt h a ti ti sa l le f f e c t i v em e t h o df o rs o l v i n gt h en o n l i n e a r p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s f i n a l l y t a k et h e 3 1 d i m e n s i o n a l j i m b o m i w ae q u a t i o na n dv a r i a b l e c o e 伍c e n t 刚e 删 觞e x 唧l e s u s 堍 南 唧娜 m e t h o d w e g e ta s e r i e so fe x a c ts o l u t i o n sf o r 也ea b o v ee q u a t i o n s t h er e s u l t si n d i c a t et h a tt h i sm e t h o d i sc o n c i s ea n de f f e c t i v ew h e nd e a l i n gw i t ht h ev a r i a b l ec o e f f i c i e n tp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o na n dt h en o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw h i c ha r ec o m p l e xa n dh a v e p r a c t i c a ls i g n i f i c a n c e s k e y w o r d s n o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n t h et a n hm e t h o d t h ee x p f u n c t i o n m e 峨 南 e 印娜 o n m m 甜 第一章绪论 第一章绪论 由于许多重要的动力学系统都可以用特殊的非线性偏微分方程来描述 所以非线性偏 微分方程的精确求解及其解法研究 一直是力学 物理学 应用数学和工程技术科学工作 者致力于研究的极为重要和活跃的前沿课题和热点问题 在非线性科学的研究中占有极其 重要的地位 由于非线性偏微分方程精确求解的固有困难 对于线性偏微分方程而言 解 的唯一性 单值性 有界性 叠加原理等性质在非线性偏微分方程中不再成立 因此 非 线性偏微分方程不存在普适性的理论和求解方法 在大多数情况下 非线性偏微分方程的 求解只能依赖数值解法 随着多年来科技的发展 数值解法在非线性偏微分方程的求解中 虽取得了瞩目的进展 但数值解法不能给出解的解析式 难以对系统的全局性质作出分析 同时数值方法只能在有限精度下进行 即使不考虑模型本身的误差 在应用过程中也会不 可避免地存在截断误差和舍入误差 因此求非线性偏微分方程解析解的研究工作 就显示 出了重要的理论价值和实用价值 1 1 非线性偏微分方程精确求解的研究概况 虽然至今尚没有普遍适用的精确求解非线性偏微分方程的方法 但是随着科学技术的 发展 特别是一些数学软件的问世 人们提出了许多求解非线性偏微分方程精确解的方法 和技巧 1 8 8 2 年 d a r b o u s 1 在研究一维s e h r c k t i n g e r 方程特征值问题时提出了d a r b o u s 变换 其基本思想是利用非线性方程的一个解和l a x 对的解 用代数算法和微分算法来获得非线 性方程的新解和l a x 对应的解 18 8 3 年 a vb 2 t c k l u n d 1 1 在研究s i n e g o r d o n 方程时发现一个很有趣的性质 材矗 s i n u 娜嘴 撩 半 x a s i n 半 睁 j 1 口s i n 半 人们称之为b a c k h m d 变换 但是 使用这个方法再一次求解时会变的非常困难 人们因此 发现了非线性叠加公式 这些都成为后来发展孤立子理论的重要基础 1 9 6 7 年 g a r d n e r g r e e n 岛k r u s k a l 和m i u r a 圆提出了可以利用s c h r l i n g e r 方程的逆散 射理论求解k d v 方程初值问题 随后 用逆散射方法解决了一大类非线性偏微分方程的求 解问题 逆散射方法是应用数学的一次重大突破 被称为非线性f o u r i e r 变换法 1 9 6 8 年 m i u r a t 3 1 发现了k d v 方程与m k d v 方程之间的一个变换 m i u r a 变换 证明 南京信息工程大学硕士学位论文 了k d v 方程有无穷多个守恒律 1 9 7 2 年 z 碰g t l a r o v s h a b a t 4 1 获得非线性s c h r o d i n g e r 方程的l a x 对 并首次求出该方 程的孤立子解 同年 w a d a t i 用类似方法求出m k d v 方程的精确解 1 9 7 3 年 a b l o w i t z k a u p n e w e l l s e g u 脚通过逆散射方法求出s i n e g o r d a n 等一批方程的精确解 1 9 7 2 年 h i r o t a i s 提出了双线性算子变换方法 用于构造很多方程的多孤子解和 b 冱c l d u n d 变换 1 9 7 5 年 w a h l p u i s t 和e s t a b r o o k 9 1 利用l i e 代数提出了延拓结构方法 获得了l a x 对 1 9 9 1 年 李翊神 1 0 1 基于基于对称约束提出一种非线性偏微分方程的直接的分离变量 法 随后 楼森岳 i 1 1 3 1 等人等提出另一种更有效的直接的多线性分离变量法 目前为止此 方法已经成功的求解了一大类 2 1 维非线性偏微分方程的精确解 1 9 9 2 年 m a l f l i e t 1 4 1 通过先验地假设非线性偏微分方程的解为双曲正切函数的组合 从 而提出了双曲正切函数展开法 1 9 9 5 年 王明亮等人 1 5 1 7 1 基于非齐次项与最高阶导数项平衡的原则 将非线性偏微分 方程齐次化 线性化 提出齐次平衡法 随后 范恩贵等人 1 睨 对齐次平衡法做了多方面 的推广 给出了非线性偏微分方程的多孤子解 相似约化 和非孤波解等的直接方法 2 0 0 1 年 刘式趔2 1 垅1 等人提出了雅可比椭圆函数展开法 求出了一系列非线性偏微分 方程的精确周期解 p a r k e s 和d u 耐2 3 1 也进一步对此做了补充和完善 其后 闫振亚教授对 此方法做了扩展 提出了扩展的雅可比椭圆函数展开法 2 0 0 3 年 张金良等人渊在全面总结双曲正切函数展开法 雅可比椭圆函数展开法等许 多方法的基础上 提出了f 函数展开法 2 0 0 6 年 何吉欢教授等闭在对非线性偏微分方程做行波变换的基础上 提出了一种新 的求解非线性偏微分方程精确解更为方便 有效的直接方法 即指数函数法 2 0 0 8 年 王明亮等人 2 7 提l i l t 罟 展开法 这是一种解决非线性偏微分方程的新方 法 至今仍被广泛应用 2 8 3 2 1 随着计算机的发展 很多方法可以将偏微分方程求解化成程序化的代数计算 利用计 算机符号代数进行计算机机械化计算 如 t a n h 方法口3 3 5 齐次平衡方法 1 5 1 7 1 椭圆函数 展开方法 2 1 倒 f 展开法 2 4 2 5 指数函数法p 1 1 等 1 2本文主要工作 在已有的理论和方法的基础上 借助符号计算软件 运用t a n h 方法和指数函数法 解 第一章绪论 决了具有实际应用背景的常系数非线性偏微分方程和变系数非线性偏微分方程 得到了丰 富类型的解 在对非线性偏微分方程的解法进行了较为深入研究的基础上 基于f 展开法 指数函数法 齐次平衡法等方法提出了求解非线性偏微分方程精确解的一种新方法一 否孚 展开法 此方法借助符号计算软件 操作方便 可以得到非线性偏微分方程一 系列精确解 利用该方法求解了 3 1 维j i m b o m i w a 方程和变系数k d v 方程 得到了令人 满意的结果 下面是具体的研究工作 第一章介绍了论文的背景知识和国内外现有的研究方法和现状 第二章介绍并利用t a n h 方法研究了带强迫项的变系数广义k d v 方程的精确解 得到 了三组形式解 显示m n h 方法在处理变系数非线性偏微分方程精确解问题时依然是个有效 的方法 第三章介绍并运用指数函数法研究了常系数f o m b 哪 w h i t h a m 方程和带强迫项的变 系数广义k d v 方程的精确解 得到丰富类型的解 相信这些解会对解释一些物理现象提供 理论依据 第四章首次提出了求解非线性偏微分方程精确解的一种新方卜 石等 展开 法 并通过经典k d v 方程 b u r g e r s 方程 k d v b u r g e r s 方程和非线性k l e i n g o r d o n 方程 加以验证了该方法求解非线性偏微分方程精确解的可行性 然后研究了复杂的 3 1 维 j i m b o m i w a 方程 得到了令人满意的结果 最后运用该方法得到了变系数k d v 方程的精 确解 进一步扩大了该方法的应用范围 第五章总结全文所做工作并提出了偏微分方程精确解未来的发展方向 3 南京信息工程大学硕士学位论文 第二章t a n h 方法及其应用 m n h 方法 1 4 3 粥习自提出以来解决了很多非线性偏微分方程精确解问题 但是大多数都 是针对于求解常系数偏微分方程 很少涉及变系数偏微分方程 本章研究的主要内容是在 齐次平衡原则的思想下 应用m n h 方法并借助于计算机符号计算软件来处理变系数非线性 偏微分方程 并寻求其精确解 下面我们以带强迫项的变系数广义k d v 方程 x 口o 如 夕 f 弦垃 0 2 1 为例 首先 我们介绍t a n h 方法 2 1 t a n h 方法简介 我们考虑一个给定的非线性偏微分方程 p u 工 曩 甜埘 0 2 2 其中p 为其变元的多项式 其中包含非线性项和高阶偏导数项 考虑行波类型的解u x u o 善 x w 则方程 2 2 化为自变量为孝的非线性常 微分方程 q u 甜 材 材 0 2 3 设方程 2 3 的解可以表示为以下形式 2 4 其中 y 鼬 心 孝 x w 2 5 由 2 5 可以得到 材 面d 善 1 一 2 面d 球 孝 2 6 小嘉吣 2 t 2 y 1 一 昙吣 t 2 2 2 豢吼 2 7 4 i y 七 6 吖 h i y i 口 吖 枷 芦j 甜 第二章t a n h 方法及其应用 将 2 4 2 7 等代入方程 2 3 然后平衡方程最高阶导数项和最高次非线性项且l j j 以 确定m 的值 同时令 的系数为零 可得到一个关于 1 口o a i b o b k 的多 项式方程组 由此即可解出 a o a k b o b k 即可进一步得到原方程 2 2 的解 2 2 t a n h 方法在一类变系数偏微分方程中的应用 假设方程 2 1 行波解为 u o v 纠 2 8 其中孝 x c t t 将 2 8 代入原方程 2 1 中得 警v 3 f j 2 c f i 警r a t n 2 v v 2 2 t n 2 v f v 3 a m 3 五o o 1 2 n 1 n v 3 3 刀 1 一力 w 刀2 1 2 0 2 9 设方程 2 9 的解为 v o 口i b t y 2 1 0 其中y t a n h 心 善 x c t t 运用齐次平衡法平衡最高次非线性项和最高阶导数项 得 m l 3 m 3 m i 1 2 1 1 即m 2 根据 2 4 得到解的形式可为 v x f a o i a l y a 2 y 2 6 l 一1 也l 2 2 1 2 其中y t a n h z 孝 善 x c t t 将 2 1 2 代入方程 2 9 整理关于y f 9 一8 8 9 的多项式 令其系数 c 9 一8 8 9 为零 于是得到以下方程组 j c 9 o c s o c 7 o c 6 o c 5 o c 4 o c 3 o c 2 o c 1 o c o 0 c o c 2 o c 3 o c o c 5 o c l o c 7 o c s o c 9 0 借助计算机符号软件 解方程组得到如下3 组解 南京信息工程大学硕士学位论文 l 口 一兰笪墅尘丝驴 五 f coel na t dt a0 2 fl t ui 乏n石2 广3n 2 口l 屯 6l c f 4fl旦 t r fl d t c i 2 2 62 一 2 fl t zjz nj2乏广 3n 2 口 三 坚垄兰气铲 名 f c苫p卜h口 者 口l 口 6l c f j 4fl t t2 d t g 2 5 3 口 口 4 f l t t 二2 可n 互2 石 了一3 n 2 名 c p 卜 口 西 c f j l 6 f l t u 7 2 n 2 d t c 1 b 1 o a 2 一 2 t s t g i 2 n 丽2 厂3 n 2 6 一 2 t s t 9 2 蕊 n 2 厂3 n 一 2 2 1 6 中f l t 乜一口 d t 七为正整数 结合 2 8 2 1 0 和 2 1 4 得到方程 2 1 的解为 s e c 师 其中孝 x 一 兰笪等拿兰 诸一c 1 夕 d 妇卜月口 童 结合 2 8 2 1 0 和 2 1 5 得到方程 2 1 的解为 姒彬 巡学 1 c 础2 蝴 6 2 1 8 第二章t a n h 方法及其应用 其中孝 x 一华西一c l 删娩m p 弦 结合 2 8 2 1 0 和 2 1 6 得到方程 2 1 的解为 其中善 x f 鱼笔等2 竺二西一c d 妇卜搬 矽 7 2 1 9 南京信息工程大学硕士学位论文 第三章指数函数法及其应用 在何吉欢教授等人 2 叼提出了指数函数法后 此方法就极为广泛的应用于求解偏微分方 程精确解中 例如微分 差分方程 络3 7 1 和随机方程p 明 而后傅海明和戴正德 3 9 1 提出了一种改 进的指数函数方法 即双指数函数方法 戴正德等人 柏 4 2 1 将其成功的应用在不同频率孤波之 间的相互作用的研究中 本章介绍了指数函数方法 并首次将其应用于常系数 f o m b e r g w h i t h a m 方程和带强迫项的变系数广义k d v 方程精确解的求解中 成功的获得了常 系数f o m b e r g w h i t h a m 方程和带强迫项的变系数广义k d v 方程的一系列精确解 3 1 指数函数方法基本介绍 指数函数法1 4 3 4 6 的基本思想为 考虑一个给定的非线性偏微分方程 p z t t 0 3 1 p 为其变元的多项式 其中包含非线性项和高阶偏导数项 考虑行波类型的解u x f u o 善 x w 则方程 3 1 化为自变量为孝的非线性常 微分方程 q u i i t 甜 0 3 2 假设方程 3 2 具有如下的形式 d a n e x p n o u o 专产 一 3 3 e 3 m e x p 删孝 m m p 其中c d p 和g 为待定正整数 和6 拊为待定常数 通过平衡 3 2 非线性项和最高阶偏导数项的最高次数可以得到p 和c 的关系 同理 平衡非线性项和最高阶偏导数项的最低次数可以得到g 和d 的关系 将c d p 和g 取特定 的值 把 3 3 代入方程0 2 可以得到关于e x p i 善 的多项式 令e x p i 孝 的系数为零 得到 r 第三章指数函数法及其应用 一系列关于 和6 埘的代数方程 求解这些代数方程 并将这些结果代a o 3 式 即可迸 一步得到原方程 3 1 指数函数形式的解 3 2指数函数方法应用举例 3 2 1 指数函数方法在一类常系数偏微分方程中应用 下面我们以常系数f o m b e r g w h i t h a m 方程为例 将变换 扰f 一 j 曩 i 材z 甜 蕊一材 工 3 u 工 曩 u x 善 孝 b i w t 3 4 3 5 代入方程 3 4 得到 k 3 u u k u u 3 k 3 么 一w 甜 k 2 w u k u 0 3 6 其非线性项最高次数为 l俄 ciexp 8p c r c 2e x p 9 p 刁 3 7 线性项最高次数为 uw c3exp 4p 2c r csexp 7p 2c r 3 8 c 4e x p 6 p r c 4e x p 9 p r 7 平衡 3 7 和 3 8 得 8 p c 7 p 2 c 即p c 同样 非线性项最低次数为 线性项最低次数为 么 甜 一 刍塑鲤旦 塑 畋e x p 一9 q r d 4e x p 6 q r 平衡0 1 0 和0 11 得到 即q d 3 9 3 1 0 d 3e x p 4 q 2 j d 一r 3 1 1 d 4e x p 9 q r 一 8 q d 7 q 2 d 9 0 1 2 南京信息工程大学硕士学位论文 首先考虑最简单的情形 令c p 1 g d 1 可设方程 3 6 的解为 俐 篙e x p 慧鬻e x p t 一cj 十现cj 将 3 13 代入0 6 我们可得 年 c e x p f 善 0 其中a e x p 善 b o b le x p 善 r 令e x p f 善 的系数为零 得到下面一系列方程 f c 5 o c 4 o c 3 o c 2 o c j o c o o c l o e 2 o c 3 o c 4 o c 5 0 用符号计算软件解上面方程组得到下面6 组解 b l o a 1 气产胪一鱼等盟扣习1 那么将 3 1 6 和 3 5 代入方程 3 1 3 则得到原方程 3 1 的解为 3 1 3 3 1 4 0 1 5 3 1 6 球 翌妻筹竺 半 象u l e x p 孝 一忉 似d l 1 丽而 2 半 1 7 其中孝 三x 一二墨1 学f 口 6 0 为任意常数 2 b i o a l 二 生主亨 建蔓 w 二兰堕i 学 七 一j 1 t 8 将 3 1 8 和 3 5 代入方程 3 1 3 则得到原方程 3 1 的解为 姒列 a 1 a o b o 一 半 杀醐一柳 l 1 丽丽 半 景州o 3 1 9 其中善 一互1x 二塑l 铲 口o 口1 为任意常数 3 b i o a 1 之w 一知 o 七7 1 驴o 1 0 第三章指数函数法及其应用 将0 2 0 和 3 5 代入方程0 1 3 则得到原方程 3 1 的解为 咖 竺擎 2 w 2 w 扣醐 i r 亏 棚 酬善 2 1 其中善 1 2 x w t 口 为任意常数 4 b z o a q 2 w 口 七 一j 1 将 3 2 2 和 3 5 代入方程 3 1 3 则得到原方程 3 1 的解为 0 2 2 工 r 二三 警 2w一号 ao e x p o 2 3 f t 面r 2 俨j 3 2 3 其中孝 一互1x 训 口 为任意常数 5 b i o a q 一w 一扣一o 七1 1 将 3 2 4 和 3 5 代入方程 3 1 3 则得到原方程 3 1 的解为 3 2 4 x f 二竺二二三2笔掣 4w 4w 詈 q e x p 2 善 2 5 蚝 彬 匕买万一i 口l e 2 善 0 2 5 其中孝 i 1x w f q 为任意常数 6 6 l 钆 4 w j 4 o k 虿1 o 将 3 2 6 和 3 5 代入方程 3 1 3 则得到原方程 3 1 的解为 3 2 6 o 力 4 w 3 e i x p z g j 石 a i e x p 善 4 w 罢 a 1e x p 2 鼽0 2 7 s 1 而r 一2 季 2 善 其中善 一百1x w f 口1 为任意常数 当c p 2 q d 1 时 站 五f 生 翌 茎2 型塑 旦止 翌鳗 3 2 8 7 e x p 2 善 钆e x p 孝 6 0 6 le x p 舌 南京信息工程大学硕士学位论文 去 荟ce 刚纠 0 其中a e x p 2 孝 be x p 卜孝 6 0 b ie x p c d 5 令e x p i 善 的系数为零 得到下面一系列方程 ic 4 o c 3 o c 2 o c 1 o c 0 o c l o c 2 0 c 3 o 巳 o c 5 0 气 o 岛 o c s o 0 用符号软件解上面方程组得到下面这些解 七 互1 w 三1 口一 一詈 口 口 0 6 i o b o o 6 l 原方程 3 1 的解为 叫咖坐咝e x 学d 一z c 其中善 j 1x 一互1 口一2 一j 2 y 口一2 口一 为任意常数 如果令口一2 之w 一4 我们发现 解 3 3 2 等同于解 3 2 d j 2 七 一i 1 w i 1 口一 a o o a i o b l o b o o 阢 o 原方程 3 1 的解为 姒列 坐嘎学 e x d 卜 z cj 其中善 一1 2x 哇口一 f 口 口 为任意常数 如果令口一2 2 w 一 我们发现 解 3 3 4 等同于解 3 2 3 3 七 i 1 w 口 1 1a o 口 6 l 啪 扎6 1 原方程 3 1 的解为 x f a 2 瓦e x p 霜 2 孝万 一a o 1 2 0 2 9 0 3 0 3 3 1 3 3 2 3 3 3 3 3 4 3 3 5 0 3 6 第三章指数函数法及其应用 其中善 i 1x 卜三口一 一1 t a 2 a o 为任意常数 如果令口一2 一4 w 一号 我们发现 解 3 3 6 等同于解 3 2 5 4 1 i w 口 1 1 口 1 0 口i o 6 q o 6 0 6 1 o 3 卸 原方程 3 1 的解为 瓴归笔辫 其中善 一丢x 弓口一 t a 2 a 0 为任意常数 5 如果令口一2 4 w 一 我们发现 解 3 3 8 等同于解 3 2 7 卜j 1 w i 1 原方程 3 1 的解为 1 1 0 f 其中善 云1x 言1 6 一3 口o 4 6三 3 a l b l 丁 一 一1 b a l 九l a o 砝 a 22 e x p 2 孝 a le x p 孝 口o e x p 2 孝 乱le x p 一0 3 a o 4 6 三 3 a 1 6 l 砝 f 口 l 口o b l 为任意常数 由于口 1 a o b l 为任意常数 所以解 3 4 0 等同于解 3 1 7 仁 11 一互 w 2 i 原方程 3 1 的解为 甜1 2 x f 3 a o 4 6 三 3 a 一1 b l 砝 口 1 6 l a o 砝 口 2 2 口 l b l a o e x p 一鸳 a le x p 孝 口o e x p 2 孝 b le x p 孝 1 3 0 3 s 3 4 0 3 4 2 1 l r j 叻 叶约 0 饥q 0 q 皆 口一一 1 r d 0 4 0 a 0 o q 南京信息工程大学硕士学位论文 其中孝 一i 1x i 1 7 3 a o 4 砝 3 a 一1 6 l r 口 1 a o b l 为任意常数 由于口 1 口o b l 为任意常数 所以解 3 4 2 等同于解 3 1 9 仁i 1 w 口 1 一吾 口川 铲嘁 6 0 吣 0 3 原方程 3 1 的解为 坐篙高幽 其中孝 丢x 一i 1a 一 一吾y 口一 口1 为任意常数 3 4 4 8 七 一i lw 6 口一 吾 a l o a 0 0 t 氏 饥 4 5 原方程 3 1 的解为 坐篙高幽 其中善 一否1x 丢口一 吾弘 口一 口1 为任意常数 9 3 4 6 七 i 1 w 一西1 三 兰三三兰堡i 吼 三 1 1 a l a 0 6 l 6 0 6 l 3 4 7 原方程 3 1 的解为 u 1e x p 2 善 口 le x p o a o 口o b le x p o 蚝如 堕 葡鬲而i 磊r 一 3 4 8 哦 6 0 o 6 l 0 3 4 9 原方程 3 1 的解为 u 1e x p 一2 善 口一le k i 一孝 口o 口o b le x p 孝 毛d 生 蔽鬲而i 孬矿 一 3 5 0 1 4 第三章指数函数法及其应用 舯p 矿1 西1 毪导t a l a o 6 l 为镌徽 廖 6 三 口0 6 0 6 l 瑶 原方程 3 1 的解为 7 r 一a l b 1 b a o b o l 酲 e x p 2 孝 b l 0 一一口l b l 口0 6 0 心2 f 口1 一口1 6 三l 口o b o b l 6 3 5 1 e x p 一0 a o a le x p 0 其中善 一三x i 1 1 2 e x p 2 孝 b 1e x p 孝 6 0 4 b o 3 a l b l 3 a o b o t 口o 口l 6 l b o 为任意常数 4 b o 一3 a l b l 3 口0 6 0 醪 6 三 口o b o b l 醒 原方程 3 1 的解为 l s x 一b b o t 1 b 1q o b o 一 瑶 e x p 2 考 6 i 0 一口l b l a o b o 凡2 荀一 a l b o 一口1 6 三 口o b o 乱l 6 3 5 2 3 5 3 e x p 孝 a o 口1e x p o 其中善 i 1z i 1 e x p 2 孝 b le x p 孝 b o 4 b 2 3 a 1 6 l 3 a o b of a o a l 6 l b o 为任意常数 3 5 4 对于c p 1 q d 2 和c p 2 q d 2 等一系列复杂情况可以运用同样 的步骤得到方程的解 在此不再赘述 3 2 2 指数函数方法在一类变系数偏微分方程中应用 我们仍以带强迫项的变系数广义k d v 方程为例 做如下变换 材 a t u f 龆埘 0 3 5 5 产 一6 q 一 一 二 o w 归一 一 q 一 1 2 i d n 口 l 南京信息工程大学硕士学位论文 方程 3 5 5 变为 孝 五 f 1 孝 打 孝 x c t t d 蹦z t v s n 2 c o 百t i c t m f 刀2 1 v 2 刀 r n 2 v 3 a f 1 3 刀3 3 5 6 名 f 夕o 1 2 n 1 一刀 v 3 3 n 1 一n w v 一 刀2 2 0 3 5 7 运用指数函数法 假设方程 3 5 7 有如下形式的解 d 吒e x p n o v o 3 5 8 3 5 9 3 6 0 3 6 1 3 6 2 3 6 3 3 6 4 第三章指数函数法及其应用 心力 篙瑟器鬻 将 3 8 带入到方程 3 0 1 至6 ce x p f 孝 其中a e x p 一d 6 le x p 孝 6 令e x p i 善 的系数为零 得到下面一系列方程 3 6 5 3 6 6 譬竺茳鼍芑三艺呈o 0 c 墨云芝 0 c l o c 2 0 c 3 o 巳 o 氏 7 应用数学符号软件解得 k f l t b o 2 n 丁2 3 一n 口 1 o c f 2 t n 2 一1 7 丢砖 口1 o c g 扩烈f 出 其中 f 和口o 满足关系式 夕 k e 一叫 坤 k 为适当的常数 由 3 5 6 3 6 5 0 6 8 和 3 6 9 得原方程0 5 5 的解为 l 以f f l t b o 2 刀2 3 n 刀2 e x p 卜善 6 0 i l b 2e x p 偕 其中孝 石一陴破一c o 且夕 f 满足 3 6 9 式 o 刀 当c p 1 q d 2 时 则 3 5 8 变为 西 c o t 一 3 6 8 3 6 9 3 7 0 x f aqexp 善 ao a exp 孝 a2e x p 2 考 0 7 1 7 e x p 善 6 0 b le x p 孝 4 b 2e x p 2 f 用同样的步骤可以得到 1 7 南京信息工程大学硕士学位论文 一 口0 6 0 0 1 3 a 1 口o b o a 1 4 a o 6 2 a a o z b o 厂 a 2 c f 4 口 f h 3 7 2 可得 3 5 5 的解为 2 x f 夕 f n 2 a 2 0a t 口o b o 一口1 刀2 3 n 2 岸田 c o a 2 0 a l 0 2 0 c o e 卜 f l t a o b o 一口1 2 3 疗 2 2 g 口o 口le x p 偕 3 7 2 口0 6 0 3 a 1 口o b o 一口1 4 4 其中孝 x f 笪孕出一c o 且 f 满足 3 6 9 式 o 刀 当c p 2 q d 2 时 式 3 5 s 可以表示为 e 掣 l 一 e x p 2 f l 3 7 3 仅 f a 2e x p 2 孝 a qexp 孝 ao a exp 孝 a2e x p 2 善 3 7 4 77 e x p 2 善 b le x p 0 b o b le x p 孝 6 2e x p 2 善 7 同理得到如下的2 组解 l 口 一4fl t bo 2 n2 3n 口 c f 口一 o 6 d o 6 l o 口一 o 6 2 丢6 由 3 7 5 可得原方程 3 5 5 的解为 甜3 x f 4 f l t b o 2 刀2 3 n 刀2 f 口2 0 e x p 2 善 i 1 b 2e x p 2 孝 其中善 x f 丛2 旃一c or p f 满足 3 6 9 式 o l 1 8 0 3 7 5 3 7 6 一矗 r j 2 第三章指数函数法及其应用 6 3 2 2 t n 4 a 2 1 4 r f l 2 t b o 2 n 2 了3 n 一 2 4 a l 2 刀2 3 n 2 t f l t n 2 口o 一 2 2 1 t n 4 西a 2 1 刁 4 i 0 2 疏 t b 丽o 2 丽 n 万2 一3 n 2 1 6 2 i t 2 3 刀 3 3 f 由 3 7 7 可得原方程0 5 5 的解为 o f 其中善 x 一 3 6 9 式 蜉m c o c f f a 220 口 2 0 b 2 0 口l 0 名 c o e 卜 口 毋 删 口 l 州咿警 3 7 7 3 7 s a 2 f l t 2 n 2 3 刀 名 r c g e 卜舱 矽 且 o 满足 1 9 l 一一 j 一 n 3 2 2 t n 4 口三 彳2 b 也a 垆 f 刀4 口三 a 2 6 0 恤 f 旷a i 鼻 南京信息工程大学硕士学位论文 第四章 求解偏微分方程的一种新方法 瓦g 面r 肢丌法 第四章求解偏微分方程的一种新方一 南卜开法 口 l 0 将h 川和 司式代入方程 并令 石 o 2 的系数为零 可得到 一个关于变量七 v a o 吼的多项式方程组 由此即可解出变量 再代入 4 4 式并利用 4 2 式和h 固式得到方程 m 的解 我们称这种方法为 否 展开法 4 2 吾 展开法的应用举例 4 2 1 经典的k d v 方程 k d v 方程是非线性数学物理中的一个基本模型方程 直被做为研究孤子现象的经典 方程 它首先从浅水波方程中得到 相当广范的一批描述弱非线性作用下的波动方程 在 长波近似和小的且为有限的振幅假定下 均可归结为k d v 方程 g l t 6 u u x 0 4 6 如非谐振晶格的振动 等离子体的离子声波 在液 气两种混合态的压力波的运动 在弹 件杆中的纵向乍 散波的传播等 下面通过 石 展开法来给出方程的精确解 对方程 4 6 做行波变换 善 h w 得到 一 材 6 k u u k 3 0 根据 石 展开法 设方程的解形式为 蜡却一 羔 心岛 2 南 其中g g 化1 满足如下的形式 2 1 4 7 4 8 4 9 南京信息工程大学硕士学位论文 u 一 口 j 一户 j 0 4 1 0 运用齐次平衡法平衡最高次非线性项 甜 和最高阶导数项材 得 m m 1 m 3 4 11 即 m 2 4 1 2 则方程 4 8 的解可以表示为 吣阳 悯 g g 船 托 南 2 其中g g 善 满足如下的形式 g g 一 口 g 一脚7 0 4 1 4 由式 4 1 3 和 4 1 4 得 拈口 掰化 南 篱 铂卜 南 器卜