2013年浙江省高中数学竞赛.pdf

3 6 中 等 数 学 2 0 1 3年浙江省高中数学竞赛 中图分 类号 G 4 2 4 7 9 文献标识码 A 文章编号 1 0 0 5 6 4 1 6 2 0 1 4 0 1 0 0 3 6一 o 4 一 选择题 每小题 5分 共 5 0分 1 已知集合 P I E R l 一1 I 3 B 口 一 1 C 口 一1 或 0 i 3 D 一1 口 3 2 若 卢E R 贝 0 O t 3 9 0 黾s i n 0 c s i n JB 1 的 条件 A 充分而不必要 B 必要而不充分 C 充分必要 D 既不充分也不必要 3 已知等比数列 0 口 3 且第一项至第 八项的几何平均数为 9 则第三项是 A 3 海 B 3 c D 3 4 已知复数 z Y i Y E R 且 z 8 i 则 z A 2 2 i B 一 2 2 i 或 2 2 i C 一 2 2 i D 2 2 i 或 一 2 2 i 5 已知直线 A B与抛物线Y 4 x 交于A 两 点 为 A B的中点 c为抛物线上一个动点 若 点 C 满足 C 0 A C 0 B m i n C A C B 则下列一定成立的是 A C 0 M上 A B B C 上 f f 是抛物线过点 C 的切线 C C o A上 C o B 1 D c 0 B 厶 6 若三位数a b c 被 7整除 且 0 b C 成公差非 零的等差数列 则这样的整数共有 个 A 4 B 6 C 7 D 8 7 程序框图如图 1 所示 当 E 0 9 6时 则输 出的 后 图 1 A 2 0 B 2 2 C 2 4 D 2 5 8 已知一个立体图形的三视图如图 2所示 则该立体的体积为 1 2 正视 图 上下 两个正方形 俯视图 边长为2 的正三角形 图 2 A 3 3 B 学 c 学 D 9 设函数 x x一1 一 2 一 3 则函数 y 的极大值点为 A 0 B 1 C 2 D 3 1 0 已知 g h 均为一次函数 若 对实数 满足 2 0 1 4年第 1 期 3 7 if I I g I h f l 一1 3 x 2 一 1 0 则 A x 一 B 一 一 c 一 D 二 填空题 每小题 7分 共 4 9 分 1 1 若t a n t a n Y 2 s i n s i n Y 则 Y 1 2 设 一 k 1 2 若当 o t 恒大于零 则 k 的取值范围为一 1 3 已知数列 n E Z 则数列中最大 项的值为一 1 4 若 Y E R满足 2 一2 x Y 一2 y x 一 5 则 Y 1 5 设直线 f 与曲线 Y 1 有三个不同 的交点 A 8 c 且 l A BI l B C I 则直线 l 的 方程为 1 6 若 口 0 b 0 则 mi n 1 一 1 7 某动点在平面直角坐标系第一象 限的整 点上运动 含第一象限 轴 Y轴上的整点 其运 动规律为 r a n m 1 1 或 m n m 1 n一1 若该动点从原点出发 经过 6步运 动到点 6 2 则有 种不同的运动轨迹 三 解答题 每小题 l 7 分 共 5 1 分 1 8 已知抛物线 Y 4 x 过 轴上点 K的直线 与抛物线交于点 P Q 证明 存在唯一一点 K 使 得 为常数 并确定点 K的坐标 1 9 设二次函数 a 2 6 1 一 口一 2 a b E R 口 0 在 3 4 上至少有一个零点 求 0 b 的最小值 2 O 设 E N 满足 1 2 01 4 I J 西 已知数列 口 1 口 2 2 0 1 3 是公差为 叭 首项 为 1 m 一1的等差数列 数列 b b b 2 o 1 3 是公 比为L 首项为 1 的等比数 列 证 明 b l 01 b 2 n 2 0 l 2 9 其中 表示轮换对称和 2 2 从 0 1 l 0中挑选若干个不同的数字 填满图中每一个圆圈称为一种 填法 若各条线 段相连的两个圆圈内的数字之差的绝对值各不相 同 则称这样的填法为 完美填法 问 图 3和图 4是否存在完美填法 若存在 请给出一种完美 填法 若不存在 请说明理由 图 3 图 4 参 考 答 案 1 C 由题设知 P 10 2 Q 1 0 1 2或 口 1 O 解得 o 一 1 或 0 3 2 D 当 0 卢 9 0 时 s i n a s i n 卢 1 当 6 0 时 s i n s i n 卢 1 但 卢 9 0 3 B 计算得q 3 丁 从而 0 3 7 g r 4 D 由题意知 2 x y i y 2 8 i 2 5 B 注意到 C A C B C M A M C M n n 3 8 中 等 数 学 I 1 一 I I 一I l z 铺 C M 上 f 6 D 设满足题意的三位数为 b d b b d 1 1 l b 一 9 9 d 其中 0 6 9 一 9 d 0 k 1 又 2 等号在 时取得 此时 kb i 1 2 2 0 1 3 其次证明 6 口 i 1 2 2 0 1 2 注意到 b 一 0 l 0 假设 I i 2 0 1 1 时 结论成立 则 6 2一口 1 6 2 一 b 1 一 0 1 一 口 6 1 0 一 2 013 6 0 综上 命题得证 四 2 1 原命题等价于 0 3 b 3 c C t 2 6 2 c 2 I 9 又 6 c 2 1 9 f 3 故 只 需 证 口 6 C 2 I 3 利用已知条件 显然 2 2 对图3的完美填法不唯一 如图5 所示 图 5 图 6 对于图 4不存在完美填法 这是因为图4中 共有 l O 条连线 所 以 各连线上两数之差的绝对 值恰为 1 2 1 0 其和 S f 0 l一0 2