4-5多项方程式.doc

4-5多項方程式重點整理1. 次方程式：設是次多項式，則方程式稱為次方程式。2. 若使得，則稱為方程式的一個根。若為實數，則稱為實根，若為虛數，則稱為虛根。3. 代數基本定理：每一個次方程式，只要，就至少有一個複數根。4. 定理：次方程式恰有個複數根。(重根記作個根)5. 五次或五次以上的實係數方程式沒有公式解。6. 虛根共軛定理：若為一實係數次多項式，則。所以，若為的一根，則(共軛複數)亦為其一根。由此可知次方程式之複數根必出現偶數次。(0個、2個、4個.，不可能奇數個)7. 有理根共軛：設為一個有理係數次方程式，若已知為的一根，則為方程式的另一根。8. 有理根的判別：若為一整係數次多項式，且為的一根，則。9. 勘根定理：設為一實係數次方程式，若，則在之間至少有一個實根。10. 二次方程式根與係數的關係：若為一二次多項式，且為其二根，則。11. 三次方程式根與係數的關係：若為一3次多項式，且為其三根，則。例1. 設為實係數多項式，若，則 。類1. 設為實係數多項式，若，則 。Ans: 1. 。例2. 設，若方程式有一根，則 。例3. 設，若為之一根，求。類1. 若為之一根，求其餘三根。類2. 若為一有理係數四次多項式，且滿足，則。 類3. 已知方程式有一根為，求其餘三根。類4. 設三次方程式有兩複數根，其中是不為0的實數。求它的實根。 。Ans: 1. ，2. ，3. ，4. 15。例4. 設，若有四個相異有理根，求。類1. 設，方程式有四個相異有理根，則其最大根為 。(86.社)類2. 方程式的有理根是。類3. 設為一整係數多項式，已知的兩個有理根的和為，則此二有理根的積為 。Ans: 1. 2，2. ，3. 。例5. 求(1)最低次複係數方程式，(2)最低次實係數方程式，(3)最低次有理係數方程式，使此方程式有2,為根。類1. 求最低次有理係數方程式，使其有一根為。Ans: 1. 。例6. 解方程式。類1. 解方程式。類2. 解方程式。Ans: 1. ，2. 。例7. 找出之三實根在那些連續整數之間。類1. 試利用勘根定理計算到小數點第一位，以下捨去。類2. 三次方程式在下列哪些連續整數之間有根？(A)-2與-1(B)-1與0(C)0與1(D)1與2(E)2與3。(88.推甄)類3. 已知恰有一實根在0與5之間，求與此根最接近的整數為 。Ans: 1. 2.2，2.(A)(B)(D)，3. 1。例8. 設，求證：存在，使得。類1. 設，試找出與兩方程式所有共同實根的位置，他們分別是在哪兩個相鄰整數之間？(80.自)類2. 與為實係數多項式，以除得餘式，以除得餘式5，且，(1)試求以除的餘式？(2)試證：在1與2之間有實根。(85.社)類3. 設，試證：在1與2之間有一實數，使得。Ans: 1. 3與2,-1與0,1與2，2. (1)4(2)略，3.略。例9. 設，試證：恰有一正實根。例10. 設，為實數且，若方程式有一根在1與2之間，另一根在-1與-2之間，則的範圍為。類1. 設方程式有一根介於0與1之間，另一根介於-3與-2之間，則實數的範圍為 。Ans: 1. 。例11. 設，若有二實根且比較之大小例12. 設的三根為，則(1)，(2)，(3)。類1. 已知方程式有一個三重根，則 。類2. 已知之三根為，則(1) ，(2) ，(3) 。Ans: 1. 48，2. (1)3,(2)-2