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第三章 三角恒等变换一、课标要求：本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦、和正切公式，以及运用这些公式进行简单的恒等变换.三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学习，要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用.1. 了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；2. 理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系； 3. 运用上述公式进行简单的恒等变换，以引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式（不要求记忆）作为基本训练，使学生进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用.二、编写意图与特色1. 本章的内容分为两节：“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”，“简单的三角恒等变换”，在学习本章之前我们学习了向量的相关知识，因此作者的意图是选择两角差的余弦公式作为基础，运用向量的知识来予以证明，降低了难度，使学生容易接受；2. 本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式；3. 本章在内容的安排上有明暗两条线，明线是建立公式，学会变换，暗线是发展推理和运算的能力，因此在本章全部内容的安排上，特别注意恰时恰点的提出问题，引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题，强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识；4. 本章在内容的安排上贯彻“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末叶的内容”的理念，严格控制了三角恒等变换及其应用的繁、难程度，尤其注意不以半角公式、积化和差、和差化积公式作为变换的依据，而只把这些公式的推导作为变换的基本练习.三、教学内容及课时安排建议本章教学时间约8课时，具体分配如下：3.1两角和与差的正弦、余弦、和正切公式 约3课时3.2简单的恒等变换 约3课时复习 约2课时3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、课标要求：本节的中心内容是建立相关的十一个公式，通过探索证明和初步应用，体会和认识公式的特征及作用.二、编写意图与特色本节内容可分为四个部分，即引入，两角差的余弦公式的探索、证明及初步应用，和差公式的探索、证明和初步应用，倍角公式的探索、证明及初步应用.三、教学重点与难点1. 重点：引导学生通过独立探索和讨论交流，导出两角和差的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系，为运用这些公式进行简单的恒等变换打好基础；2. 难点：两角差的余弦公式的探索与证明.3.1.1 两角差的余弦公式一、教学目标掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础.二、教学重、难点1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等.三、学法与教学用具 1. 学法：启发式教学 2. 教学用具：多媒体四、教学设想：（一）导入：我们在初中时就知道，由此我们能否得到大家可以猜想，是不是等于呢？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式（二）探讨过程：在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角的终边与单位圆的交点为，等于角与单位圆交点的横坐标，也可以用角的余弦线来表示，大家思考：怎样构造角和角？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）展示多媒体动画课件，通过正、余弦线及它们之间的几何关系探索与、之间的关系，由此得到，认识两角差余弦公式的结构. 思考：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？提示：1、结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？展示多媒体课件比较用几何知识和向量知识解决问题的不同之处，体会向量方法的作用与便利之处.思考：，再利用两角差的余弦公式得出（三）例题讲解例1、利用和、差角余弦公式求、的值.解：分析：把、构造成两个特殊角的和、差. 点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：，要学会灵活运用.例2、已知，是第三象限角，求的值.解：因为，由此得又因为是第三象限角，所以所以 点评：注意角、的象限，也就是符号问题.（四）小结：本节我们学习了两角差的余弦公式，首先要认识公式结构的特征，了解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角、的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.（五）作业：（胡仕伟）3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、教学目标理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用.二、教学重、难点1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.三、学法与教学用具学法：研讨式教学四、教学设想： （一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式： ；这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）通过什么途径可以把上面的式子化成只含有、的形式呢？（分式分子、分母同时除以，得到注意：以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？注意：（二）例题讲解例1、已知是第四象限角，求的值.解：因为是第四象限角，得， ，于是有 两结果一样，我们能否用第一章知识证明？例2、利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）、；（2）、；（3）、解：分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.（1）、；（2）、；（3）、例3、化简解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？ 思考：是怎么得到的？，我们是构造一个叫使它的正、余弦分别等于和的.小结：本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.作业：1、 已知求的值（）2、 已知，求的值（胡仕伟）3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式一、教学目标以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用.二、教学重、难点教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；教学难点：二倍角的理解及其灵活运用.三、学法与教学用具学法：研讨式教学四、教学设想：（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，；我们由此能否得到的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中看成即可），（二）公式推导：；思考：把上述关于的式子能否变成只含有或形式的式子呢？；注意： （三）例题讲解例1、已知求的值解：由得又因为于是；例、已知求的值解：，由此得解得或（四）小结：本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.（五）作业：（胡仕伟）3.2 简单的三角恒等变换（3个课时）一、课标要求：本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用二、编写意图与特色本节内容都是用例题来展现的通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力三、教学目标通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力四、教学重点与难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力五、学法与教学用具学法：讲授式教学六、教学设想： 学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台下面我们以习题课的形式讲解本节内容例1、试以表示解：我们可以通过二倍角和来做此题因为，可以得到；因为，可以得到又因为思考：代数式变换与三角变换有什么不同？代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点例、求证：（）、；（）、证明：（）因为和是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手；两式相加得；即；（）由（）得；设，那么把的值代入式中得思考：在例证明中用到哪些数学思想？例 证明中用到换元思想，（）式是积化和差的形式，（）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式例、求函数的周期，最大值和最小值解：这种形式我们在前面见过，所以，所求的周期，最大值为，最小值为点评：例是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用小结：此节虽只安排一到两个课时的时间，但也是非常重要的内容，我们要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用作业：三角恒等变换复习课（2个课时）cos（-）=coscos+sinsincos（+）=coscos-sinsinsin（+）=sincos+cossinsin（-）=sincos-cossintan（+）= tan（-）= sin2=2sincoscos2=cos2- sin2 =2cos2-1=1-2 sin2tan2= 一、教学目标进一步掌握三角恒等变换的方法，如何利用正、余弦、正切的和差公式与二倍角公式，对三角函数式进行化简、求值和证明：二、知识与方法：1. 11个三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其它公式的基础，由它出发，用-代替、代替、=等换元法可以推导出其它公式。你能根据下图回顾推导过程吗？2化简，要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的求出值来；3求值，要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响，较难的问题需要根据上三角函数值进一步缩小角的范围。4证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边，或右边变同于，或都将左右进行变换使其左右相等。5. 三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换，即（1）找差异：角、名、形的差别；（2）建立联系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用哪个公式联系起来；（3）变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后运用或逆用公式，如升、降幂公式， cos= coscos（-）- sinsin（-），1= sin2+cos2，=tan（450+300）等。例题例1 已知sin（+）=，sin（-）=，求的值。例2求值：cos24sin6cos72例3 化简（1）；（2）sin2sin2+cos2cos2-cos2cos2。例4 设为锐角，且3sin2+2sin2=1，3sin2-2sin2=0，求证：+2=。例5 如图所示，某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠，为降低成本，必须尽量减少水与水渠壁的接触面。若水渠断面面积设计为定值m，渠深8米。则水渠壁的倾角应为多少时，方能使修建的成本最低？8A E D B C分析：解答本题的关键是把实际问题转化成数学模型，作出横断面的图形，要减少水与水渠壁的接触面只要使水与水渠断面周长最小，利用三角形的边角关系将倾角为和横断面的周长L之间建立函数关系，求函数的最小值必修4第三章三角恒等变换一、选择题1、的值为 （）2、函数的周期为 （）3、已知，则等于（）4、化简，其结果是（）5.等于 （ ）6. 的值为 ( )7. 已知为第三象限角，则 （ ） 8. 若，则为 （ ） 9. 已知锐角满足，则等于 （ ） 10. 下列函数f(x)与g(x)中，不能表示同一函数的是（）二、填空题11. 已知cos=,且,则cos( )=.12. 已知，则.13. 的值是 .14. 中，则= .三、解答题15. 求函数在上的最值.16. 已知，为锐角，求.17. 已知，求证：.18. 已知函数（其中），求：函数的最小正周期; 函数的单调区间; 函数图象的对称轴和对称中心参考答案：一、选择题题号12345678910答案BDCACBBACD二、填空题11. 12. 13. 14. 三、解答题15. ymax=, ymin=3 16. 17. 略 18. (1) (2)增区间：，减区间：，其中Z (3)对称轴方程： 对称中心：，其中Z1234567891011121314151617181819202123集合 在初中数学中，我们已经接触过“集合”一词在初中代数里学习数的分类时，就用到“正数的集合”，“负数的集合”等此外，对于一元一次不等式2x-13，所有大于2的实数都是它的解我们也可以说，这些数组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合几何图形都可以看成点的集合一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集例如，“我校篮球队的队员”组成一个集合；“太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋”也组成一个集合我们一般用大括号表示集合，上面的两个集合就可以分别表示成我校篮球队的队员与太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋为了方便起见，我们还经常用大写的拉丁字母表示集合例如，A=太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋，B=1，2，3，4，5下面是一些常用的数集及其记法全体非负整数的集合通常简称非负整数集(或自然数集)，记作N，非负整数集内排除0的集，也称正整数集，表示成N*或N+；全体整数的集合通常简称整数集，记作Z；全体有理数的集合通常简称有理数集，记作Q；全体实数的集合通常简称实数集，记作R集合中的每个对象叫做这个集合的元素例如，“地球上的四大洋”这一集合的元素是：太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋集合的元素常用小写的拉丁字母表示如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作aA；如果a不是集合A的元素，就说a不属例如，设B=1，2，3，4，5，那么集合中的元素必须是确定的这就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了例如，给出集合地球上的四大洋，它只有太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋四个元素，其他对象都不是它的元素又如，“我国的小河流”就不能组成一个集合，因为组成它的对象是不确定的集合中的元素又是互异的这就是说，集合中的元素是没有重复现象的，任何两个相同的对象在同一个集合中时，只能算作这个集合的一个元素练习1(口答)说出下面集合中的元素：(1)大于3小于11的偶数；(2)平方等于1的数；(3)15的约数2用符号或 填空： 集合的表示方法，常用的有列举法和描述法列举法是把集合中的元素一一列举出来的方法例如，由方程x2-1=0的所有的解组成的集合，可以表示为-1，1注 集合-1，1的元素有2个一般地，含有有限个元素的集合叫做有限集又如，由所有大于0且小于10的奇数组成的集合，可以表示为1，3，5，7，9描述法是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法例如，不等式x-32的解集可以表示为xR|x-32，我们约定，如果从上下文看，xR是明确的，那么这个集合也可以表示为x|x-32集合x|x-32的元素有无限个一般地，含有无限个元素的集合叫做无限集又如，所有直角三角形的集合，可以表示为x|x是直角三角形再看一个例子，由方程x2+1=0的所有实数解组成的集合，可以表示为xR|x2+1=0，这个集合是没有元素的一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作 为了形象地表示集合，我们常常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合例如，图1-1表示任意一个集合A；图1-2表示集合1，2，3，4，5练习1用适当的方法表示下列集合，然后说出它们是有限集还是无限集：(1)由大于10的所有自然数组成的集合；(2)由24与30的所有公约数组成的集合；(3)方程x2-4=0的解的集合；(4)由小于10的所有质数组成的集合2用描述法表示下列集合，然后说出它们是有限集还是无限集：(1)由4与6的所有公倍数组成的集合；(2)所有正偶数组成的集合；(3)方程x2-2=0的解的集合；(4)不等式4x-65的解集电子课文子集、全集、补集 1子集在集合与集合之间，存在着“包含”与“相等”的关系先看集合与集合之间的“包含”关系设A=1，2，3，B=1，2，3，4，5，集合A是集合B的一部分，我们就说集合B包含集合A一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作A B(或B A)这时我们也说集合A是集合B的子集当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作A B(或B A)我们规定：空集是任何集合的子集也就是说，对于任何一个集合A，有A再看集合与集合之间的“相等”关系设A=x|x2-1=0，B=-1，1，集合A与集合B的元素是相同的，我们就说集合A等于集合B一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B由集合的“包含”与“相等”的关系，可以得出下面的结论(1)对于任何一个集合A，因为它的任何一个元素都属于集合A本身，所以A A，也就是说，任何一个集合是它本身的子集我们常常涉及“真正的子集”的问题对于两个集合A与B，如果A B，并且AB，我们就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)用图形表示如图1-3显然，空集是任何非空集合的真子集容易知道，对于集合A，B，C，如果A B，B C，那么A C事实上，设x是集合A的任意一个元素，因为A B，所以xB，又因为B C，所以xC，从而A C同样可知，对于集合A，B，C，如果A B，B C，那么A C(2)对于集合A，B，如果A B，同时B A，那么A=B例1 写出集合a，b的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集解：集合a，b的所有的子集是 ，a，b，a，b，其中 ，a，b是a，b的真子集例2 解不等式x-32，并把结果用集合表示解：x5，原不等式的解集是x|x5练习1写出集合a，b，c的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集2用适当的符号(， ，=， ， )填空：(1)a_a；(2)a_a，b，c；(3)d_a，b，c；(4)a_a，b，c；(5)a，b_b，a；(6)3，5_1，3，5，7；(7)2，4，6，8_(2，8；(8) _1，2，3(2)解不等式3x+24x-1，并把结果用集合表示 2全集与补集看一个例子设集合S是全班同学的集合，集合A是班上所有参加校运动会的同学的集合，而集合B是班上所有没有参加校运动会的同学的集合，那么这三个集合有什么关系呢?容易看出，集合B就是集合S中除去集合A之后余下来的集合一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集(即A S)，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集(或余集)，记作 SA，即SA=x|xS，且x A图1-4中的阴影部分表示A在S中的补集 SA例如，如果S=1，2，3，4，5，6 ，A=1，3，5，那么SA=2，4，6如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U表示例如，在实数范围内讨论问题时，可以把实数集R看作全集U，那么，有理数集Q的补集 UQ是全体无理数的集合练习1填空：如果S=x|x是小于9的正整数，A=1，2，3，B=3，4，5，6，那么 SA=_， SB=_2填空：(1)如果全集U=Z，那么N的补集 UN=_；(2)如果全集U=R，那么 UQ的补集 U( UQ)=_ 电子课文交集、并集 看下面的三个图图1-5(1)中给出了两个集合A与B，集合A与B的公共部分就叫做集合A与B的交(图1-5(2)的阴影部分)，集合A与B合并到一起得到的集合就叫做集合A与B的并(图1-5(3)的阴影部分)一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作AB(读作“A交B”)，即AB=x|xA，且xB而由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作AB(读作“A并B”)，即AB=x|xA，或xB例1 设A=x|x-2，B=x|x3，求AB解：AB=x|x-2x|x3=x|-2x3例2 设A=x|x是等腰三角形，B=x|x是直角三角形，求AB解：AB=x|x是等腰三角形x|x是直角三角形=x|x是等腰直角三角形例3 设A=4，5，6，8，B=3，5，7，8，求AB解：AB=4，5，6，83，5，7，8=3，4，5，6，7，8注 集合中的元素是没有重复现象的，在两个集合的并集中，原两个集合的公共元素只能出现一次，不要写成AB=3，4，5，5，6，7，8，8例4 设A=x|x是锐角三角形，B=x|x是钝角三角形，求AB解：AB=x|x是锐角三角形x|x是钝角三角形=x|x是斜三角形例5 设A=x|-1x2，B=x|1x3，求AB解：AB=x|-1x2x|1x3=x|-1x3练习1设A=3，5，6，8，B=4，5，7，8，(1)求AB，AB；(2)用适当的符号( ， )填空：AB_A，B_AB，AB_A，AB_B，AB_AB2设A=x|x5，B=x|x0，求AB3设A=x|x是锐角三角形，B=x|x是钝角三角形 ，求AB4设A=x|x-2，B=x|x3，求AB5设A=x|x是平行四边形，B=x|x是矩形，求AB 由交集定义容易知道，对于任何集合A，B，有AA=A，A = ，AB=BA由并集定义容易知道，对于任何集合A，B，有AA=A，A =A，AB=BA例6 设A=(x，y)|y=-4x+6，B=(x，y)|y=5x-3，求AB解：AB=(x，y)|y=-4x+6(x，y)|y=5x-3=(1，2)注 本题中，(x，y)可以看作直线上的点的坐标，也可以看作二元一次方程的一个解形如2n(nZ)的整数叫做偶数，形如2n+1(nZ)的整数叫做奇数全体奇数的集合简称奇数集，全体偶数的集合简称偶数集看下面的例子例7 已知A为奇数集，B为偶数集，Z为整数集，求AB，AZ，BZ，AB，AZ，BZ解：AB=奇数偶数= ，AZ=奇数Z=奇数=A，BZ=偶数Z=偶数=B，AB=奇数偶数=Z，AZ=奇数Z=Z，BZ=偶数Z=Z例8 设U=1，2，3，4，5，6，7，8，A=3，4，5，B=4，7，8，求 UA， UB，( UA)( UB)，( UA)( UB)解： UA=1，2，6，7，8，UB=1，2，3，5，6，( UA)( UB)=1，2，6，( UA)( UB)=1，2，3，5，6，7，8练习1设A=(x，y)|3x+2y=1，B=(x，y)|x-y=2，C=(x，y)|2x-2y=3，D=(x，y)|6x+4y=2，求AB，BC，AD2设A=x|x=2k，kZ，B=x|x=2k+1，kZ，C=x|x=2(k+1)，kZ，D=x|x=2k-1，kZ，在A，B，C，D中，哪些集合相等，哪些集合的交集是空集?3设U=x|x是小于9的正整数，A=1，2，3，B=3，4，5，6，求AB， U(AB)4图中U是全集，A，B是U的两个子集，用阴影表示：(1)( UA)( UB)；(2)( UA)( UB) 电子课文含绝对值的不等式解法 按商品质量规定，商店出售的标明500g的袋装食盐，其实际数与所标数相差不能超过5g，设实际数是xg，那么，x应满足由绝对值的意义，这个结果也可以表示成|x-500|5这就是一个含绝对值的不等式怎样解含绝对值的不等式呢?让我们先看含绝对值的方程|x|=2，由绝对值意义可知，方程的解是x=2或x=-2，在数轴上表示如下(图1-6)再看相应的不等式|x|2与|x|2由绝对值意义，结合数轴表示(图1-6)可知，不等式|x|2就表示数轴上到原点的距离小于2的点的集合，在数轴上表示如下(图1-7)因而不等式|x|2的解集是x|-2x2类似地，不等式|x|2就表示数轴上到原点的距离大于2的点的集合，在数轴上表示如下(图1-8)因而不等式|x|2的解集是x|x-2x|x2=x|x-2，或x2一般地，不等式|x|a(a0)的解集是x|-axa；不等式|x|a(a0)的解集是x|xa，或x-a例1 解不等式|x-500|5解：由原不等式可得-5x-5005，各加上500，得495x505，所以，原不等式的解集是x|495x505例2 解不等式|2x+5|7解：由原不等式可得2x+5-7，或2x+57整理，得x-6，或x1所以，原不等式的解集是x|x-6，或x1)练习1解下列不等式：(1)|x|5；(2)|x|10；(3)2|x|8；(4)5|x|7；(5)|3x|12；(6)|4x|142解下列不等式：(1)|x+4|9；(3)|2-x|3；(5)|5x-4|6；电子课文一元二次不等式解法 在初中，我们已经学习过一次函数、二次函数的有关知识一元一次方程、一元一次不等式与一次函数有什么关系呢?例如一次函数y=2x-7，它的对应值表与图象如下由对应值表与图象(图1-9)可以知道：当x=3.5时，y=0，即2x-7=0；当x3.5时，y0，即2x-70；当x3.5时，y0，即2x-70一般地，设直线y=ax+b与x轴的交点是(x0，0)，就有如下结果1一元一次方程ax+b=0的解是x02(1)当a0时，一元一次不等式ax+b0的解集是x|xx0，一元一次不等式ax+b0的解集是x|xx0；(2)当a0时，一元一次不等式ax+b0的解集是x|xx0，一元一次不等式ax+b0的解集是x|xx0一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系怎样呢?让我们先看一个例子二次函数y=x2-x-6的对应值表与图象如下由对应值表与图象(图1-10)可以知道，当x=-2，或x=3时，y=0，即x2-x-6=0；当x-2，或x3时，y0，即x2-x-60；当-2x3时，y0，即x2-x-60这就是说，如果抛物线y=x2-x-6与x轴的交点是(-2，0)与(3，0)，那么，一元二次方程x2-x-6=0的解就是x1=-2，x2=3同样，结合抛物线与x轴的相关位置，可以得出一元二次不等式x2-x-60的解集是x|x-2，或x3；一元二次不等式x2-x-60的解集是x|-2x3上例表明，由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集我们知道，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)，设=b2-4ac，它的解按照0，=0，0分为三种情况相应地，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的相关位置也分为三种情况(图1-11)，因此，分这三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2+bx+c0与ax2+bx+c0的解集(1)如果0，此时抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点(图1-11(1)，即方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根x1，x2(x1x2)那么，不等式ax2+bx+c0的解集是x|xx1，或xx2；不等式ax2+bx+c0的解集是x|x1xx2(2)如果=0，此时抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个交点那么，不等式ax2+bx+c0的解集是不等式ax2+bx+c0的解集是空集 (3)如果0，此时抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有交点(图1-11(3)，即方程ax2+bx+c=0无实数根那么，不等式ax2+bx+c0的解集是R；不等式ax2+bx+c0的解集是 对于二次项系数是负数(即a0)的不等式，可以先把二次项系数化成正数，再求解例1 解不等式2x2-3x-20解：因为0，方程2x2-3x-2=0的解是所以，不等式的解集是例2 解不等式-3x2+6x2解：整理，得3x2-6x+20因为0，方程3x2-6x+2=0的解是所以，原不等式的解集是例3 解不等式4x2-4x+10解：因为=0，方程4x2-4x+1=0的解是所以，不等式的解集是例4 解不等式-x2+2x-30解：整理，得x2-2x+30因为0，方程x2-2x+3=0无实数解，所以不等式x2-2x+30的解集是 从而，原不等式的解集是 练习1解下列不等式：(1)3x2-7x+20；(2)-6x2-x+20；(3)4x2+4x+10；(4)x2-3x+502x是什么实数时，函数y=x2-4x+1的值：(1)等于0?(2)是正数?(3)是负数?下面我们研究一下不等式(x+4)(x-1)0的解法这是一元二次不等式，可以按照前面的方法求解如果考虑到这个不等式的不等号左边是两个x的一次式的积，右边是0，那么它可以根据积的符号法则化成一次不等式组与因此，(x+4)(x-1)0的解集是上面不等式组的解集的并集由得原不等式的解集是x|-4x1 =x|-4x1用上述方法也可以解像这样的分式不等式解：这个不等式的解集是不等式组与的解集的并集由得原不等式的解集是x|-7x3 =x|-7x3练习1解下列不等式：(1)(x+2)(x-3)0；(2)x(x-2)02解关于x的不等式(x-a)(x-b)0(ab)3解下列不等式：4判断下列说法是否正确：电子课文逻辑联结词 我们在初中已经学过命题，可以判断真假的语句叫做命题看下面的语句125 3是12的约数 0.5是整数 这些语句都是命题其中、是真的，叫做真命题；是假的，叫做假命题有些语句不是命题，例如下面的语句3是12的约数吗？(不涉及真假)x5(不能判断真假)、三个命题比较简单，由简单的命题可以组合成新的比较复杂的命题看下面的例子10可以被2或5整除 菱形的对角线互相垂直且平分 0.5非整数 这里的“或”我们已经学过，像不等式x2-x-60的解集是x|x-2，或x3“且”我们也学过，像不等式x2-x-60的解集是x|-2x3即x|x-2，且x3“非”是否定的意思，“0.5非整数”是对命题“0.5是整数”进行否定而得出的新命题“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词像、这样的命题，不含逻辑联结词，是简单命题；像、这样的命题，它们由简单命题与逻辑联结词构成，是复合命题我们常用小写的拉丁字母p，q，r，s，来表示命题，上面复合命题、的构成形式分别是：p或q；p且q；非p非p也叫做命题p的否定例1 分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题：(1)24既是8的倍数，也是6的倍数；(2)李强是篮球运动员或跳高运动员；(3)平行线不相交解：(1)这个命题是p且q的形式，其中p：24是8的倍数，q：24是6的倍数(2)这个命题是p或q的形式，其中p：李强是篮球运动员，q：李强是跳高运动员(3)这个命题是非p的形式，其中p：平行线相交 练习 1分别写出由下列各组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题：(1)p：5是15的约数，q：5是20的约数(2)p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相平分2分别用“p或q”，“p且q”，“非p”填空：(1)命题“6是自然数且是偶数”是_的形式；(2)命题“3大于或等于2”是_的形式；(3)命题“4的算术平方根不是-2”是_的形式；(4)命题“正数或0的平方根是实数”是_的形式怎样判断一个复合命题的真假呢？让我们分析一下上面讲的三种复合命题先看非p形式的复合命题：当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真例如，如果p表示“2是10的约数”为真，那么，非p即“2不是10的约数”为假非p形式复合命题的真假可以用下表表示再看p且q形式的复合命题：当p，q都为真时，p且q为真；当p，q中至少有一个为假时，p且q为假例如，如果p表示“5是10的约数”，q表示“5是15的约数”，r表示“5是8的约数”，那么，p且q即“5是10的约数且是15的约数”为真，因为p，q都为真，p且r即“5是10的约数且是8的约数”为假，因为r为假p且q形式复合命题的真假可以用下表表示最后看p或q形式的复合命题：当p，q至少有一个为真时，p 或q为真；当p，q都为假时，p或q为假例如，如果p表示“5是12的约数”，q表示“5是15的约数”，r 表示“5是8的约数”，那么，p或q即“5是12的约数或是15的约数”为真，因为q为真，p或r即“5是12的约数或是8的约数”为假，因为p，r都为假p或q形式复合命题的真假可以用下表表示像上面那样表示命题的真假的表叫真值表要注意，这里所学的“或”与我们日常生活用语中的“或”是有区别的，例如，日常生活中，我们认为“苹果是长在树上或长在地里”这句话是不妥的那么，学习逻辑联结词“或”、“且”、“非”的意义是什么呢？下面看两个日常生活中和“或”、“且”有关的例子许多电器都有自动控制的功能例如，洗衣机在甩干时，如果“到达预定时间”或“机盖被打开”，就会停机，即当两个条件至少有一个满足时，就会停机，相应的电路，就叫或门电路又如，电子保险门在“钥匙插入”且“密码正确”两个条件都满足时，才会开启，相应的电路，就叫与门电路你能找出这样的例子吗？例2 分别指出由下列各组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题的真假：(1)p：2+2=5，q：32(2)p：9是质数，q：8是12的约数(3)p：11，2，q：1 1，2(4)p： 0，q： =0解：(1)因为p 假q真，所以，“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真(2)因为p假q假，所以，“p或q”为