7.4 课题学习 镶嵌(含答案).doc

74 课题学习 镶嵌课前感悟（课前自主预习，先试试你的身手）1 n边形的内角和等于_，正方形的每个内角等于_，正五边形的每个内角等于_，正六边形的每个内角等于_，正n边形的每个内角等于_2平面镶嵌要求拼成的平面图形不重叠、无空隙，把平面的一部分_，所以围绕一个顶点周围各角的和为_，叠合的边长度_3用正三角形和正四边形作平面镶嵌，在一个顶点周围，可以有个正三角形和个正四边形4（2004龙岩）商店里出售下列形状的地砖：正三角形 正方形 正五边形 正六边形，只选购其中一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（ ） A1种 B2种 C3种 D4种 5剪一些形状、大小相同的三角形，可以进行平面镶嵌吗？画图说明你的方案举一反三（典型例题引路，探求规律方法技巧）【例1】（2003陕西）在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌）这显然与正多边形的内角大小有关当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360）时，就拼成了一个平面图形（1） 请根据下列图形，填写表中空格：图765（2） 如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？（3） 从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由解 （1）60，90，108， ；（2） 正三角形、正四边形、正六边形；（3）如：正方形和正八边形，如图766，设在一个顶点周围有个正方形的角，个正八边形的角，那么、应是方程的整数解，即238，整数解只有一组，符合条件的图形只有一种 图766 点评 探索存在性问题时，可先假设存在，列出一个二元一次方程，如果能找到这个二元一次方程的整数解（符合题意的两个未知数的值都是整数），就能肯定两种正多边形可以平面镶嵌，再画图找出这两种正多边形平面镶嵌的方法；如果这个二元一次方程没有整数解，这两种正多边形就不可以平面镶嵌【例2】用两种正多边形进行平面镶嵌，你能举出几种组合方式，说出你是怎样做的分析 只要一个顶点处拼的各内角的和为360即可解 这样的组合有：（1）一个正三角形和两个正十二边形；（2）两个正三角形和两个正六边形；（3）三个正三角形和两个正方形；（4）四个正三角形和一个正六边形；（5）一个正方形和两个正八边形潜能开发（当堂学习巩固，训练重点、难点、考点）6 （2004锦州） 边长相等的下列两种正多边形的组合，不能作平面镶嵌的是（ ）A正方形与正三角形 B正五边形与正三角形 C正六边形与正三角形D正八边形与正方形7用三块正多边形的木板铺地，拼在一起并相交于一点的各边完全吻合，其中两块木板的边数都是8，则第三块木板的边数应是（ ）A4 B5 C6 D88有以下边长相等的三种图形：正三角形，正方形，正八边形选其中两种图形镶嵌成平面图形，请你写出两种不同的选法（用序号表示图形）： ，或 ；9用黑白两种颜色的正六边形地面砖按图767所示的规律，拼成若干个图案： 图767（1）第4个图案中有白色地面砖 块；（2）第n个图案中有白色地面砖 块10 请用一些等边三角形地转把下面的长方形的操场铺满（操场四周可留部分空隙），并填上两种颜色，看谁的设计美观图76811剪一些形状、大小相同的四边形，可以进行平面镶嵌吗？画图说明你的方案12在下列正多边形中，能够进行平面镶嵌的正多边形有哪些？请把它找出来，并说明理由（1）正三角形 （2） 正方形 （3） 正五边形 （4）正六边形 （5） 正八边形 13在下列两种正多边形的组合中，能够进行平面镶嵌的有哪些？请把它们找出来，并说明理由（1）正三角形和正六边形 （2） 正方形和正八边形 （3） 正五边形和正十边形 14建筑工人师傅用板砖砌墙通常有两种方式，一种叫实墙（侧面如图a），美观结实；一种叫孔墙（侧面如图b），经济实用你能说出工人师傅这样使用板砖的道理吗？ 图a 图769 图b15老刘是一家村办瓷砖厂厂长，他发现市场上用来单一拼图（只用一种规格）的正多边形瓷砖只有三种形状：正三角形、正方形、正六边形，他想搞一个创意，设计形状为正五边形的瓷砖推向市场你认为他的想法好吗？市场前景如何？16边长相等的正三角形与正方形能否铺满地面？边长相等的正方形与正六边形能否铺满地面？你是怎样判断的？17边长不相等的正三角形与正六边形一定不能进行平面镶嵌，你同意这种说法吗？如果不同意，你能举一个反例吗？探究创新（拓展视野，迁移发散，开发智力、潜力、能力）18边长相等的正三角形、正方形和正六边形三者结合一起能否铺满地面？如果可以，请给出方案如果不可以，请说明理由19阅读下面内容并回答问题：在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌）这显然与正多边形的内角大小有关当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360）时，就拼成了一个平面图形有边数分别为，的三种型号不同的正多边形，如果每种型号的多边形各取一个，拼在A点，恰好能覆盖住A点及其周围小区域， 猜想，之间关系，你能对你给出的这个猜想给出证明吗?解：边数为的正多边形的每个内角为180，边数为的正多边形的每个内角为180，边数为的正多边形的每个内角为180，所以有180180180360，在等式两边同时_得：2，因为1，所以（1）（1）（1）2，所以（）1，在等式两边同时_得： 根据上面的结论，从正三角形、正方形中选一种，再在其他正多边形中选两种，请尝试找出几种用三种不同的正多边形镶嵌的组合多彩生活（最有趣的数学）精彩的正多边形镶嵌单独用一种同样大小正多边形来镶嵌平面，只有三种情况：正方形、正三角形、正六边形如果这种镶嵌不限于用一种正多边形，只要同一种正多边形是同一尺寸的，那么有哪些镶嵌方案呢？下面列出17组情况：（3，7，42） （3，8，24）（3，9，18）（3，10，15） （3，12，12） （4，5，20） （4，6，12） （4，8，8） （5，5，10） （6，6，6） （3，3，4，12） （3，3，6，6） （3，4，4，6）（4，4，4，4） （3，3，3，4，4） （3，3，3，3，6） （3，3，3，3，3，3） 有书记载，这17组解是1924年一个叫波尔亚的人给出的实际上早在此之前，西班牙阿尔汉布拉宫的装饰已经一个不少地绘出了这些图样，真是令人叹为观止图770如图770 ，可以发现（3，3，6，6）就有两种不同的组合图案这种平面镶嵌，大体上看上去是水平式的，即可以用水平直线把平面分开事实上，也可以镶嵌出不可以用水平直线分割开来的图案，如图771我们在装饰室内的墙纸或地板时，常常考虑利用不同的色块，使图案看上去更美妙图771中完全相同的镶嵌，由于涂色的不同，看上去却是两样！ 图771参考答案1. （n-2）180、90、108、120、 2. 完全覆盖、360、相等 3. 3、2 4.C 5. 可以 6.B 7.A 8.、 9. 18、42 10.略 11.可以 12.正三角形、正方形、正六边形 13.正三角形和正六边形、正方形和正八边形 14. 长方形的内角为90 15. 不好，五边形每个内角是108，不能被360整除 16.可以、不可以 17. 这种说法不对，六个正三角形也可拼成一个正六边形，如果这个正六边形的边长与原来的正六边形边长相等就可以进行平面镶嵌 18.可以，正