数学实验8-安振华-2012011837.pdf

清华大学数学实验报告清华大学数学实验报告 实验 8 线性规划 化学工程系化学工程系 分分 2 2 安振华安振华 20120118372012011837 实验目的 实验目的 1 掌握用 MATLAB 优化工具箱解线性规划的方法 2 练习建立实际问题的线性规划模型 实验内容 实验内容 实验 实验八八 习题 习题 6 6 某银行经理计划用一笔资金进行证券投资 可供购进的证券以及 其信用等级 到期年限 收益如表 8 5 所示 按照规定 市政证券的 收益可以免税 其他证券的收益需按 50 的税率纳税 此外还有以 下限制 表 8 5 1 政府及代办机构的证券总共至少要购进 400 万元 2 所购证券的平均信用等级不超过 1 4 信用等级数字越小 信用 程度越高 3 所购证券的平均到期年限不超过 5 年 证券名称 证券种类 信用等级 到期年限 年 到期税前收益 A 市政 2 9 4 3 B 代办机构 2 15 5 4 C 政府 1 4 5 0 D 政府 1 3 4 4 E 市政 5 2 4 5 清华大学数学实验报告清华大学数学实验报告 1 若该经理有 1000 万元资金 应如何投资 2 如果能够以 2 75 的利率借到不超过 100 万元资金 该经理应如 何操作 并考虑利率在什么范围内变化时 投资方案不改变 3 在 1000 万元资金情况下 若证券 A 的税前收益增加为 4 5 投资 应否改变 若证券 C 的税前收益减少为 4 8 投资应否改变 分析 分析 设购买 A B C D E 五种债券金额分别为 x1 x2 x3 x4 x5 总获利金额为 z 单位 万元 根据题意可归纳出约束条件如下 金额为非负数 则有 x1 x2 x3 x4 x5 0 根据条件 1 有 x2 x3 x4 400 根据条件 2 有 2x1 2x2 x3 x4 5x5 x1 x2 x3 x4 x5 1 4 根据条件 3 有 9x1 15x2 4x3 3x4 2x5 x1 x2 x3 x4 x5 5 为方便程序实现 将所有除非负约束的不等号都变形整理成小于 等于号 且不等式中只含有基本的加减运算 根据以上处理方案 约 束条件变为如下形式 x1 x2 x3 x4 x5 0 x2 x3 x4 400 0 6x1 0 6x2 0 4x3 0 4x4 3 6x5 0 4x1 10 x2 x3 2x4 3x5 0 因而 对于问题 1 清华大学数学实验报告清华大学数学实验报告 目标函数为 z 0 043x1 0 045x5 0 5 0 054x2 0 050 x3 0 044x4 约束条件为 x1 x2 x3 x4 x5 0 x2 x3 x4 400 0 6x1 0 6x2 0 4x3 0 4x4 3 6x5 0 4x1 10 x2 x3 2x4 3x5 0 x1 x2 x3 x4 x5 1000 对于问题 2 设贷款金额为 f 则目标函数为 z 0 043x1 0 045x5 0 5 0 054x2 0 050 x3 0 044x4 0 0275f 约束条件为 0 x1 x2 x3 x4 x5 1100 x2 x3 x4 400 0 6x1 0 6x2 0 4x3 0 4x4 3 6x5 0 4x1 10 x2 x3 2x4 3x5 0 x1 x2 x3 x4 x5 1100 x1 x2 x3 x4 x5 f 1000 0 f 100 对于问题 3 改变 A 的税前收益 目标函数为 z 0 045x1 0 045x5 0 5 0 054x2 0 050 x3 0 044x4 改变 C 的税前收益 目标函数为 z 0 043x1 0 045x5 0 5 0 054x2 0 048x3 0 044x4 清华大学数学实验报告清华大学数学实验报告 约束条件与问题 1 相同 解答 解答 问题 1 如果记决策变量 x x x1 x2 x3 x4 x5 T 费用向量 c c 0 043 0 027 0 025 0 022 0 045 T 右端项向量 b b 400 0 0 约束矩阵 A A 0 1 1 10 0 60 6 0 4 0 43 6 410 1 2 3 11111 若想获得最大利润则需要花费全部 1000 万元 故 A A2 2 1 1 1 1 1 b2 1000 则该线性规划问题可以表示成 Max z c c T Tx x s t AxAx b b T T A A2 2x x b2 x 0 MATLAB 程序 运行结果 A 0 1 1 1 0 0 6 0 6 0 4 0 4 3 6 4 10 1 2 3 b2 1000 c 0 043 0 027 0 025 0 022 0 045 b 400 0 0 v 0 0 0 0 0 A2 1 1 1 1 1 x z0 ef out lag linprog c A b A2 b2 v 清华大学数学实验报告清华大学数学实验报告 故得到的最优解为 x 218 1818 0 0000 736 3636 0 0000 45 4545 最优值为 z0 29 836 即应当分别投资 218 18 万元 736 36 万元 45 45 万元于 A C E 三 种证券才会收益最大 问题 2 如果记决策变量 x x x1 x2 x3 x4 x5 x6 T 费用向量 c c 0 043 0 027 0 025 0 022 0 045 0 0275 T 右端项向量 b b 400 0 0 1100 约束矩阵 A A 0 1 1 1 0 0 0 60 6 0 4 0 43 6 0 410 1 2 3 0 11111 0 A A2 2 1 1 1 1 1 1 b2 1000 x 218 1818 0 0000 736 3636 0 0000 45 4545 z0 29 8364 ef 1 out iterations 5 algorithm large scale interior point cgiterations 0 message Optimization terminated constrviolation 4 5475e 013 firstorderopt 3 5406e 008 lag ineqlin 3x1 double eqlin 0 0298 upper 5x1 double lower 5x1 double 清华大学数学实验报告清华大学数学实验报告 则该线性规划问题可以表示成 Max z c c T Tx x s t AxAx b b T T A A2 2x x b2 x 0 MATLAB 程序 运行结果 因而用于购买 A B C D E 的资金分别为 240 0 810 0 50 万元 借资 金 100 万元时 收益最大 为 30 07 万元 x 240 0 810 0 50 100 z0 30 0700 ef 1 out iterations 2 algorithm simplex cgiterations message Optimization terminated constrviolation 0 firstorderopt 3 4694e 018 lag ineqlin 4x1 double eqlin 0 0275 upper 6x1 double lower 6x1 double A 0 1 1 1 0 0 0 6 0 6 0 4 0 4 3 6 0 4 10 1 2 3 0 1 1 1 1 1 0 b2 1000 c 0 043 0 027 0 025 0 022 0 045 0 0275 b 400 0 0 1100 v 0 0 0 0 0 0 A2 1 1 1 1 1 1 opt optimset LargeScale off simplex on x z0 ef out lag linprog c A b A2 b2 v opt 清华大学数学实验报告清华大学数学实验报告 问题 3 方法与问题 1 类似 只需对费用向量做数值修改 c c1 1 0 045 0 027 0 025 0 022 0 045 T c c2 2 0 045 0 027 0 024 0 022 0 045 T MATLAB 程序 运行结果 故得到的最优解为 x 218 1818 0 0000 736 3636 0 0000 45 4545 x1 218 1818 0 0000 736 3636 0 0000 45 4545 z01 30 2727 ef 1 out iterations 6 algorithm interior point cgiterations 0 message Optimization terminated constrviolation 1 1369e 13 firstorderopt 6 0228e 14 x2 336 0000 0 0000 0 0000 648 0000 16 0000 z02 29 4240 ef 1 out iterations 6 algorithm interior point cgiterations 0 message Optimization terminated constrviolation 4 5475e 13 firstorderopt 2 4896e 14 A 0 1 1 1 0 0 6 0 6 0 4 0 4 3 6 4 10 1 2 3 b2 1000 c1 0 045 0 027 0 025 0 022 0 045 c2 0 043 0 027 0 024 0 022 0 045 b 400 0 0 v 0 0 0 0 0 A2 1 1 1 1 1 x1 z0 ef out lag linprog c1 A b A2 b2 v x2 z0 ef out lag linprog c2 A b A2 b2 v 清华大学数学实验报告清华大学数学实验报告 若证券 A 的税前收益增加为 4 5 x1 218 1818 0 736 3636 0 45 4545 z01 30 2727 即应当分别投资 218 18 万元 736 36 万元 45 45 万元于 A C E 三 种证劵 收益最大 为 30 2727 万元 若证券 C 的税前收益减少为 4 8 x2 360 0 0 648 16 z02 29 4240 即应当分别投资 360 万元 648 万元 16 万元于 A D E 三种证劵 收益最大 为 29 4240 万元 结果分析结果分析 A B C D E 的投资金额分别为 218 18 0 736 37 0 45 45 万元 最大 收益为 29 8364 万元 借款金额为 100 万元 A B C D E 的投资金额分别为 240 0 810 0 50 万元 最大收益为 30 07 万元 当 A 收益变为 4 5 时 投资方案不变 但利润增加到 30 27 万元 当C 收益减少为4 8 时 投资方案变为A B C D E 金额分别为336 0 0 648 16 万元 且收益降低至为 29 42 万元 由此可知通过线性规划可以很好地设计投资方案 以此种方法解决此 类问题 较为准确 但是经过思考发现这样的模型加入了许多人为假 设 不足以代表实际情况 但其本身具有一定的参考价值 实验 实验八八 习题 习题 1010 有若干工厂的排污口流入某江 各口有污水处理站 处理站对面 清华大学数学实验报告清华大学数学实验报告 是居民点 工厂1上游江水流量和污水浓度 国家标准规定的水的污 染浓度 以及各个工厂的污水流量和污水浓度均已知道 设污水处理 费用与污水处理前后的浓度差和污水流量成正比 使每单位流量的污 水下降一个浓度单位需要的处理费用 称处理系数 为已知 处理后 的污水与江水混合 流到下一个排污口之前 自然状态下的江水也会 使污水浓度降低一个比例系数 称自净系数 该系数可以估计 试 确定各污水处理站出口的污水浓度 使在符合国家标准规定的条件下 总的处理费用最小 先建立一般情况下的数学模型 再求解以下的具体问题 设上游江水流量为1000 1012L min 污水浓度为0 8 mg L 3个工厂的污水流量均为5 1012L min 污水浓度 从上游到下游 排列 分别为100 60 50 mg L 处理系数均为1 万元 1012L min mg L 3个工厂之间的两段江面的自净系数 从上游到下 游 分别为0 9和0 6 国家标准规定水的污染浓度不能超过1 mg L 1 为了使江面上所有地段的水污染达到国家标准 最少需要花 费多少费用 2 如果只要求3个居民点上游的水污染达到国家标准 最少需要 花费多少费用 分析 分析 根据题目给出的数据 设置以下参数及符号 xi i 1 2 3 表示 1 2 3 号处理站出水口的污水浓度 mg L z 三个污水处理厂处理污水所需要的总花费 万元 清华大学数学实验报告清华大学数学实验报告 ci1 i 1 2 3 表示出水口 居民点 上游的污水浓度 mg L ci2 i 1 2 3 表示出水口 居民点 下游的污水浓度 mg L ai1 i 1 2 3 表示出水口 居民点 上游的江水流量 12 10L min ai2 i 1 2 3 表示出水口 居民点 上游的江水流量 12 10L min m n 分别表示 1 到 2 2 到 3 段江水的自净系数 根据题目信息 将两个问题分别转化成如下模型 问题 1 在使得 ci1 i 1 2 3 ci2 i 1 2 3 全部小于国家标准浓度 1mg L 的前 提下 使得 z 最小 求 xi i 1 2 3 由于 ci1 ci2恒成立 所以可以 将问题写成规划问题的标准形式 Min z s t ci2 1 i 1 2 3 问题 2 在使得 ci1 i 1 2 3 全部小于国家标准浓度 1mg L 的前提下 使得 z 最小 求 xi i 1 2 3 可以将问题写成规划问题的标准形式 Min z s t ci1 1 i 1 2 3 在此给出本题的基本假设 都是理想化的 但是根据这些假设就 可以利用题目中给出的数据进行以质量到未知量的转化 并可以引入 了若干的合理的约束条件 完善模型 1 每一个污水处理站都具有降低污染物含量的能力 2 每一个出水口的污水浓度变化 都满足体积不变原则且不能发生 清华大学数学实验报告清华大学数学实验报告 化学反应 即不同浓度的污水混合后 溶质质量不变 总体积为两者 算术和 3 整个江面上除了处理站污水出口外 无其他水源汇入 对于问题 1 目标函数为 z 1050 5 5 5 x1 x2 x3 T 约束条件为 100 x1 0 60 x2 0 50 x3 0 5x1 800 1005 4 5x1 5x2 720 1010 2 7x1 3x2 5x3 432 1015 对于问题 2 目标函数为 z 1050 5 5 5 x1 x2 x3 T 约束条件为 100 x1 0 60 x2 0 50 x3 0 0 9 5x1 800 1005 0 6 4 5x1 5x2 720 1010 清华大学数学实验报告清华大学数学实验报告 解答 问题 1 MATLAB 程序 运行结果 故最少需要花费 489 5 万元 从结果可以看到 三种方法最终得到的 结果是相同的 但是采用大规模算法迭代次数比较多 这里由于 n 3 可以说是一个超小规模的情况 但是并不能说明大规模算法一定需要 较多的迭代次数 问题 2 MATLAB 程序 计算方法 X Min z 万元 迭代次数 Largescale 41 21 1 50 489 5 5 Largescale off 41 21 1 50 489 5 3 Simplex on 41 21 1 50 489 5 3 c 5 5 5 x0 80 40 20 给定初值 A1 5 0 0 4 5 5 0 2 7 3 5 给出约束矩阵 b1 205 290 583 约束矩阵右端相 v1 0 0 0 上界 v2 100 60 50 上界 opt1 optimset largescale off 采用中规模算法 opt2 optimset opt1 simplex on 采用单纯性算法 x f ef output lag linprog c A1 b1 v1 v2 x0 采用大规模算 法 z 1050 f 清华大学数学实验报告清华大学数学实验报告 运行结果 故最少需要花费 188 33 万元 结果分析结果分析 在第一种约束条件下 即要求江面上所有地段的水污染达到国家 标准 在实际情况中 对于环保要求是完全符合的 但可以看到最终 所需的花费是巨大的 在第二种约束条件下 花费被大幅度的降低了 可是从结果可以 看到 排污口本地的污染物浓度却大大的增加了 排污口本地下游超 标非常严重 对于 2 3 号处理站点 在这种节省成本的模式下 完 全不需要运行就可以利用自净能力达到标准 这样虽然节约了资金 但是却使得排污口之间的江面净化污染的能力达到饱和 比较理想的做法是 根据地区经济和地域情况制定可地区排污口 c 5 5 5 x0 80 40 20 A1 4 5 0 0 2 7 3 0 b1 285 578 v1 0 0 0 v2 100 60 50 opt1 optimset largescale off opt2 optimset opt1 simplex on x f exitflag output lag linprog c A1 b1 v1 v2 x0 z 1050 f 计算方法 X Min z 万元 迭代次数 Largescale 63 33 60 50 183 33 5 Largescale off 63 33 60 50 1