数学物理方程1 电子科技大学 李明奇.pdf

0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 1 数理方程与特殊函数数理方程与特殊函数 数学科学学院 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 2 数学物理方程 数学物理方程 作者作者 李明奇 田太心 购买地点 教材科 李明奇 田太心 购买地点 教材科 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 3 课程的背景 课程的基本要求 课程的背景 课程的基本要求 常微分方程常微分方程 积分方程积分方程 常用算子常用算子 积分公式积分公式 物理 力学 电磁学 自动化工程 生物工程等领域中 需 要研究某物理量和其它物理量之间的变化关系 这种关系在 数学上体现为函数关系 物理 力学 电磁学 自动化工程 生物工程等领域中 需 要研究某物理量和其它物理量之间的变化关系 这种关系在 数学上体现为函数关系 物理学中的大量定律和性质 例如 在弹道设计中求导弹飞行过程中某时刻的飞行路程 物理学中的大量定律和性质 例如 在弹道设计中求导弹飞行过程中某时刻的飞行路程 S t 飞行高度 飞行高度H t 速度 速度v t 1 牛顿第二定律牛顿第二定律 F m a a 物体加速度物体加速度 F 合外力合外力 m 物体质量物体质量 2 Fourier热传导定律热传导定律 u Q n Q 热量热量 u 温度温度 热导率热导率 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 5 如果微分方程中涉及单因素 一个自变量 这种方程称为 常微分方程 如果微分方程涉及多因素 多个自变量 这时 方程中出现的导数是偏导数 相应的方程称为偏微分方程 如果微分方程中涉及单因素 一个自变量 这种方程称为 常微分方程 如果微分方程涉及多因素 多个自变量 这时 方程中出现的导数是偏导数 相应的方程称为偏微分方程 0sin 2 2 a dt d 22 2 22 uu a tx 单摆单摆 t 弦振动弦振动 u u x t 数学上的方程表示 数学上的方程表示 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 6 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 7 对于对于n阶常微分方程的解 通解中带有阶常微分方程的解 通解中带有n个任意常数 例如一 阶常微分方程 个任意常数 例如一 阶常微分方程y f x 0 x x yf t dtC 偏微分方程偏微分方程 2 yxf yx u 解可以表示为解可以表示为 00 yx yx u x yfd dw xv y 本书主要讨论的物理过程分为三类 本书主要讨论的物理过程分为三类 振动与波 机械的 电磁的 振动与波 机械的 电磁的 波动方程波动方程 2 ttxx ua u 输运过程输运过程 扩散方程 热传导方程扩散方程 热传导方程 2 txx ua u 稳定过程 平衡状态 稳定过程 平衡状态 拉普拉斯方程拉普拉斯方程 0 xxyyzz uuu 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 9 常微分方程常微分方程 1 可分离变量的一阶微分方程可分离变量的一阶微分方程 f x dxg y dy dyy f dxx 2 齐次方程基本形式为齐次方程基本形式为 3 一阶线性微分方程基本形式为一阶线性微分方程基本形式为 yp x yq x 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 10 4 贝努里方程贝努里方程 n yp x yq x y 5 可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程 yf x y yf y y 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 11 1 2 121 nnn nn ya x yax yax yax yf x 1 2 121 0 nnn nn ya x yax yax yax y 1 2 121 0 nnn nn ya ya yaya y 线性微分方程线性微分方程 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 12 8 欧拉 8 欧拉 Euler 方程 方程 1 1 11 nnnn nn x yp xypxyp yf x t xe 0 1 1 n t n k k pD DDkyf e 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 13 9 9 Bessel 方程方程 222 0 x yxyxy 2468101214161820 1 0 5 0 0 5 0 J x J0 x J1 x J2 x 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 14 10 勒让德方程10 勒让德方程 2 1 2 1 0 1 1 xyxyn nyx n 3 n 0 n 1 n 2 0 0 20 40 60 81 1 21 4 0 5 0 0 5 1 1 5 2 2 5 3 3 5 4 pn x x 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 15 常见积分形式及物理意义常见积分形式及物理意义 不定积分 定积分 二重积分 三重积分 曲线积分 第一类曲线积分 第二类曲线积分 曲面积分 第一类曲面积分 第二类曲面积分 黎曼积分 勒贝格积分 不定积分 定积分 二重积分 三重积分 曲线积分 第一类曲线积分 第二类曲线积分 曲面积分 第一类曲面积分 第二类曲面积分 黎曼积分 勒贝格积分 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 16 细金属丝的质量细金属丝的质量 x f x x x dx L O f x x xi xi 1 xiL O i 1 n ii i fx 0 L f x dx 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 17 薄金属片的质量薄金属片的质量 2 yyx a b D 1 yyx 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 18 铅球的质量铅球的质量 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 19 Green Green Green 公式 公式 xy L D p x y dxq x y dyqx ypx y dxdy 斯托克斯 斯托克斯 Strokes 公式 公式 L S dydzdzdxdxdy p x y z dxq x y z dyr x y z dz xyz pqr L S A drAds 积分公式积分公式 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 20 高斯 高斯 Gauss 公式 公式 xyz SV p x y z dydzq x y z dzdxr x y z dxdypqr dxdydz SVV A dsAdvdiv Adv 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 21 Df xfx xyz 222 222 xyz 常用算子常用算子 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 22 grad uu div AA rot AA 2 uugrad uu AAA 0u 0A 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1