数学分析七大定理的相互证明.pdf

放 久 籀互 兰竺 竺 兰苎 兰 鏖 一 数学分析七大定理的相互证明 一 李寒 一 数 学分析 中的单调 有界性定理 闭区 间套 定理 确界存 在性定理 He i n e BOr e l 有 限覆盖 定理 We ie r s t r a s s 聚点定理 致密性定理以及 C a u e h y收敛准则 虽然它们的数学形式不同 但 它们都是描述 了实数集 的连续 性 一 在数学分析 中有着举足 轻重 的作用 为方便读者 我们 叙述 如 下 定理 l 单 调有 界性定理 单 调有界数列必存 在极限 定理 2 闭 区间套 定理 设有 闭区间列 I a 6 满足 1 6 3 I a 3 3 6 3 2 l i m a 0 一 则存在唯一数 使得 6 1 2 或 n 6 定 理 3 确界存在性定理 若非空数集 E有上 界 下界 则 数集 E一定 存在上确界 下 确界 若确界存在 则不难证明确界一定唯一 定理 4 H e l n e BOr e l 有限覆盖定理 若开区间集 s覆盖闭区间 6 则在 s中存在有 限个 开区间也覆盖 了闭区间 定理 5 We i e r s t r a s s聚点定 理 数轴上有 界无 限点集 E至少有一个聚点 定理 6 致密性定理 有界数列 必有子数列 收敛 定理 7 C a u c h y收敛 准则 数列 收敛 对 于任 意 E o 存在 正整 数 N o 当 有 口 一口 0 存在正整 数 0 任意 时 U E 所 以 U E 含有 E 中无限个 互 异 26 维普资讯 点 根据聚点定义 是 E的一个聚点 因此有界无限点集 E至少有一个聚点 定理证毕 2 2 由致密性定 理到单调有界性定 理的证明 证数列 z 单调有界 设 单 调递增 由致密性定理 中存 在收敛 的子数 列 设l m 即对 于任 意 e 0 存在 正整数 N 0 任意 有 l 一 l e 1 显 而 易 见 n 总存 在 使 晶 如 图所 示 从而也 即 0使 I I 一1 2 3 成立 由确界存在定理 不妨对于每个 自然数 下述两种数列 存在 口 一 i n f 口 d 1 一 s u p I a 1 显然 一1 2 3 由 的有 界性 不难 推知 凤 也是有界的数列 再 由确界存 在定 理 存在确 界s u p i I t f 由上 下极 限的有 关定理 知 I l i m i n f fl l i m 一 l l m 一 s u p 为 C a u c h y列 即对 于任意 0 存在正整数 N 0 任意 大于 m 有 一 I 不 妨 m 故 一 口 取 极 限 一 得 l l m l i ma l i ra 一 2 e 再 由 e的任意性 知 l i m l i m 即l i ma l i me 有 限量 从而 I i m 存 在 定理证毕 2 4 由闭区间套定理到单调 有界性定 理的证明 证设 a 为单调 有 界数 列 一 不妨设 为单 调递增 数列 有 上界 b 取 b b 得 闭区 间 b 取 啦 中点竺 若 竺 n 口 日 i 1 2 3 取 Ta 2 b I 否则 取 b 得闭区 间 c f 6 n b 1 依 次 类推 不 断 分 割 若已 经得 到 一 一 若 学 b i n 口 H I 1 2 3 取 6 一兰 否 则取 6 一 不难 证明闭区间列 满 27 维普资讯 足 闭区间套 的两个条件 1 d 1 b 1 3 d z b 2 3 3 3 2 l i ra 6 一 d 0 于是 有 闭区间套定 理 存 在一点 铂 1 2 且 d 一 o 因此单调 递增 的有界数列存在极限 同理可证 单调递减的有界数列 n 也存在极限 定理证毕 2 5 由 We i e r s t r a s 聚点定理到 C a u c h y 收敛准则的证明 证类似于 2 3 仅须证 Ca u c h y列 为收敛列的情形 设 为 C a u c h y列 从 而 为有 界 数列 不 妨设 n n 6 1 2 下面利用反证 法 假设 不收敛 即 n 阳 中任何一点 c都 不是 的极限 则必存在 c 0 o 对 任何正整 数 至 少存 在一个 自然数 m M 使得 l d 一 l e 0 由C a u c h y收敛准则条件 对于给定的e 0 一定存在正整数 不妨取 当 有 l 一 l N 有 l H c l l 一 l l H d l 从 而 在0 一 导 粤 中 只 包 含 a M 中 的 有 限 项 另 一 方 面 有 界 由W e i r s t r a s s 聚 点 定 理 可得 必有一聚点 d 即对于V e o 邻域U 含有 中无穷多个点 这与对 于v 口 阳 c c 昙 只包含 峨 有限 个点矛盾 定理证毕 致谢作者在写作过程中 张太忠老师给予了极大的帮助 特此感谢 参 考 文 献 1 机玉链 傅沛仁 数学分析讲义t 上册 j t 京 t 高等教育出版社 1 9 9 8 2 胨传璋 柬学爽 盎椰 瞄 等 数学分析t 上册 北京t 高等教育出版社 1 9 8 3 3 周性伟 刘立民 数学分析 上册 天津t 南开大学出版社 1 9 8 6 4 王向东 数学分析的概念和方法 上海 上海