数学奥林匹克高中训练题_173_.pdf

2014年第 1期 43 缴奢奥鑰醛氬鑫令 錄龜 173 中图分类号 G424 7 9 文献标识码 A 文章编号 10 05 6416 2 014 01 0 0 43 0 6 第 试 证明 i g 2 丄 6 0 1 已知直线 3 在 Z 上任取 一 点P 右 a b 过点 5 且以双曲线12 4 y 2 3的焦点作椭圆 的左 右焦点分别为 F 2 过点 f 且倾斜角为0 的焦点 则具有最短长轴的楠圆方程为 的直线 I 与椭圆 C 交于点 A B 若 cos 6 I 2 在四棱锥 1 MCZ 中 已知四边形仙C Z 为矩形 且仙 4 抓 3 以 洲 尸 即 5 3可 5 來 且 4 C 与 BD 交于点 0 M为边PC的中点 则 0M 与 丨 求楠圆 c 的方程 平面 PBC所成的角 为 若 是酬C右准线上的两个动点 3 在m 名学生中 巳知任意三人中有两人互 且 io f F i P Q的内删圆心 M的轨迹 相认识 任意四人中有两人互相不认识 则 m 的 方 程 最大值为 1 1 20 分 设 6 R i 1 2 r a r a 2 4 设 r a 0 i 2 m m 为奇数 则 C L C L 冲 1沾且小八 m 6N m彡2 且L x 7 其中 左 0 7 爪 为给定 e g 1 的最大公因数为 1 5 若r a 为大于 1的正整数 则 的正实数 令 识 1 求见的值域 i s 2k 4 t c 6 TT 2nK C OS C OS COS COS n n n n 加 拭 6 宏教 z满足 一 4 0分 在 Rt 中 已知 为 斜 知m y 满足 边 汕上的高 2分别为 汕c 厦 xyz x y y z zx x y z 3 A BDC 的内心 丄 A f i 于点 直线 W 与 则 町z as y 2 的最大值为 与 A C顺与CD 分别交于点N M Q 证明 7 设方程V 13x 1广 0 的 10 个复根 qe JLci 分别为 则 二 40 分 若 e R 为某 一整系数多项式的 根 则称 为 代 否则 称 为 超越数 证明 七 5 5 1 可数个可数集的并为可数集 8 将编号为 1 2 9的几颗珍珠随机固定 丨 在 一 串项链 M 每颗 珍珠 的距M等 记项链 三 50 分 对任意 个正整数M 设其十进制 上所有相邻珍珠编 号之差的绝对值之和为 T 则 軸为w a t 证明 存在n Z t 使得3 n 的十进 m得最小值的放法的概率为 制表达的前 M立为响 二 解答题 共 56 分 四 50 分 u 个兴趣班 若干学生参与 可重 9 16 分 巳知数列 丨满足 复参与 每个兴趣班人数相同 招满 人数未知 2 已知任意九个兴趣班包括了全体学生 而任意八 十 h 3n 2 5n r 个兴趣班没有包括全体学 生 求学生 总人数的最 k k l k 2 4 n 2 3n 2y n 小值 44 中 等数 学 参考I案 首先 2 1 C l 2a 第 一 试 易证 2 丨丨 义 七 仏这是因为 1 x L l iQ n 2nC 2 n l l i 2n 1 5 4 2 故 cL c L t 1 的最大公因数为 2 1 依题设楠圆的方程为 7 1 由于楠圆 5 a m 1 m 2 B gf c ri 贿最短长轴 从而 楠圆与直线 I相切 解得 m 4 g cos Re g e 0 2 arcsin 6 3 4 1 取边 BC的中点 则丄 f lC f 丄5C 当 时 3 X 1 从而 BC丄平面P 0 只 需证明 过点0作 OF 丄P 则O F丄平面P BC 于 注意到 是 Z OA f 为所求 21u 27X y z X y z 因为伽为 R tAPOC斜边的中线 所以 各 y z x y z 于是 x y 设 QHf 0 P 0 E 10万 又 又 0 r i 从而 y 1 匕 v 91 x y y z zx 3x yz x y z iu ainZ0MF A 则 由式 知 OM 91 3 x yz xy y z zx x y z 故 O M 与平面 P f iC 所成的角为 arcsin f 2 3 8 从而 l0 T 4 x7 种 1 T T3 r a 9x2 口 lo Wm A Jk 2 在项链所在的圆周上 从 1 9 有优弧和劣弧 i jt 3 1 两条路径 设 八 内是依次排列在这段弧上 2 6 种 11 1 3 g 故所求概率为占r 忐 二 9戲 c 2 则 n 口 会 k k l k 2 因 为对任 意的七 巧 e R r a G N S 3 2 Xl 2 5 Xl 2 n 5 2 均有 1 1x2x3 4 1 2 3 x 1 2 1 33 3 3 当 时 W r e W n n l n 2 H 所以 j 9 RtF 4 n 2 3 2 4 n l 2 3U l 2 又当九二 时 有 j 丄 i rr n 3 n 3 n n l n n l n n 2 1 1 广 o Vi y 于是 a l r a Z 从而 所证不等式转化为 则 歹 7 n 1 3 A ll X X J iL 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 l Vn n n l r e l n 2 J 2 3 n 2 2 w 丄丄丄 丨 i 1 i 1 当 r e l 时 8 2 7 2 l l2 i l n 2 J 不等式 的右边 士 o i啡i 善 点 吴 替 lo f i f f 2 3 k 1 2 由 当 n f c l 时 过点B 作抓丄叫于点 71 y j 2 1 贝 I J IT I lABIcos d 8ic os 0 46 中等数学 IAF 1 If i F I 丨 丨叫丨 由 l T T T e 丑 5 1 e 所以 点 AT的轨迹方程为 I7M I AA I IDO I 2 t 24 fx 169 2 3 38 2 169 x119 T A lAA I IB B t I t x y e 5 144 5 J 2 5 c 5 12 5 e 一 a c X S wdp 4 ylf il 2c8in 0 ic Im 跳 i 5 y r i a 2j yr r 根据余弦定理得 由 琴生不等式得 f l 3 UF IF F IAF 2 co T 2 L4W 2 I S z f i T Z V 25t l 4c 2 2 a 5 Q 2 n n y n 2 x x 2c i rp 士 3tc c 2 a 2 5at 将 a 号 c 代人式 得 t c 又 f a c a a mil c 32 119 2 3 808 1 则 5风 口兩 c kx o a m 2 1 7 W c 2 25 a 2 c 2 144 f ec a f e a a a 25 6 2 o j C 2 119 2 kX i a kx i a m a a 故捕圆 C 的方程为 记 A M a kx a a a 2 设点 M y 由 0 七 0 a f cc a A r a 则内切圆 M的半径r a A 2 C 故 A kT a a kT a m a卞 4 f IP F 1 l lWl 10 169 结 合式 得 i 1 x i i P F l I Q F l I 44 10 a m kT a m a 1 七 a m 了 龙 丨 i 过点 财作船 丄于点 欠 联结抓丨 则 奸 十 a XT J 5 当巧 2 1 0 时 2014年第1期 47 W r e 1 a kT a 故 QE 丄 2 且 QE 2 2 又Z CB Z CBM Z A CB 90 则 加试 B 丄 C 一 如图 1 作Az丄仙于点 z 2 yi y4f i 于 同理 4 丄c 2 点 K设Z CBA 2a 于是 为 c 2 的垂心 故CI丄1山 C 由幺碼 斗 45 o 180 o Z 2f i 45 180 2a 90 45 a 90 a Z 肌 知 2 Z asin45 C 1 A X DE Y B im Q EjiCI 图 1 二 1 设A 2 为可数集 注意到 因为n 丄 仙 4 C CD 题中所述的可数集有可数个 则可对这些集合进 2 行自然数编号 AE AB AC BC 设 K c os oL j 对固定的 a i a 有可数种取值 又 a 有可数 Sm BM Sm a C S2a 种取值 由 1 知可数个可数集的并为可数集 因 知 7a Sm 此 a a 有可数个 l x N CN cos 2a Q N 因此 以i 7仏 ii 假设a 广 1 有可数个 同理 对固定的a 则 a y 1 0 f l l g 3 三 先证明 一个引理 2 引理 对任意的无理数a 实数 6 c c 0 由 引理 知存在 m nG Z 使得 均存在正整数 使得 Ina m 61 c l g M l l g 3 l g M l g A l 肌 证明 将数轴模 a 分段 t 2 2 记 n m0da r a G Z 0 d a l g M l l g M 则对于 W G Z 有 d n d n 否 故 l g M m l g 3 lg A 1 m 则 n 丨 n 2 d t d n 0 moda 又 l g z单调递增 于是 于是 ca r a 2 G Z 10U g 9 e Z 四 设 11 个兴趣班的学生组成的集合为岑 a区间均分为 9份 则每 份长度为 意舰 丨 IA n 处于 由 题设 知任意九个集 合的并为 7 任意八个 a 集合的并是 T的真子集 n 2 构 造 个表格 若学生A 则在第 行第 则 k 运n n 2 d n d n i mo d a 列的格子中填 1 否则填 0 因为K d j 2c 所以 必存在 s G Z 使 由条件 知任取其中八个集合的并不是 7 即 sk s mod a i c s m od a 任取八列必有 一行 与其的交叉的格子均为 0 称 b c s 2 mod a 这种 至少含八个 0 的行为 零行 再由条件任 取九个集合的并 是 7 则任意两 是 o 2 O 2 个零行不是同 行 sk s 于是 构成每 8 列到 一行的单射 此时 取 r a d r a 有 故 丨 名m b c m an b c 另 一方面 每行填 3 个 0 任两行填的 0 的列 故 丨na m 61 C 不全相同 共C i种填法 而G C n 故恰每行填 一种 方法 此时 恰满足题目 eM e M l 综上 学生总人数最小值为 C 丨 165人 取 6 马佑军宋晓宇 重庆巴蜀 中学 4 0 0 013 上接第 22 页 6均为偶数 故图 3 中的 4 个矩形均可被若干个 先紧密地放置 一个 3 L 和 一个 A 3 L 1 L 覆盖 由归纳假设