三角函数的性质测试题.pdf

露 中学教学教 学参考 2 0 0 5 年第4 期 数学竞赛单元训练题 高中 o 三 角 函 数 帕 性 质 西北工业大学附中陆坷 一 选择题 1 已知 0 若函数 z 4 s i n C O S 在区 间 一 号 号 上 单 调 递 增 则 的 取 值 范 围 是 A 0 号 B 0 C 要 o D 1 o 2 函数 6 3 z z一 zER 的最大值 是 A 3 2 B 1 6 c D 3 在 AAB C 中 设 优 s i n A s i n B S i n C s C O S 芝 B C O S C 则 优 的大小 关系 是 A 优 B 优 C 优 D 无法确定 4 已知z 0 要 则M 3 z 3 的整数部 分是 A 2 B 3 C 4 D 6 5 已知 口 y 0 詈 且满足 C O S口 口 s i n 6 卢 卢 c o s s i n 7 y 则 a 卢 y的大小关系 是 A 口 y B 口 y 卢 C 口 y D y 口 卢 6 优 表示不超过实数 优 的最大整数 则函数 z 专一 专卜I s i n z I 的 最 大 值 是 A 一 B 1 C 1 D 不存在 二 填空题 7 已知 z 为奇函数 g x 为偶函数 且 f z g z z 一 号 号 则 z 一 g x 8 已知 函数 s i n N 则 1 3 f 5 f 1 0 1 的值为 9 已 知口 卢 0 号 贝 0 优 2 c o s a 一 卢 c o s 的最小值是 1 0 已知集合 M 是满足下列性质的函数 f x 的 全体 存在非零常数 T 对任意 z R 都有 f x T r f x 成立 若 函数 f z s i n o x c M 则实数 的取值范围是 1 1 若I lo 号I 0 解 得0 号 Cu J 二 2 A 因为 s i n x C O S x 1 一e o s x s i n x 1 一 C O S z 2 s in 2 z s in 2 专 8 s in 专 专 4 s i n 2 专 s in 2 s in 2 2 o 号 s in 2 号 2 号 4 4 号 3 2 当 且 仅 当 s in 2 专 2 专 即 ta n 专 时 上 式 等 号 成 立 所 以 j 一 舅 说明 若令 t C O S z 一1 t 1 则 j t 一t 一 t 1 这时利用导数求 的最大值可能会更简单 3 C 在 AB c 中 有 s i n A s i n B 2 s i n丛 尘 2 c o s C尘 2 c o s百 C 同理 s i BC O S Z o o s C O S Z O O S s i n J 下 下 百 I J 维普资讯 中学数学教学参考 2 0 0 5 年第4 期 蠢 爨 蘑 蘑 s in C 2 c o s A s in C s in A 2 o s 导 三 式 相 加 得 s i n A s i n B s i n C 3 另一方面 令f s in 2 z 0 f 1 则M 3 3 3 号 在 0 吉 上 单 调 递 减 在 吉 1 上 单 调 递 增 故M m a x l 3 3 3 4 综上所述 3 M 4 即 M 的整数部分 3 说明 下面给 出 3 3 4的另一种证法 因为 0 s i n 2 z 1 所 以 1 3 3 则 3 一1 3 一3 0 即 3 2 s i n 2 3 4 3 两边同除以 3 得 3 3 卜 4 即 3 J 3 4 5 C 若 a 则由Y c o s z在 0 詈 上是减函 数 得0 c o s 8 c o s 口 口 詈 所以 s in c o s c o s o s口 口 这与 口矛盾 故 口 若 口 y 则由0 s in y y a c o s y c o s口 口 这与 口 y矛盾 故 口 y 综 上所述 有 a y 6 D 因 为0 专一 专 1 0 l s in z l 1 所 以 厂 z 一 一I s i nzI 11 一 n 1 所以可排除 A B 故应选 D 二 填 空题 7 一 2 o s z 因 为 厂 z g z 所 以厂 一 z g 一 z 1 c o s 2 x v 1 1 c os 2 z 卿 一 厂 z g z 亦 即 厂 z 一 g z 一 故 I f 圳 一 g x f z g z f z 一g z l 1 c o 8 2 x f l 1 c o 8 2 x 一 1 c o 8 2 x T L 一 丁面 一 2c o s Z x 一 一 zc os z c os Z 8 因为 厂 2 一1 s i n 是周期 为 6 的周期函数 且 厂 1 厂 3 厂 1 1 一 1 又从 1 到 1 0 1 有 5 1 个奇数 而 5 1 8 6 3 所以 f 1 f 3 厂 5 f 1 O 1 一 厂 1 厂 3 厂 5 1 3 21 1 上 2 2 2 3 4 9 3 不 妨 设0 a 号 则0 a 一 号一 8 詈 0 a 号 等 由 余 弦 函 数 在 0 上 是 减函 数 得 2 c o s a 一 c o s a 2 o s 一 o s 号 导 o s 8 sin sin 号 又 号 号 警 所 以 s in 号 譬 从 而m 号 故 当 a 号 0 时 m rch n 号 1 0 6 0 l 6 0 走 走 Z 当 6 0 0时 f z 0 M 当 m 0时 因为 f z s i n a z c M 所 以存在 非零 常 数 T 对 任 意 z R 有 s i n t r T Ts i n o x r 即 s i n a z c c o s o T c o s o A s c s i n w T T s i n t r 取 z 0 得 s i n o T 0 从而对任意 z R 有 c o s T s i n t r T s i n o u s t7 即 T c o s T 1 代入 s i n T 0 得 k n k Z 1 1 9 因 为一 2 lo g 詈 2 所 以 a 又 厂 z s in x a s in 一 z a 2 s in a 詈 c o s x 一 号 为 偶 函 数 所 以s in a 号 0 得a 走 一 号 走 z n l k 一 号 得 1 走 1 所以 1 走 9 故这样的实数 a有 9个 1 2 1 因为f x 詈 厂 z 所以厂 z 是 以 号为 周 期 的 周 期 函 数 又f 7 z f 7 一 z 所以厂 z 的 图 象 是 以 直 线z 詈为 对 称轴的 轴对 称 图形 因 此 只需求函数厂 z 在 0 上的最大值即 可 这 时 厂 z s i n z s i n 4 2 x c o s z s i n z 号 s in 4 2 x 在 0 号 上 是 增函 数 故f x 一 厂 詈 1 三 解答题 1 3 厂 z 在 区间 一 1 1 上是奇函数 f O 0 即 a l et a n 2 c 0 得 c 一a l e t a n2 f 下 籍 第 5 8页 维普资讯 帮 黪 中学数学最学参考 2 0 0 5 年第4 期 数学竞赛单元训练题 初中J o 三 角 形 昀 四 心 安 徽 省 安 庆 市 第 一 中学江厚利 湖北省武汉市第三初级 中学桂文通 一 选择题 1 设 0 H 分别为 Rt AB C的外心和垂心 且 O H d 则 R t C面积的最大值为 A d B 2 d C 3 d2 D 4 d2 2 已知 0 f分别为 A B C的外心和内心 0 f 关于直线B C的对称点分别为0 j 若 A B C四 点共圆 则点 0 的位置是 A 在 00 内 B 在00 上 C 在 00外 D 与00 的关系不确定 3 在 AB C中 B C 5 G j 分别为 AB C的重 心和内心 若 G I B C 则 AB AC的值为 A 8 B 9 C 0 D 1 2 上接第 5 7页 下面证明 在区间 一 1 1 k z a r c t a n 当 z C 一 1 时 宅 号 o z a r c t a n z 一a r c t a n 2 a r c锄 一 a r c t a n 2 号一 0 J C t a n 2 一 号 号 因此 xC 一 1 时 一 一 z 一 号 号 又 t a n f x 一2 x t a n 一f 一z w a n a r e t a n 2 一呲 t a n t a n f x W a n 一f 一z z 一 一 z 一 詈 f x f 一z z 为奇函数 1 1 s i n a s p s i n 8 s 7 s i n y c o s a C O S a s i n p f s in a C O S a 1 f I s in p 6 p 1 I f s i n y O O S y 1 f 设 A s i n a O O S a B s i n p O O S p C s i n y 4 已知锐角 AA B C的三 边长互 不相 等 D 是 B C 边上 一 点 B A D C 9 0 那 么 AD 必 通 过 AB C的 A 夕 心 B 内心 C 重心 D 垂心 5 如图 1 在 AB C中 G为 重心 j为 内心 若 AB 6 B C 5 C A 4 则 G I A C B D 古 图 1 C 6 设 0 和 j为平 面 上 两个 定 点 以 0 为外 心 一 O O S y 则 I I 2 S A B C 显然 A B C是单位圆 j 1 上任意三点 因为当且仅当AAB C为正三角形时 S 胍 的最 大 值 为 所 以 I I 学 故 一 华 一 华 说明 上面的解法应用了行列式 我们企盼读者能 给出一个完 全的初 等解法 1 5 设 T是函数f x 的最d x i E 周期 则有 T f O 即