数学史融入数学教学的实践他山之石.pdf

2 0 1 4 年第5 3 卷第2 期数学通报 1 3 数学史融人数学教学的实践 他山之石 吴骏1汪晓勤2 1 曲靖师范学院数学与信息科学学院 6 5 5 0 1 1 2 华东师范大学数学系 2 0 0 2 4 1 在课堂里 我们学习数学就好像置身于一个 孤岛上似的 每天去岛上 埋头钻进一个纯粹的 洁净的 逻辑上可靠的 只有清晰线条而没有肮脏 角落的书房 学生觉得数学是封闭的 呆板的 冰 冷无情的 一切都已发现好了的 1 这就是B i d w e l l 所说的孤岛上的数学 这种现象在数学教学 中并不少见 如何摆脱这种困窘呢 B i d w e l I 进一 步指出 在数学教学中融人数学史 可以将学生从 数学的孤岛上挽救出来 并将他们安置于一个生 机勃勃的新大陆上 这个新大陆包含了开放的 生 动活泼的 充满人情味的并且总是饶有趣味的 数学 1 H P M 成立以来 特别是2 0 世纪8 0 年代以 来 国外数学教育家 数学教师对于数学史在数学 教学中的具体运用进行了积极探索 开发了大量 成功的案例 对我国具有重要的借鉴作用和参考 价值 1 数学史融入数学教学的方法 国外一些学者 提出了数学史融人数学教学 的不同方法 F a u v e l 总结了数学教学中运用数学 史的方法 共有1 0 种 z 1 介绍历史上数学家的 故事 2 运用数学史引入新概念 3 鼓励学生理 解以所学概念为答案的数学史问题 4 讲授 数 学史 课 5 利用历史上的数学教材设计课堂练 习和作业 6 举办数学历史主题的展览 7 运用 历史上的主要例子来说明方法和技术 8 探索过 去的错误 另类观点以帮助今天的学习者理解并 解决困难 9 借鉴历史发展设计一个话题的教学 方法 1 0 基于历史信息设计大纲范围内主题的 顺序和结构 T z a n a k i s 和A r c a v i 总结了数学史在数学教 学中的三种运用方式 一是提供直接的历史信息 二是借鉴历史进行教学 即发生教学法 三是开发 对数学及其社会文化背景的深刻意识 3 1 J a n k v i s t 则提出另三种方法 启发法 模块法和基于历 史法 4 3 我们将上述各种方法进行整合与改进 得到 附加式 复制式 顺应式和重构式四类 见表1 这 样分类的目的是为数学史融人数学教学创造必要 条件 即便于选择数学史在课堂教学中的具体实 施方法以及评估数学史融人数学教学应该达到的 程度 表1 数学史融入数学教学的方式 类别描述 F a u v e lT z a n a k i s A r c a v iJ a n k v i s t 展示有关的数学家图片 讲述逸闻趣事等 没有 附加式方法1直接运用法启发法 直接改变教学内容的实质 复制式直接采用历史上的数学问题 解法等方法2 8直接运用法启发法 顺应式 根据历史材料 编制数学问题 重构式借鉴或重构知识的发生 发展历史方法9 1 0间接运用法基于历史法 2 数学史融入数学教学的实践案例 国外数学史融人数学教学 迄今已积累了相 当多各层次的实践案例 以下按改进后的分类法 依次对例举的案例作一概述 基金项目 云南省教育厅科学研究基金项目 数学史融人中学统计概念教学的理论与实践 项目编号 2 0 1 2 Y 4 1 1 万方数据 1 4 数学通报2 0 1 4 年第5 3 卷第2 期 2 1附加式 讲述数学历史故事是附加式的一种主要形 式 其主要目的是激发学生学习数学的积极态度 对于启迪学生心智 吸引学生注意力具有不可低 估的作用 在数学课堂中讲述这些故事 不是为了 消遣 而是为体现数学的意义和价值开启一扇 窗口 F n h e r e 在自己的课堂教学中曾几次讲过古 希腊数学家埃拉托色尼 E r a t o s t h e n e s 测量地球 周长的故事 在夏至日的正午 埃拉托色尼在亚历 山大 A l e x a n d r i a 借助于一个垂直立竿及其投射 到地上的阴影 测量出太阳光线与竿的夹角 1 7 1 而同一时间 在埃及的塞恩 s y e n e 今阿 J 1 斯旺 太阳光可以直射井底 如图1 由于7 0 3 6 0 1 5 0 为夹角与圆周角之比 而塞恩和亚历 山大两地之间的距离为5 0 0 0 斯塔德 因此 两地 之间的距离与地球周长之比等于夹角与圆周角之 比 即5 0 0 0 z 一1 5 0 故地球周长为z 5 0 0 0 2 5 2 5 0 0 0 0 斯塔德 按照当时的单位换 算 1 斯塔德一1 5 7 5 米 因此测出地球的周长非 常接近于现代的4 0 0 0 0 公里的结果 5 叫3 图1埃拉托色尼测量地球的周长 图2 普拉铁阿人的城墙 B a k k e r 在教学实验中 讲述了历史上运用众 数概念的故事 7 3 第一个使用众数的例子 可能出 现在雅典和斯巴达战争中发生的故事 如图2 在 公元前4 2 8 年冬天 普拉铁阿人被伯罗奔尼撒人 和皮奥夏人包围 不久 他们开始出现粮食短缺 处于绝望之中 由于从雅典人那里获得援助已经 没有希望了 也看不到其他安全突围的方法 普拉 铁阿人和被包围的一些雅典人计划弃城而去 他 们打算做梯子翻过敌人的城墙 而梯子的高度要 与敌人城墙的高度一样 因此 可以数敌人城墙上 砖块的层数来计算城墙的高度 在数砖块层数时 大多数人得到的结果可能是正确的 特别是那些 距离城墙不太远 能看清城墙的人多次数的结果 这就是众数 然后再根据砖块的厚度 计算出梯子 的高度 附加式的数学史材料可以用来追溯某一主题 的历史或介绍问题的历史背景 为学习相关主题 做铺垫 这些材料主要为学有余力 有好奇心者提 供探究机会 M c B r i d e 和R o l l i n s 进行了一项为期 1 2 周的H P M 教学实验 在代数课程的教学中 教师每次上课用5 分钟时间介绍相关内容的数学 史 实验前后采用统一的数学态度量表进行测试 结果表明 在数学教学中运用数学史知识 学生学 习数学的积极性得到显著提高 8 1 2 2 复制式 复制式的一个显著特点是在数学教学中直接 呈现历史上的数学问题 通过 做数学 来了解数 学的历史发展 从而加深对数学的理解 在阅读原 始文献时也会发现 一些认识论和哲学的思想也 会渗透到其内容之中 这样可以了解作者写作的 真正动机和目的 P e r k i n s 在女子学校通过让学生解决历史上 数学家觉得很难的概率问题来增强她们的学习自 信心 9 1 1 一次同时掷三颗骰子 比较出现9 点和 1 0 点的概率大小 伽利略与图斯坎尼大公 2 一颗骰子掷4 次 至少出现一次6 点的概 率 与两颗骰子掷2 4 次 至少出现一次双6 点的 概率大小 德 梅勒 3 一次同时掷6 颗骰子 至少出现一个6 点 的概率 与一次同时掷1 2 颗骰子 至少出现两个 6 点的概率大小 裴皮斯致牛顿 同时 用1 6 世纪初德国百科全书 知识明珠 万方数据 2 0 1 4 年第5 3 卷第2 期数学通报 1 5 M a r g a r i t aP h y l o s o p h i c a 中的两幅插图来引发 学生对 女性与数学 这一话题的探讨 两幅插图 中 各有一位优雅的女性 一个代表几何学 一个 代表算术 B a r b i n 在法国数学教师培训的课程中 比较 了三角形内角和定理在两个原始文本中的不同证 明 1 叩第一个文本是欧几里得的 几何原本 如 图3 在 A B C 中 延长B C 至D 过C 作C E 平 行于B A 因为么A B C 一么E C D 么B A C 么A c E 即得么A B C 么B A C 么A C B 一 么正 C D 么A C E 么A C B 1 8 0 BLD B1 图3 欧几里图4 克莱罗图5 克莱罗 得的证法 的想象的方案 这个证明有一个困难 即不知道为什么这条 平行线C E 会象变戏法一样出现在读者面前 克 莱罗 C l a i r a u t 的 几何基础 为我们提供了三角 形内角和定理发现的心理过程 正如他在 几何基 础 前言中所说的那样 他要用定理的最初发现者 的方法来引入几何定理 克莱罗在给出演绎证明 之前 让读者作一个想象 在 A B C 中 直线B C 绕B 点向右转动 则么A B C 逐渐增大 而么A C B 逐渐减小 但这两个角的偏离之和是相等的 见 图4 继续转动B C 直到平行于A C 变成雎 见图5 此时 么A B C 与么A C B 之和变成了 么A B E 相对于直线A B 而言 么C A B 与么E B D 有相同的倾角 即么C A B 一么E B D 故三角形 A B C 的内角和为一个平角 2 3 顺应式 顺应式需要对原始文献进行改编 数学史材 料的功能是古为今用 推陈出新 这类材料表面上 看已经没有了历史的痕迹 但它们既传承了历史 又顺应了时代 B a k k e r 根据平均数最早用来估计大数这一 历史现象 设计了以下两个教学活动 作为平均数 教学的起点 7 3 其目的是在学生学习平均数之前 培养他们对平均数的直觉能力 1 在一幅图片中 几百头大象不均匀地分散 在草地上 试估计这些大象的数目 2 一个热气球能承载8 个普通的成年人 如 果只考虑重量 那么这个气球可以承载多少个7 年级的学生 他还根据魁特奈特 A Q u e t e l e t 1 7 9 6 1 8 7 4 提出的 平均人 概念 编制了如下测试题 以考察学生对平均数在现实情境下没有实际意义 的理解 3 你如何理解 某城市平均每个家庭有2 5 个人 这句话 你能给出一些家庭人数 使得这些 家庭平均有2 5 个人吗 V a nM a a n e n 利用荷兰数学家舒腾 F v a n S h o o t e n 1 6 1 5 1 6 6 0 的圆锥曲线作图工具 编 制高中毕业考试题目 1 嵋其中一种椭圆作图工具 如图6 所示 短杆A B 可绕A 转动 A B 一口 长杆 B E 通过B 处铰链与A B 连接 B E 6 B E 上的 钉子D 可沿K L 移动 A B B D 舒腾说 当D 在 K L 上移动时 E 处的笔尖即画出了椭圆 甲 K L 图6 舒腾的椭圆作圄工具 1 若以A 为原点 K L 为z 轴 B E 与K L 的 夹角为9 用口 6 和妒来表示点E 的直角坐标 2 求点E 的轨迹的直角坐标方程 E 的轨迹 是否真的是椭圆 3 舒腾的这一工具是否适合椭圆作图 像用 圆规画圆一样 2 4 重构式 重构式是数学史最高层次的用法 发生教学 法即属于该方式 发生教学法的本质是追溯一种 思想的历史起源 以寻求激发学习动机的最佳方 式 1 2 在运用发生教学法时 需要根据重构的历 史进行教学 呈现知识的自然发生过程 重构的数 学史材料或直接呈现于新概念的引入中 或隐含 于某个知识点的发展过程中 R a d f o r d 和G u 色r e t t e 基于古巴比伦的 原始 万方数据 1 6 数学通报2 0 1 4 年第5 3 卷第2 期 几何 方法 设计了一元二次方程求根公式的教 学 并成功地在一些中学课堂实施 其主要教学过 程如下 1 3 1 几何方法之引入 教师先提出如下问题1 已知矩形的半周长等 于2 0 面积等于9 6 问矩形的长和宽各为多少 让 学生分组合作 讨论解决问题的方法 之后 教师在 黑板上用纸版拼图来解释古巴比伦的 原始几何 方法 取边长为1 0 的正方形 其面积为1 0 0 从中割 去一个边长为2 的小正方形 余下的图形的面积为 9 6 沿虚线割去一矩形 并将其竖直补到右边 于是 得所求边长为1 2 和8 如图7 所示 0 2 圈7矩形问题的几何解法 2 合作讨论与提出问题 教师让学生用几何方法解决类似的问题 但 此时割去的小正方形边长不再是整数 然后 教师 提出问题2 矩形长为1 0 宽未知 在长度未知的 边上做一正方形 正方形连同矩形的面积共为 3 9 求矩形的宽 花拉子米问题的几何形式 教 师在黑板上用纸版拼图来解释解法 设矩形的宽 为z 将矩形一分为二 其中之一粘到正方形底边 上 并补一边长为5 的小正方形 则新的大正方形 面积为3 9 2 5 6 4 故其边长为8 由z 5 8 得z 3 如图8 所示 1 0 皿 xx 5 四四 图8 新矩形问题的几何解法 3 求根公式之再发现 教师提问 根据前面的解题步骤 能否找到一 般公式直接求出问题2 以及类似问题的根呢 引 导学生用字母6 表示矩形的长 c 表示矩形与正 方形的面积之和 z 表示矩形的宽 得到z 2 k 尸c 则 厂 丽6 z 一 c 十I 虿J 一虿 接下来 教师让学生求出方程仳2 k c 的解 再考虑一般方程 2 如 c 一0 得到求 根公式为 z 二詈 去 2 一乏 或r 一二垒 型芝 生竺 一 2 口 为了得到所有的根 需考虑6 2 4 口c 的负根 于是得到公式z 一二鱼三生擘 型坐 类似的案例还有 F a m a k i 等借鉴1 4 世纪法 国数学家奥雷姆 N O r e s m e 1 3 2 3 1 3 8 2 用图 像表示运动的方法 设计了二类行程问题的教 学 1 4 3 P a n a g i o t o u 借鉴对数的历史进行对数概念 的教学设计 并将其付诸实践 1 s 3 综上 本文用 附加式 复制式 顺应式 和 重构式 四种方式 考察了国外数学史融人数 学教学的实践案例 但由于国内外数学教学上的 差异 这些案例未必适合于我们的课堂教学 他山 之石 可以攻玉 我们可以借助于国外成功的经 验 结合自己的实际情况 开发出更多数学史融人 数学教学的具体案例 这将是我国H P M 研究的 一个重要方向 参考文献 1 B i d w d l J K H u m a n i 弛y o t l fd 鸽s r o l 埘t ht h eK s t o r yo f m a t h e r m t i c S J 缸f m i c s 了k 如 1 9 9 3 8 6 6 4 6 1 4 6 4 2F a u v e l J U s i n gh i s t o r yi nm a t h 锄a t i c se d u c a t i o n J F 0 r k I M f n go 缸t M m f 话s 1 9 9 1 1 1 2 3 6 3T z a n a l i s C A r c a v i A I n t e g r a t i n gh i s t o r yo fm t h m a t i c si nt h ec l a s s r o o m a na n a I y t i cs u r v e y A I n J F a u v e l J vanM a a n e n E d s H i s t o 删i nM a 肋m c sE d 一 i o n T kf C M fs 地d y C D o r d r e c h t K l u w e rA c a d e m i c P u b l i s h e r s 2 0 0 0 2 0 1 2 4 0 4J a n k v i s t U T A t e g o r i z a t i o no ft h e w h y a n d h o w o f u s i n gh i s t o r yi nm a t h e m t i c s 下转第2 0 页 万方数据 2 0 数学通报2 0 1 4 年第5 3 卷第2 期 课本例1 的教学实施 与预想基本一致 课本 如此简练的证明对学生而言却并不是一蹴而就 如前所述 学生之间相互质疑 探讨很激烈 由此 使他们体会了应用定义证明的难度 也就激发了 探究判定定理的强烈愿望 教材的逻辑意图不言 自明 通过 直观感知 操作确认 并强化了探索过 程 判定定理的得出似乎顺利 但判定定理的应用 则有些出乎意料 巡视学生证明例2 有一种证法 令人意想不到 但却有一定的代表性 简证 连接A 1 C 1 D l c 交B D 于O t 设A C 彳 与B D 交于点0 连 结0 0 因为B D 上D D D D 0 0 所以B D 上0 0 又因为0 0 A A 所以B D 上A A C 所以B D 上平面A A C 这种证法可能是受平面几何思维定势影响 学生对 相交垂直 根深蒂固 异面垂直 总有不 踏实之惑 当然 本例中由A A J 面A B C D 得出 A A 上B D 是应用定义的性质 但部分学生没能 灵活应用 上述问题表明 笔者在教学设计时还没能完 全把握学生的思维 同时也说明 要破除学生平面 几何的思维定势 关键要不断增强空间感和空间 想象能力 本题如果增加一问 求证A A 上面 A B C D 也许会一举两得 以上从分析教材 把握学生认知 设计教学过 程以及反思教学实施等方面 探讨了如何在立体 几何教学中凸显逻辑关联 使教学更具连贯性 合 理性和科学性的问题 总而言之 要搞好课堂教 学 关键还是在理解数学 善于研究教材内在的逻 辑联系 准确把握学生的认知基础 在此基础上 设计具有思考力度的问题 促使学生展开探究 在 掌握知识的同时 学会思考 这样才能有效地实现 思维能力的提高 而理性精神的培养也就蕴含其 中了 参考文献 1 章建跃 构建逻辑连贯的学习过程使学生学会思考 口 数学通报 2 0 1 3 6 上接第1 6 页 e d u c a t i o n J E 矗鞋c 口f i o n 4 zS 扯d i e 5i 讹胁 抛 i f s 2 0 0 9 7 1 3 2 3 5 2 6 1 5 F 虹h e r e LH i s t Q r i c a ls t o r i e si nt h em a t h e m a t i c sd 邪s r o 眦 J F 0 r 旃PL 棚i 订go 缸 删疵s 1 9 9 1 1 l 2 2 4 3 1 6 R a m s d e n J M e a s u r i n ga n dm a p p i n gt h ew o r l d J f 口 I I P m n i c s 抽S c o 2 0 1 0 2 9 3 4 0 一4 2 7B a k k e r A D P j 培竹弹s r c i 以s 暑口 i s i f s 耐 c 口 抽 一 竹j j 吼一 6 耐i 剃n gn 雄d m 户 e rf D o z s D P h D t h e s i s T h e F r e u d e n t h a lI n i s t i t u t e U t r e c h t 2 0 0 4 8M c B r i d e C C 8 LR o l l i n s J H T h ee f f e c t so fh i s t o r yo f m a t h e m a t i c so na t t i t u d e st o w a r dm a t h e m a t i c so fc o l l e g ea l g e b r as t u d e n t s J J o l 口z 加rR e j r f f 以M 口I I l e 1 4 t f c s 口 一 f 口 i o n 1 9 7 7 8 1 5 7 6 1 9P e r k i n s P U s i n gh i s t o r yt oe n r i c hm a t h e m a t i c s1 e s s o n si na g i r l s s c h o o l J F o r f eL e n l i gD M n f e m 口 i c 5 1 9 9 1 1 l 2 9 一l O 1 0 B a r b i n E T h er e a d i n go fo r i g i n a lt e x t s H o wa n dw h yt o i n t r o d u c eah i s t o r i c a lp e r s p e c t i v e J F b r eL 阳 n i n go A k 旃P m d i f 5 1 9 9 1 1 1 2 1 2 1 4 1 1v a nM a a n e n J S e v e n t e e n t hi n s t r u m e n t s o rd r a w i n gc o n