例41 （1）设A为n阶正定阵B为n阶半正定阵试证A＋B为正定阵.doc

例41 （1）设A为n阶正定阵，为n阶半正定阵，试证AB为正定阵。 （2）设A，B分别为m和n阶正定阵，试证为正定阵。证 （1），因为A正定，B半正定，所以有从而得证 AB正定。（2）证法一 （利用顺序主子式）设A、B的各阶前主子式为，则的各阶顺序主子式为因为A、B皆正定，故由。于是，友显然C为实对称阵，故C正定。证法二 （利用特征值）设，则C的特征多项式为。可见A的特征值，B的特征值均为C的特征值，所以C的全部特征值为，。由A，B的正定性知，故C的所有特征知皆正，又C为实对称阵，所以C正定。证法三 （用定义）设，若，则有或，于是且C为实对称阵，故C正定。注1 要证明某个矩阵正定，首先要说明该矩阵是是对称阵。注2 本例（2）中列举方法是证明矩阵正定的几种基本方法。注3 若直接证明一个矩阵是正定矩阵又困难时，可以转化为证明对应的二次型时正定二次型，此时往往可用定义，某些情况下这时较为简单的方法，本例（1）就是。例42 设n阶实矩阵A满足，试证为正定矩阵。证 设，则故B是实对称阵。对任一非零向量，有由，即，可得可逆，故。所以有故B即正定。注 本题也可用特征值可逆，证法如下：设是A的一个特征知，则必满足，于是，可知2不是A的特征值，故有，所以可逆。例43 证明：n阶矩阵A为正定矩阵的充要条件是存在n各线性无关的列向量，使。证 必要型若A正定，则存在n阶可逆阵P，使，设P的n个列向量为，则由P的可逆性知线性无关，且充分性记，则由线性无关知P可逆，故对任一，有。从而所以A正定。例44设A为m阶实对称正定矩阵，B为实矩阵，证明：为正定矩阵的充要条件是。证 必要性证法一 因为正定，所以对任意，有据A的正定性可知，所以齐次线性方程组只有零解，故。证法二 因为正定。故，又故。证法三 因为正定，故，于是齐次线性方程组只有零解，又齐次线性方程组的解都是的解，从而只有零解，故。充分性由于，故为实对称阵。若，则齐次线性方程组只有零解，所以对任意非零n维向量，有，则有A的正定性知由定义知正定。11）利用二次型的知识解决其他问题例45 设A是n阶正定阵，证明：。证 设是A的特征值，则由A正定知。证法一 因为的特征值为。由，知，所以。证法二 由A正定知A必对称，故存在正交阵Q，使得因此，例46 设A、B均为n阶实对称阵，且A的特征值均大a ，B的特征值均大于b，试证AB的特征值全大于。证 设A的特征值是，则的特征值为，由得。又，故对称，所以为正定矩阵。同理可证明为正定矩阵。由正定矩阵的和仍正定，得为正定矩阵，设的特征值为。则的特征值为，故，即。例47 设是一实二次型，是A的特征值，且。证明：对任一实n维向量，有。证 对实二次型，总存在正交变换，使由题设知又因Q为正交阵，故有。所以例48设A为n阶实对称阵，试证：如果A是正定阵又是正交矩阵，则。证 证法一因为A为n阶实对称阵，故存在可逆阵P，使，其中是A的特征值。因为A正定，所以，且为也即的特征值，由于的属于的特征向量与A的属于的特征向量相同，故有又由可得所以，由得。即，故证法二 由,得，即，因为A正定，所以1不是A的特征值，即，所以可逆，从而，即。例49 设A为n阶正定矩阵，为中非零向量，当时，有，证明线性无关。证 证法一