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向量与线性方程组 61 其中可取任意数。令分别取和得到方程组（2.15）的两个线性无关的解向量因此，（2.15）的通解为： 其中可取任意数。2.5 非齐次线性方程组解的结构本节讨论非齐次线性方程组（2.16）解的结构。设 ，分别称他们为方程组（2.16）的系数矩阵和增广矩阵。非齐次线性方程组是否和齐次线性方程组一样总是有解呢？这就不一定了。下面我们先讨论非齐次线性方程组有解的条件。在方程组（2.16）中若记 则（2.16）可以表示为下列向量方程 （2.17）显然，若方程组（2.16）有解，则向量b就能由向量组线性表示；反之，若向量b能由向量组线性表示，则存在一组数，使 即是向量方程（2.17）的解，也就是方程组（2.16）的解向量。另一方面，若向量b能由向量组线性表示，那么在增广矩阵B中，最后一列的向量组可以表示为系数矩阵A的列向量组的线性组合。所以，矩阵A与矩阵B的秩相等。即 ， 反之，若，那么，向量组与向量组有相同的秩。若是的一个最大无关组，则也是的一个最大无关组，则b可以由线性表示，从而b可以由线性表示。综上所述，可得如下定理定理2.7非齐次线性方程组（2.16）有解的充要条件是，他的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等。例2.9解下列线性方程组解（）对增广矩阵施行初等行变换由上式最后一个行阶梯形矩阵可知该方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都等于，也就是说该方程组有解，继续对上述行阶梯形矩阵施行初等行变换由上面最后一个行最简形矩阵可得该方程组的一般解 其中可取任意数。（）对增广矩阵B施行初等行变换由上式的最后一个行阶梯形矩阵可知该方程组的系数矩阵的秩等于，而增广矩阵的秩等于，因此该方程组无解。对于非齐次线性方程组（2.16）和它所对应的齐次线性方程组（2.1），由于其系数矩阵相同，他们的解之间有以下密切的联系。性质2.4设x和y是非齐次线性方程组（2.16）的两个解向量，则xy是（2.16）所对应的齐次线性方程组的解向量。性质2.5设x是非齐次线性方程组（2.16）的一个解向量，y是（2.16）所对应的齐次线性方程组的解向量，则x+y是（2.16）的解向量。性质2.6设x0非齐次线性方程组（2.16）的一个已知解（称为特解），则（2.16）的任意一个解向量都可以表示为x0与（2.1）的某个解向量的和。事实上，设x是（2.16）的任意一个解向量，则由性质知xy是（2.1）的解向量。于是 xx0+（x-x0）定理2.8把非齐次线性方程组（2.16）的某个特解加到对应的齐次线性方程组（2.1）的每一个解向量上，就得到（2.16）的全部解向量。在例2.8的第一个方程组的一般解中，令可得到该方程组的一个特解是，而相应的齐次线性方程组的通解为 其中可取任意数。那么原方程组的通解为其中可取任意数。习题二2.1 讨论下列向量组的线性相关性（1）（2）（3）（4）2.2 求下列矩阵的秩（1） （2） （3）2.3 求解下列齐次线性方程组（1） （2）（3）2.4 求一个齐次线性方程组使他的基础解系为 2.5 求下列非齐次线性方程组的通解（）（）（）2.6 若向量组线性无关，线性相关。试证 可以由线性表示。2.7 设线性方程组 定义2.8设是齐次线性方程组（2.1）的r个解向量，如果（1）线性无关。（2）式（2.1）的任意一个解向量都可以由线性表示。则称是齐次线性方程组（2.1）的一个基础解系。基础解系不是唯一的，但由定理2.5后面的讨论知道，每个基础解系所含向量的个数相同。下面来讨论基础解系究竟含有多少个解向量。设齐次线性方程组（2.1）的系数矩阵的秩。不妨设A中左上角r阶子式。将看成常数，由Cramer法则可以得到式（2.1）的解（2.13）其中可取任意数。方程（2.1）的这种形式的解称为（2.1）的一般解。如果分别取，则可以得到（2.1）的n-r个线性无关的解向量这里由作为列向量构成的矩阵中，有一个n-r阶子式因此，上述向量组线性无关（2.12）可以表示为即 （2.14）其中可取任意数。由此可见，方程组（2.1）的任意一个解都可以表示为的线性组合。因此是（2.1）的一个基础解系。此时称（2.14）为齐次线性方程组（2.1）的通解。 由此可见，齐次线性方程组（2.1），如果其系数矩阵的秩为r，则其基础解系含有n-r个解向量。例2.8求下列齐次线性方程组的通解 （2.15）解系数矩阵 ，对A施行初等行变换由上述最后一