一致收敛的函数列.doc

一致收敛的函数列与极限函数性质讨论摘要：本文主要研究若一致收敛于，则与将共有哪些性质。在数学分析中已研究连续性、可积性、微分与极限互换定理。此外本文讨论了一致连续性、周期性为与共有；当条件加强时，单调性、驻点等性质可平移到上；用反例说明若一致收敛于，但 不一致收敛于.Abstacts: Main research in this text if fn( x)s are refrained from rash action consistently in f( x), then fn( x) with which kinds will f( x) have totally.At mathematics analysis inside has studied the continuous, can accumulate the sex, differential calculus to change the axioms with extreme limit with each other.In addition this text discussed the consistent consecution,The periodic is to have with f( x) totally;When the term enhances, monotonous, halt to order to wait the kind even move to f( x) top;Say with the versa example Clear if fn( x) is refrained from rash action consistently in f( x), but fn( x) inconformity is refrained from rash action in f( x)关键词 ：收敛 一致收敛 连续性 可积 可微 闭区间 单调性 驻点 一致连续 周期性 复合函数Key words:Refrain from rash action Refrain from rash action consistently Can accumulate Tiny Shut the zone Monotonous Halt to order Consistent consecution Week Period Reunite the function引言： 在数学分析中我们学习了函数列的收敛性与一致收敛性。当收敛于和 一致收敛于，则的一些性质为与所共有。当 的条件加强，可以发现的某些性质可以推广到与上。一、 函数列及其一致收敛性如例1 求= ，n=1，2，3，的收敛域和极限函数。解： ,而0 故 0故的 收敛域为，极限函数为0 x ，例2 求等比数列= ，n=1，2，3， 的收敛域和极限函数。解：当1时，0；当1时；当 x1时1；当x=1时不存在. 的收敛域为（1，极限函数为 对函数列，我们除了研究它的收敛域外，主要还是研究它的极限函数的分析性质。也就是说，我们将通过函数列的每一项所具有的连续性、可微性和可积性，来讨论其极限函数的相应性质。从例1，2，3可以看到，例1中的函数列在，上收敛，它的每一项在，上都是连续的，它的极限函数在 ，上也连续。但例2的每一项虽然在收敛域（1，上连续，但极限函数在（1，上不连续。这说明仅有函数列每一项在D上的连续性并不能保证极限函数在D上的连续性。对可微性和可积性也有类似的问题。那在什么条件下，函数列各项所具有的分析性质能够延续到它的极限函数？这里需要引进一致收敛。Def1 设函数列与函数定义在D上，若对使得对一切n和一切都有 成立，则称函数列在D上一致收敛于。记为 。由此可见，在D上一致收敛的函数列在D上定收敛。反过来，在D上收敛的函数列却不一定在D上一致收敛。函数列在D上收敛是指在D上每一点都收敛。因此这种收敛是一种局部性的概念。常称这种收敛为“点态收敛”。而一致收敛与点态收敛有着重要区别。一致收敛不仅要求 在D上每点的收敛性，更重要的是它还有整体性。其整体性体现在要求D上所有的点能以“大体相同”的速度趋向于各自的极限。正因为如此，在研究函数列的极限函数性质时，一致收敛起了非常重要的作用。例3 证明例1中的函数列= 在，上一致收敛。证明：，有 0，要使 ，只要令即可。故一致收敛于0。由一致收敛定义可以知道，在D上不一致收敛于就应该叙述为：00，对自然数N，n0N和x0D，使得 0例4证明=在（0，1）上不一致收敛，但对（0，1），在（0，）上一致收敛。 证明：取0，则(N为自然数)任取n0N，取xn0，则0故=在（0，1）上不一致收敛。一致收敛的几何意义从几何上讲，函数列的每一项的图形都是一条曲线。在上一致收敛于表示对，都可以找到函数列的某一项 ，从这项以后的一切项 (nN )的图形全部包含在以y= f（x）+和y= f（x） 这两条曲线为边界的带形区域内（图1）。而例4的图象表示这种对一切x（0，1） 都适用的N是不存在的（图2）。图中绘出了函数, 的图形。显然，从（0，1）中任意取定一点,=，随n的增大而变小而且无限趋于0。但是只,要 ，那么无论n取多么大的自然数，都能找到这样的自然数n0,当n0N 时,但的图形在x充分靠近1时就在y=0和y=0所夹带形区域外。因此, 在 （0，1）上不一致收敛于0.二 、一致收敛函数列的性质定理1 （连续性）若函数列的每一项在区间I上都连续且一致收敛于，则在I上连续。 证明略。定理2 （可积性）若函数列的每一项在区间a，b上都连续且一致收敛于，则在a，b上可积，且 =.定理3 设在a，b上收敛于,每一项在区间a，b上都有连续的导函数,且在区间a，b上一致收敛于,则(1) = (2) 在a，b上一致收敛于这定理表明：在定理的条件被满足时，函数列的极限运算与求导运算可以交换顺序，但一致收敛这一条件是交换这两种运算的充分而不必要条件。三、条件加强情况下的结论：1（一致连续性）若在，上一致连续且一致收敛于，则在，上也一致连续。证明: 在，上一致连续且一致收敛于在，上也连续 对，= + (*)由于一致收敛于故对当 n时,对一切，有,特别地, , 0,0, 对当时, 代入(*)得0,0,对当时在，上也一致连续。2（周期性）若一致收敛于 ,且 ()是以T为周期的周期函数，则也是以T为周期的周期函数。证明: 一致收敛于 (*)又以T为周期,故 即 也以T为周期3（单调性与驻点）在前定理3条件下，即设在a，b上收敛于,每一项在区间a，b上都有连续的导函数,且在区间a，b上一致收敛于,则（1）若在区间I上有单调性，则在I上有相同的单调性（2）若为的驻点，则为的驻点证明：（1）由定理3知， = （*）不妨设在I上单调递增即（）故则对，由（*）知=故在I上单增。（2） 为的驻点故=0由（*）令得， =0 即为为的驻点。 4（反例）一个一致收敛的无穷可微函数列，其导函数列无处收敛。设 =（n=1，2，3，）则在，上无穷可微，且在，上一致收敛于零，另一方面 =（n=1，2，3，）显然在，上处处不收敛。5设为 a，b上的连续函数列，在一致收敛于且则（1） 存在当时，0 a，b（2） 一致收敛于 a，b证明：（1）由为 a，b上的连续且在一致收敛于则连续且故恒正（负）不妨设 a，b，由连续函数在闭区间上的最值知，在a，b上存在最大值M，最小值m，且a，b使得故。由一致收敛于故对使得对一切n和一切a，b都有 （取）故当时即0（2）= 由一致收敛于故对使得对一切n和一切a，b都有 故由得，故一致收敛于 a，b.6（复合函数列的情形）设在区间U上一致连续，在点集X上一致收敛于，当 时，U，且自然数N，当N和时U则 在X 上一致收敛于证明：由在区间U上一致连续故对 时恒有成立对于这个由于在点集X上一致收敛于故存在自然数当时，对一切恒有再由已知当 时，U而当，时U于是当，时恒有由定义知 在X 上一致收敛于7设由在a，b上有定义，满足一致Lipschitz条件：对a，b有，其中为一常数，且逐点有 则：（1）在a，b上一致连续（2）一致收敛于 a，b证明：（1）对 a，b且时令则，故在a，b上一致连续（2）由（1）知， ，对a，b且时，将a，bk等份，使得设， ，a，b（i=0，1，2，k）当时，取N=，则当时，（i=0，1，2，k）所以对使得对一切n和一切a，b 都有+ += （其中）一致收敛于 a，b8.（类似数列的归结原理） 设是a，b上的连续函数列，且一致收敛于（ a，b），若a，b，则=证明：= + （*）因为且一致收敛于（ a，b）所以当时由已知，在a，b上连续，故 对上述当时因为故当时，所以对上述当时由（*）得，所以=9.（二元函数列情形） 设函数在上是连续的，而函数列在a，b一致收敛并满足条件：，则函数序列（）也在a，b上一致收敛。证明：设在a，b一致收敛于 因为在上是连续的从而一致连续所以对当时， 对此当 时，故对对a，b，当时，故函数序列（）也在a，b上一致收敛。10.（变上限函数列） 设若函数列在区间a，b上都连续且一致收敛于，且每一项a，b（a，b）。令，其中在a，b上有界。则在a，b上一致收敛于证明：由已知