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2014年人大财金学院金融学与数学实验班选拔试题 2015年10月22日 猴子派来的 数海拾贝 一 简单计算与证明题 每小题10分 共5小题 满分50分 1 在空间直角坐标系中 设是坐标原点 两点的坐标分别为 求与夹角的余弦 从向作 垂线交于点 求点的坐标 2 记个元素中取个元素的组合数为 利用数学归纳法证 明 对 3 确定 的实数解 4 设都是正数 证明 存在三边分别等于 的三角形 并计算该三 角形的面积 5 证明方程 不存在整数解 二 解答题 满分15分 已知正边形共有条对角线 它的周长等于 所有对角线长度的 OA B a1a2a3 b1b2b3OAOBAOB OBPP nk n k n 1 k 0 n n k 2n x y z 3 3x2y2z2 3x3y3z3 a b c d b2c2 2cda2c2d2 2aba2b2d2 1599x4 1 x4 2 x4 14 nnp qp 和等于 求的值 三 解答题 满分15分 你收到你的信用卡的账单 信用卡的月利率是 要求的每月最低还 款额为元 1 你决定每月还款元 而且不再使用这一信用卡支付新的付 款 你发现你的欠款额总是保持不变 问你收到的账单欠款是多少 2 如果你最初收到账单欠款是元 你希望按月等额还款 且不再用信用卡支付新的付款 那么为多大时正好个月还清欠 款 3 利用 1 2 求解的启发求解满足 的数列的通项 四 解答题 满分20分 设 分别为两个矩形的长和宽 且 证明 可将第一个矩形放入第二个矩形内部的充要条件是 参考答案 一 简单证明和计算 1 根据已知 有 设点的坐标为 由于 故 q q p p q 1 20 20 2500p p12 r ban 1an ca0 an a b c d a c d b ab cd bd ac bc ad b2a2 2 2 2 cos OA OB a1b1a2b2a3b3 a2 1 a2 2 a2 3 b2 1 b2 2 b2 3 Pk b1b2b3 0AP OB 解得 故点的坐标为 2 略 3 因为 所以 而 当且仅当时等号成立 所以 注 条件给多了 4 如图 阴影部分即为符合题意的三角形 面积 k 0 i 1 3 bibiai k i 1 3 aibi i 1 3 b2 i P i 1 3 aibi i 1 3 b2 i b1b2b3 9 x y z 2 2 xy yz zx x2y2z2 3 2 xy yz zx xy yz zx 3 x2y2z2 xy yz zx x2y2z2 x y zx y z 1 111 5 若 则 若 由于 所以此时 而 故方程不存在整数解 二 解答题 因为 故 不妨设正五边形的边长为 则其对角线长为 故 三 解答题 1 设收到账单欠款元 则 S a b c d a c d bc d a b 1 2 1 2 1 2 ac bc bd 1 2 m 2k k Zm 0 mod 16 m 2k 1 k Z 2k 1 4 16 32 24 8k 1k4k3k2 16 32 16 8k k 1 1 k4k3k2 m 1 mod 16 1599 15 mod 16 1599x4 1 x4 2 x4 14 n n n 3 2 n 5 1 15 2 1 q p p q x 1 01 x 20 x 故 2 设第个月还款元后 剩余欠款为元 则 故 故 故 解得 3 略 注意对的不同取值进行分类讨论 注一 还房贷的时候 一般是从贷款发放的下个月开始还款 所以第 一次还的时候就要考虑之前一个月产生的利息了 因此房贷等额本息 还款的公式与我这道题中所得到的公式略有差别 注二 题中式子 x 2020 kpak 1 01 2500 p a1 1 01 p n 1 2 11 an 1an 0 a12 p 1 01 p a11a10 p 1 01 p p 1 01 a10a9 p 1 01 p p 1 012 p 1 01 a9a8 p 2500 p 1 0111 p 1 0110 p 1 01 p 219 92 2500 0 01 1 0111 11 0112 r 直观理解也是很容易的 第个月还的元都是还的本金 而第2个月还的元中只有元 还的是本金 第3个月还的元中只有元还的是本金 以此类 推 第 3 题不需要第 1 题 第 2 题的启发即可求解 这是稍微 好一些的高中生都能熟练掌握的基本问题 四 解答题 可将第一个矩形放入第二个矩形内部的充要条件是存在 使得 设 则 1 式成立的充要条件为存在 使得 如图 设直线与直线与坐标轴的交 点分别为 和 两条直线的交点为 则由两个不等式 限制的区域为四边形 p 2500 p 1 0111 p 1 0110 p 1 01 1pp p 1 01 p p 1 012 0 2 asin bcos c bsin acos d 1 x cos y sin x y 0 1 bx ay c ax by d 1 x2y2 2 1 x c b y c a 1 x d a y d b ABCDE OAEC 注意到这两条直线的截距均分居的两侧 因此条件