含有两个储能元件的一阶电路（双一阶电路）分析.pdf

基本电路理论课程论文 2006 2007 第一学期 含有两个储能元件的一阶电路 双一阶电 路 分析 含有两个储能元件的一阶电路 双一阶电 路 分析 陈梦含 5050309065 F0503003 项思宁 5050309062 F0503003 摘要 一阶电路和二阶电路是基础电路理论中十分重要的两个概念 但是如果简简单单的从储能元件上对 他们加以区分 在实际中就会遇到很多困难 本文通过对典型习题的剖析 旨在辨析以阶电路与二阶电路 的概念 并主要得出含有两个储能元件的一阶电路的条件 关键词 一阶电路 二阶电路 两个储能元件 一 引言 一 引言 通过对基础电路知识的学习 我们掌握了有关一阶电路和二阶电路的解题方法 从解 题的复杂程度来看 一阶电路的解题过程明显比二阶电路的解题过程简单得多 比如 一阶 电路的求解无需求出微分方程 而直接运用三要素法即可快速得到结果 而二阶电路则必须 通过微分方程的特征根的讨论 得出其过阻尼 欠阻尼 临界阻尼的三种状态 即使运用拉 式变换可以使运算得以简化 使方程容易求解 但真分式的化简和最终的拉式逆变换仍会有 大量的计算 但是在做习题的过程中我 们发现 有的电路虽然有两个储能元件 但是实质上仍然是一阶电路 二 典型例题剖析 二 典型例题剖析 下面请看一道例题 例 如图示电路 开关 S 在打开前已经处于稳态 已知 R1 R2 10 L 1H C 1F Is 2A 求 t 0 时的 u t 首先我们可以看出这个电路是零状态响应 在 S 断开之后 解法一 解法一 为使讨论更简便 初看电路的第一反应就是运用拉式变换进行求解 其运算过程如下 虽然是零状态响应 储能元件无初始电压电流 因而不必加等效电源 变换后如图 2 1 基本电路理论课程论文 2006 2007 第一学期 2 12121 2 1121 2 2 1 11 sssss R 2s II RI RI RI RI RR s s u s sRsRss RsRss Rs sR 可以求出 1 1 212 t R t R C L SSS Lu su tI RI ReI R e 解法二 解法二 如果对这道题直接求解 由 KCL 1 2 L SL CC S di L dt Ii R duu IC dtR 解这两个联立得一阶微分方程可以得到 1 2 1 2 212 1 1 R t L LS t R C CS t R t R C L L CSSS i tIe utI Re di t u tLutI RI ReI R e dt 从上面的运算过程中可以发现 这个电路虽然含有两个储能元件 但实际上就是一个一 阶电路 三 二阶电路与一阶电路概念辨析 三 二阶电路与一阶电路概念辨析 首先 我们应该确定一下二阶电路的定义 我们讲义上的定义是 用二阶微分方程描述的动态电路称为二阶电路 用二阶微分方程描述的动态电路称为二阶电路 查阅的资料上二阶电路的准确定义为 包含两个动态元件的电路可以用一个二阶微分 方程或两个联立的一阶微分方程描述 其中经公式化简需用二阶微分方程描述的动态电路 称为二阶电路 包含两个动态元件的电路可以用一个二阶微分 方程或两个联立的一阶微分方程描述 其中经公式化简需用二阶微分方程描述的动态电路 称为二阶电路 2 基本电路理论课程论文 2006 2007 第一学期 由以上定义可以发现 本题电路中虽然有两个联立得一阶微分方程 但是它们是相互独 立的 所以经化简后并不需要二阶微分方程求解 所以这仍是一个一阶电路 本题的电路实际上等效于两个一阶电路 由三要素法可以迅速求出 C ut L u t 由 求出结果 u t C ut L u t 但是如果图 1 中的电流元换成电压源 那么下面的等效将不成立 事实上 对图 5 种的电路列写方程为 12 L CC L L Cs di L duu dt iC RdtR di LuU dt 这两个方程化简后是一个二阶微分方程 故这个电路实际上是一个二阶电路 所以上述 等效自然不成立 那么我们不禁要问 含有两个储能元件的电路在什么情况下是一阶电路呢 四 含两个储能元件的电路是一阶电路的条件 四 含两个储能元件的电路是一阶电路的条件 通过上面两例的比较不难发现 图 1 电路中 是相互独立的 是相互独立的 既是 说 的值的大小不会影响的取值 it L ut C C ut L i t 3 基本电路理论课程论文 2006 2007 第一学期 从电路上分析从电路上分析 对于图 1 电路由电路连接特点以及元件性质可以发现 只要电感和与其并联的电阻的 电流之和等于 S I 电容和与其并联的电阻的电流之和等于 S I即可 而电感电压 电容电流 等量之间没有约束条件 所以实际上是把电容与电感分开来考虑 相当于是一阶电路 图 5 电路中 电容和与其并联的电阻的电流和 电感和与其并联电阻的电流和均不是 固定植 而且要相等 不仅如此 电感两端电压与电容两端电压之和还要等于 s U 这就使 得电感与电容部是相互独立 从电路方程来分析从电路方程来分析 从电路方程来分析 由方程 1 2 L SL CC S di L dt Ii R duu IC dtR 可以看出 两个方程都是一元方程 求解过程中不涉及代入 故实 际上是两个一阶微分方程 方程组 1 L CC L L Cs di L duu dt iC 2 RdtR di LuU dt 方程中均含有两个变量 求解过程中经化简后需要 求解二阶微分方程 故这个电路是二阶电路 状态空间法分析状态空间法分析 状态空间法 分析动态电路除了上面介绍的经典方法外 在现代电路理论中还有另一种 重要的方法 状态空间法 状态是现代系统理论中的一个基本概念 所谓状态是指给定输 入下确定系统全部性状所需的最小量的信号的集合 换言之 若已知某给定时刻的状态 则 它们和该时刻开始的任意输入一起就能完全确定系统在以后任何时刻的性状 状态变量就是 组成状态的这些最少量的信息 显然 状态变量是一组独立变量 它们在任何时刻的值组成 在该时刻的状态 系统的初始状态提供了分析系统今后性状的一组独立的初始条件 由状态 变量组成的一组独立的一阶微分方程称为系统的状态方程 因此若已知状态变量在t0时的 值 而且已知自t0开始的外加输入 则我们能唯一确定t t0后系统的全部性状 在电路理论研究的系统是电路 电路的状态由电路中储能元件的储能情况所决定 在线 性定常电路中 通常选电容电压vc和电感电流iL为状态变量 假定电路中电容的个数为NC 电感的个数为NL 独立的纯电容回路 由电容或电容和独 立电压源构成的回路 个数为Cc 独立的纯电感割集 由电感或电感和独立电流源构成的割集 个数为KL 则电路的复杂度n为 n Nc NL Cc KL 在本例中 图 1 和图 5 的电路由上述公式计算复杂度均为 2 但是一个是一阶电路一个 是二阶电路 所以有下列结论 电路的状态变量数目即电路的复杂度不等于电路阶数 电路的状态变量数目即电路的复杂度不等于电路阶数 五 双一阶电路举隅 五 双一阶电路举隅 4 基本电路理论课程论文 2006 2007 第一学期 请看下面一例 如图 6 所示电路已处于稳态 当 t 0 时 s 闭合 求 t 0 时的 i t 1 i t 题目中虽然含有两个储能元件 看似是二阶电路 其实不然 仔细观察可以发现 开 关合上后电路可以看作三个独立的部分 左边的 RL 电路为零输入响应 中间为电压源与电 阻串联 右边为 RC 电路的零输入响应 所以 LC i ti tit 12 i ti ti t 再重新看第一个例子 不仅仅是含两个储能元件 甚至含三个或多个储能元件的电路都 可能是一阶电路 如果储能元件数量变为三个 连接方式不变 电路如图 7 虽然增加了一个元件 但是它们之间还是相互独立的 所以实际上这仍是一个一阶电路