数学是科学的大门和钥匙.pdf

1 数学是科学的大门和钥匙 数学是科学的大门和钥匙 培根培根 主讲 冼军 数学与计算科学学院 博客 主讲 冼军 数学与计算科学学院 博客 主讲 冼军 数学与计算科学学院 博客 主讲 冼军 数学与计算科学学院 博客 Advanced Mathematics 2 集 合 映 射 小结思考题作业 函 数 集 合 映 射 小结思考题作业 函 数 第一章函数与极限第一章函数与极限第一章函数与极限第一章函数与极限 第一节映射与函数第一节映射与函数 function and limit set mapping function 第一章函数与极限第一章函数与极限 3 1 集合集合 set 概念与记号 具有某种特定性质的事物的总体 概念与记号 具有某种特定性质的事物的总体 组成这个集合的事物称为该组成这个集合的事物称为该 映射与函数映射与函数 一 集合一 集合 集合 元素 集合 元素 简称元简称元 集集 元素元素 element 集合的 通常以大写字母 集合的 通常以大写字母 L MBA等表示集合等表示集合 以小写字母等表示集合的元素以小写字母等表示集合的元素 L mba Aa Aa 的元素是若的元素是若Aa 否则记 记作 否则记 记作 Aa Aa属于则说 属于则说 或或 4 映射与函数映射与函数 集合分类 集合分类 有限集 无限集 有限集 无限集 只含有限个元素只含有限个元素 不是有限集的集合不是有限集的集合 列举法列举法 表示集合方法有两种表示集合方法有两种 描述法描述法 把集合的全部元素一一列出来把集合的全部元素一一列出来 例 考察由下列元素例 考察由下列元素9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 A可以用可以用列举法列举法将其表示成将其表示成 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 列举法有很大的局限性列举法有很大的局限性 组成的集合组成的集合 A 外加花括号外加花括号 5 xPx具有性质具有性质 映射与函数映射与函数 如 由不超过如 由不超过 10 10的奇数组成的集合的奇数组成的集合 其元素有其元素有50亿个亿个 要把它们全部写出来要把它们全部写出来 且有很多集合且有很多集合 其元素是很多纸张其元素是很多纸张 根本无法一一罗列出来根本无法一一罗列出来 得用 很多时间 得用 很多时间 不可数的不可数的 更常用的是列出规定这个集合特定性质更常用的是列出规定这个集合特定性质P 的办法来表示集合的办法来表示集合 就是就是 描述法 描述法 M 花括号中竖线前的花括号中竖线前的x 而竖线后而竖线后 x 是是M 中元素的通用符号中元素的通用符号 则是则是x 所具有的性质所具有的性质 Px具有性质具有性质 可用可用列举法列举法表示为表示为 032 2 xxx 032 2 xx的根组成的集合 也可用 的根组成的集合 也可用描述法描述法表示为表示为 3 1 例 由方程例 由方程 6 映射与函数映射与函数 注注 对几个对几个常用的数集常用的数集规定记号如下 数集的字母的 数集内排除 规定记号如下 数集的字母的 数集内排除0的集的集 数集内排除数集内排除0与负数的集与负数的集 全体全体非负整数非负整数即自然数的集合即自然数的集合 N 2 1 0 LL n 即即N 全体全体正整数正整数的集合为的集合为N 2 1 LLn 全体全体整数整数的集合记作的集合记作 Z 即即 Z 2 1 0 1 2 LLLLnn 右上角右上角标上 标上 7 映射与函数映射与函数 全体全体有理数有理数的集合即的集合即 Q q p Z p N q互质与且互质与且qp 全体全体实数实数的集合的集合 R 为排除 为排除0的实数集的实数集 R 为全体为全体正实数正实数的集的集 记作记作Q 记作记作R 全体全体复数复数的集合记作的集合记作C 即即 CR 1 2 ibabia 8 Ax 若的是 若的是BA 两个集合两个集合 2 1 A BA中的每一个元素都属于中的每一个元素都属于一般地一般地 BA 若 若 BA 2 1 A如如 023 2 xxxB BA 则则 Bx 则必则必 映射与函数映射与函数 子集子集 则称则称集合集合A与与B相等 相等 4 3 2 1 B BA 记作则称记作则称 2 集合集合 set 的关系及集合的运算的关系及集合的运算 1 集合的关系集合的关系 子集子集 读作读作A包含包含于于B 或或 AB 读作读作B包含包含A 集合相等集合相等 AB 且 且 记作记作 9 映射与函数映射与函数 记作 记作 如如 01 2 xRxx 空集 空集 不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为 BABA 且若 且若则称则称 的是 的是BA真子集真子集 记作记作 A B 如如NZQR 真子集真子集 空集空集 规定规定空集为任何集合的子集空集为任何集合的子集 今后在 提到一个集合时 今后在 提到一个集合时 一般都是 如不加特别声明 一般都是 如不加特别声明 非空集非空集 10 映射与函数映射与函数 2 集合集合 set 的关系及集合的运算 集合的基本运算有三种 的关系及集合的运算 集合的基本运算有三种 并集并集 交集交集 差集差集 即即 BxAxx 或或 记作 设 记作 设A B 是两个集合是两个集合 由所有属于由所有属于A 称为称为A与与B的的 并集并集 AB A B A B 2 集合的运算集合的运算 于于B元素元素 或者属或者属 组成的集合组成的集合 11 映射与函数映射与函数 称为称为A与与B的记作即的记作即 BxAxx 且且 交集 交集 由所有既属于由所有既属于A 由所有属于由所有属于A 称为称为A与与B的的差集 差集 记作即记作即 BA BA BxAxx 且且 又属于又属于B元素元素 AB A B 集合的基本运算有三种集合的基本运算有三种 并并 交交 差差 A B A B 组成的集合组成的集合 而不属于而不属于B的元素的元素组成的集合组成的集合 两个集的并与交可推广到任意多个集两个集的并与交可推广到任意多个集推广推广 并与交并与交 12 映射与函数映射与函数 注注 研究某个问题时所考虑的对象的全体 记作 研究某个问题时所考虑的对象的全体 记作 C A 例如 例如 6 5 4 3 4 3 2 1 BA设设则则 BA 2 1 6 5 4 3 2 1 4 3 余集余集或或补集 补集 A BA B 并用并用I 表示表示 称为称为全集全集或或基本集 基本集 并把差积 特别称为 并把差积 特别称为A的的 AI 例如 在实数集例如 在实数集R中中 集合集合 10 xxA 的的余集余集 C A 10 xx或或 x 13 3 集合集合 set 的运算法则的运算法则 映射与函数映射与函数 CBA 设为任意三个集合设为任意三个集合 则下列法则成立则下列法则成立 1 交换律交换律 A B B A A B B A 2 结合律结合律 A B C A B C A B C A B C 3 分配律分配律 A B C A C B C A B C A C B C 4 对偶律对偶律 A B C AC BC A B C AC BC 14 映射与函数映射与函数 5 幂等律幂等律 A AA A 6 吸收律吸收律 A A A A A 4 直积直积 乘积集或笛卡儿乘积乘积集或笛卡儿乘积 法国数学家 哲学家法国数学家 哲学家 Descartes 1596 1650年年 设设 A B 是两个集合是两个集合 则称则称 BA yxAx By 且 为 且 为A B 的的直积 直积 如如 1 1 A BA 则 则 yx 10 11 yx Ox y 1 1 1 1 0 B 又如又如 即为即为xOy面上面上 R RR yxyx 全体点的集合全体点的集合 RR 常记作常记作 R 2 即即R RR 2 x y O A BBA 15 5 区间区间 interval 区间是指介于某两个实数之间的全体实数区间是指介于某两个实数之间的全体实数 ba 且 且 bxax 称为称为 ba记作记作 bxax 称为称为 ba记作记作 这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点 都是实数和设都是实数和设ba 映射与函数映射与函数 开区间 闭区间 开区间 闭区间 x O a b x O a b 16 bxax bxax 称为称为 ba记作记作 ba记作记作 xaxa bxxb 且是两个实数与设且是两个实数与设a 中心点 中心点a为半径为半径 aU axx 的称为点 的称为点a aU 数集 即 数集 即 映射与函数映射与函数 邻域 邻域 记作记作 它是以它是以 的开区间的开区间 几何表示几何表示 表示表示 aU 的全体的一切点距离小于与点的全体的一切点距离小于与点xa axax x Oa a a 19 映射与函数映射与函数 aU有时简记为有时简记为 aU aU记作记作的点 的点a 邻域的 邻域的 去心 空心 去心 空心 0 使得 使得 用逻辑符号用逻辑符号 和和 将阿基米德公理改写将阿基米德公理改写 bna 使得 使得 0 ba Nn Any 每一个每一个 或或All 所有的所有的 的字头的字头A的倒写的倒写 映射与函数映射与函数 Exist 存在存在 的 字头的 字头E的倒写的倒写 21 符号符号 表示 表示 蕴含蕴含 或或 推出推出 符号符号 表示 表示 等价等价 或或 充分必要充分必要 5 绝对值绝对值 absolute value aaxaxa 0 aax axax 或 或 绝对值不等式绝对值不等式 映射与函数映射与函数 22 映射与函数映射与函数 X中所有元素的像所组成的集合 记作 中所有元素的像所组成的集合 记作 f R 或或f 的的 Xf或即或即 f R Xf Xxxf 称为 在中学数学中所接触的 称为 在中学数学中所接触的函数函数实际是实际是 实数集实数集 或其子集或其子集 到实数集的到实数集的映射映射 例如 映射 例如 映射f RR sin xxfy 正弦函数正弦函数 值域值域 像集像集 23 映射与函数映射与函数 二 映射二 映射 1 映射概念映射概念 mapping 定义定义设设X Y 是两个非空集合是两个非空集合 如果存在 一个法则 如果存在 一个法则f 使得对通过使得对通过f 在在Y中有唯一 确定的元素 中有唯一 确定的元素y 与之对应与之对应 则称则称f 为从为从X到到Y 的的映映 或或算子算子 记作 记作 f 并称并称y为为x 在映射在映射f下下 的的像像 并记作 并记作 xf即即 xfy YX x称为称为y的的原像原像 Xx 射 定义域 射 定义域即即 f D XD f 记记 24 对对 Xx 元素元素x 的像的像y是是唯一唯一的的 映射与函数映射与函数 而对而对 f Ry 元素 元素y 的原像不一定是唯一的的原像不一定是唯一的 映射映射f 的值域的值域 f R是是Y 的一个子集的一个子集 YR f 即 不一定 即 不一定 YR f 2 注注 1 集合集合X 即定义域即定义域 XDf 集合集合Y 即值域的范围即值域的范围 YR f 对应法则 对应法则f 使对使对 Xx 有有唯一唯一确定的确定的 xfy 与之对应 与之对应 三个要素三个要素 构成一个构成一个映射映射必须具备以下必须具备以下 25 映射与函数映射与函数 设映射设映射 f YX YR f 若若 值域 即 值域 即Y 中任一元素中任一元素y 都是都是X中某 元素的像 中某 元素的像 则称则称f 是是满射满射 若若 21 xx 必有必有 21 xfxf 则称则称f 是是单射单射 若映射若映射f 则称则称f 是是 一 一一 一映射映射 或 或双射双射 2 几类重要映射 又是单射 几类重要映射 又是单射 21 Xxx 既是满射 既是满射 26 映射与函数映射与函数 例例设设 1 X 2 2 2 X 1 Y 1 1 2 Y 111 YXf 212 YXf 123 YXf 224 YXf sin xxfi 1 i 对应关系对应关系 2 3 4 既既非满射非满射 又又非单射非单射 满射满射 非单射非单射 单射单射 非满射非满射 满射满射 单射单射 即为即为一一映射一一映射 对定义域内的任一对定义域内的任一x 27 映射与函数映射与函数 1 如图如图 1 0 X设设 XxxyyxY xO y xy x1 令由令由X 到到Y 的对应关系为的对应关系为 fXx Yxx 则则f 是一个从是一个从X 到到Y 的映射的映射 满射满射 单射单射 即为即为一一映射一一映射 2 2 1 LLnX 设设 2 4 2 LLnY 令令nn2 2 1 L n 则则f 是一个从是一个从X 到到Y 的映射的映射 f 满射满射 单射单射 即为即为一一映射一一映射 28 映射与函数映射与函数 2 逆映射与复合映射逆映射与复合映射 设有设有单射单射 YXf 则由定义则由定义 f Ry 对对 有有唯一唯一的的 Xx yxf 适合于是适合于是 可定义一 个从 可定义一 个从 XRg f XR f到 到的新映射的新映射g 即即 f Ry 对对规定规定 xyg 这这x 满足满足 yxf 这个映射这个映射g称为称为f 的的逆映射 逆映射 记作记作 1 fg 其定义域其定义域 f R 值域值域 1 f R 21 xx 必有必有 21 xfxf 则称则称f 是是单射单射 21 Xxx 若 若 1 f D X 29 映射与函数映射与函数 设有两个映射设有两个映射 g f 其中其中 2 逆映射与复合映射逆映射与复合映射 Xx 显然显然 21 YY 由由fg和和 它将映成 这个对应法则是从 它将映成 这个对应法则是从X到到Z 的一个映射的一个映射 此映射称为由此映射称为由g和和f 构成的构成的复合映射 复合映射 记作 记作 gfo 即即 gfo ZX xgfo 1 YX 2 ZY 对应法则对应法则 xgf fg DR g Rg的值域的值域 的定义域的定义域f f xg Z 可确定出从可确定出从X到到Z 的一个的一个 Xx 对对 30 映射与函数映射与函数 例例设有映射设有映射 1 1 Rg sin xxgu 和映射和映射 1 0 1 1 f 2 uufy 则映射则映射g和和f 构成的复合映射构成的复合映射 gfo 1 0 R Rx 对对有有 xgfo f f xsin 2 xgxsin 31 1 常量常量 constant quantity 与变量与变量 variable 注注 三 函数三 函数 function 而是相对而是相对 过程过程 而言的而言的 映射与函数映射与函数 常量 变量 常量 变量 在某过程中数值保持不变的量称为 而在过程中数值变化的量称为 一个量是常量还是变量 在某过程中数值保持不变的量称为 而在过程中数值变化的量称为 一个量是常量还是变量 不是绝对的不是绝对的 常量与变量的表示方法常量与变量的表示方法 在高等数学中在高等数学中 通常用字母通常用字母a b c等表示常量等表示常量 用字母用字母x y t 等表示变量等表示变量 32 初等数学初等数学 就其总体来说是 进入变量的数学 就其总体来说是 进入变量的数学 微积分微积分 映射与函数映射与函数 常量的数学常量的数学 从现在开始从现在开始 33 映射与函数映射与函数 定义定义设数集设数集 RD 则称映射则称映射RDf 为定义在为定义在D上的上的函数 函数 通常简记为通常简记为 Dx 自变量自变量因变量因变量 定义域定义域 domain xfy 定义中定义中 Dx 如果对如果对按对应法则按对应法则f 总有总有唯一唯一 确定的值确定的值y与之对应与之对应 这个值称为函数这个值称为函数f 在在x处的处的 函数值 函数值 xfy 记作记作函数关系函数关系 f D记记 D DfR f 函数值 全体组成的集合称为 函数值 全体组成的集合称为 xf range 记作记作 f R Df或或 即即 Dxxfyy 函数函数f 的的值域 值域 2 函数概念函数概念 34 映射与函数映射与函数 注注 xff和记号和记号含义的区别含义的区别 f自变量自变量x和因变量和因变量y之间的对应法则之间的对应法则 xf 与自变量与自变量x对应的函数值对应的函数值 DxxfyDxxf 或或定义在定义在D上的函数上的函数 应理解为由它所确定的函数应理解为由它所确定的函数f 1 2 函数的记号函数的记号 除常用的除常用的f 外外 可任意选取可任意选取 如如 Fg 相应地相应地 函数可记作函数可记作 xgy 等等 xyxFy 等等 也可记作也可记作 y x y 在同一个问题中在同一个问题中 讨论到几个不同的函数时讨论到几个不同的函数时 35 映射与函数映射与函数 3 对应的函数值对应的函数值y总是唯一的总是唯一的 否则称为否则称为 如如xy 是多值函数 是多值函数 它的两个单值支是它的两个单值支是 xy 单值函数 多值函数 单值函数 多值函数 约定约定 xy 今后今后无特别说明无特别说明时时 函数是指单值函数函数是指单值函数 Dx 对对 这种函数称为这种函数称为 4 构成函数的构成函数的 xyxylg2lg 2 是是两个不同的函数两个不同的函数 因为定义域不同因为定义域不同 如如 与对应法则与对应法则f 定义域定义域 f D 两个要素两个要素 36 函数的表示法只与定义域和对应法则有关函数的表示法只与定义域和对应法则有关 即 简称函数表示法的 即 简称函数表示法的 L fff 1 0 2 1 xfxxx x x fxf求其中设 求其中设 1 1 11 xx xxf 答案答案 表达式求解表达式求解 xf 这是由这是由 xgf的的 映射与函数映射与函数 5 而与用什么字母无关而与用什么字母无关 的有效方法的有效方法 无关特性 无关特性 xut 37 利用函数表示与变量字母无关的特性 利用函数表示与变量字母无关的特性 1 x x t 1 1 t x 代入原方程得 代入原方程得 1 2 1 1 t tf t f 1 1 1 u u x 1 1 u x 代入上式得 代入上式得 u u u u f u f 1 2 1 1 1 令即 令即 令即 令即 三式联立三式联立 映射与函数映射与函数 1 0 2 1 xfxxx x x fxf求其中设 求其中设 解解 1 1 11 xx xxf x x x xx x x x t 38 定义域定义域一般有两种一般有两种 1 自变量所能取的使算式有意义的一切自变量所能取的使算式有意义的一切 定义区间 定义区间 由问题的实际意义所确定由问题的实际意义所确定 2 函数的定义域常用区间来表示函数的定义域常用区间来表示 又可称为又可称为 映射与函数映射与函数 实际问题实际问题 几何或物理问题几何或物理问题 在纯数学的研究中在纯数学的研究中 函数由一个公式 实数组成的集合 函数由一个公式 实数组成的集合 这种定义域称为这种定义域称为自然定义域 自然定义域 表示的表示的 39 例例求下列函数的定义域求下列函数的定义域 16 log 1 2 1 xy x 12ln 2 7 12 arcsin 2 2 x xxx y 解解 1 4 2 2 1 U 02 2 xx 2 1 1 2 1 U 映射与函数映射与函数 016 2 x 01 x 11 x 2 1 7 12 x 定义域是 定义域是 定义域是 定义域是 012 x 112 x 40 常用的函数关系表示法 公式法 常用的函数关系表示法 公式法 解析法解析法 主要有主要有三种形式三种形式 表格法表格法 各种表示法各种表示法 都有其都有其优点和不足优点和不足 图形法图形法 公式法公式法 解析法解析法 图形法 表格法 图形法 表格法 今后以公式法为主今后以公式法为主 映射与函数映射与函数 便于进行理论分析和计算便于进行理论分析和计算 形象直观形象直观 富有启发性富有启发性 便于记忆便于记忆 便于查找函数值便于查找函数值 但它常常是不完全的但它常常是不完全的 也可用语言描述也可用语言描述 配合使用图形法和表格法配合使用图形法和表格法 是多种多样的是多种多样的 41 函数的图形函数的图形 图象图象 取自变量在横轴上在平面直角坐标系中 取自变量在横轴上在平面直角坐标系中 因变量在纵轴上变化因变量在纵轴上变化 则函数的图形是指变化则函数的图形是指变化 平面点集平面点集 通常是一条或几条通常是一条或几条 映射与函数映射与函数 曲线曲线 包括直线包括直线 yxP xfy Dx RR 中的集合中的集合 x y O y x yx xfy f R D C 42 例例按国家规定按国家规定 个人月收入个人月收入x不超过不超过880元不纳税元不纳税 超过超过880元而小于元而小于1380元的部分按元的部分按5 纳税 纳税 而 超过 而 超过1380元小于元小于2000元的部分按元的部分按10 纳税 纳税 则则 个人月收入个人月收入x与交纳所得税与交纳所得税y 的函数关系为的函数关系为 y 880 x 1380880 x 20001380 0 1 0 12 2 xx xx xf 12 xy 1 2 xy 映射与函数映射与函数 例例 x y O 44 几个今后常引用的函数几个今后常引用的函数 映射与函数映射与函数 绝对值函数绝对值函数例例 xy 0 x 0 x 1 0 x 0 0 x 1 1 1 Rx 有或 有或 sgn xxx 46 取整函数取整函数 如如 5 2 5 例例 映射与函数映射与函数 n Znnxn 1当当 xy 2 2 55 9 77 5 5 2 3 xy x y o 1 3 4 2 1 2 1 2 3 1 2 阶梯曲线阶梯曲线 定义域定义域 D值域值域 整数整数 f R 表示不超过表示不超过x的最大整数的最大整数 47 例例 狄利克雷狄利克雷 Dirichlet 函数函数 xDy Qx C Qx 狄利克雷狄利克雷 德德 1805 1859 x为有理函数为有理函数 x为无理函数为无理函数 映射与函数映射与函数 1 0 定义域定义域 D值域值域 1 0 f R 有理数点无理数点有理数点无理数点 x y O 1 48 设 则 设 则f x 的定义域的定义域 0 f 1 f 3 1 2 0 1 填空填空 映射与函数映射与函数 31 1 10 2 01 2 xx x x xf x 49 2 用分段函数表示函数用分段函数表示函数 13 xy 分段函数在其整个定义域上是一个函数分段函数在其整个定义域上是一个函数 答案答案 1 1 3 1 1 3 xx xx y 即 即 M 都有 若这样的 都有 若这样的M 不存在不存在 则称则称f x 即为对于任何即为对于任何 0 M总存在总存在 0 Ix 0 Mxf 使则称使则称f x 在 在I上上无界无界 有界 无界 有界 无界 x y Oa b xf M M baI x y O 2 0 x M x y 1 2 0 I 52 在定义域上有界的函数叫做在定义域上有界的函数叫做 例例 xysin 是有界函数 是有界函数 x y 1 是无界函数是无界函数 但它在区间上但它在区间上 0 在区间上 在区间上 1 注注一定要把区间明确出来一定要把区间明确出来 不是有界函数不是有界函数 就是无界函数就是无界函数 显然显然 映射与函数映射与函数 bounded function 有界函数 有界函数 有界等同于既有上界又有下界有界等同于既有上界又有下界 有下界有下界 有界有界 53 1 2 在定义域内为函数在定义域内为函数 x x xf A 有上界无下界有上界无下界B 有下界无上界有下界无上界 C 有界有界 且且 2 1 2 1 xfD 有界且有界且 2 1 2 2 x x 解解 2 1 x x xf 2 1 x x 2 x x 2 1 21 2 xx Q C 解题提示解题提示 将函数取绝对值将函数取绝对值 然后用不等式 放缩法 然后用不等式 放缩法 2 1 2 1 xf故故 映射与函数映射与函数 54 六个常见的有界函数六个常见的有界函数 1 sin x arccos x 1 cos x 2 arcsin x 2 arctan x cotarc x 1 1 映射与函数映射与函数 55 单调性单调性 monotonicity Dxf的定义域为设函数的定义域为设函数 时当时当 2121 xxIxx 上在区间则称函数上在区间则称函数Ixf 21 xfxf 是是单调增加单调增加 映射与函数映射与函数 DI 区间 区间 如果对恒有如果对恒有 monotone increasing x y O I xfy 1 xf 2 xf 1 x 2 x 56 I Dxf的定义域为设函数的定义域为设函数 注注 应指明单调区间应指明单调区间 否则会产生错误否则会产生错误 是是单调减少单调减少 映射与函数映射与函数 xfy 1 xf 2 xf 1 x 2 x DI 区间 区间 时当时当 2121 xxIxx 如果对恒有如果对恒有 上在区间则称函数上在区间则称函数Ixf monotone decreasing x y O 57 1 选择题选择题 2 34 25 1 xxyDxyC xyBxyA 0 0 0 2 21 求证上有定义在设求证上有定义在设 xxxf 单调增加若单调增加若 x xf 映射与函数映射与函数 在区间上由在区间上由 0 1 是单调增加的是单调增加的 单调减少若单调减少若 x xf 2121 xfxfxxf 则则 2121 xfxfxxf 则则 给出的函数给出的函数B 58 证证 0 0 2121 xxxx 且设 且设 0 0 0 2121 21 xfxfxxf x xf xxxf 则单调减少若 求证上有定义在设 则单调减少若 求证上有定义在设 2 2 x xf 于是于是 21 21 xx xxf 2121 xfxfxxf 2221 xfxxfx 映射与函数映射与函数 212 xxx 又 又 1 1 x xf 2 2 x xf 212 xxfx 22 xfx 12 xfx 1221 xfxxfx 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 有时也用其运算性质有时也用其运算性质 映射与函数映射与函数 主要是根据 奇偶性的定义 主要是根据 奇偶性的定义 63 周期性周期性 periodicity 的的周期周期 xflxf Dx 使得使得 周期函数周期函数 period function 映射与函数映射与函数 如果存在一个 正数 如果存在一个 正数 l 且总有 称为 且总有 称为f x 通常称周期函数的通常称周期函数的周期周期是指是指最小正周期 最小正周期 l 周期为 的周期函数周期为 的周期函数l Dlx 有有 2 3l 2 3l 2 l 2 l Ox y 设函数设函数f x 的定义域为的定义域为D 则称则称f x 是是 64 映射与函数映射与函数 例例狄利克雷狄利克雷 Dirichlet 函数函数 xDy Qx C Qx 1 0 狄利克雷狄利克雷 德德 1805 1859 有理数点无理数点有理数点无理数点 1 x y o 当当x是有理函数时是有理函数时 当当x是无理函数时是无理函数时 这是一个这是一个周期函数周期函数 任何正有理数任何正有理数r都是它 的周期 都是它 的周期 因为不存在最小的正有理数因为不存在最小的正有理数 所以没有 最小正周期 所以没有 最小正周期 65 周期函数的运算性质周期函数的运算性质 的周期为则的周期为若的周期为则的周期为若 1 baxfxfl 则为周期的函数均是以若则为周期的函数均是以若 2 lxgxf 为周期的函数也是以 为周期的函数也是以lxgxf 3 21 llxgxf分别是以若分别是以若 21 llxgxf是以则是以则 解题提示解题提示 判别给定函数是否为周期函数判别给定函数是否为周期函数 有时也用其运算性质有时也用其运算性质 映射与函数映射与函数 为周期的函数为周期的函数 函数函数 主要是根据周期的定义主要是根据周期的定义 21 ll a l 为周期的 的最小公倍数 为周期的 的最小公倍数 66 4 反函数与复合函数反函数与复合函数 映射与函数映射与函数 1 Dfxxfy 1 f 设函数设函数f 单射单射 则它存在逆映射 称此映射 则它存在逆映射 称此映射 1 f为函数为函数f 的的反函数 反函数 习惯上习惯上 Dxxfy 的反函数记成的反函数记成 1 定义定义 反函数反函数 inverse function D Df DfD 3 xy 3 yx 如如Rx 单射单射 Ry 反函数 直接函数 反函数 直接函数 3 yx 通常将写作通常将写作 3 xy Rx 一般地一般地 67 映射与函数映射与函数 直接函数与反函数的图形直接函数与反函数的图形xy 直线直线对称对称 关于关于 x y O baP abQ 1 xfy 反函数反函数 xfy 直接函数直接函数 xy 68 映射与函数映射与函数 如如 x y10 其反函数为其反函数为yxlg 指数函数指数函数 定义域为 值域为 定义域为 值域为 0 写成写成 xylg Ox y xy 1 x y10 1 xylg 注注并不是所有函数都存在反函数并不是所有函数都存在反函数 2 xy 如如函数函数 定义域为值域为 定义域为值域为 0 但对 但对 0 y都有两个都有两个 yx 1和和 yx 2与之对应与之对应 x不是不是y 的函数的函数 2 xy 不存在反函数不存在反函数 并称为对数函数并称为对数函数 69 减 减 而且反函数也是单调递增 减 而且反函数也是单调递增 减 映射与函数映射与函数 在什么条件下在什么条件下 一个函数存在反函数一个函数存在反函数 反函数存在定理反函数存在定理若直接函数若直接函数 f 在在D上单调递增上单调递增 1 f 求反函数的步骤求反函数的步骤 中解出从方程把中解出从方程把xfyx 对换与的把刚才所得的表达式中对换与的把刚才所得的表达式中yx 1 xf 1 2 即得所求函数的反函数 则函数 即得所求函数的反函数 则函数f 单射单射 D Df则它必存在反函数则它必存在反函数 70 选择题选择题 1 函数的反函数是函数的反函数是 210 1 x y 2lg 1 1 log 2log 2 lg 2 1 2 xyD x yC yB x x yA x D 2 函数函数 A 完全不同的完全不同的 B 部分相同部分相同 部分不同部分不同 C 完全相同的完全相同的 D 可能相同可能相同 也可能不同也可能不同 C 映射与函数映射与函数 xfy yx 与它的反函数 在同一坐标系中的图象是 与它的反函数 在同一坐标系中的图象是 71 映射与函数映射与函数 uy 设设 2 1xu 2 1xy 4 反函数与复合函数反函数与复合函数 2 复合函数复合函数 compound function 定义定义设函数设函数 ufy 的定义域是的定义域是 1 D函数函数 xgu 上在 上在D有定义有定义 且且 1 DDg 则由下式 确定的函数 则由下式 确定的函数 xgfy Dx 称为由函数称为由函数 ufy xgu 构成的构成的复合函数 复合函数 记作记作 gfo 即即 xgfxgf o 它的定义域为它的定义域为 D 中间变量中间变量 u f DDg 72 1 并非任何两个函数都能复合成为复合函数并非任何两个函数都能复合成为复合函数 21 22 xuuy和如和如 2 复合函数可以由两个以上的函数经过复合 构成 复合函数可以由两个以上的函数经过复合 构成 注注 因为的值域因为的值域 2 2xu 2 不能构成复合函数不能构成复合函数 不能包含于不能包含于 2 1uy 的定义域 的定义域 1 1 映射与函数映射与函数 之中之中 3 反过来反过来 一个复杂的函数根据需要也可以 分解为若干简单函数的复合 一个复杂的函数根据需要也可以 分解为若干简单函数的复合 f DDg 73 2 1 1 x ey ey 1 u 1 2 xv 复合函数的分解复合函数的分解 复合函数拆成几个简单函数复合函数拆成几个简单函数 由函数的最外层运算一层层剥到最 里边 由函数的最外层运算一层层剥到最 里边 切不可漏层切不可漏层 映射与函数映射与函数 如如 u v 都是中间变量都是中间变量 vu 复合函数的定义域是复合函数的定义域是 1 2 x 即即 1 1 1 1 UU而不是而不是 2 1xv 的定义域的定义域 剥皮法剥皮法 74 例例 3 21 2 10 1 的定义域求函数设 的定义域求函数设 xf x x xf 解解 231 2 130 1 3 x x xf 12 2 23 1 x x 1 3 故定义域为故定义域为 映射与函数映射与函数 求复合函数的定义域求复合函数的定义域 的值要落在外边函数的定义域内的值要落在外边函数的定义域内 注意保证套在里边的函数注意保证套在里边的函数 75 将两个或两个以上函数进行复合是本节的 难点 将两个或两个以上函数进行复合是本节的 难点 根据函数的特点分别讲几种复合的方法根据函数的特点分别讲几种复合的方法 1 代入法代入法 将一个函数中的自变量用将一个函数中的自变量用另一个函数另一个函数的表 达式来替代 的表 达式来替代 这种构成复合函数的方法这种构成复合函数的方法 法法 称为代入 该法适用于初等函数的复合 称为代入 该法适用于初等函数的复合 例例设设 1 2 x x xf 求 求 44 344 21 L 次次n xfff 解解 2 xffxf 1 2 xf xf 2 21x x 2 2 2 1 1 1 x x x x 映射与函数映射与函数 76 映射与函数映射与函数 2 2 21 x x xf 由以上两式可推测 由以上两式可推测 2 1 nx x xfn 由数学归纳法可证明上式成立 由数学归纳法可证明上式成立 23 xffxf 1 2 2 2 xf xf 2 31x x 2 2 2 21 1 21 x x x x 2 1 x x xf 77 2 分析法分析法 及中间变量的定义域进行 抓住最外层函数定义域的各区间段 及中间变量的定义域进行 抓住最外层函数定义域的各区间段 结合 该法适用于初等函数与分段函数或分段函 数之间的复合 结合 该法适用于初等函数与分段函数或分段函 数之间的复合 映射与函数映射与函数 中间变量的表达式 分析 中间变量的表达式 分析 例例 0 1 0 2 1 1 2 xf xx xx x xx xe xf x 求 设 求 设 78 例例 0 1 0 2 1 1 2 xf xx xx x xx xe xf x 求 设 求 设 解解 1 1 时当时当 x 0 x或或 12 xx 20 x 0 x或或11 2 xx 1 x 映射与函数映射与函数 1 1 xx xe xf x x x x x x x 2 x exf 1 2 x exf 79 1 2 时当 时当 x 0 x或或12 xx 2 x 0 x或或11 2 xx 01 x 综上所述综上所述 2 1 20 01 1 2 2 1 2 2 xx x x x e x e xf x x 0 1 0 2 1 1 2 xf xx xx x xx xe xf x 求 设 求 设 aaay x x ay x a y 1 1 a 1 0 x ey 定义域为定义域为 值域为值域为 0 映射与函数映射与函数 x y O 83 3 对数函数对数函数 logarithm function 1 0 log aaxy a xyln xy a log xy a 1 log 1 a 定义域为定义域为 值域为值域为 0 映射与函数映射与函数 x y O 0 1 84 4 三角函数三角函数 trigonometric function 正弦函数正弦函数 xysin xysin 定义域为定义域为 值域为值域为 1 1 映射与函数映射与函数 1 1 x y O 2 2 2 3 2 2 3 2 85 xycos xycos 余弦函数余弦函数 定义域为定义域为 值域为 值域为 1 1