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四川鑫统领建材科技有限公司四川鑫统领建材科技有限公司 Building Materials Industry 张大康张大康 用技术用技术用技术用技术用技术用技术 应应 Applied Technology 数理统计基础数理统计基础 四川鑫统领建材科技有限公司四川鑫统领建材科技有限公司2 35 用技术用技术用技术用技术用技术用技术 应应 Applied TechnologyApplied Technology 目目 录录 前前 言言1 基本概念与术语基本概念与术语2 统计量的概率分布统计量的概率分布3 统计量概率分布的几个性质统计量概率分布的几个性质4 四川鑫统领建材科技有限公司四川鑫统领建材科技有限公司3 35 用技术用技术用技术用技术用技术用技术 应应 Applied TechnologyApplied Technology 1 1 概述概述 数理统计是以数理统计是以概率论概率论为基础为基础 研究社会和自然界中大量随研究社会和自然界中大量随 机现象数量变化基本规律的一种方法机现象数量变化基本规律的一种方法 数理统计以概率论为基础数理统计以概率论为基础 根据试验或观察得到的数据根据试验或观察得到的数据 来研究来研究随机现象随机现象统计规律性的统计规律性的学科学科 应用概率论的结果更深入地分析研究统计资料应用概率论的结果更深入地分析研究统计资料 通过对某通过对某 些现象的些现象的频率频率的观察来发现该现象的内在规律性的观察来发现该现象的内在规律性 并作出并作出 一定精确程度的判断和预测一定精确程度的判断和预测 将这些研究的某些结果加以将这些研究的某些结果加以 归纳整理归纳整理 逐步形成一定的数学概型逐步形成一定的数学概型 这些组成了数理统这些组成了数理统 计的内容计的内容 第七章样本分布 1 1 前言前言 四川鑫统领建材科技有限公司四川鑫统领建材科技有限公司4 35 用技术用技术用技术用技术用技术用技术 应应 Applied TechnologyApplied Technology 1 2 数理统计的特点数理统计的特点 它以随机现象的观察试验取得资料作为出发点它以随机现象的观察试验取得资料作为出发点 以概率论以概率论 为理论基础来研究随机现象为理论基础来研究随机现象 根据资料为随机现象选择数根据资料为随机现象选择数 学模型学模型 且利用数学资料来验证数学模型是否合适且利用数学资料来验证数学模型是否合适 在合适在合适 的基础上再研究它的特点的基础上再研究它的特点 性质和规律性性质和规律性 四川鑫统领建材科技有限公司四川鑫统领建材科技有限公司5 35 用技术用技术用技术用技术用技术用技术 应应 Applied TechnologyApplied Technology 1 3 数理统计的内容数理统计的内容 数理统计包括抽样数理统计包括抽样 统计估计统计估计 假设检验假设检验 方差分析方差分析 相相 关分析关分析 试验设计等内容试验设计等内容 四川鑫统领建材科技有限公司四川鑫统领建材科技有限公司6 35 用技术用技术用技术用技术用技术用技术 应应 Applied TechnologyApplied Technology 2 2 基本概念与术语基本概念与术语 2 1 总体总体 样本样本 个体个体 引例引例2 1 2 1 某工厂为了检测一批出厂的十万只灯泡某工厂为了检测一批出厂的十万只灯泡 的寿命的寿命 出厂时随机抽取了出厂时随机抽取了10001000只灯泡进行检测只灯泡进行检测 引例引例2 22 2 为了统计全国的人均消费为了统计全国的人均消费 规定每个地规定每个地 区随机抽取千分之一的人口进行统计调查区随机抽取千分之一的人口进行统计调查 在数理统计中我们把研究对象的全体称为在数理统计中我们把研究对象的全体称为总体总体 组成组成 总体的每一单元称为总体的每一单元称为个体个体 被抽取到的所有个体的集合称被抽取到的所有个体的集合称 为为样本样本 总体总体 样本样本 总体总体 样本样本 四川鑫统领建材科技有限公司四川鑫统领建材科技有限公司7 35 用技术用技术用技术用技术用技术用技术 应应 Applied TechnologyApplied Technology 总体总体 研究对象的全体研究对象的全体 如一批灯泡如一批灯泡 样本样本 抽取的部分个体抽取的部分个体 个体个体 组成总体的每个元素组成总体的每个元素 如某个灯泡如某个灯泡 抽样抽样 从总体从总体X中抽取有限个个体对总体进行观察的取值中抽取有限个个体对总体进行观察的取值 过程过程 随机样本随机样本 随机抽取的随机抽取的n n个个体的集合个个体的集合 X X1 1 X X2 2 X Xn n n n为为 样本容量样本容量 简单随机样本简单随机样本 满足以下两个条件的随机样本满足以下两个条件的随机样本 X X1 1 X X2 2 X Xn n 称为简单随机样本称为简单随机样本 1 1 每个每个X Xi i与与X X同分布同分布 2 X2 X1 1 X X2 2 X Xn n是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量 四川鑫统领建材科技有限公司四川鑫统领建材科技有限公司8 35 用技术用技术用技术用技术用技术用技术 应应 Applied TechnologyApplied Technology 从总体中抽取样本时从总体中抽取样本时 为了使抽取的样本具有代表性为了使抽取的样本具有代表性 通常要求通常要求 1 抽取方法要统一抽取方法要统一 应使总体中每一个个体被抽到的机会应使总体中每一个个体被抽到的机会 是均等的是均等的 2 每次抽取是独立的每次抽取是独立的 即每次抽样结果不影响其它各次抽即每次抽样结果不影响其它各次抽 样结果样结果 也不受其它各次抽样结果的影响也不受其它各次抽样结果的影响 四川鑫统领建材科技有限公司四川鑫统领建材科技有限公司9 35 用技术用技术用技术用技术用技术用技术 应应 Applied TechnologyApplied Technology 2 2 2 2 总体总体 样本样本 样本观察值的关系样本观察值的关系 总体总体 样本样本 样本观察值样本观察值 理论分布理论分布 统计是从手中已有的资料统计是从手中已有的资料 样本观察值样本观察值 去推断总体的情去推断总体的情 况况 总体分布总体分布 样本是联系两者的桥梁样本是联系两者的桥梁 总体分布决定了总体分布决定了 样本取值的概率规律样本取值的概率规律 也就是样本取到样本观察值的规律也就是样本取到样本观察值的规律 因而可以用样本观察值去推断总体因而可以用样本观察值去推断总体 四川鑫统领建材科技有限公司四川鑫统领建材科技有限公司10 35 用技术用技术用技术用技术用技术用技术 应应 Applied TechnologyApplied Technology 2 3 2 3 统计量统计量 我们通常只关心总体的一个或几个指标我们通常只关心总体的一个或几个指标 这些指标可用随这些指标可用随 机变量来表示机变量来表示 在对样本进行观测时在对样本进行观测时 每个个体的取值结每个个体的取值结 果都是一个随机变量果都是一个随机变量 12 L n XXX n个样本个样本 12 L n xxx 样本观测值样本观测值 表示表示 四川鑫统领建材科技有限公司四川鑫统领建材科技有限公司11 35 用技术用技术用技术用技术用技术用技术 应应 Applied TechnologyApplied Technology 样本样本 样本的某种函数样本的某种函数 集中样本中我集中样本中我 们关心的信息们关心的信息 统计量统计量 加工加工 提炼提炼 在在引例引例2 1中中 我们希望知道全体灯泡的平均寿我们希望知道全体灯泡的平均寿 命命 一个简单的方法就是用样本一个简单的方法就是用样本 的平均寿命的平均寿命去估计总体的平均寿去估计总体的平均寿 命命 在此过程中在此过程中 我们将称我们将称 为统计量为统计量 121000 XXXL 121000 1000 XXX L 121000 1000 XXX L 四川鑫统领建材科技有限公司四川鑫统领建材科技有限公司12 35 用技术用技术用技术用技术用技术用技术 应应 Applied TechnologyApplied Technology 常用的统计量有常用的统计量有 1 样本均值样本均值 2 样本方差样本方差 3 样本均方差样本均方差 1 1 n i i XX n 22 1 1 1 n i i SXX n 2 1 1 1 n i i SXX n 四川鑫统领建材科技有限公司四川鑫统领建材科技有限公司13 35 用技术用技术用技术用技术用技术用技术 应应 Applied TechnologyApplied Technology 统计量是随机变量统计量是随机变量 其概率分布又称其概率分布又称抽样分布抽样分布 这些这些 分布在统计推断时起重要作用分布在统计推断时起重要作用 下面我们介绍几种常下面我们介绍几种常 见分布见分布 设设 是是X X的一个样本的一个样本 则则 或或 3 1 样本均值的分布样本均值的分布 2 12 L n XNXXXm sm s 2 XN n s s m m 0 1 X N n m m s s 3 3 统计量的概率分布统计量的概率分布 四川鑫统领建材科技有限公司四川鑫统领建材科技有限公司14 35 用技术用技术用技术用技术用技术用技术 应应 Applied TechnologyApplied Technology 设设 对给定的对给定的 称满足称满足 条件条件 或或 的点的点为标准正态分布的上为标准正态分布的上分位点或上侧分位点或上侧 临界值临界值 简称上简称上点点 8 5 式的几何意义如图式的几何意义如图8 1所示所示 0 1 XN 01 aa 1 a P XUa a Ua xj j a 图图8 1 O Ua ax a 四川鑫统领建材科技有限公司四川鑫统领建材科技有限公司15 35 用技术用技术用技术用技术用技术用技术 应应 Applied TechnologyApplied Technology 称满足条件称满足条件 的点的点为标准正态分布的双侧为标准正态分布的双侧分位点或双侧分位点或双侧 临界值临界值 简称双简称双点点 其几何意义见图其几何意义见图8 2所示所示 在统计中在统计中 可直接由可直接由 8 6 式通过查本书后附式通过查本书后附 表表1正态分布表求得正态分布表求得 可由可由 查表求得查表求得 2 a PXUa 2 a U a 2a 2a xj j O 2 a U 2 a U x 图图8 2 a U 2 a U 2 2 a a PXU a 四川鑫统领建材科技有限公司四川鑫统领建材科技有限公司16 35 用技术用技术用技术用技术用技术用技术 应应 Applied TechnologyApplied Technology 3 2 分布 2 c 设设为取自正态总体为取自正态总体的的 样本样本 则称则称 为服从为服从个自由度的个自由度的分布分布 记作记作 分布的概率密度函数为分布的概率密度函数为 注注 注注 式中式中为为函数函数 在在的函数值的函数值 12 n XXXL 0 1 XN 2222 12n xXXX L n 2 c c 22 xnc c 1 22 2 1 0 2 2 0 0 ny n yey n f y y G G G 2 n x 2 c c 四川鑫统领建材科技有限公司四川鑫统领建材科技有限公司17 35 用技术用技术用技术用技术用技术用技术 应应 Applied TechnologyApplied Technology n 10 n 4 n 1 图图8 3 0 5 0 1 3 5 7 9 11 13 1517 y 0 4 0 3 0 2 0 1 f x 四川鑫统领建材科技有限公司四川鑫统领建材科技有限公司18 35 用技术用技术用技术用技术用技术用技术 应应 Applied TechnologyApplied Technology 类似于标准正态分布类似于标准正态分布 我们称满足我们称满足 的点的点为为分布的上分布的上分位点或上侧临界分位点或上侧临界 值值 简称上简称上点点 其几何意义如图其几何意义如图8 4所示所示 这这 里里是是分布的概率密度分布的概率密度 2 22 a a xn Pnnf y dyacccc 2 a nc c 2 c c a f y 2 c c 图图8 4 f y O 2 a xn y a 显然显然 在自由度取定以后在自由度取定以后 的值只与的值只与有关有关 2 a nc c a a 四川鑫统领建材科技有限公司四川鑫统领建材科技有限公司19 35 用技术用技术用技术用技术用技术用技术 应应 Applied TechnologyApplied Technology 3 3 分布分布 设设 且且X与与Y相互独立相互独立 则称随机变量则称随机变量 服从服从个自由度的个自由度的分布或学生氏分布分布或学生氏分布 记作记作 分布的概率密度函数为分布的概率密度函数为 其图形如图其图形如图8 5所示所示 t 2 0 1 XNYnc c X T Y n nt Tt n t 12 2 1 2 1 2 n n t f tt n n np p G G G G 四川鑫统领建材科技有限公司四川鑫统领建材科技有限公司20 35 用技术用技术用技术用技术用技术用技术 应应 Applied TechnologyApplied Technology 0 1 0 2 0 3 0 4 3 2 1 0 1 2 3 n 1 4n 10n 图图8 5 其形状类似标准正态分布的概率密度的图形其形状类似标准正态分布的概率密度的图形 当当较大较大 时时 分布近似于标准正态分布分布近似于标准正态分布 n t 四川鑫统领建材科技有限公司四川鑫统领建材科技有限公司21 35 用技术用技术用技术用技术用技术用技术 应应 Applied TechnologyApplied Technology 对于给定的对于给定的 我们也称满足条件我们也称满足条件 的点的点为为分布的上分布的上分位点或上侧临界分位点或上侧临界 值值 简称上简称上点点 其几何意义如图其几何意义如图8 6所示所示 01 aa a tn t a 图图8 6 f t a tn t O a a 四川鑫统领建材科技有限公司四川鑫统领建材科技有限公司22 35 用技术用技术用技术用技术用技术用技术 应应 Applied TechnologyApplied Technology 由由分布的对称性分布的对称性 也称满足条件也称满足条件 的点的点为为分布的双侧分布的双侧分位点或双侧分位点或双侧 临界值临界值 简称双简称双点点 其几何意义如图其几何意义如图8 7所所 示示 图图8 7 2a 2a f t 2 a tntO 在附表在附表4中给出了中给出了分布临界值表分布临界值表 当当 时时 可以用标准正态分布代替可以用标准正态分布代替分布查分布查的的 值值 t 45n a tn aa tnX t 2 a Pt ntna 2 a tn ta t 2 a tn a 四川鑫统领建材科技有限公司四川鑫统领建材科技有限公司23 35 用技术用技术用技术用技术用技术用技术 应应 Applied TechnologyApplied Technology 3 4 F 分布分布 设设 且且与与相相 互独立互独立 则称随机变量则称随机变量 服从第一自由度为服从第一自由度为 第二自由度为第二自由度为的的 分布分布 记作记作 F分布的概率密度函数为分布的概率密度函数为 其中其中 22 1122 VnVncccc 11 22 V n F Vn 1 V 2 V 1 n 2 nF 12 FF n n 112 1 1 22 2 1 0 0 0 nnn n Ayyy f yn y 0 0 12 a F n n f y a 2 c c t 四川鑫统领建材科技有限公司四川鑫统领建材科技有限公司26 35 用技术用技术用技术用技术用技术用技术 应应 Applied TechnologyApplied Technology 的值可由的值可由F分布表分布表 附表附表5 查得查得 在附表在附表5中所列的中所列的值都比较小值都比较小 当当较大时较大时 可用下面公式可用下面公式 查查F分布表得到分布表得到 12 a F n n aa 112 21 1 a a Fn n F n n 图图8 9 12 a F n n O y f y a 四川鑫统领建材科技有限公司四川鑫统领建材科技有限公司27 35 用技术用技术用技术用技术用技术用技术 应应 Applied TechnologyApplied Technology 性质性质1分布具有可加性分布具有可加性 设设 且相互独立且相互独立 则则 性质性质2 设设为来自总体为来自总体 的样本的样本 则则 1 样本均值样本均值与样本方差与样本方差相互独立相互独立 2 2 c c 2222 1122 xnxncccc 222 1212 xxnnc c 12 n XXXL 2 XNm sm s X 2 S 2 2 2 1 22 1 1 n i i XX nS xn ssss 4 4 统计量概率分布的几个性质统计量概率分布的几个性质 四川鑫统领建材科技有限公司四川鑫统领建材科技有限公司28 35 用技术用技术用技术用技术用技术用技术 应应 Applied TechnologyApplied Technology 性质性质3设设为来自总体为来自总体 的样本的样本 则统计量则统计量 性质性质4设设和和分别来自正态分别来自正态 总体总体和和的样本的样本 且它们相互独且它们相互独 立立 则统计量则统计量 其中其中 分别为两总体的分别为两总体的 样本方差样本方差 12 n XXXL 2 XNm sm s 1 X t n S n m m 121 n XXXL 122 n Y YYL 2 1 Nm sm s 2 2 Nm sm s 12 12 12 2 11 w XY t nn S nn mmmm 22 1122 12 1 1 2 w nSnS S nn 2 1 S 2 2 S 四川鑫统领建材科技有限公司四川鑫统领建材科技有限公司29 35 用技术用技术用技术用技术用技术用技术 应应 Applied TechnologyApplied Technology 性质性质5 设设为正态总体为正态总体的样本容量的样本容量 和样本方差和样本方差 为正态总体为正态总体的样本的样本 容量和样本方差容量和样本方差 且两个样本相互独立且两个样本相互独立 则统计则统计 量量 2 1 Nm sm s 2 22 n S 2 22 Nm sm s 22 12 12 22 12 1 1 SS F nn ssss 2 11 n S 四川鑫统领建材科技有限公司四川鑫统领建材科技有限公司30 35 用技术用技术用技术用技术用技术用技术 应应 Applied TechnologyApplied Technology 正态分布 定义定义 设设X X的概率密度为的概率密度为 其中其中为常数为常数 称称X X服从参数为服从参数为的的正态分布正态分布 GaussGauss 分布分布 记为记为 可以验证可以验证 2 2 2 1 2 x f xex m s ps 2 XNm s 1f x dx f x dx Q 2 2 t Iedt 记 2 21 2 x t t edt m s s ps 令 2 2 1 2 t edt p 22 2 2 xy Iedxdy 2 2 2 00 r dredr p q 2Ip 1f x dx 2 m s 2 m s 四川鑫统领建材科技有限公司四川鑫统领建材科技有限公司31 35 用技术用技术用技术用技术用技术用技术 应应 Applied TechnologyApplied Technology 称 为位置参数 决定对称轴位置 为尺度参数 决定曲线分散性 max 2 1 1 2 2 3 0 x f xx ff limf x XN m m m ps m s o o o 关于对称 0 f x m 1 m x 5s 5s m 0 5s 1 0s f x x 1 5s 0 798 0 399 0 266 0 四川鑫统领建材科技有限公司四川鑫统领建材科技有限公司32 35 用技术用技术用技术用技术用技术