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山 东 工 业 职 业 学 院教 案 首 页课次 编定 月 日 授课日期班级课 题 12.6 统计量与统计特征数 教学目的：1、 了解样本和总体、统计量的有关概念2、 掌握统计特征数的计算方法及其应用3、 熟记常用的几种统计量的分布教学重点、难点： 统计特征数的计算方法及其应用 常用的几种统计量的分布的实际应用教学措施（课型、教法、教具、参考书）： 新授课 启发式讲解结合课堂练习 版书设计：重点突出，其他密切配合 课外作业（复习、练习、预习）： 习题12.6. 2. 4.教学后记： 本次内容基本掌握，个别同学理解不够深刻，在练习中慢慢体会吧。 教学过程： 订正作业 复习：1、数学期望和方差的概念 2、数学期望和方差的性质 3、常用随机变量的数学期望和方差 新课: 126 统计量与统计特征数数理统计是研究随机现象规律性的科学。它以概率为基础，通过对样本的分析来估计或判断总体的某些性质或特性。所以数理统计在理论上和实际上都有很重要的意义。1261 样本和总体在数理统计中，我们把研究对象的全体叫总体（或母体），组成总体的每一个元素叫做个体；从总体中抽出的一部分个体叫样本；样本中所包含的个体叫做样品，样品的个数叫做样本容量。在数理统计中，总体指的是研究对象的某一项数量指标的集合，从而个体就是指数量指标的个别元素。例如，考察某种电子元件时，这批电子元件的全体就是总体。每一个元件就是一个个体。如果我们所关心的是这批电子元件的使用寿命，那么总体就是各个电子元件的使用寿命的集合，个体就是每一个电子元件的使用寿命。显然，检查电子元件的使用寿命是破坏性的，所以不可能逐个去检查，只能从中抽取一小部分，所抽取的这一部分元件就是一个样本。如果抽取了10各元件进行检验，这时样本容量n=10。由于一个总体指的是研究对象的某种数值的集合，其中每一个个体都可能取不同的数值，而且在事先是不能预言的，因此一个总体可以看成是某个随机变量可能取值的全体，习惯上常说成总体。从总体中抽取一个容量为n的样本，由于样本是随机地重复抽取的，我们可以把容量为n的样本看成是n个随机变量（，），在一次抽样后，观察到（，）的一组确定的值（，）叫做容量为n的样本的一组观察值，这些数值就不再是随机变量了。在上例中，电子元件的使用寿命为随机变量，从中抽取容量n=10的样本（，），一次抽取后，经过测定，可以得到这10个元件的使用寿命（，）就是样本的一组观察值。在数理统计中，抽取样本必须是随机的。如果在所研究的总体中，每一个个体都有被抽到的可能，并且每一个个体被抽到的机会都是相等的，那么这种取样叫做随机抽样。由随机抽样所得的样本叫做随机样本，随机样本（，）一般来说与总体有相同的分布。在随机抽样中，如果样本，是相互独立的随机变量，就叫做简单随机抽样。因此从总体中有放回地随机抽取容量为n的样本就是一种简单随机抽样。如果抽样是无放回的，那么，当样本容量n对于总体来说是很小时，也可以看作是随机抽样。在本书中如果没有特殊说明，抽样都是指简单随机抽样。简单随机抽样的方法是：先把总体中的个体编上号，然后用抽签等方法，或者查随机数表，按所得到的数字从已编好的总体中抽取n个样品组成一个样本，就得到一个简单随机样本。1262 统计量为了估计或推断总体的某些性质或数字特征，从总体中抽取一个随机样本（，），并且通过样本的信息或数字特征来推断或检验总体的某些性质或数字特性，但是样本所具有的信息有时不能直接用来解决我们所要研究的问题，需要先把样本进行数学上的加工，这在数理统计中常常是通过构造一个合适的统计量来达到的。例如，要检验一批电子元件的平均使用寿命。电子元件的使用寿命是一个随机变量即总体，每次抽取容量为10的样本（，），样本的平均值记为，则=，它是（，）的函数，这样的函数叫做样本函数。如果在样本函数中不包含未知参数，那么这个样本函数就叫做统计量。显然，样本均值就是一个统计量。由于统计量中不包含未知参数，所以可以通过样本（，）的一组观察值（，）统计出其数值。因为每一次抽取的样本观察值不会完全相同，所以统计量也是随机变量。例如，设（，）是来自正态总体N（，）的一个样本，若，为已知，则样本函数是一个统计量；若参数和中至少有一个未知，这个样本函数就不是统计量。统计量是相对样本而言的，是随机变量。它的取值依赖于样本值。参数一般是指总体分布中所含的参数或数字特征。1263 统计特征数能反映样本值分布的数字特征的统计量的观察值统称为统计特征数。下面介绍几个常用的统计特征数。设（，）是来自总体的样本，观察值为（，）。1样本均值统计量=叫做样本均值，其观察值记为2中位数将样本观察值数据，按大小排序后，居中间位置的数叫做中位数，记为Me；当n为偶数时，规定Me为居中位置的两数的平均值。3样本方差统计量叫做样本方差，其观察值为。4样本极差统计量R=maximini叫做样本极差，其观察值为R=maxximinxi。5样本标准差统计量叫做样本标准差，其观察值为。样本均值代表样本取值的平均水平。样本方差、样本极差反映了样本值数据的集中（或离散）的程度。极差计算方便，它直观地反映了样本取值的幅度和范围，但它忽略了样本值数据偏离样本均值的程度。样本极差与中位数叫做顺序统计量。样本均值、样本方差、样本标准差可以在计算器上直接计算，其他统计特征数可用专门软件在微机上获得。例1 某厂生产一批轴。随机地取出12根，测得轴直径数据如下（单位为mm）：13.30,13.38,13.40,13.43,13.51,13.32,13.48,13.50,13.35,13.47,13.44,13.40,试求，S，S2，Me和R。解 用计算器直接计算得13.4150, S0.0691, S20.0048将数据排序后可知Me=(13.40+13.43)2=13.415, R=13.5113.30=0.211264 统计量的分布下面介绍在参数估计和假设检验中常用的几种统计量的分布。12分布如果n个随机变量表示的事件都相互独立，则称n个随机变量是相互独立的。如果n个随机变量，相互独立，且都服从标准正态分布N（0，1），则称随机变量2=是服从参数为n的2分布，记作22（n），参数n称为2分布的自由度。2分布密度函数及其图像与自由度n有关。下面给出n为1，4，10时的2（n）的密度函数的图像（见图12.9）。由图像可知：x0时，f（x）=0，P（x20）=1；n+时，2分布接近正态分布。图12.92t分布如果、是相互独立的随机变量，且N（0，1），2（n），则随机变量T=称为服从自由度为n的t分布，记作Tt（n）。图12.10是t分布的密度函数f（x）的图像。该图像关于纵轴对称，且n+时，t分布非常接近正态分布。图12.1032、t分布表与临界值当服从2分布时，使P（）=成立的称为临界值，记作，当服从t分布时，使P（）=成立的称为临界值，由于P（）=2P（），即P（）=，将记作。对于给定的及自由度，可通过2分布、t分布的临界值表查出临界值。对于标准正态分布N（0，1），同样有P（）=2P（）。使P（）=成立的称为临界值，记为。由于P（）=1P（）=1，即（）=1，可利用标准正态分布标查出。当2（n）时，P（）=1，其中P（）=P（）=。可由2分布表直接查出，利用公式P（）=1及2分布表查出。4常见统计量的分布设（，）是来自正态总体N（，）的一个样本，则有如下结论：（1）N（，），且与S2相互独立；（2）T=t（n-1）；（3）U=N（0，1）；（4）2=2（n-1）。例2 设=0.05，求下列各式中的临界值：（1）P（）=1，其中N（0，1）；（2）P（）=1，其中t（11）；（3）P（）=1，其中2（n），n=14解 （1）（）=1即（）=0.975查标准正态分布标