《质量控制》大作业.doc

质量控制课程（大作业）题 目：离散型随机变量的概率分布及在生活生产中的应用 学 院： 测试与光电工程学院专 业： 测控技术与仪器 姓 名： 班 级： 学 号： 二0一五年一月 离散型随机变量的概率分布及在生活生产中的应用概率分布是概率论的基本概念之一，用以表述随机变量取值的概率规律。为了使用的方便，根据随机变量所属类型的不同，概率分布取不同的表现形式。作一次试验，其结果有多种可能。每一种可能结果都可用一个数来表示，把这些数作为变量x的取值范围，则试验结果可用变量x来表示。对100头病畜用某种药物进行治疗，其可能结果是“0头治愈”、 “1头治愈”、“2头治愈”、“”、“100头治愈”。若用x表示治愈头数，则x的取值为0、1、2、100。测定某品种猪初生重，表示测定结果的变量x所取的值为一个特定范围(a,b)，如0.51.5kg，x值可以是这个范围内的任何实数。 如果表示试验结果的变量x，其可能取值至多为可列个，且以各种确定的概率取这些不同的值，则称x为离散型随机变量(discrete random variable)；如果表示试验结果的变量x，其可能取值为某范围内的任何数值，且x在其取值范围内的任一区间中取值时，其概率是确定的，则称x为连续型随机变量(continuous random variable)。要了解离散型随机变量x的统计规律，就必须知道它的一切可能值xi及取每种可能值的概率pi。如果我们将离散型随机变量x的一切可能取值xi(i=1,2,)，及其对应的概率pi，记作P(x=xi)=pi,i=1,2, 则称左式为离散型随机变量x的概率分布或分布。其性质有： 非负性 规范性 离散型随机变量的分布函数 F( x) 是分段阶梯函数，在 X 的可能取值Xk处发生间断，间断点为第一类跳跃间断点，在间断点处有跃度 Pk。离散型随机变量的数学期望 离散型随机变量X的所有可能取值Xi与其取对应的概率Pi乘积之和，描述离散型随机变量取值的集中程度记为或E（X）。计算公式为离散型随机变量的方差 随机变量X的每一个取值与期望值的离差平方和的数学期望，记为或D（X），描述离散型随机变量取值的分散程度，计算公式为 方差的平方根称为标准差，记为或D（X）。常见的离散型随机变量分布一、二项分布 二项分布即重复n次独立的伯努利试验。在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布就是伯努利分布。用表示随机试验的结果。二项分布公式 如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p，N次独立重复试验中发生K次的概率是P(=K)= C(n,k) * pk * (1-p)(n-k), 其中C(n, k) = n!/(k! * (n-k)!)注意！:第二个等号后面的括号里的是上标，表示的是方幂。那么就说这个属于二项分布。.其中P称为成功概率。记作B(n,p)，期望：E=np，方差:D=npq。证明:由二项式分布的定义知，随机变量X是n重伯努利实验中事件A发生的次数，且在每次试验中A发生的概率为p.因此，可以将二项式分布分解成n个相互独立且以p为参数的（0-1）分布随机变量之和。 设随机变量X（k）(k=1,2,3.n)服从（0-1）分布，则X=X(1)+X(2)+X(3).X(n).因X(k)相互独立,所以期望：E(X)=EX(1)+X(2)+X(3).X(n)=np.方差：D(X)=DX(1)+X(2)+X(3).X(n)=np(1-p). 如果 1在每次试验中只有两种可能的结果，而且是互相对立的； 2每次实验是独立的,与其它各次试验结果无关; 3结果事件发生的概率在整个系列试验中保持不变，则这一系列试验称为伯努利实验。 在这试验中,事件发生的次数为一随机事件，它服从二次分布.二项分布可二项分布以用于可靠性试验。可靠性试验常常是投入n个相同的式样进行试验T小时,而只允许k个式样失败，应用二项分布可以得到通过试验的概率.若某事件概率为p，现重复试验n次，该事件发生k次的概率为：P=C(n,k)pk(1-p)(n-k).C(n,k)表示组合数，即从n个事物中拿出k个的方法数。二、两点分布 伯努利分布(Bernoulli distribution)是一个离散型机率分布，为纪念瑞士科学家詹姆斯伯努利(Jacob Bernoulli 或James Bernoulli)而命名。一个离散型机率分布，是超几何分布的特殊情况。 伯努利分布，又名两点分布或者0-1分布，是一个离散型概率分布，为纪念瑞士科学家雅各布伯努利而命名。)若伯努利试验成功，则伯努利随机变量取值为1。若伯努利试验失败，则伯努利随机变量取值为0。记其成功概率为，失败概率为。则其概率质量函数为：其期望值为：其方差为：三、几何分布 几何分布（Geometric distribution）是离散型概率分布。其中一种定义为：在n次伯努利试验中，试验k次才得到第一次成功的机率。详细的说，是：前k-1次皆失败，第k次成功的概率。 公式： 它分两种情况： 1. 得到1次成功而进行n次伯努利试验，n的概率分布，取值范围为（1，2，3，.）; 2. m = n-1次失败，第n次成功，m的概率分布，取值范围为（0，1，2，3，.）. 由两种不同情况而得出的期望和方差如下： 1. ；, 2. ； 概率为p的事件A，以X记A首次发生所进行的试验次数，则X的分布列：， 具有这种分布列的随机变量X，称为服从参数p的几何分布，记为XGeo(p)。 几何分布的期望： ， 几何分布的方差： 。四、泊松分布 泊松分布（Poisson distribution），台译卜瓦松分布，是一种统计与概率学里常见到的离散机率分布（discrete probability distribution）。泊松分布是以1819 世纪的法国数学家西莫恩德尼泊松（Simon-Denis Poisson）命名的，他在1838年时发表。但是这个分布却在更早些时候由贝努里家族的一个人描述过。就像当代科学史专家斯蒂芬施蒂格勒（Stephen Stigler）所说的误称定律（the Law of Misonomy），数学中根本没有以其发明者命名的东西。泊松分布（poissondistribution)是一种统计与概率学中最常见的离散型概率分布，由法国数学家西莫恩德尼泊松（simon-Denispoisson）于1838年提出，近些年来，随着自然科学的不断发展，泊松分布的重要性日益彰显在泊松随机变量概念的基础上，加以推广便得到了泊松过程的概念泊松过程属于早期的和简单的点过程理论研究但泊松分布的相关概念在自然科学中却有着不可替代的位置泊松过程可以拟合现实生活中很大一部分的实际问题，比如保险理赔问题和排队论问题排队论的基本思想是丹麦电话工程师A.K.埃尔郎在解决自动电话问题时开始形成发展的一个随机服务系统理论通过对服务对象及服务时间的统计研究，得出数量指标（等待时间，排队长度等）的统计规律，然后根据这些规律来改进服务系统的结构或重新组织被服务对象使得服务系统既能满足服务对象的需要，又能使机构的费用最经济或某些指标最优此外，泊松分布在诸如管理科学、交通运输、生物学、物理学、医学等很多涉及排队论问题的领域有着大量成功运用的实例泊松分布的概率分布函数为： 泊松分布的参数是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。 泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。泊松分布的期望和方差均为。五、超几何分布产品抽样检查中经常遇到一类实际问题，假定在N件产品中有M件不合格品，即不合格率p=M/N。在产品中随机抽n件做检查，发现k件不合格品的概率为P(X=k)=C(M,k)*C(N-M,n-k)/C(n,N),k=0,1,2,.,minn,M。通常称这个随机变量X服从超几何分布。这种抽样检查方法等于无放回抽样。超几何分布是统计学上一种离散概率分布。它描述了由有限个物件中抽出n个物件，成功抽出指定种类的物件的次数（不归还）。在产品质量的不放回抽检中，若N件产品中有M件次品，抽检n件时所得次品数X=k，则P(X=k)=C(k M）C(n-k N-M)/C(n N）， C（a b）为古典概型的组合形式，a为下限，b为上限，此时我们称随机变量X服从超几何分布（hypergeometric distribution）超几何分布的模型是不放回抽样；超几何分布中的参数是M,N,n上述超几何分布记作XH(n，M，N）。超几何分布的期望：XH(N，M，n），E(x)=nM/N证明：引理一：C(x,a)*C(d-x,b),x=0.mina,d=C(d,a+b），考察（1+x)a*（1+x)b中xd的系数即得。（另：还可以由超几何分布1=P(X=K),k=0,1,2.n得）引理二：k*C(k,n)=n*C(k-1,n-1），易得。正式证明：EX=k*C(k,M)*C(n-k,N-M)/C(n,N),k=0.minM,n=1/C(n,N)*M*C(k-1,M-1）*C(n-k,N-M),k=1.minM,n/（提取公因式，同时用引理二变形，注意k的取值改变）=M/C(n,N)*C(k-1,M-1）*C(n-k,N-M),k=1.minM,n （提取，整理出引理一的前提）=M*C(n-1,N-1）/C(n,N) （利用引理一）=Mn/N （化简即得）超几何分布的方差：XH(N,M,n)，D(X)=nM(N-M)(N-n)/(N2）（N-1）证明：DX=E(X2）-(EX)2 （此公式利用定义式简单展开即得）=k2*C(k,M)*C(n-k,N-M)/C(n,N),k=0.minM,n-(Mn/N)2=1/C(n,N)*M*k*C(k-1,M-1）*C(n-k,N-M),k=1.minM,n-(Mn/N)2（提取，变形）=M/C(n,N)*(k-1）*C(k-1,M-1）*C(n-k,N-M)+C(k-1,M-1）*C(n-k,N-M),k=1.minM,n-(Mn/N)2（拆项，变形）=M/C(n,N)*(M-1）*C(k-2,M-2）*C(n-k,N-M),k=2.minM,n+M/C(n,N)*C(k-1,M-1）*C(n-k,N-M),k=1.minM,n-(Mn/N)2 （拆开，就是分组求和）=M(M-1）*C(n-2,N-2）/C(n,N)+Mn/N-(Mn/N)2=nM(N-M)(N-n)/(N2）（N-1） （化简即得）六、负二项分布 负二项分布是统计学上一种离散概率分布。满足以下条件的称为负二项分布：实验包含一系列独立的实验， 每个实验都有成功、失败两种结果，成功的概率是恒定的，实验持续到r次成功，r为正整数。 当r是整数时，负二项分布又称帕斯卡分布，其概率质量函数为 它表示，已知一个事件在伯努利试验中每次的出现概率是p，在一连串伯努利试验中，一件事件刚好在第r + k次试验出现第r次的概率。 取r = 1，负二项分布等于几何分布。其概率质量函数为应该是f(k;1,p)=p(1-p)(k-1)。离散型随机变量分布的应用一、泊松分布与负二项分布在模拟赔偿次数中的应用 在实际中, 不会有大量数据可以确定理赔次数的分布, 因此必须为理赔次数选择一个合适的模型来拟和.泊松分布与负二项分布都能比较满意地用来拟和风险集体的理赔次数, 还具有其它分布不能企及的优良特性。 基本模型 泊松分布X以全体自然数为一切可能值, 其分布律为记为P().显然有:E(X)=, Var(X)=.为了描述稀有事件, 只含有一个参数的泊松分布往往是第一选择, 当风险集体同质时, 理赔次数服从Poisson分布, 均值等于方差。 负二项分布有两个基本模型: (1)若在伯努利试验序列中, 每次试验成功的概率为p, 则恰好出现n次成功所需试验次数X服从参数为 (n, p)的第一类负二项分布,记为NB1(n,p),0p1的统计.(2)若在伯努利试验序列中, 每次试验成功的概率为p, 则恰好出现n次成功所需失败次数X服从参数为(n, p)的第二类负二项分布, 记为NB2(n, p), 0p0, 其中n表示第n次索赔发生的频率强度, n-1为已经发生的索赔次数.已证明：当已经发生n次索赔时, 经过时间h发生k次索赔的概率如果令则有可见，在长度为h的时间区间内发生k次索赔的概率服从参数为(n,p(h)的第二类型负二项分布。几乎所有的汽车保险人都采用了无赔款优待系统(BMS)，根据投保人以往年份的索赔情况调整其续期保费.通常的原则是，上一保险年度发生的索赔次数越多，次年的续期保费将越高， 反之则否。保险公司调整投保人续期保费的主要目的之一就是为了公平投保人的保费负担，使高风险的投保人缴纳相对较高的保险费，并且有人设计出了最优BMS， 可以根据投保人的索赔经验对投保人的续期保费进行调整，但该模型假定单个投保人的索赔次数服从泊松分布，这意味着投保人以前是否发生过保险事故对今后是没有影响的，但实际上投保人的索赔经历往往具有传染性。由于负二项分布是一种正向传染模型，在这种情况下单个投保人的索赔次数可能更加接近于服从负二项分布，因此风险理论中在拟合索赔次数时常用第二种类型的负二项分布。容易看出，负二项分布有一个很简单的性质，方差大于均值.负二项分布的方差越大于其均值，表明投保集体存在的非同质性越严重。二、二项分布在生活中的应用在概率统计中,对这两种结果分别称为“成功”和“失败”，每做一次这样的事情看成是一次“试验”。如果试验可以重复多次，每两次之间互不影响，且每次试验成功的概率固定不变。那么称这样的试验为伯努利(Bernouli)试验。多重(即多次)伯努利试验结果的概率分布,称为二项分布。二项分布在生活中有着广泛的应用，下面举个人力分配的例子来说明。 某公司研发楼有5层，每层有100名员工，每人一台电脑,每层安排有一位IT服务工程师,负责电脑及网络的维护。任一时刻,每位员工需要IT工程师协助的概率为 0.5%。有两种方案安排 IT工程师的工作：1)每位IT工程师只负责本楼层的电脑及网络的维护，即1人维护100台电脑；2)每位 IT工程师优先服务于本楼层，在某位IT工程师忙不过来的时候，其他闲着的 IT工程师要对其帮助，即5人共同维护500台电脑。问，哪种方案更加合理？ 采用方案1时，某层楼出故障的电脑台数服从n=100，p=0.005的二项分布，某时刻恰好有k台电脑出故障的概率为， k=0,1,2,.100。计算可知，没有电脑出故障(k=0)、恰好有 1台电脑出故障的概率分别为 0.6058和0.3044,0.6058+0.3044=0.9102,有 2台或者更多电脑出故障的概率为 1-0.9102=0.0898,就是说，对于某一层楼的IT工程师而言，能够忙得过来的概率为91.02%，忙不过来的概率为 8.98%。所有的IT工程师们都能够忙得过来的概率为 0.91025 = 0.6247，整栋研发楼里面出现至少有一位IT工程师忙不过来的情况的概率为1-0