第二 方程与不等式的应用(老师使用).doc

第二讲 方程与不等式的应用 一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组是初一数学的重难点内容，也是数学学科的重要基础。本讲我们主要探究利用方程与不等式解决综合性问题，利用类比转化的思想研究不定方程（组）及含绝对值的一元一次方程问题。一、不等式与方程的综合题例1已知关于x的方程组的解满足xy，求 p的取值范围。解法一： （1）3+（2）（-2）：x=p+5，将 x=p+5代入（1），得y=-p-7 因为 xy，所以p+5-p-7，解得p-6解法二：（整体代入） （2）-（1）：x+y=-2 （3） 把（3）代入（1），x=p+5，将 x=p+5代入（1），得y=-p-7 因为 xy，所以p+5-p-7，解得p-6v练习：若，、皆为非负数，求的取值范围。 解： （1）+（2）：4x+2y=80 , y=40-2x （3） 把（3）代入（1）：z=x-10 （4） 所以：M=-x+140即x=140-M （5） 分别将（5）代入（3）（4）： 解得 所以二、不定方程（组） 在实际生活中，我们还会遇到未知数的个数多于方程的个数的方程（组），这种方程（组）叫不定方程（组）不定方程或不定方程组若对解不加限制，则有无穷多个解，若对解加以限制，则不定方程（组）的解有三种可能：仍有无穷多解，只有有限个解、无解。我们常常研究不定方程（组）的整数解或正整数解的情况。 例3若干只6脚蟋蟀和8脚蜘蛛，共有46只脚，问蟋蟀和蜘蛛各有多少只？解：设有只蟋蟀，只蜘蛛，则有：（称之为不定方程）下面求此方程的非负整数解由得： 用0，1，2，3，4，5代入式：当0时，不为整数，舍去当1时，不为整数，舍去当2时，为非负整数，符合条件当3时，不为整数，舍去当4时，不为整数，舍去当5时，为非负整数，符合条件所以原不定方程的非负整数解为或v练习：有一根长38米的铁丝，全部分成5米和3米长的铁丝，要求没有剩余，问有多少种不同的分法？解：设分成5米长的有条，分成3米长的有条，则有：（称之为不定方程）下面求此方程的非负整数解由得： 最大取7用0，1，2，3，4，5，6，7代入式：当0时，不为整数，舍去当1时，为非负整数，符合条件当2时，不为整数，舍去当3时，不为整数，舍去当4时，为非负整数，符合条件当5时，不为整数，舍去当6时，不为整数，舍去当7时，为非负整数，符合条件所以原不定方程的非负整数解为，v练习：某人用15元钱买了20张邮票，其中有1元，8角，2角的邮票。问他可能有多少种不同的买法？解：设买一元邮票张，8角邮票张，2角邮票张。根据题意得：（此方程组称为不定方程组，即未知数的个数多于方程的个数）下面我们求此不定方程组的正整数解由（2）得：（3）由（3）（1）得： 的最大整数取13经验证当1，4，7，10，13时，取正整数原方程组的正整数解为：，所以共有5种不同的买法。三、含绝对值的一元一次方程：（一）形如方程的解法例6 解下列方程（1） 解法1：（分类讨论）当5x-20时，即x， 5x-2=3， 5x=5， x=1 因为x=1符合大前提x，所以此时方程的解是x=1当5x-2=0时，即x=， 得到矛盾等式0=3，所以此时方程无解当5x-20时，即x， 5x-2= -3，x= 因为x=符合大前提x，所以此时方程无解当4x+20时，即x， 4x+2= x-1，x= 因为x=不符合大前提x0 所以4x+2=x-1， x=-1，不符合条件x1 所以原方程无解v练习：解方程 解：方法一：去掉绝对值符号，是解决这类问题的关键，而绝对值的中的代数式的值的正负性决定去掉绝对值后的形式，因而要分类讨论，两个绝对值分正负讨论，共有下面四中组合（1）且（2）且（3）且（4）且可见，即使不讨论绝对值等于0的情形，就已经很复杂。我们一般采用下面的方法（零点分段法）方法二：解：令解得：解得： 表示3和2的点把数轴分成三部分，如下图所示 （1） 当时， 原方程可化为：解得：满足 是原方程的一个解。（2） 当时，原方程可化为： 可化为：此方程无解（3） 当时， 原方程可化为：解得： 满足 是原方程的一个解。综上所述：原方程的解是或v练习：解方程解法1：当时， 原方程可化为：-（x-4）-(x+3)=7 解得：x=-3 ，舍去当时，原方程可化为： -(x-4)+x+3=7 即7=7所以当x4时，原方程可化为x-4+x+3=7 x=4舍去综上所述：原方程的解是解法2：利用绝对值与距离的关系即x与4的差的绝对值，它可以表示数轴上x与4之间的距离。即x与-3的差的绝对值，它可以表示数轴上x与-3之间的距离。因为-3与4之间的距离为7，所以当时，x与4之间的距离加上x与-3之间的距离等于7，所以原方程的解是第三讲 含字母系数的一次不等式 一元一次不等式（组）是我们熟知的内容，但对于含字母系数和含绝对值的不等式（组）还比较陌生，本讲我们将学习含字母系数的不等式（组）的解法。例1解下列关于x的不等式（1） （2）解：（1） （2） 因为 所以 因为所以 所以v练习：答案：（1）当时，此不等式解集为： （2）当时，此不等式解集为： （3）当时，原不等式可化为：，此时，原不等式无解。说明：解含字母系数的不等式欲解含数字系数的不等式的方法、步骤是一样的，所不同的是，前者在最后一步要根据题中附加条件、隐含条件去判断未知数系数的正负，从而确定不等号是否反向的问题。v练习：下面四个结论中，正确的个数有（ B ），当时解为 ，当时解为 ，当时解集为 的解集是A1个 B2个 C3个 D4个例4（逆用不等式解集的定义）关于的不等式的解集 （1） 有没有可能是 （2）有没有可能是 （3）有没有可能是 分析：由得： （1） 得： 所以，没有可能；（2） 得： 所以，有可能；（3） 得： 所以，有可能；v练习：讨论关于x的不等式 的解的情况 解： （3） （4）（5）类比：如何解关于x的不等式解：（1） （2）（3）（4）（5）思考：如何解关于x的不等式解：（1） （2）（3）（4）（5）v练习：已知、是实数，若不等式和是同解不等式，则不等式的解 是什么？解： 解不等式 ， 得 由不等式 得 由题意 解得： 所以则：， 因为 a-4b0 所以 得：v练习：解关于 解：（1） （2）（3）（4）（5）v练习：如果适合不等式的正整数为1，2，3，那么k的取值范围是_.分析：解不等式 得 观察数轴得到 所以 第四讲 含绝对值的一次不等式思考：联系你所学习的知识，试试你能解决下面的问题吗？（1）解关于的不等式（） （2）解关于的不等式（）例1 解下列不等式（1） （2） 解：（1）当x0时, x5 ，此时不等式的解集为0x5； 当x=0时， 05 ，此时x=0 当x0时, x-5 ，此时不等式的解集为-5x0时, x2 ，此时不等式的解集为x2 当x=0时， 02 ，此时不等式无解 当x0时, x-2 ，此时不等式的解集为x0，不等式的解集为xa或x-a，的解集为-axa；如果a0，即x时, 2x-13 ，x2 , 此时不等式的解集为x2 当2x-1=0 , 即x=时，0 3 ，此时x= 当2x-10, 即 x 时, -(2x-1)-1 ，此时不等式的解集为-1x 综上所述，不等式解集为-1x时, ， , 此时不等式的解集为 当，即x=时, ，此时不等式无解， 当，即x时, ， , 此时不等式的解集为 综上所述，不等式解集为或另解： 因为，所以 或，解得不等式解集为或（3）由 得 当，即 时，此时不等式的解集为当，即 时，此时当，即 时，此时不等式的解集为综上所述，不等式解集为另解：由 得 ， 所以解得不等式解集为v练习：解：当，即 时，此时不等式的解集为当，即 时，此时当，即 时，此时不等式的解集为综上所述，不等式解集为另解：由题意 解得 所以不等式解集为v练习：解：当，即 时，此时不等式无解当，即 时，此时不等式无解当，即 时，此时不等式的解集为综上所述，不等式解集为v练习：（利用“零点”分段法求解）解：当 时， ，此时不等式无解 当 时，此时不等式解集为当 时，此时不等式解集为综上所述，不等式解集为v练习： 解：当 时， ，此时不等式解集为 当 时，此时不等式无解当 时，此时不等式解集为综上所述，不等式解集为或另解：利用绝对值与距离的关系即x与2的差的绝对值，它可以表示数轴上x与2之间的距离。即x与-1的差的绝对值，它可以表示数