(数学札记1)数轴、绝对值及相反数V06.pdf

初中数学要点札记 1 数轴 绝对值及相反数 V0 6PDF 版 周法哲 2012 年 10 月 7 日星期日 1 7 数轴 数轴 绝对值及相反数绝对值及相反数 一 典型例题透析一 典型例题透析 对于代数式绝对值的计算 首先要结合数轴分析判断 求谁的绝对值 这个 谁 是不是 负数 例例 1 设有两个有理数 m 和 n 在数轴上的位置如下图所示 图 1 两个有理数 m 和 n 在数轴上的位置 试化简 解解 求解数学问题首先要理清已知条件 其次要吃透题目的要求 通过看图分析可知 m 是个负数 n 是个正数 且 m 离原点的距离比 n 远 表明 m 的 绝对值比 n 大 即 已知 已知 0 且 而题目的要求是化简一个代数式 即在保持原式的值不变的前提下 把原式变换形式 尽量简化到只含 m 和 n 的简单算法 即 求 求 化简含有绝对值符号的代数式 一般分两步走 第一步 第一步 首先要逐个解决绝对值问题 即 和 而求一个数的绝对值 最关键的是判断这个数是不是负数 根据已知条件 可以断定 是一个负数 即 0 因为一个负数 m 加上一个正数 n 且负数 m 的绝对值较大 则结果 一定是一 个负数 通常可简单写成 0 注意知识回顾 两个有理数相加 结果取绝对值较大者的符号 初中数学要点札记 1 数轴 绝对值及相反数 V0 6PDF 版 周法哲 2012 年 10 月 7 日星期日 2 7 从而求出 这个数的绝对值为 1 因为负数的绝对值等于它的相反数 同理 可以断定 也是一个负数 即 0 因为从数轴上可看出有理数 m 小于 n 而较小的数减去较大的数 结果必定是个负数 从而求出 这个数的绝对值为 2 因为负数的绝对值等于它的相反数 好啦 原式中所有的绝对值问题都解决了 第二步 第二步 把求绝对值的结果 1 2 代入原式 即可逐步化简原式啦 所以 原式 2 要点提示 去括号法则 1 这里要注意 去括号法则 尤其是当括号前是负号时 去括号后等于括号内的各项 都变号 也就是括号内各项都变成其相反数 比如 2 你也可以这样理解 把括号前的负号看作 1 根据乘法分配律 用 1 遍乘 括号内的各项 展开结果是一样的 注意 代数中在不致混淆的情况下 乘号是可以省略 的 比如 1 3 如遇多层括号 去括号时要分清层次 最好先去小括号 再去中括号 依次 类推 二 解题范例二 解题范例 上例几乎涵盖了数轴 绝对值 相反数和有理数的大小比较及加减法运算的所有基本知 识要点 如果你彻底搞清基本概念 掌握基本方法 下面例子的解题过程就不难理解了 例例 2 设有两个有理数 m 和 n 在数轴上的位置如下图所示 初中数学要点札记 1 数轴 绝对值及相反数 V0 6PDF 版 周法哲 2012 年 10 月 7 日星期日 3 7 图 2 两个有理数 m 和 n 在数轴上的位置 试化简 解 解 通过看图分析已知 0 且 根据已知条件 可以判断出 0 从而求出 同理 可以断定 0 从而求出 所以 原式 2 温馨提示 做作业或试卷 如上述表达足可 但掌握知识 必须象例 1 那样理解每一 步的含义和理由 周恩来年轻时说过 与有肝胆人共事 从无字句处读书 理科学习更应 该重视 理解 每一步字面背后的深刻含义和 理由 啊 三 举一反三三 举一反三 此类数形结合的题目 看图分析 方法步骤 基本知识是灵魂 如果不深刻理解 掌握 有理数基本概念的精髓 则题目条件稍加改变 你就可能 溃不成军 了 例例 3 设有两个有理数 m 和 n 在数轴上的位置如下图所示 图 3 两个有理数 m 和 n 在数轴上的位置 初中数学要点札记 1 数轴 绝对值及相反数 V0 6PDF 版 周法哲 2012 年 10 月 7 日星期日 4 7 试化简 解 解 通过看图分析已知 0 且 0 因为两数相加 结果取绝对值较大者的符号 这里正数 n 的绝对值较大 从而求出 因为正数的绝对值等于它自身 同理 可以断定 0 思考 为什么 从而求出 思考 为什么 所以 原式 2 思考题 比较例 3 与例 2 的条件 要求 结果有什么异同 四 万变不离其宗四 万变不离其宗 不要死背答案 因为即使已知条件不变 如果求解的问题稍加改变 则结果也会大相径 庭 但如果你把例 1 中的法宝都熟练掌握了 真正融会贯通了 无论题目的条件 要求如何 变化 则万变不离其宗 例例 4 设有两个有理数 m 和 n 在数轴上的位置如下图所示 图 4 两个有理数 m 和 n 在数轴上的位置 初中数学要点札记 1 数轴 绝对值及相反数 V0 6PDF 版 周法哲 2012 年 10 月 7 日星期日 5 7 试化简 解 解 通过看图分析已知 0 且 0 思考 为什么 从而求出 思考 为什么 同理 可以断定 0 思考 为什么 从而求出 思考 为什么 所以 原式 2 思考题 比较例 4 与例 3 的条件 要求 结果有什么异同 五 特例比较五 特例比较 下面是两个特例 可作比较参考 例例 5 设两个互为相反的有理数数 m 和 n 在数轴上的位置如下图所示 图 5 两个有理数 m 和 n 在数轴上的位置 试化简 解 解 通过看图分析已知 0 初中数学要点札记 1 数轴 绝对值及相反数 V0 6PDF 版 周法哲 2012 年 10 月 7 日星期日 6 7 且 因为互为相反数的绝对值相等 根据已知条件 可以断定 0 因为互为相反的两数相加 结果为 0 从而求出 0 0 因为 0 的绝对值等于它自身 同理 可以断定 0 思考 为什么 从而求出 思考 为什么 所以 原式 0 因为任何数与 0 相加都等于这个数 注意去括号法则 思考题 比较例 5 与例 2 例 3 的条件 要求 结果有什么异同 例例 6 设两个互为相反的有理数数 m 和 n 在数轴上的位置如下图所示 图 6 两个有理数 m 和 n 在数轴上的位置 试化简 解 解 通过看图分析已知 0 且 思考 为什么 根据已知条件 可以断定 初中数学要点札记 1 数轴 绝对值及相反数 V0 6PDF 版 周法哲 2012 年 10 月 7 日星期日 7 7 0 思考 为什么 从而求出 0 0 思考 为什么 同理 可以断定 0 思考 为什么 从而求出 思考 为什么 所以 原式 0 注意 去括号法则 及括号的层次 思考题 1 比较例 6 与例 5 的条件 要求 结果有什么异同 2 比较例 6 与例 1 例 4 的条件 要求 结果有什么异同 拓展讨论 在熟练掌握去括号法则的实质含义后 也可以先去中括号 但要注意 先 去中括号时 应当把中括号内的每个小括号看作 一个字母 即小括号内的各项暂不变号啊 比如上式也可以这样展开 0