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浅谈涉及动量、能量的模型物理教研组 罗 斌 动量与能量的综合问题一直是高中物理的重点和难点，也是高考的热点。在近几年的高考中，每年都有这类试题的出现。这类试题往往涉及到两个（或两个以上的）物体，物体与物体之间通过相互挤压、相互摩擦或者借助弹簧、绳子等相互作用，物理过程较为复杂，有较高的思维起点，需要学生具有综合运用所学知识，以及对物理过程进行全面、深入分析的能力。因而成为近年来理科综合能力测试（物理）中考查学生能力的重要素材。为了便于老师讲解和学生学习，可将常见的一些物理情景模块化，而相关的综合性的题目大多是这些模型的综合。模型一：子弹打木块模型模型概述子弹打木块的两种常见类型： 木块固定在水平面，子弹以初速度v0射击木块。 由于物块固定在水平面，子弹在滑动摩擦力作用下在静止的木块中做匀减速直线运动。 所以可对子弹利用动能定理，得： （其中d为子弹在木块中的位移）木块放在光滑的水平面上，子弹以初速度v0射击木块。这种类型又包括两种常见情况：子弹留在木块中。最终子弹与木块达到共同速度。子弹打穿木块。子弹与木块有各自的速度。这两种情况均可把子弹和木块看成一个系统，且由系统水平方向动量守恒，列出方程，求解出速度。并可与匀变速直线运动、平抛运动以及圆周运动相结合。模型讲解 质量为M的木块静止在光滑水平面上，一质量为速度为的子弹水平射入木块中，如果子弹所受阻力的大小恒为f，子弹没有穿出木块，木块和子弹的最终速度为，在这个过程中木块相对地面的位移为，子弹相对与地面的位移为，子弹相对与木块的位移为。分析：画出运动草图（如下） 子弹在滑动摩擦力作用下相对地面做匀减速直线运动；木块在滑动摩擦力作用下相对地面做匀加速运动。 解：把子弹和木块看成一个系统。 （1）由系统水平方向动量守恒，得： （2）对木块和子弹分别利用动能定理。 对木块用动能定理 ，得： 对子弹用动能定理 ，得： 由，得到 观察方程式，等式的左边表示摩擦力对系统做的功，右边表示系统动能的变化。该式表示的物理意义是：在不受外力作用下，系统内部摩擦力做功（摩擦力与物体相对位移的乘积）等于系统动能的变化。即：系统损失的机械能等于阻力乘以相对位移，即Efs相。体现的是功能关系。两种类型的共同点：A、系统内相互作用的两物体间的一对摩擦力做功的总和恒为负值。（因为有一部分机械能转化为内能）。B、摩擦生热的条件：必须存在滑动摩擦力和相对滑行的路程。大小为Qfs相，其中：f是滑动摩擦力的大小，s相是两个物体的相对位移（在一段时间内“子弹”射入“木块”的深度，就是这段时间内两者相对位移的大小）。C、静摩擦力可对物体做功，但不能产生内能。 静摩擦力即使对物体做功，由于相对位移为零而没有内能产生，系统内相互作用的两物体间的一对静摩擦力做功的总和恒等于零。从牛顿运动定律和运动学公式出发，也可以得出同样的结论。一般情况下，所以s木s相。这说明，在子弹射入木块过程中，木块的位移很小，可以忽略不计，即：可认为在子弹射入木块过程中木块没动。像这种运动物体与静止物体相互作用，动量守恒，最后共同运动的类型，全过程机械能的损失量可根据功能关系，利用以下关系式直接计算：Efs相。模型二：滑块模型模型概述一物块在木板上滑动，实质跟子弹打木块模型一样。，Q为摩擦在系统中产生的热量；模型讲解一个长为L、质量为M的长方形木块，静止在光滑水平面上，一个质量为m的物块（可视为质点），以水平初速度从木块的左端滑向右端，设物块与木块间的动摩擦因数为，当物块与木块达到相对静止时，物块仍在长木块上，求系统机械能转化成内能的量Q。分析：可先根据动量守恒定律求出m和M的共同速度，再根据动能定理和能量守恒求出转化为内能的量Q。 对物块，滑动摩擦力做负功，由动能定理得： 即对物块做负功，使物块动能减少。 对木块，滑动摩擦力做正功，由动能定理得 ， 即对木块做正功，使木块动能增加，系统减少的机械能为： 本题中，物块与木块相对静止时，则上式可简化为： 又以物块、木块为系统，系统在水平方向不受外力，动量守恒，则： 联立式、得： 故系统机械能转化为内能的量为： 其中：d为物块和木板的相对位移，s为木块相对地面的位移。评点：系统内一对滑动摩擦力做功之和（净功）为负值，在数值上等于滑动摩擦力与相对位移的乘积，其绝对值等于系统机械能的减少量，即。模型三、碰撞模型模型概述1. 碰撞的特点：碰撞过程中，作用时间极短，两物体产生的位移可忽略，且内力远大于外力，总动量总是守恒的。2. 碰撞的分类：按能量变化情况可分为弹性碰撞和非弹性碰撞（包括完全非弹性碰撞）。3.解题原则：（1）碰撞过程中动量守恒原则；（2）碰撞后系统动能不增原则； （3）碰撞后运动状态的合理性原则。碰撞过程的发生应遵循客观实际。如甲物追乙物并发生碰撞，碰前甲的速度必须大于乙的速度，碰后甲的速度必须小于、等于乙的速度或甲反向运动。甲、乙相向运动，至少其中一个反向或两个都静止。追碰是物理上一个重要模型，它涉及到动量定理、动量守恒定律、能量守恒等诸多知识点。模型讲解如图，在光滑的水平面上，有两个质量分别为和小球A、B，A球以的速度与静止的B球发生正碰。从动能损失情况分类，三种情况：a、弹性碰撞：无机械能损失的碰撞，满足动量守恒和机械能守恒 AB解得： b、完全非弹性碰撞：碰后粘在一起，动能损失最大，动量守恒 c、非弹性碰撞：动量守恒，能量损失介于弹性碰撞和完全非弹性碰撞之间 模型演练1. 如图所示，光滑水平面上有大小相同的A、B两球在同一直线上运动，两球质量关系为，规定向右为正方向，A、B两球的动量均为6kgm/s，运动中两球发生碰撞，碰撞后A球的动量增量为，则：（ ）A. 左方是A球，碰撞后A、B两球速度大小之比为2:5B. 左方是A球，碰撞后A、B两球速度大小之比为1:10C. 右方是A球，碰撞后A、B两球速度大小之比为2:5D. 右方是A球，碰撞后A、B两球速度大小之比为1:10解析：题中规定向右为正方向，而AB球的动量均为正，所以AB都向右运动，又，所以，可以判断A球在左方，CD错；碰撞后A的动量变化，根据动量守恒可知，B球的动量变化，所以碰后AB球的动量分别为解得，所以A正确。评点：动量守恒定律的矢量性既是重点又是难点，解题时要遵循以下原则：先确定正方向，与正方向相同的矢量取正号，与正方向相反的矢量取负号，未知矢量当作正号代入式中，求出的结果若大于零，则与正方向相同，若小于零则与正方向相反，同时也要善于利用动量与动能的关系，但要注意它们的区别。模型四：弹簧连接体模型（有弹簧的碰撞）模型概述 两物体之间通过弹簧作用，不受其它外力，满足动量守恒，从能量的观点看，系统的动能与弹簧弹性势能相互转化，并且当两物体速度相等时，弹簧弹性势能达到最大。因弹力做功的过程中弹力是个变力，并与动量、能量联系，所以分析解决这类问题时，要细致分析弹簧的动态过程，利用动能定理和功能关系等知识解题。模型讲解 如图所示，在光滑的水平面上有质量为、的A、B两个小球固定在轻质弹簧的两端，开始时A、B静止，弹簧处于原长状态，在某时刻突然给A球以的初速度，试分析以后A、B小球的运动情况和弹簧弹性势能的变化情况。AB开始时 ，弹簧被压缩，A减速，B加速，a、到时，弹簧被压到最短，弹性势能最大，然后弹簧得弹力使B加速，使A减速ABb、当弹簧恢复原长时，弹性势能为0，系统动能最大 相当于是弹性碰撞，解得： ，BAc、因为，弹簧要被拉伸，B要减速，A要正向加速，到时，弹簧被拉到最长，弹性势能最大。BAd、当弹簧再次回到原长时，由动量守恒，机械能守恒，解得： ，回到最初的状态。AB评点：系统动量守恒，如果弹簧被作为系统内的一个物体时，弹簧的弹力对系统内物体做不做功都不影响系统的机械能。系统能量守恒，动能与势能相互转化。弹簧两端均有物体：弹簧伸长到最长或压缩到最短时，相关联物体的速度一定相等，弹簧具有最大的弹性势能。当弹簧恢复原长时，相互关联物体的速度相差最大，弹簧对关联物体的作用力为零。若物体再受阻力时，弹力与阻力相等时，物体速度最大。 模型演练1. 在光滑水平地面上有两个相同的弹性小球A、B，质量都为m，现B球静止，A球向B球运动，发生正碰。已知碰撞过程中总机械能守恒，两球压缩最紧时的弹性势能为EP，则碰前A球的速度等于（ ）A. B. C. D. 解析：设碰前A球的速度为v0，两球压缩最紧时的速度为v，根据动量守恒定律得出，由能量守恒定律得，联立解得，所以正确选项为C。2. 如图所示，在光滑水平长直轨道上，A、B两小球之间有一处于原长的轻质弹簧，弹簧右端与B球连接，左端与A球接触但不粘连，已知，开始时A、B均静止。在A球的左边有一质量为的小球C以初速度向右运动，与A球碰撞后粘连在一起，成为一个复合球D，碰撞时间极短，接着逐渐压缩弹簧并使B球运动，经过一段时间后，D球与弹簧分离（弹簧始终处于弹性限度内）。（1）上述过程中，弹簧的最大弹性势能是多少？（2）当弹簧恢复原长时B球速度是多大？（3）若开始时在B球右侧某位置固定一块挡板（图中未画出），在D球与弹簧分离前使B球与挡板发生碰撞，并在碰后立即将挡板撤走，设B球与挡板碰撞时间极短，碰后B球速度大小不变，但方向相反，试求出此后弹簧的弹性势能最大值的范围。解析：（1）设C与A相碰后速度为v1，三个球共同速度为v2时，弹簧的弹性势能最大，由动量守恒，能量守恒有：（2）设弹簧恢复原长时，D球速度为，B球速度为则有（3）设B球与挡板相碰前瞬间D、B两球速度与挡板碰后弹性势能最大，D、B两球速度相等，设为当时，最大时，最小，所以模型五：人船模型模型概述 一人（物）在船（木板）上，或两人（物）在船（木板）上等人船模型问题是一种很常见的题形，在研究过程当中，如果能恰当地应用动量守恒定律进行解题，会给我们带来意想不到的效果。模型讲解 如图所示，长为L、质量为M的小船停在静水中，质量为m的人从静止开始从船头走到船尾，不计水的阻力，求船和人对地面的位移各为多少？解析：以人和船组成的系统为研究对象，在人由船头走到船尾的过程中，系统在水平方向不受外力作用，所以整个系统在水平方向动量守恒。当人起步加速前进时，船同时向后做加速运动；人匀速运动，则船匀速运动；当人停下来时，船也停下来。设某时刻人对地的速度为v，船对地的速度为v，取人行进的方向为正方向，根据动量守恒定律有：，即因为人由船头走到船尾的过程中，每一时刻都满足动量守恒定律，所以每一时刻人的速度与船的速度之比，都与它们的质量之比成反比。因此人由船头走到船尾的过程中，人的平均速度v与船的平均速度v也与它们的质量成反比，即，而人的位移，船的位移，所以船的位移与人的位移也与它们的质量成反比，即上式是“人船模型”的位移与质量的关系，此式的适用条件：原来处于静止状态的系统，在系统发生相对运动的过程中，某一个方向的动量守恒。由图1可以知：有上两式解得评点：动力学规律：由于组成系统的两物体受到大小相同、方向相反的一对力，故两物体速度大小与质量成反比，方向相反。这类问题的特点：两物体同时运动，同时停止。动量与能量规律：由于系统不受外力作用，故而遵从动量守恒定律，又由于相互作用力做功，故系统或每个物体动能均发生变化：力对“人”做的功量度“人”动能的变化；力对“船”做的功量度“船”动能的变化。两个推论：当系统的动量守恒时，任意一段时间内的平均动量也守恒；当系统的动量守恒时，系统的质心保持原来的静止或匀速直线运动状态不变。模型演练 1、静水面上停有一小船，船长L = 3m，质量M = 120kg，一人从船头走到船尾，人的质量m = 60kg。那么，船移动的距离为多少？（水的阻力可以忽略不计）分析 ：当人从船头走到船尾，通过脚与船发生了作用（也可以认为走动过程就是人与船发生间歇性碰撞的过程）。选取人和船为研究对象，由于不计水的阻力，所以系统在水平方向上动量守恒。解：设人从船头走到船尾，船对地的就离为S，则人对地移动了L - S，根据动量守恒定律可得M S/t - m (L - S)/t = 0 解得 S = ML/(M + m) = 60*3/(120 + 60) = 1m 此题虽然很简单，但所展示的物理模型很重要，如果真正掌握了此题的解法，那么，下面几道题完全可以做到如法炮制，快速求解。 2、一质量为M的船，静止于湖水中，船身长L，船的两端点有质量分别为m1和m2的人，且m1m2,当两人交换位置后，船身位移的大小是多少？（不计水的阻力）分析：此题初看上去较上题繁杂得多，物理模型也迥然相异，但实质上是大同小异，如出一辙。试想，若把质量大的人换成两个人，其中一个人的质量为m2，另一个人的质量为m = m1 - m2。由上一题可知，当两个质量都为m2的人互换位置之后，船将原地不动。这样一来，原来的问题就转化为上题所示的物理模型了，当质量为m = m1 - m2的人从船的一端走到另一端，求船的位移。解：设船对地移动的位移为S，则质量为m = m1 - m2的人对地移动的位移就是L - S，由动量守恒定律可得 （M + 2 m2）S/t (m1 - m2) (L - S)/t = 0解得 S = (m1 - m2)L/(M + m1 + m2) 3、某人在一只静止的小船上练习射击，船和人连同枪（不包括子弹）及靶的总质量为M，枪内装有n颗子弹，每颗子弹的质量为m，枪口到靶的距离为L，子弹射出枪口时相对地面的速度为VO，在发射一颗子弹时，前一颗粒子弹已陷入靶中，则在发射完n颗子弹后，小船后退的距离为多少（不计水的阻力）。分析：子弹发射时在枪内的运动，和击靶的过程，类似于人船模型中相互作用。连发n颗子弹，相当于n个人从船头走到船尾。把船、人、枪、靶和子弹作为一个系统进行研究，因该系统在水平方向上不受外力，所以在这个方向上总动量守恒。解：设一颗子弹完成射击过程的历时为t，小船移动S0，由动量守恒定律可得 M + (n - 1) m S0/t m (L - S0)/t = 0解方程可得S0 = mL/(M + nm)因此，发射n颗子弹后，小船后退的距离S = n S0 = nmL/(M + nm)4、如图2所示，在光滑水平地面上，有两个光滑的直角三形木块A和B，底边长分别为a、b，质量分别为M、m，若M = 4m，且不计任何摩擦力，当B滑到底部时，A向后移了多少距离？分析：选定木块A和B整体作为研究对象，在B沿斜面下滑的过程中，与人船模型类同，该系统在水平方向上所受的合外力为零，所以，在水平方向上动量守恒。解：设当B沿斜面从顶端滑到底部时，A向后移动了S，则B对地移动了a - b S,由动量守恒定律得 MS/t m(a b - S)/t = 0解得 S = m(a - b)/(M + m) = (a b)/5 5、质量为M的气球下系一质量可忽略的足够长的绳子，绳子上距地面H高处有一质量为m的猴子。开始时气球和猴子均静止在空中，猴子从某时刻开始沿绳子缓慢下滑，要它恰能滑到地面，开始下滑时，它下面的绳子至少应为多长？分析：选定气球和猴子为一个系统，在猴子沿绳子下滑着地前的整个过程中，系统在竖直方向上所受合外力为零，因此，在竖直方向上每时每刻动量守恒，与人船模型类同。解：设猴子从开始下滑到着地历时t，其间气球又上升了h，由动量守恒定律得：M h/t m H/t = 0解得：h = Hm/M因此，所求绳长至少应为 L = H + h = H(M + m)/M 模型六：反冲模型 模型概述“反冲模型”是动量守恒的典型应用，其内力远大于外力，故系统动量守恒，有其他形式的能单向转化为动能。所以机械能增加，增加的机械