现代控制理论 预习思考题(考研辅导) 答案.pdf

1 第第第第 1 章章章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型控制系统的数学模型控制系统的数学模型 1 简述状态简述状态简述状态简述状态 状态变量和状态空间的定义状态变量和状态空间的定义状态变量和状态空间的定义状态变量和状态空间的定义 答答答答 表征系统在每个时刻所处态势的信息量称为系统的状态状态状态状态 完全描述系统时域行为的最小一组变 量称为系统的状态变量状态变量状态变量状态变量 由状态向量 12 T n Xxxx 的所有可能值的集合叫状态空间状态空间状态空间状态空间 或说由状 态变量 1 x 2 x n x所构成的 n 维正交空间称为状态空间状态空间状态空间状态空间 2 状态空间表达状态空间表达状态空间表达状态空间表达式由哪两个方程构成式由哪两个方程构成式由哪两个方程构成式由哪两个方程构成 写出写出写出写出状态空间表达式状态空间表达式状态空间表达式状态空间表达式的的的的一般形式一般形式一般形式一般形式 答答答答 描述系统输入 输出和状态变量之间的关系的表达式称为系统状态空间表达式状态空间表达式状态空间表达式状态空间表达式 状态空间表达 式包含状态方程状态方程状态方程状态方程和输出方程输出方程输出方程输出方程 状态方程为一阶向量微分方程 输出方程是一个代数变换方程 系统状态空 间表达式的一般形式为 xf x u t yg x u t 或 1 x kf x k u k k y kg x k u k k 3 写出线性系统的状态空间表达式写出线性系统的状态空间表达式写出线性系统的状态空间表达式写出线性系统的状态空间表达式 画出其动态方块图画出其动态方块图画出其动态方块图画出其动态方块图 答答答答 线性时变系统时变系统时变系统时变系统的状态空间表达式为 x tA t x tB t u t y tC t x tD t u t 线性定常系统定常系统定常系统定常系统的状态空间表达式为 xAxBu yCxDu 线性时变离散系统时变离散系统时变离散系统时变离散系统的状态空间表达式为 1 x kG k x kH k u k y kC k x kD k u k 线性定常离散系统定常离散系统定常离散系统定常离散系统的状态空间表达式为 1 x kGx kHu k y kCx kDu k 4 如何选择如何选择如何选择如何选择状态变量状态变量状态变量状态变量建立系统状态空间表达式建立系统状态空间表达式建立系统状态空间表达式建立系统状态空间表达式 答答答答 1 选择系统中贮能元件的输出物理量作为状态变量 然后根据系统的结构用物理定律列写出 状态方程 2 选择系统的输出及其各阶导数作为状态变量 3 选择能使状态方程成为某种标准形式的变量作为状态变量 状态变量的选取非唯一非唯一非唯一非唯一 系统状态空间表达式非唯一非唯一非唯一非唯一 但状态变量的数目唯一唯一唯一唯一 例例例例 电路如下图 试以电压 u 为输入 以电容 C 上的电压 uC为输出变量 列写其状态空间表达式 解解解解 电路的贮能元件有电感 L1 L2和电容 C 根据基尔霍夫定律列写电路方程 2 1 11 11 2 2 21 21 12 2 2 0 c c di LRiRiu dt di LRiRiR iu dt du Ci dt 考虑到 i1 i2 uc这三个变量是独立的 故可确定为系统的状态变量 经整理上式变为 111 12 111 2112 22 222 2 1 1 c c diRR iiu dtLLL udiRRR ii dtLLL du i dtC 现在令 x1 i1 x2 i2 x3 uc 将上式写成矩阵形式即为状态方程 11 11 11 1 112 22 222 3 3 1 0 1 0 1 000 RR Lx LL x RRR xxu LLL x x C 电容上的电压 uc为输出变量 故系统的输出方程为 1 2 3 001 x yx x 例例例例 电枢控制式电机控制系统如下图所示 建立状态空间表达式 其中 R L 和 i t 分别为电枢回路 的内阻 内感和电流 u t 为电枢回路的控制电压 Kt为电动机的力矩系数 Kb为电动机的反电动势系数 解解解解 根据电机原理 电机转动时 将产生反电势 eb 其大小为 eb Kb 在磁场强度不变的情况下 电动机产生的力矩 T 与电枢回路的电流成正比 即 T Kt i t 根据基尔霍夫电压定律 电枢回路有下列关系 b di LRieu t dt 对电机转轴 根据牛顿定律 有 2 2 dd JT dtdt 取电枢回路电流 i t 电机轴转角 及其角速度 为系统的三个状态变量 x1 x2 x3 取电机轴转角 3 为系统输出 电枢控制电压 u t 为系统输入 有 113 1 b KR xxxu LLL 23 xx 313 t K xxx JJ 2 yx 写成矢量形式的系统状态空间表达式如下 11 22 33 1 0 0010 0 0 b t KR xx LLL xxu xKx JJ 1 2 3 010 x yx x 例例例例 动态系统如下图所示 它包含有一个小车和一个倒置摆 因为用一个外力 u t 保持摆直立不倒 的问题和手握摆杆维持平衡很相似 所以通常称之为自动搜索平衡车 为了简化 设车与摆只在一个平面 内运动 并且忽略杆的质量 电机本身的动态摩擦 风力等因素 但保留问题的实质 很显然 系统本来 是不稳定的 因为如果不加控制力 杆必然会倒下来 设小车和球的质量分别为M m 摆杆的长度和角位 移分别为L 小车的位置为 Z 输出 选取状态向量为 T x tZ tZ ttt 建立系统的 状态空间表达式 解解解解 为了确定系统的微分方程 首先应注意小车的水平位置是 Z 此时摆心的位置是 Z L Sin 这 样 在水平方向根据牛顿第二定律 22 22 d Zd MmZLSinu dtdt 在垂直于摆杆方向 m ZCosLmgSin 这些微分方程是非线性的 总要进行简化 由于控制本系统的目的是保持单摆直立 因此可假设 t 和 t 接近于零 因此 cos1 Sin 得近似微分方程式为 Mm ZmLu ZLg 即 1 1 mg Zu MM Mm gu MLML 4 设 1234 xZ xZ xx 则有 11 22 33 44 01000 1 000 00010 1 000 xx mg xx MM u xx mM gxx MLML 1 2 3 4 1000 x x y x x 这是状态变量形式的线性化微分方程组 当 很小时 本方程确定了自动搜索平衡装置的动态特性 5 简述由系统微分方程或传递函数建立系统状态空间表达式的过程简述由系统微分方程或传递函数建立系统状态空间表达式的过程简述由系统微分方程或传递函数建立系统状态空间表达式的过程简述由系统微分方程或传递函数建立系统状态空间表达式的过程 画出其系统实现的结构图画出其系统实现的结构图画出其系统实现的结构图画出其系统实现的结构图 答答答答 a 系统微分方程系统微分方程系统微分方程系统微分方程输入不含导数项输入不含导数项输入不含导数项输入不含导数项 当输入不含导数项时 1 1100 nn n yaya ya yb u 即 0 1 110 nn n bY s s U ssasa sa 选择状态变量如下 121 23 2 3 1 1 1 nn nnn xyxxy xyxxy xy xyxyx n x 可由下式获得 1 0110011201 nn nnnn xyb uaya ya yb uaxa xa x 又系统的输出 y x1 所以得系统状态空间表达式为 T xAxbu yc x 0121 0100 0010 0001 n A aaaa 0 0 0 0 b b 1000 T c 系统实现的结构图如下图所示 5 上图等效于下图 区别区别区别区别在 b0的位置 此时系统状态空间表达式为 0121 0 0100 0 0010 0 0001 1 000 n xxu aaaa ybx 能控标准型能控标准型能控标准型能控标准型 b 系统微分方程系统微分方程系统微分方程系统微分方程输入含有导数项输入含有导数项输入含有导数项输入含有导数项 可以用下列线性微分方程表示 1 1 110110 nnmm nmm yaya ya yb ububub u 即 1 110 1 110 mm mm nn n b sbsb sbY s s U ssasa sa 上式中 mn 时称非正规型非正规型非正规型非正规型 这是不能实现的系统 所以我们一般设定 m n 不失一般性 我们假设 m n 则有 1 110 1 110 n n n nn n bsb sbY s sb U ssasa sa 引入新变量 Y1 S 并且令 1 1 110 1 nn n Y s U ssasa sa 令 1 110 1 n n Z s bsbsb Y s 则 n Y sZ sb U s 相当于进行下图的等效变换 6 1 1 110 1 nn n Y s U ssasa sa 的实现可如下进行 选择状态变量如下 112 11 213 21 31 1 11 1 1 1 1011110101120 1 n nn n n nn nnnn xyx xy xyx xy xy xyx xy xyb uaya ya yb uaxa xa x 则 11 22 0121 0100 0 0010 0 0001 0 1 n nn xx xx u aaaa xx 1 1 2 1 1000 n x x y x 由 1 110 1 n n Z s bsbsb Y s 可得 1 11110111201 n nnn zbyb yb ybxb xb x 由 n Y sZ sb U s 可得 1120 1nnn yb ubxb xb x 即 1 2 0121 nn n x x ybbbbb u x 2 1 2 式构成系统状态空间表达式状态空间表达式状态空间表达式状态空间表达式 系统实现的结构图如下图所示 这种系统的实现称作可控型可控型可控型可控型 I 型型型型 实现实现实现实现 7 例例例例 设系统的微分方程为 714105yyyyu 求系统的状态方程和输出方程 解解解解 选取状态变量为 1 2 3 xy xy xy 则得状态方程组 12 23 3123 101475 xyx xyx xyxxxu 写成向量矩阵的形式 11 22 33 0100 0010 101475 xx xxu xx 1 2 3 100 x yx x 或简写为 0100 0010 101475 xxu 100yx 例例例例 已知系统的输入输出微分方程为 61168178yyyyuuuu 求系统的状态方程 和输出方程 解解解解 322 3232 8178263 1 61166115 Y ssssss s U sssssss 11 22 33 0100 0010 51161 xx xxu xx 1 2 3 362 x yxu x 例例例例 考虑由下式确定的系统 2 3 32 Y ss U sss 试求其状态空间表达式之能控标准形 能观测 标准形和对角线标准形 解解解解 能控标准形为 111 222 010 3 1 23 1 x tx tx t u ty t x tx tx t 8 能观测标准形为 111 222 023 01 13 1 x tx tx t u ty t x tx tx t 因为 2 321 3212 Y ss U sssss 所以系统对角线标准形为 111 222 101 21 02 1 x tx tx t u ty t x tx tx t 例例例例 已知系统传递函数 2 5 1 2 G s ss 试求约当型动态方程 并画出状态变量图 解解解解 22 5555 1 2 1 12 G s sssss 由上式 可得约当型动态方程 11 22 33 1100 0101 0021 xx xxu xx 1 2 3 555 x yx x 6 简述由控制系统方块图建立系统状态空间表达式的过程简述由控制系统方块图建立系统状态空间表达式的过程简述由控制系统方块图建立系统状态空间表达式的过程简述由控制系统方块图建立系统状态空间表达式的过程 例例例例 求如下图所示系统的动态方程 a b 9 c 解解解解 a b c 7 简述由状态空间表达式求简述由状态空间表达式求简述由状态空间表达式求简述由状态空间表达式求传递函数传递函数传递函数传递函数 矩阵矩阵矩阵矩阵 的过程的过程的过程的过程 答答答答 已知系统状态空间表达式为 xAxBu yCxDu 则系统传递函数 矩阵 为 1 sC sIABD 例例例例 已知某一单一输入输出系统的状态空间表达式为 11 22 33 0101 0013 4326 xx xxu xx 1 2 3 100 x yx x 试求其传递函数阵 解解解解 1 12 32 1011 1 10001323213 234 43266 s sC sIABssss sss s 2 32 53 234 ss sss 8 简述系统传递函数简述系统传递函数简述系统传递函数简述系统传递函数 矩阵矩阵矩阵矩阵 描述与状态空间状态空间描述的特点描述与状态空间状态空间描述的特点描述与状态空间状态空间描述的特点描述与状态空间状态空间描述的特点 答答答答 1 系统传递函数 矩阵 描述为输入输出描述 只能给出系统的输出信息 系统状态空间描 述属于内部描述 其不仅可以给出系统的输出信息 而且给出系统的内部状态信息 2 系统传递函数 矩阵 描述仅适合线性定常系统 且不能反映系统非零初始运动情况 系统状 态空间描述可应用于时变 非线性系统 可以反映系统非零初始运动情况 3 对机理不甚明确的复杂系统 建立状态空间描述较为复杂 然而应用可以求得系统的频率特性 等 进而获得系统的传递函数 往往方便 简单 9 简述离散时间系统的状态空间表达式的过程简述离散时间系统的状态空间表达式的过程简述离散时间系统的状态空间表达式的过程简述离散时间系统的状态空间表达式的过程 答答答答 连续时间系统的状态空间表达法可以推广到离散时间系统 在连续时间系统中 可以从微分方 10 程或传递函数来建立状态空间表达式 而在离散系统中 可以从差分方程或脉冲传递函数来建立离散状态 空间表达式 定常离散系统状态空间表达式为 1 x kGx kHu k y kCx kDu k 定义传递函数阵为定义传递函数阵为定义传递函数阵为定义传递函数阵为 1 G zC zIFGD 差分方程作用函数中不包含高阶差分差分方程作用函数中不包含高阶差分差分方程作用函数中不包含高阶差分差分方程作用函数中不包含高阶差分 1100 1 1 n y knay kna y ka y kb u k 相应的脉冲传递函数为 0 1 110 nn n b G z ZaZa Za 状态空间表达式 11 22 11 0121 1 01000 1 00100 1 0001 0 1 1 nn nnn x kx k x kx k u k xkxk aaaax kx k 0 000y kbx 差分方程作用函数中含有高阶差分差分方程作用函数中含有高阶差分差分方程作用函数中含有高阶差分差分方程作用函数中含有高阶差分 11010 1 1 1 nnn y knay kna y ka y kb u knbu knb u k 相应的脉冲传递函数为 11 110110 11 110110 nnn nnn n nnnn nn b ZbZb ZbbZbZb G zb ZaZa ZaZaZa Za 状态空间表达式 11 22 11 0121 1 01000 1 00100 1 0001 0 1 1 nn nnn x kx k x kx k u k xkxk aaaax kx k 0121 nn y kbbbbx kb u k 图中方块 T 为单位延迟器 它表示将输入的信号延迟一个节拍 10 简述简述简述简述线性定常系统线性定常系统线性定常系统线性定常系统线性变换的基本特性线性变换的基本特性线性变换的基本特性线性变换的基本特性 答答答答 线性定常系统的状态空间表达式为 xAxBu yCxDu 令xPx 则 11 xP APxP Bu yCPxDu 令 1 AP AP 1 BP B CCP DD 11 则有等价系统方程等价系统方程等价系统方程等价系统方程 xAxBu yCxDu 另外另外另外另外 令xPx 则 1 1 xPAP xPBu yCP xDu 令 1 APAP BPB 1 CCP DD 同样有等价系统方程等价系统方程等价系统方程等价系统方程 xAxBu yCxDu 线性变换线性变换线性变换线性变换 等价变换等价变换等价变换等价变换 的基本特性的基本特性的基本特性的基本特性 1 特征值不变性 2 传递函数不变性 3 稳定性 能控性 能观测性不变性 对于对于对于对于线性时变系统线性时变系统线性时变系统线性时变系统 x tA t x tB t u t y tC t x tD t u t 令 xP t x 则 1 xP xP xP P xP A xB u ttttttt 11 P P xP A P xP B uA xB u ttttttttt 可以得到 111 A P P P A P P P A P tttttttttt B P B ttt 1 C C P ttt D D tt x tA t x tB t u t y tC t x tD t u t 11 简述简述简述简述约约约约化化化化状态空间表达式为标准状态空间表达式为标准状态空间表达式为标准状态空间表达式为标准 规范规范规范规范 型的过程型的过程型的过程型的过程 答答答答 1 约当规范型约当规范型约当规范型约当规范型 a 化化化化 A 为对角阵为对角阵为对角阵为对角阵 令xQx 设系统矩阵 A 有 n 个不相等的特征根 i i 1 2 3 n 相应地有 n 个不相关的特征向量 i p i 1 2 3 n 根据特征向量的关系式 iii App 即 1 2 1212nn n A pppppp 12 令 12n Pppp P 是非奇异的 所以 1 21 n P AP 即以特征向量构 成变换矩阵可以将系统矩阵 A 化为对角阵 即即即即 1 QP 若若若若 A 为友矩阵形式为友矩阵形式为友矩阵形式为友矩阵形式 则则则则有有有有 12 111 12 111 n nnn n P 2 化化化化 A 为约当阵为约当阵为约当阵为约当阵 设 A 的特征值为 1 2 k 其中特征值 j 为 j m重特征值 所以有 1 1 2 k j j mnjk 对于上述有重根的情况 可以找到变换矩阵 T 使得 1 2 1 3 0 0 K J J ATATJ J 1 1 1 0 0 jj j j jj j mm J 称为第 j 个约当块 因为特征值重复 所以得不到 n 个线性无关的特征向量 即不能用化对角标准型的方法 对 m1重特 征值 1 只能得到一个特征向量 1 p 其余向量 1 23 m ppp 可按下述方法求取 11 11 121 132 11 0 mm IA p IA pp IA pp IA pp 由此构成变换矩阵 P 3 模态形模态形模态形模态形 例例例例 已知系统 2117 0102 0213 xxu 01 1yx 将此状态空间表达式化为对角标准型 13 解解解解 A 的特征方程为 211 010 2 1 1 0 021 IA 所以 A 的特征值为 1 2 2 1 3 1 特征值两两相异 线性变换矩阵可由特征向量构成 对于 1 有 11 0IA p 即 11 21 31 011 0300 021 p p p 有 2131 21 2131 0 30 20 pp p pp 任选一组 1 1 0 0 p 同理可定出 2 1 0 1 p 2 0 1 1 p 于是得到 110 001 011 P 1 111 011 010 P 从而可以求得 1 200 010 001 AP AP 1 2 5 2 bP b 1 10ccP 例例例例 已知系统状态空间表达式为 3100 0310 4009 xxu 101yx 试将此表达式化 为约当标准型 解解解解 求 A 的特征值 22 310 031 3 4 1 4 0 40 IA 所以特征值为 12 1 3 4 1 为二重根 对于 1 有 11 0IA p 即 11 21 31 210 0210 401 p p p 有 1121 2131 1131 20 20 40 pp pp pp 取 1 1 2 4 p 对于 2 p 有 121 IA pp 即 12 22 32 2101 0212 4014 p p p 有 1121 2131 1131 20 20 40 pp pp pp 取 1 1 3 8 p 对于 3 有 33 0IA p 即 13 23 33 110 0110 404 p p p 有 1121 2131 1131 20 20 40 pp pp pp 取 3 1 1 1 p 于是得到 111 231 481 P 1 1174 1 633 9 441 P 14 从而可以求得 1 110 010 004 AP AP 1 4 3 1 bP b 340ccP 此系统的约当标准型为 1104 0103 0041 xxu 340yx 15 第第第第 2 章章章章 线性系统的运动分析线性系统的运动分析线性系统的运动分析线性系统的运动分析 1 简述矩阵指数函数简述矩阵指数函数简述矩阵指数函数简述矩阵指数函数 At e定义定义定义定义 基本性质基本性质基本性质基本性质 答答答答 齐次状态方程为 xAx 系统处于由初始状态引起的自由运动状态 齐次方程式的解也称 自由解 0 00 A t t x textt 其中 At e或 0 A t t e称为矩阵指数 为n n 方阵 矩阵指数函数定义矩阵指数函数定义矩阵指数函数定义矩阵指数函数定义为 2 2 0 111 2 Atk kk k k eIAtA tA tA t kk 矩阵指数的矩阵指数的矩阵指数的矩阵指数的基本基本基本基本性质性质性质性质 1 0 lim At t eI 2 A tAtAAAt ee ee e 3 1 AtAt ee 4 A F tAtFtFtAt ee ee e 要求要求要求要求 AF FA 5 AtAtAt d eAee A dt 6 AtmA mt ee 求求求求矩阵指数函数的算法矩阵指数函数的算法矩阵指数函数的算法矩阵指数函数的算法 1 Laplace 变换法 11 At eLSIA 2 按 At e的定义 2 23 3 2 3 k k At A tA tA t eIAt k 3 应用CayleyHamilton 定理 CayleyHamilton 定理定理定理定理 设n n 矩阵A的特征多项式为 1 11 nn nn faaa 则A 必满足其自身的特征方程 即 1 11 0 nn nn f AAa AaAa I 2 23 3 1 1 011 0 2 3 k k n Atnk nk k A tA tA t eIAtt It At At A k 设矩阵设矩阵设矩阵设矩阵A的特征值的特征值的特征值的特征值 12 n 是两两相异是两两相异是两两相异是两两相异 则 1 2 1 21 0 111 21 1 222 21 1 1 1 1 n nt nt nt n nnn te te te 设设设设A有有有有n重特征值重特征值重特征值重特征值 1 则 1 1 1 1 1 1 1 2 1 0 1 3 1 2 2 2 11 1 21 111 1 0001 1 001 1 1 2 1 2 001 1 2 2 1 012 1 1 1 1 tn tn n t n n n t n t te n n t te n t nn tt e n t te e 16 2 简述线性定常系统状态转移矩阵的定义简述线性定常系统状态转移矩阵的定义简述线性定常系统状态转移矩阵的定义简述线性定常系统状态转移矩阵的定义 基本性质基本性质基本性质基本性质 答答答答 得齐次状态方程的自由解为 0 00 A t t x textt 该式的物理意义是系统在 0 tt 的 任一瞬时的状态 x t 只是初始时刻状态向量 0 x 的一种变换关系 变换矩阵为 0 A t t e 指数矩阵 At e或 0 A t t e是一个n n 的时间t的函数矩阵 这意味着它使状态向量随着时间的推移在不断地作坐标变换 即 不断在状态空间中作转移 因此指数矩阵 At e或 0 A t t e也称状态转移矩阵状态转移矩阵状态转移矩阵状态转移矩阵 通常表示为 At te 或 0 0 A t t tte 因此齐次状态方程的解也可表示为 00 x tttx 可以看出 系统作自由运动时 它的运动形态将是唯一地由状态转移矩阵所决定 它包含了系统自由 运动的全部信息 状态转移矩阵的性质状态转移矩阵的性质状态转移矩阵的性质状态转移矩阵的性质 1 0 ttI 2 tt 3 1 tt 4 tAttA 5 若A为对角矩阵 即 1 2 0 0n A 则 1 2 0 0 n t t t e e t e 6 若A通过非奇异变换为对角阵 即 1 P AP 则 1 2 1 0 0 n t t At t e e tePP e 7 若A为Jordan型矩阵 1 1 1 1 0 0 AJ 则 21 2 11 1 2 1 1 01 2 000 0001 n n Jtt ttt n tt n tee t 17 例例例例 已知系统 t2tt2t 1 t2tt2t 6e5e4e4e t 3e3e2e3e 和 t2tt2t 2 t2tt2t 2eeee t 2e2ee2e 判断 12 是否是状态转移矩阵 若是 则确定系统的状态阵 A 如果不是 请说明理由 解解解解 转移矩阵应满足 AA 0 I 1 10 0I 01 2 10 0 01 假设 1 t 2 t 为转移矩阵 则 22 11 22 0 0 4461048 343626 tttt tttt t t eeee At eeee 22 22 22 0 0 01222 23244 tttt tttt t t eeee At eeee 则 t2tt2t 111 t2tt2t 12e8e8e4e Att 9e8e6e4e t2tt2t 22222 t2tt2t 2e2ee2e At t t A 2e4ee4e 所以 1 t 不是转移矩阵 2 t 是转移矩阵 其状态阵为 01 23 A 3 简述简述简述简述线性定常线性定常线性定常线性定常非齐次状态方程的解非齐次状态方程的解非齐次状态方程的解非齐次状态方程的解 答答答答 设 n 阶非齐次方程 00 x tAx tBu t x tx 将状态方程左乘 At e 有 AtAtAt ex teAx teBu t 即 AtAt d ex teBu t dt 亦即 AtAt d ex teBu t dt 两边积分 再移项左乘 At e 得 t t tAttA dBuexetx 0 0 0 或 0 00 t t x tttx ttBud 或 111 0 x tLX sLSIAxBU s 例例例例 已知系统状态方程为 101 111 xxu 初始条件为 12 0 1 0 0 xx 试求系统在单位 阶跃输入作用下的响应 解解解解 0 0 t x tt xtBud 18 1 1111 2 1 0 100 1 11 11 1 1 t tt se s tLsIALL sstee ss 0 111200 01 2 t tt t tttt t eee x td teeteete 建议方法建议方法建议方法建议方法 111 0 x tLX sLSIAxBu s 4 简述线性时变系统状态转移矩阵的定义简述线性时变系统状态转移矩阵的定义简述线性时变系统状态转移矩阵的定义简述线性时变系统状态转移矩阵的定义 基本性质基本性质基本性质基本性质 答答答答 tutBtxtAtx 线性时变系统状态转移矩阵的定义为线性时变系统状态转移矩阵的定义为线性时变系统状态转移矩阵的定义为线性时变系统状态转移矩阵的定义为 00 tttAtt Itt 00 0 tt 可表示为 12210 0 1 00 t tt t t ddAAdAItt 线性时变系统状态方程的解线性时变系统状态方程的解线性时变系统状态方程的解线性时变系统状态方程的解 t t duBttxtttx 0 00 状态转移矩阵的求法状态转移矩阵的求法状态转移矩阵的求法状态转移矩阵的求法 按定义 1 000 01221 tt ttt t tIAdAAdd 当 00 tt tt A tAdAdA t 时 0 0 exp t t t tAd 即 0 000 23 0 11 2 3 t t Ad ttt ttt t teIAdAdAd 要求要求要求要求 00 tt tt A tAdAdA t 即即即即 000 0 ttt ttt A tAdAd A tA t AAA td 若上式对任意若上式对任意若上式对任意若上式对任意t皆成立皆成立皆成立皆成立 则对于任意则对于任意则对于任意则对于任意 1 t和和和和 2 t 等式等式等式等式 1221 A tA tA tA t 应能成立应能成立应能成立应能成立 转移矩阵的基本性质转移矩阵的基本性质转移矩阵的基本性质转移矩阵的基本性质 1 Itt 2 00 1 tttt 3 020112 tttttt 4 000 1 tAtttt dt d tt dt d 例例例例 已知已知已知已知 t 是是是是 xA t x 的状态转移矩阵的状态转移矩阵的状态转移矩阵的状态转移矩阵 求证求证求证求证 d ttA d 证明证明证明证明 由 ttI 得 0 dd tttt dtdt 所以 1 d ttA tttt A t dt 19 交换变元t d ttA d 证毕证毕证毕证毕 5 连续系统状态方程离散化要求的基本条件是什么连续系统状态方程离散化要求的基本条件是什么连续系统状态方程离散化要求的基本条件是什么连续系统状态方程离散化要求的基本条件是什么 答答答答 a 连续系统里串接采样开关 等周期采样 b 满足 Shannon 定理 c 有 ZOH 线性定常连续系统的状态方程为线性定常连续系统的状态方程为线性定常连续系统的状态方程为线性定常连续系统的状态方程为 BuAxx 其解式为 t t ttAttA dBuetxetx 0 00 0 取 2 1 0 1 0 kTktkTt Tk kT TkAAT dBuekTxeTkx 1 1 1 上式的 在kT和Tk 1 之间 且有 kTuu 常数 这是由于在离散化式采样器后面常放置 零阶保持器 故输入 kTu可以放到积分符号之外 从而有 Tk kT TkAAT kTBudekTxeTkx 1 1 1 式中 令 Tkt 1 则 ddt 而积分下限kT 则TkTTkt 1 当积分上 限Tk 1 时 则0 1 Tkt 故可化简为 0 0 1 T ATATATAT T x kTex kTedtBu kTex kTedt Bu kT 令 AT Ge 0 T At He Bdt 1 x kTGx kTHu kT 对于线性时变连续系统对于线性时变连续系统对于线性时变连续系统对于线性时变连续系统 tutBtxtAtx 1 kTukTHkTxkTGTkx 或 1 kukHkxkGkx 1 1 kkkTTkkG dBTkkH Tk kT 1 1 例例例例 已知连续系统的动态方程为 010 10 021 xxuyx 设采样周期1Ts 试求离散 化动态方程 解解解解 1 2 1111 2 11 1 11 1 2 2 02 1 0 0 2 t t se ss s tLsIALL s e s 2 2 1 13 191 1 2 07 39 0 AT e Ge e 20 1 2 2 22 00 0 11 1 01 3471 1 42 2 113 195 0 2 TT e e HBdd ee 13 191 347 1 07 393 195 x kx ku k 例例例例 求连续系统 010 021 x tx tu t 的离散状态空间表达式 解解解解 1 2 1111 2 11 1 11 1 2 2 02 1 0 0 2 T AT T Se SS S G TeLSIALL S e S 2 2 2 00 22 2 11111 1 001 1 22222 2 11111 00 1 222 T T t TAtT tT T e TTeT e H Te bdtdt ee e 从而可求得离散化状态方程为 2 2 2 2 11 1 1 1 22 1 2 1 0 1 2 T T T T e T e xkTx kTu kT e e 6 简述线性离散系统状态方程的解简述线性离散系统状态方程的解简述线性离散系统状态方程的解简述线性离散系统状态方程的解 答答答答 对 n 阶线性定常离散系统 0 1 0 x kGx kHu k xx 的求解 主要有两类方法 一类是用矩阵差分 方程的迭代法 另一类是用 z 变换法 1 迭代法迭代法迭代法迭代法 1 1 0 0 k kkj j x kG xGH u j 或 1 0 0 1 k kj j x kG xG H u kj 2 Z 变换法变换法变换法变换法 0 zX zzxGX zHU z 11 0 X zzIGzxzIGHU z 取 z 反变换 1 11 00 0 1 k ki i x kZzIFzxGU zG xG Hu ki 离散时间系统的状态转移矩阵定义为状态转移矩阵定义为状态转移矩阵定义为状态转移矩阵定义为 k kG 或 k h khG 状态转移矩阵具有如下性质状态转移矩阵具有如下性质状态转移矩阵具有如下性质状态转移矩阵具有如下性质 1 111 khkhhhkhh 2 当且仅当 G k是非奇异时 1 kk 21 3 如果G为对角线矩阵 且 12 n Gdiag g gg 则 k 也必为对角线矩阵 即为 12 kkk n kdiag ggg 4 因为当且仅当G是非奇异时 k 才是非奇异的 对于由连续系统离散化得到的系统 AT G e 总 是非奇异的 所以 k 必是非奇异的 例例例例 离散状态方程 011 1 0 1611 x kx ku k 试求当初始状态 1 0 1 x 和控制作 用为 1u k 时 此系统的 k 和 x k 解解解解 因为 1u k 所以 1 z u z z 1 1111 111 0 1610 16 0 2 0 8 k zzz GkZzIGzZzZ zzzz 1 4155 4 0 2 0 8 5 0 2 5 0 8 1 0 20 80 20 8 0 80 814330 8 0 2 0 8 0 8 0 2 4 0 8 0 20 80 20 8 kkkk kkkk z zzzz Z zzzz 2 1 2 11 1 1 0 0 16 0 2 0 8 2 1 z z z x zzIGzxHu z zzz zz z 2 172522 6918 23 417 67 6918 2 0 2 0 8 1 0 20 81 1 84 0 20 81 0 2 0 8 1 zz zzz zzz zzz zzz zz z zzzzzz 1 172225 0 2 0 8 6918 0 17887 0 2 0 8 304518 kk kk x kZx zk 线性时变离散状态方程的解线性时变离散状态方程的解线性时变离散状态方程的解线性时变离散状态方程的解 设时变系统的状态方程为 0 1 x kTG kT x kTH kT u kT x hTx 其解是 1 0 1 k j h x kTkT hT xkTjT H jT u jT 22 第第第第 3 章章章章 控制系统的能控性和能观测性控制系统的能控性和能观测性控制系统的能控性和能观测性控制系统的能控性和能观测性 1 简述线性系统能控性简述线性系统能控性简述线性系统能控性简述线性系统能控性 controllability 和能观测性和能观测性和能观测性和能观测性 observability 定义定义定义定义 答答答答 1 能控性定义能控性定义能控性定义能控性定义 设线性系统的状态方程 xA t xB t u 如果在有限时间区间 012 ttt 内存在容许控制向量 u t 能使此系统从初始状态转移到 x ta 0 则称状态 x t0 在 t0 ta 上是能控的能控的能控的能控的 或称 x t0 在时刻 t0上是能控的 若以系统的状态空间的所有元素作为初始状态 且均能满足上述条件 则称系统在 t0 ta 上是状态完全能控的状态完全能控的状态完全能控的状态完全能控的 如果存在将系统从零态 0 0 x t 推向末态 f x tx 的控制作用 u t 则称 f x是能达的能达的能达的能达的 若 f x可为状 态空间的任一点 则称系统是在 0 tt 上状态完全能达的完全能达的完全能达的完全能达的 定义的解释定义的解释定义的解释定义的解释 系统的解为 0 00 t t x tt txtBud 依上面能控性定义 如果系统在 0 t t 上是完全能控的 那么就有 0 00 0 t t ttxtBud 可导出 00 1 000 tt tt xtttBudtBud 上式表明 所谓完全能控 就是对任意非零 0 x 满足上式的 u 总是存在的 如果状态空间中某个非零状态 f x是能达状态 那么它必满足下式 0 f t ff t xtBud 该式表明 若 f x为可达态 则必存在满足前式的无约束的控制 控性和能达性控性和能达性控性和能达性控性和能达性的的的的等价等价等价等价条件条件条件条件 对对对对于于于于线线线线性定常性定常性定常性定常连连连连续续续续系统系统系统系统 能控性和能达性二者等价能控性和能达性二者等价能控性和能达性二者等价能控性和能达性二者等价 对对对对于于于于线性线性线性线性时变连续时变连续时变连续时变连续系统系统系统系统 能控性和能达性能控性和能达性能控性和能达性能控性和能达性一般为不一般为不一般为不一般为不等价等价等价等价 2 能观测性定义能观测性定义能观测性定义能观测性定义 设线性系统的状态方程为 xA t xB t u yC t x 如果系统对 0 t 时刻存在时刻 0 tt 根据在有限时间区间 0 tt 量测到的输出 0 tt 能够唯一确定系统在 0 t时刻的 初始状态 0 x 则称该状态 0 x在 0 tt 上是能观的能观的能观的能观的 若系统在 0 t时刻的所有初始状态都是能观的 则称状 态是完全能观的完全能观的完全能观的完全能观的 如果根据 0 tt 上的观测值 0 tt 能够唯一地确定系统在t 时刻的任意末态x 则称系统在 0 tt 上是状态能检测的能检测的能检测的能检测的 detectable 对对对对于于于于线性定常线性定常线性定常线性定常连续连续连续连续系统系统系统系统 能观性和能观性和能观性和能观性和能检测能检测能检测能检测性是完全等价的性是完全等价的性是完全等价的性是完全等价的 2 简述线性定常系统的能控性和能观测性简述线性定常系统的能控性和能观测性简述线性定常系统的能控性和能观测性简述线性定常系统的能控性和能观测性代数代数代数代数判据判据判据判据 答答答答 1 线性定常系统能控性代数判线性定常系统能控性代数判线性定常系统能控性代数判线性定常系统能控性代数判据据据据为为为为 当且仅当矩阵QC满秩 即 1 n c rankQrank B ABABn 时 系统状态能控 若若若若 A 为对角形为对角形为对角形为对角形 且对角线上的元素均不相同 则状态完全能控的充要条件是B阵无全为零的行 23 若若若若 A 为约当标准形为约当标准形为约当标准形为约当标准形 且每个约当块所对应的特征值均不相同 则状态完全能控的充要条件是 B 阵中与 每个约当块最后一行所对应的各行 没有一行元素全为零 注意注意注意注意 当系统的约当型存在多个约当块对应同一个特征值时 状态完全能控的充分必要条件是 系数 矩阵B中对应A矩阵中相等特征值的全部约当块末行的那些行之间是线性无关的 系统输出能控性的充分必要条件是系统输出能控性的充分必要条件是系统输出能控性的充分必要条件是系统输出能控性的充分必要条件是 1 n k RankVRank CB CABCAB Dm 2 线性定常系统能观测线性定常系统能观测线性定常系统能观测线性定常系统能观测性代数判据为性代数判据为性代数判据为性代数判据为 线性定常系统 当且仅当矩阵 Qo满秩 即 1 TnT o rankQrank C CACAn 时 系统能观测 若若若若 A 为对角形为对角形为对角形为对角形 且对角线上的元素均不相同 则状态完全能观测的充要条件是 C 阵无全为零的列 若若若若 A 为约当标准形为约当标准形为约当标准形为约当标准形 且每个约当块所对应的特征值均不相同 则状态完全能观测的充要条件是 C 阵 中与每个约当块首列所对应的各列 没有一列元素全为零 注意注意注意注意 当等特征值有多个约当块时 系统状态完全能观的充分必要条件是与系数矩阵 A 中所有相等特 征值的约当块首行相对应的 C 中那些列彼此线性无关 例例例例 试判断下列系统的状态可控性 1 4001 0402 0011 xxu 2 1 1 1 100 001 001 xxu 解解解解 1 1416 2832 111 c Q 23 c rankPn 该系统不可控 2 1 22 11 2 11 012 1 1 c QBABA B 矩阵不满秩 该系统不可控 例例例例 给定线性定常系统 011 0 1 xxuyc ab 并设系统状态可控 可观测 试求 a b c 解解解解 1 1 c b QBAB bab 0 0 o Cc Q CAc 令 2 10 c Qabb 当0b 时a取任意值均可满足可控性条件 当0b 时 1 ab b 可满足可 控性条件 令 2 00 o Qcc 时即可满足可观测条件 例例例例 设系统状态方程为 32 7148 sa G s sss 1 确定系统状态可控的a值 2 确定系统 24 状态可观测的a值 3 确定系统状态既可控又可观测的a值 解解解解 32 7148 1 2 4 sasa G s ssssss 1 系统按可控标准型描述 无论a取何值 系统状态可控 2 系统按可观测标准型描述 无论a取何值 系统状态可观测 3 1a 或2a 或4a 系统状态既可控又可观测 例例例例 试判断下列系统的可观测性 1 200 020 1 1 1 001 xx yx 2 200 011 020 101 001 xx yx 解解解解 1 2 111 221 441 c C QCA CA 2 c rankQ 所以系统不可观测 2 2 011 101 021 201 041 401 c C QCA CA 3 c rankQ 所以系统不可观测 3 简述线性时变系统的能控性和能观测性判据简述线性时变系统的能控性和能观测性判据简述线性时变系统的能控性和能观测性判据简述线性时变系统的能控性和能观测性判据 答答答答 线性时变系统的能控性判据线性时变系统的能控性判据线性时变系统的能控性判据线性时变系统的能控性判据 线性连续时变系统 xA t xB t u yC t xD t u 在时间区间 t0 ta 内 状态完全能控的充要条件是能控性矩阵 Gram 矩阵 0 c W