（机械设计及理论专业论文）ti蜗杆传动的参数化设计及存在装配误差时齿面接触分析.pdf

中文摘要 基于先进的c a d 三维造型技术对一次包络t i 蜗杆传动即渐开面包络环面蜗 杆传动丌展了研究。实现了t i 蜗杆传动的三维参数化设计，对含有装配误差的 t i 蜗杆传动的啮合接触情况进行了分析。具体工作如下： 在t i 蜗杆传动啮合理论的基础上，建立了含有装配误差的t i 蜗杆传动数学 模型，得到存在装配误差条件下t i 蜗杆副的齿面数学方程。 研究了基于特征的参数化设计方法：建立了基于特征的t i 蜗杆传动的三维 实体模型，其中蜗轮的造型充分考虑了齿廓过渡曲线，实现了蜗轮的精确造型。 并在v c + + 程序设计平台上编写计算机程序，开发了针对t i 蜗杆传动的参数化设 计模块；对t i 蜗杆传动进行了运动仿真；绘制了t i 蜗杆传动的瞬时接触线和啮 合接触区。 利用c a d 三维造型技术与数值计算相结合的方法，研究了存在装配误差时 t i 蜗杆传动齿面接触的求解问题。借助蜗杆蜗轮齿面接触的三维直观效果，采 用数值逼近的方法确定了t i 蜗杆传动的齿面接触位置。在此基础上分析了装配 误差对t i 蜗杆传动啮合接触性能的影响。 关键词：蜗杆传动t i 蜗杆参数化设计三维造型装配误差 a b s t r a c t ar e s e a r c hp r o j e c to nt h es i n g l e e n v e l o p i n go ft 1w o r md r i v e ，w h i c hc o n s i s t so f i n v o l u t eh e l i c a lg e a ra n dh o u r g l a s sw o r me n v e l o p e db yt h eg e a r ，i sc a r r i e do u tb a s e d o nt h ea d v a n c e dc a dt h r e e d i m e n s i o n a ls i m u l a t i o nt e c h n i q u e p a r a m e t e r i z e ds o l i d m o d e l i n gf o rt h et 1w o r md r i v ei sa c h i e v e d t o o t hc o n t a c ta n a l y s i si sd e v e l o p e df o r t h et iw o r l t ig e a r i n gw i t ha s s e m b l ye r r o r s t h ec o n t e n to f t h er e s e a r c hi sa sf o l l o w s ： o nt h eb a s eo ft h em e s h i n gt h e o r i e so ft 1w o r md r i v e ，t h em a t h e m a t i c a lm o d e l o ft 1w o r n ld r i v ew i t ha s s e m b l ye r r o r si ss e tu p ，a n dc o r r e l a t i v et o o t hf l a n ke q u a t i o n s o f t lw o r mp a i ra r ed e r i v e d t h e p a r a m e t e r i z e dd e s i g n m c t h o db a s e do nc h a r a c t e r i s t i ci ss t u d i e d t h r e e d i m e n s i o n a ls o l i dm o d e l i n gb a s e do nc h a r a c t e r i s t i co ft 1w o r md r i v ei sb u i l t ， a n dt h et r a n s i t i o nc u r v ei nt o o t hp r o f i l ei sf u l l yc o n s i d e r e d ，t h r e e - d i m e n s i o n a lm o d e l o fg e a ri sa c c u r a t e l yb u i r t h ep r o g r a m sa r ed e s i g n e do nt h ev c + + p r o g r a m s p l a t f o r m ap r o c e d u r em o d u l eo fp a r a m e t e r i z e dm o d e l i n gf o rt 1w o r md r i v ei s d e v e l o p e da n ds u c c e s s f u l l ye m b e di nm o d e l i n gs o f t w a r e ，a n di tc o m et r u et os i m u l a t e t h ea c t u a lm o v e m e n to ft iw o r md r i v e i na d d i t i o n ，b a s e do nt h ee q u a t i o n sa b o v e m e n t i o n e d ，i n s t a n t a n e o u sc o n t a c tl i n e sa n dm e s h i n gc o n t a c tr e g i o n sa r ep l o t t e do nt h e t h r e e d i m e n s i o n a lm o d e lo f t lw o r m p a i r b yc o m b i n i n g3 ds o l i dm o d e l i n gt e c h n i q u ew i t hn u m e r i c a lc o m p u t a t i o n ，t h e p r o b l e mh o wt od e t e r m i n et h et o o t hc o n t a c tp o s i t i o n sf o rt iw o r md r i v ei ss t u d i e d w h e na s s e m b l ye n _ o r s e x i s t i n g i nv i r t u eo ft h r e e d i m e n s i o n a li n t u i t i o n i s t i c r e s u l t c h a t so ft o o t hc o n t a c to ft h ew o r ma n dt h ew h e e l ，t h ec o n t a c tp o s i t i o n sf o rt iw o r m d r i v ea r ef o u n db a s e do nt h em e t h o do fd i g i t a la p p r o x i m m i o n m o r e o v e r , t h e i n f l u e n c eo fa s s e m b l ye r r o r so nt h em e s h i n gc o n t a c tc a p a b i l i t yo ft iw o r md r i v ei s a n a l y z e d k e yw o r d s ：w o r md r i v e ，t iw o r m ，t h r e e - d i m e n s i o n a lm o d e l i n g ，p a r a m e t e r i z e dd e s i g n ， a s s e m b l y e l t o r 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得鑫盗盘茔或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：商五乏痒 签字日期：弘。罗年 1 月j 于同 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解鑫注盘鲎有关保留、使用学位论文的规定。 特授权盘盗盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名 商遂萍 签字日期：2 0 0 5 年1 月j 牛日 导师签名：否6 ) 陪哆诏氅砗 签字日期：伊弓年，月牛日 第一章绪论 第一章绪论 1 1 课题研究的背景及意义 随着计算机技术的高速发展及与工程技术越来越紧密的结合，越来越多的科 研工作可以借助计算机及相应软件来更容易的开展，同时也可以用来检验一些理 论工作，在机械设计领域，比如，三维造型、参数化设计，仿真，虚拟制造、虚 拟设计等都是设计工作与计算机技术的结合产物。其中参数化造型设计和仿真技 术广泛成为丌展研究和检验研究结果的工具。 蜗杆蜗轮传动是具有高的传动比，低噪音和紧凑的结构，具有较高的传动效 率和较好的承载能力，在工程中应用十分广泛。t i 蜗杆指渐开线螺旋面一次包 络环面蜗杆，是一种很有前途的蜗秆传动形式。”1 但目前制造关键技术仍为解决， 实验数据也不充分，用计算机仿真研究存在) r o t 及装配误差的蜗杆的齿面接触分 析是其急需研究的主要方面，对含误差的t i 蜗杆啮合性能分析具有直观效果。 实现t i 蜗杆的参数化造型及啮合仿真分析是深入t i 蜗杆传动研究的中问环节。 与此同时，一些大型优秀造型软件的成熟及其强大的二次丌发工具使对特定 产品数值分析、参数化造型、仿真等工作能更高质高效的进行，比如m a t l a b ， c a d 软件p r o e 、s o l i d w o r k 、u g 和i d e a r s 等。 针对特定机械产品进行参数化造型设计和有限元仿真研究具有工程实用价 值，是c a d 的一部分。使应用c a d 软件适应特定机械产品特性，也有利于在更高 层次上进行针对机械产品的c a d 技术的应用与推广；还可基于实体模型进行虚拟 精磨加工，性能、参数优化等等，从而为工程人员修改、优化设计提供了可视化 辅助或在做实验之自口检验一些理论工作。其产生的模型数据还可用于虚拟环境， 是虚拟设计和制造环境开发的一部分；是实现c a d c a m 集成的有效手段和关键 部分。 研究t i 蜗杆的参数化自动实体建模，使其抽象数学模型形象、直观的表示， 即可以用其实体模型来进行下一步的研究工作，比如有限元分析等，也能在产品 未生产前检验零件间的装配关系、相互干扰的可能性等，为修改、优化设计提供 了可视化辅助。而对含误差的t i 蜗杆传动数学模型及啮合分析进行仿真研究则 对改进工艺方案、提高传动性能的方法的实施有指导作用。 鉴于以上所述，本文主要研究t i 蜗杆传动的参数化设计和装配误差对接触 性能的影响。 第一章绪论 1 2 蜗杆传动特点及分类 蜗杆传动用来传递交错轴之间的动力和运动，其交错角可为任意值，通常为 9 0 度。蜗杆传动具有传动平稳、振动冲山小、噪音低、可获得较大传动比的特 点。当蜗轮为主动时，可形成自锁。由于其在传动的特点，在机械传动中得到了 广泛的应用。 按蜗杆外形及蜗杆螺旋面形成原理可分i 圳大类：剧柱蜗杆传动，环面蜗杆传 动，锥蜗杆传动及特殊蜗杆传动。“。 其巾环面蜗杆毛坯外形包络嘶是出一段凹圆弧母线绕蜗杆轴线回转而形成 的回转而。它的齿而是以直线或曲线为母线的轨迹而，或以平而或曲面作为母面 所展成的包络面。环面蜗杆传动按形成蜗杆齿面的母线或母面可分为直廓环面蜗 杆、平面包络环面蜗杆和渐开面包络蜗杆等若再按蜗杆齿面形成的原理，又可 将其分成单包络环面蜗杆传动和双包络环卣蜗杆传动。由特定齿面的蜗轮作为产 形轮，进行包络展成环面蜗杆的成形过程，称为第次包络，简称一次包络。如 果以此包络环皿蜗杆为产形轮，按照同样的传动比和中心距，再展成一个蜗轮， 其过程则称为第二次包络，简称二次包络。包络环面蜗杆与由它展成的蜗轮构成 的传动成为二次包络环面蜗杆传动。环面蜗杆传动的具体分类如下： r 直廓环面蜗杆传动( t a 蜗杆) 盐f 一次包络( p 蜗杆) 霾j 平而包络环而蜗杆传动1 二次包络( t p 蜗杆) 杆、 传1 一 1 次包络( t i 蜗丰t ) 动i渐丌面包络环面蜗杆传动 ii 二次包络 、 l 锥面包络环面蜗杆传动 环面蜗杆传动多是瞬时多齿接触和线接触，故与圆柱形蜗杆传动相比，具有 啮合性能好，承载能力人和机械效率高等优点。近年来，随着研制工作的深入。 环面蜗杆传动的研究取得了较大进展。 本文研究的对象为渐开面一次包络环面蜗杆传动( t i 蜗杆) ，是属于环面蜗 杆传动的一种。蜗轮齿面为渐丌线螺旋面，而蜗杆齿面是渐丌线圆柱齿轮齿面的 包络面，即t i 蜗杆传动为渐开面单包络环面蜗杆传动。 1 3tj 蜗杆传动的特点及研究现状 1 3t i 蜗杆传动的特点及研究现状 第一章绪论 1 3 1t i 蜗杆传动的特点 t i 蜗杆与渐开线斜齿圆柱齿轮正交传动是一种尚未得到广泛应用的环面蜗 杆传动，是二十世纪近七十年代出现的新型环面蜗杆传动。作为一种环面蜗杆传 动形式，它具有环面蜗杆传动的一般特点，同时它由具有自己的特点：工作时同 时参与啮合的齿数多、线接触、预计有较大的承载能力，在这种传动中，蜗轮即 为渐开线斜齿轮，可以精确制造；随着高精度齿轮形金刚石修形轮的出现，t i 蜗杆也能够精确制造。从而使得这种传动易于安装、调试，并能减小误差对传动 精度的影响，因此该传动已引起人们的重视。 1 3 2t i 蜗杆传动的研究现状 到目前为止，t i 蜗杆还处于实验研究阶段，国内外学者对t i 蜗杆的研究主 要集中在理论分析、加工工艺方法的研究等方面。 王树人、詹东安“”“等人建立了一次包络t i 蜗杆传动的数学模型，进行了 齿面接触分析，并给出了未考虑齿面边界条件下啮合界限线存在的判定条件。并 指出了t i 蜗杆传动对误差的敏感性小，易于制造、安装、对重型机械设备是一 种很有前途的传动形式。 刘洪斌“”建立了考虑误差的一次包络t i 蜗杆传动的数学模型，并分析了加 工误差对接触性能的影响，并对参数进行了优化。分析了二次接触现象。 毕庆贞“建立推导了精确磨削t i 蜗杆的砂轮的数学模型，为解决t i 蜗杆的 精确磨削问题提供了理论依据。 段路茜“3 。研究了各种设计参数对t i 蜗杆传动接触性能的影响，为合理选择 设计参数提供理论指导；建立了二次包络t i 蜗杆传动的数学模型，并进行了理 论分析：运用改进的遗传算法对一次t i 蜗杆传动的设计参数进行了的优化设计。 刘宗辅提出了渐开线斜齿轮包络蜗杆副的参数计算公式，以及当最终加工工 艺为铣削时的t i 蜗杆加工工艺过程和t i 蜗杆的精度测量。 殷李森1 3 4 】从加工原理出发，根据内啮合渐开线斜齿轮齿形原理，提出了近似 磨削t i 蜗杆的方法，推导了砂轮轴截面的截形曲线，设计了相应的磨削装置。 朱景梓【3 6 1 研究了在滚齿机上加工渐丌线齿轮包络环面蜗杆的方法，设计 了切削步骤，指出磨削蜗杆时砂轮的倾斜角等于工具齿轮分度圆螺旋角，在理论 上推导了砂轮修正的原理。 王树人、刘红斌、詹东安。1 等学者根据t i 蜗杆的成形原理，提出了“精磨 削”的磨削方法。 第一章绪论 另外，刘宗辅。”在实验中将渐开线斜齿轮包络蜗杆副用作高速滚齿机的分度 蜗杆副，通过与普通圆柱蜗杆副的比较，证明t i 蜗杆有更高的承载能力、耐磨 性和使用寿命。 朱景梓【36 】等通过在不同转速下对实验蜗杆减速器温升、效率及极限载荷的测 定，证明渐开线斜齿轮包络蜗杆副传动的效率比阿基米德蜗杆传动高，齿面磨损 情况良好，且能够传递较高的载荷。 郑州机械研究所 39 】把t i 蜗杆副( 中心距a = 2 0 0 m m ，传动比i = 6 1 2 ) 放到电梯 的曳引机上进行效率实验、温升实验和磨损实验，证明t i 蜗杆副在载荷不大的 情况下，具有良好的性能。 1 4c a d 技术的发展历史及其在蜗轮蜗杆传动领域的应用 从7 0 年代到8 0 年代，c a d 技术经历了曲面造型技术和实体造型技术，自此 实现了三维实体造型。实体造型技术能精确表达零件的绝大多数属性，在理论上 有助于统一c a d 、c a e 和c a m 的模型表达，给设计带来了极大的方便。可以说， 曲面造型技术是c a d 技术的第一次革命。因为它标志着计算机辅助设计从单纯模 仿工程图纸的三视图模式向三维曲面造型的转变，克服了三视图方法表达的不完 整性，以致设计完成后制造出来的样品与设计者所想象的有很大差异。 实体造型技术则可以称作c a d 技术的第二次革命。促使实体造型技术的产生 原因是当时的c a e 、c a m 技术也有了较大的发展。曲面造型技术只能表达形体的 表面信息，对零件的很多重要信息如质量、重心、惯性矩等却无能为力，这给 c a e 技术的应用带来极大的阻碍。经过一段时间的研究，于1 9 7 4 年出现了世界 上第一个完全基于实体造型技术的c a d c a e 软件，它就是i d e a s 。但实体造型 技术既带来了算法的改进和未来发展的希望，也带来了数据计算量的极度膨胀， 在当时的硬性条件下，实体造型的计算及显示速度很慢，在实际应用中做设计显 得比较勉强。在以后的十多年里，随着硬件性能的提高，实体造型技术有逐渐成 为众多c a d 系统所采用。 随着计算机技术的进步，硬件性能的不断提高和价格的大副降低，给c a d 技 术的广泛应用带来了极大的推动。但是，象其它科学技术一样，c a d 技术也没有 停止它日f 进步伐。在8 0 年代中期，一些公司重新设计新的c a d 系统，称为改进 型，它在系统结构、集成化程度、特征造型和参数化设计等方面作了很多改进。 在这些c a d 系统中，最具有代表性的是美国p i c 公司推出的p r o e n g i n e e r 系统。 它的最突出的特点是参数化造型技术，该技术克服了以前的无约束自由造型的缺 陷。可以说，参数化造型技术是c a d 技术发展史上的第三次革命。其主要特点为： 第一章绪论 基于特征，全尺寸约束，全数据相关，尺寸驱动设计修改。特征造型可以说是 c a d 建模的一个新的里程碑，它使c a d c a p p c a e 直至生产管理的真正集成化成 为可能，为解决当代从产品设计到知道的一系列问题奠定了理论和技术基础。 p r o e n g i n e e r 是一个基于参数化、特征设计的三维实体造型系统，它的一面世， 就以它的尺寸驱动和基于特征的实体造型软件深得用户的欢迎，同时，它也符合 虚拟环境c a d 技术的要求。“ 在蜗轮蜗杆传动领域，c a d 技术逐渐得到了研究人员的重视和应用。 9 0 年代初，l i t v i n 利用计算机模拟了蜗杆齿面上的接触线分布，及单包络 蜗杆蜗轮传动的啮合仿真。 1 9 9 5 年，c h u n g b i a l lt s a y 利用a u t o c a d 软件绘制了z i 型圆柱蜗杆蜗轮的 实体模型，后来，又研究了z n 型和z k 型双导程圆柱蜗杆蜗轮副的三维计算机图 形。 1 9 9 9 年苏代忠教授利用p r o e 完成了蜗轮传动装置三维造型和仿真。 2 0 0 3 年苏代忠、秦大同提出将数值分析、三维造型和有限元分析相结合对 蜗杆传动进行优化设计。” 基于某种蜗杆数学模型，以不同三维造型软件为工具，进行了三维造型的丌 发。”“”卢红等人。3 利用其几何成型原理，建立基于网格化矩阵的齿面方程利用 m a t l a b 获得三维图。张晋西利用m d t 二次开发实现圆拄蜗杆及蜗轮的造型等； 但没把造型应用到啮合分析仿真研究。 针对t i 蜗杆，从现状来，对t i 蜗杆含装配误差的数值分析方法有待研究。 具体针对t i 蜗杆造型仿真工作还有待进一步开展。同时t i 蜗杆复杂齿廓曲面要 求满足一定的方程和约束，参数化造型在造型软件上不能直接实现，而且现存软 件人机界面功能差，需借助二次开发 因此，针对t i 蜗杆传动，三维实体造型和仿真研究尚有进一步研究的需要。 1 5 论文主要工作内容 本文的研究对象是t i 蜗杆传动，在学习理解前人建立的t i 蜗杆传动啮合理 论的基础上，主要进行了以下工作： 1 建立了一次包络t i 蜗杆加工坐标系，推导了理想蜗杆和蜗轮齿面的理想 齿面方程：建立了含装配误差的t i 蜗杆传动的坐标系，利用坐标变换矩阵，推 导了在固定坐标系中蜗轮和t i 蜗杆齿面的数学模型表达式。为进一步的研究工 作奠定了基础。 2 开展了一次包络t i 蜗杆传动的参数化造型设计模块的开发，这是本文主 第一章绪论 要工作之一。首先，完成了t i 蜗杆和蜗轮精确造型的研究；借助p r o e 的二次 开发功能，完成了t i 蜗杆传动参数化造型设计模块的丌发，这里t i 蜗杆是利用 模拟加工的方法来获得实体模型；编制了相应的计算机程序；对t i 蜗杆传动的 运动仿真进行了研究，在虚拟环境下，利用模型来模拟实际运动；并借助三维模 型对t i 蜗杆传动进行齿面接触分析。 3 利用三维实体造型软件，对含装配误差的t i 蜗杆传动的啮合分析是本文 另一项主要工作。具体地，利用建立的存在装配误差时在固定坐标系下蜗轮和蜗 杆齿面的数学模型，考虑到t i 蜗杆传动理论中原始参数的取值范围和边界条件， 借助数值分析二维仿真和三维图形仿真相结合的方法，编制计算机程序，对含装 配误差的t i 蜗杆传动的啮合性能进行分析，从理论分析和图形直观判断两种角 度分析各种装配误差( 包括轴向误差和转角误差) 对传动性能的影响。从而为实 践消除主要装配误差提供了一些理论依据，为指导实践奠定了基础。 第二章存在装配误差时一次包络t i 蜗杆传动的数学模型 第二章存在装配误差时一次包络tl 蜗杆传动的数学模型 前面已经提到，t i 蜗杆是一种环而蜗杆。本文研究对象为一次包络t i 蜗杆 传动。一次包络t t 蜗杆的齿面是由普通的渐开线斜齿轮齿面包络形成的，t i 蜗 杆和斜齿轮组成传动副。斜齿轮齿面为渐开线螺旋面，可根据几何关系获得其数 学模型：而一次包络t i 蜗杆的齿面数学模型可根据齿轮齿面方程来推导。 2 1 理想tl 蜗杆传动空间坐标系的建立 为了研究一次包络t i 蜗杆传动的真实情况，建立了如图2 1 所示的空间坐 标系。s p = o pi v , j p ，k p 为代表 t i 蜗杆齿面起始位置的固定坐标系， s = o ，i ，j ，k 为代表用来加工蜗 杆齿面的渐开线斜齿轮齿面的起始 位置固定坐标系。 s ，( 咖) = o ，i 。( 噍) ，j 。( 西，) ，k ， ) 和s ：( 西：) = o ：，i ：( 啦) ，j ：( 咖：) ，k ：( 咖：) 分别为与蜗杆齿而和斜齿轮齿面相 固连的动坐标系。 由动坐标系s ，变换到动坐标系 s ，的系数矩阵m 。如下： 图2 - 1t i 蜗杆加工空间坐标系 第二章存在装配误差时一次包络t i 蜗杆传动的数学模型 m 1 2 c o s 口1 1c o s b 2 一s i n b ic o s 口1 2 一s i n 兜 o 。c o s # ls i n b 2s i n # l a c o s 庐l s i n 办s i n 2c o s 氟口s i n b i c o s # 2 00 0 0 l 2 2 渐开线斜齿轮的齿面数学模型 ( 2 1 ) 渐开线斜齿轮的齿面就是渐开螺旋面。可看成是渐开线绕齿轮轴线做螺旋运 动形成。在任一个与齿轮轴线垂直的轴截面上，所截得的齿形为渐开线。渐开螺 旋面的数学公式推导在几篇文章中已经提到“”“帅“，本文不再赘述。下面分别列 出了左右齿面的数学方程。 ( 1 ) 渐开线斜齿轮左侧齿面方程的坐标表达式“3 1 如下 ，f 2 = x 2 l 毛+ y 2 五+ 乇如 工2 2r bc o s f + r b us i n r y 2 5 一r bs i n r + r b u c o s z z 2 l = p 2 ( o i + u f ) 式中f = o 0 + “一五 ( 2 2 ) 其中，p ：为螺旋参数，p z = s ，2 丌，a 为参变数，r b 为基圆半径。 ( 2 ) 斜齿轮轮齿右侧齿面方程的坐标表达式“邮” 2 lx z r i 2 + y 2 r j 2 + z 2 r k 2 。2 r = r b c o s7 - + r b u s i n r y 2 月2r bs i n 一r b u c o s z 2 = p 2 ( f 一仃。一“) ( 2 3 ) 式中f 。= 仃o + “+ a 。 以上方程式均以右旋斜齿轮为例，对于左旋的情况，只需将n 前的正号改 为负号即可。 2 3 渐开线斜齿轮齿面上任意一点的单位法矢量 第二章存在装配误差时一次包络t i 蜗杆传动的数学模型 假设齿面上任意点的单位法矢量的f 向为由齿轮指向空域，在坐标轴上的分 量分别为n 口n n ：，在坐标系s 中单位法矢量n 2 的方程为： 办2 = h 。2 之+ 一。2 五+ 九：2j k 2 3 1 轮齿左侧齿面上任意一点的单位法矢量表达式 斜齿轮左侧齿面方程表达式为( 2 2 ) ，则齿面上任意一点在坐标系s 中的 单位法矢量n p 方程： a r l 2 a r l 2 一一 n # 2 口o ，：u ：，a o _ ，_ ：l z l = n x 2 l i 2q - n y 2 l j z + n ：z c k z l 言。亩i 得到渐丌线斜齿轮轮齿左侧( 即齿槽右侧) 齿面上任意一点的单位法矢量 n # ln x 2 l i 2 + h y 2 l j 2 + l l z 2 l k 2 n = c o s 孱s i n f ”p 2 = c o s 屁c o s t n m = 一s i n 屈 ( 2 4 ) 式中，鼠为渐开线斜齿轮基圆螺旋升角，t g 尾= r b p 2 = 2 z c r b s 譬彦。 2 3 2 斜齿轮轮齿右侧齿面上任意一点的单位法矢量表达式 斜齿轮右侧齿面方程表达式为( 2 - 3 ) ，同理可获得齿面上任意一点在坐标系 & 中的单位法矢量以警方程1 ： n 警= n x 2 r i 2 + n ，2 r j 2 + ：2 r k 2 h m = c o s 以s i n r 。 n 。2 r = 一c o s f l 6 c o s t n = s i n 尻 ( 2 5 ) 第二章存在装配误差时一次包络t i 蜗杆传动的数学模型 2 4t l 蜗杆齿面方程 2 4 1 啮合函数及啮合方程 空间啮合的共轭两齿面在任一瞬时总是相切接触的，在接触点公共的法矢用 矗表示。两齿面在接触点的相对运动速度用v 表示，则两齿面在接触点处必须满 足： 弹v = 0 上式为啮合方程。 一次包络t i 蜗杆传动副是由已知的渐丌线斜齿轮的齿面e ( 2 和其包络形成 的蜗杆齿面1 组成。已知的齿面是蜗轮齿面( ”，所以它们的啮合函数和啮 合方程分别为： 垂= h ” ( 2 6 ) 弹 ”v ( 2 1 ) ：0 ( 2 7 ) 由于渐开线斜齿轮轮齿有左、右两个齿面，其表达式如( 2 2 ) 和( 2 3 ) 所 示。所以在包络运动中分别包络出t i 蜗杆齿面的上、下齿面( 规定从t i 蜗杆 而轴正向观察，能观察到的齿面为上齿面，另一侧齿面为下齿面) 。 ( 1 ) 斜齿轮左侧齿面和t i 蜗杆上侧齿面的啮合方程”为： p 2 ( u c r o t ) c o s 尼s i n ( r 一杰) + r bs i n 屁c o s ( f 一晚) + r b u s i n 屈s i n ( r 一丸) + r b z 2 lc o s 屈一as i n 岛= 0( 2 8 ) 上式简写成 ( 2 9 ) 或将式( 2 9 ) 等式右边分子、分母同除以c o s 屁，而且t g , o a 2r b p 2 ，所以 一逝盟警者2r 监；) s i n 离( r 塑盥 ( z 一。) ( p 2 +一欢) 、 第二章存在装配误差时一次包络t i 蜗杆传动的数学模型 ( 2 ) 斜齿轮右侧齿面和t i 蜗杆下侧齿面的啮合方程m 1 为 p 2 ( f + 一u ) c o s 屁s i n ( r + 欢) 一气s i n 反c o s ( t + 欢) 一r b u s i n f i bs i n ( r + 政) 一r b i 2 1 c o s 尼+ as i n 屁= 0 ( 2 1 1 ) 上式简写成： u = “( 屯，f )f 2 1 2 ) 将式( 2 1 2 ) 等式右边分子、分母同除以c o s 尻，而且t g a = 吒p 2 ，所以 。：丛立旦迪唼掣止幽缉善霉正业( 2 - 1 3 ) ( p ；+ r 2 ) s i n ( r + 戎) 。 2 4 2 渐开线斜齿轮齿面上瞬时接触线方程 瞬时接触线就是两共轭齿面( 斜齿轮齿面和t i 蜗杆齿面) 上瞬时接触点的 集合。两共轭齿面的接触点必然满足啮合方程式。一次包络t i 蜗杆传动中，渐 丌面齿面上的接触点既满足齿面方程式，又满足啮合方程式。 1 将啮合方程式( 2 9 ) 与渐开线斜齿轮轮齿左侧齿面i 2 的方程式( 2 2 ) 联立，即可得渐开面左侧齿面上的瞬时接触线方程。 u = “( 欢，f ) x 2 l = r b c o s f + r b u s i n r y 2 = 一0s i n r + u c o s 2 z 2 = p 2 ( “一o o f ) f 2 1 4 ) 2 将啮合方程式( 2 - 1 2 ) 与渐开线斜齿轮轮齿右侧齿面：2 1 的方程式( 2 3 ) 联立，即可得渐开面右侧齿面上的瞬时接触线方程。 u = “( 唬，f ) x 2 r2r bc o s f + r b u s i n z - y 2 2r bs i n r 。一r b u c o s r z 2 r = p 2 ( r + 一“) f 2 1 5 ) 、，i、，j 第二章存在装配误差时一次包络t i 蜗杆传动的数学模型 3 在坐标系足中求斜齿轮轮齿左侧齿面上瞬时接触线的步骤 1 ) 在以的取值范围内，选取一个矿，值； 2 ) 在规定的取值范围内，取一系列的r 、f 值，由式( 2 - 1 4 ) 、( 21 5 ) 中的 第一式算出一系列的u 值； 3 ) 将求得的一系列的( 材，f ) 值代入式( 2 1 4 ) 的后三式，就确定了一组啮合 点的坐标( 恐，y ：，z ：，) ，每组值代表一个接触点。 4 ) 用光滑的曲线将这些接触点连接起来，就得到一条瞬时接触线； 5 ) 再给定一个凼值，得复上述步骤，又得到另一条瞬时接触线。依此类推， 就可得到对应不同积值的一系列的接触线。 2 4 3t i 蜗杆齿面方程 利用从最到墨的坐标变换公式，将是中的斜齿轮齿面上的接触线方程变换 到s 中，即得到t i 蜗杆齿面“的方程式。 1 利用式( 2 1 ) 坐标变换矩阵m 1 2 ，将渐开线斜齿轮轮齿左侧齿面上的接 触线( 见式2 - 1 4 ) 变换到坐标系s 中，就可得到渐开面左侧齿面：2 包络出的 t i 蜗杆上侧齿面p u 1 的方程式。由式以1 = m ，：”，得 u = “( 疵，r ) 戎= 1 1 2 破 x 2 = r b c o sz + r b u s i n r y 2 l2 一r bs i n v + r b u c o s _ z z 2 = p 2 ( u c r 0 一r ) z 】u = x 2 c o s 硪c o s 2 一y 2 lc o s 破s i n 珐+ z 2 s i n 破一a c o s 破 y l v = 一x 2 s i n 破c o s 庐2 + y 2 s i n 卉s i n b 2 + z 2 c o s 破+ a s i n 识 z 1 u = 一ls i n 识一y 2 c o s 2 ( 2 1 6 ) 2 同理，将渐开线斜齿轮轮齿右侧齿面上的接触线( 见式2 1 5 ) 变换到坐 标系1 5 l 中，就可得轮齿右侧齿面e ? 包络出的t t 蜗杆下侧齿面e ：的方程式。 由式= m ，：蟛，得 第二章存在装配误差时一次包络t i 蜗杆传动的数学模型 = “( 破，f ) 欢= 1 1 2 螽 x 2 r2r bc o sz 十r b us i n t y 2 r2 吃s i n f r b u c o s f z 2 r2 p 2 ( r + o o 一“) j l d = x 2 rc o s lc o s 庐2 一y 2 月s i n 庐2c o s 庐1 + z 2 月s i n e i d c o s 1 y l d = 一x 2 月s i n 4 , c o s 庐2 + y 2 rs i n is i n b 2 + z 2 月c o s l + as i n 破 z 1 d = - - x 2ps i n 欢一y 2 月c o s 欢 ( 2 1 7 ) 3 在坐标系s ，中确定t i 蜗杆上侧齿面的步骤 类似于在坐标系s 中确定瞬时接触线的求解方法，只是在步骤( 3 ) 中，把 求得的( 甜，f 1 值代入式( 2 - 1 6 ) 、( 2 - 1 7 ) 中的后面六式中，得到一系列的点 ( ，y 。，z ，) ，将这些点连接起来就构成e 上的一条接触线。在s 。中无穷多条接 触线的集合，就形成蜗杆上侧齿面。 按照同样的方法，可求得t i 蜗杆下侧齿面。 2 5 存在安装误差的空间坐标系及坐标变换 一次包络t i 蜗杆传动由渐开线斜齿轮和其包络产生的t i 蜗杆组成。设想 t i 蜗杆和蜗轮均为理想加工，无误差，但装配时出现误差图2 2 为抽象出的安 装误差系统坐标系模型。 为了计算和分析的方便，我们假定各种装配误差总是发生在蜗轮一侧。各种 装配误差见图22 所示，包括中心距误差和两中心轴交错角误差。其中中心距误 差由如图所示的三个轴向误差a 、b 、c 组成；而中心轴交错角误差由水平 方向交错角误差a r 。和铅垂方向交错角a r 。组成。s o ，x ，y ，z 和 s ， o ，x ，y p ，z ，】分别代表无误差时t i 蜗杆和蜗轮的起始位置，由于假定安装误 差存在蜗轮上，所以当存在装配误差时，蜗杆的起始位置不变，而蜗轮从起始位 置s r 移至s ； o ；，x ；，耳，z ；j 。这三个坐标系都为固定坐标系。s 。 o ，x ，y 1 ，z l 】为与 t i 蜗杆齿面( 1 固连的动坐标系，s ， o ，x ，y 1 ，z ，】为与蜗轮齿面( 2 相固连的动 坐标系。其中z 和z ，分别为t i 蜗杆和蜗轮的回转中心轴a 为中心距， 吼( 鼠) ，仍( 只) 分别为蜗杆和蜗轮的转角。 存在装配误差时理想蜗杆和理想蜗轮齿面的装配坐标系“4 1 如图2 2 所示。 第二章存在装配误差时一次包络t i 蜗杆传动的数学模型 蜗杆轴线 图2 - 2 含位置误著的装配坐标系 各个坐标系之间的坐标变换矩阵如下： 1 由坐标系s ：变换到s ；的坐标变换矩阵m p 2 c o s 妒2 口 s i n 妒2 。 0 0 一s i n 9 2 。0 0 c o s 矿2 。0 0 010 ool 2 由坐标系s ；变换到s ，的坐标变换矩阵m ，p - m p ，2 1o 0c o s 歙 0 一s i n a r ， o0 c o s a r y s i n a rs i n a r y c o s a r xs i na r y o 0v a s i n a r ，v b c o s a r x v c 01 o c o s 歙。 一s i n 必。 o c o s a r y o s i n a r y o 0 一s i n a r ， 10 0c o s 监 o0 一s i n a r y a a s i n a r ，c o s a r y a b c o s a r xc o s a r y a c 01 4 f 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 第二章存在装配误差时一次包络t i 蜗杆传动的数学模型 3 由坐标系s ：到坐标系s 。的坐标变换矩阵m 。： m p 2 = mp p - m p ，2 c o s ( , o hc o sa r y s i n q ) 2 ac o sz x r y +s慨in98,：“公n诚邯m仍：咖蝇咖哦sin戗c。s蝇62 c o s + c o s 。0 2 c o sz 蚋 。诚。x c “o s 。0 2 , c o 。s i 。a 艘r s 。洒嵋二c 抽o s ( 0 2 i 踯s i n 觇a r 8 i “嵋c 。s 蝇c 。s 啦cs i n 妒2 。s i n a r 一 。x 3 0001 4 由坐标系s 到坐标系s 的坐标变换矩阵m 。 m 0 l = c o s 妒k s i n 吼。 o o s i n ( o 】。0 0 c o s 6 p 1 。0 0 o10 001 5 由坐标系s 到坐标系s ，的坐标变换矩阵m 。 100a 00 一lo 0100 oo01 6 - 由坐标系s 。到坐标系s 。的坐标变换矩阵mp l m p l = m p 。m 。 g o s 伊l 。 0 s i n 奶口 o s i n 吼。 0 c o s 仍口 0 0a 一1o oo o1 ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) f 2 2 3 ) 第二章存在装配误差时一次包络t i 蜗杆传动的数学模型 2 6 装配误差下在固定坐标系中ti 蜗杆齿面和蜗轮齿面位置矢量 式( 2 2 ) 和( 2 3 ) 分别为在坐标系s ：下蜗轮左齿面和右齿面的方程，式 ( 2 1 6 ) 和( 2 1 7 ) 为在坐标系s 下t i 蜗杆上齿面和下齿面的方程。通过坐标 变换将其变换的固定坐标系s 。下。 2 6 1ti 蜗杆齿面的位置矢量在固定坐标系s 。中的表达式 分坐标表达式为 r ? ：m ，。r 。 将已知的式子( 2 2 3 ) 和( 2 1 6 ) 代入以上方程式，可得到在固定坐标系s 。中， t i 蜗杆上齿面的位置向量的表达式如下： u = “( 欢，r ) 欢= i 1 2 破 x 2 l = c o s + r b u s i n r y 2 l = 一咯s i n r + 吒“c o s z z 2 l = p 2 ( “一o o f ) x p u 2 。吐l c o s ( 妒2 ) c o s ( ( o , - o l 。) - y 2 ls i n o p 2 ) c o s ( 吼一妒l ，) + z 2 ls i n o p l 一纯。) 一a c o s ( 妒l 一妒h ) + 口 y 品日2 ls i n ( 0 9 2 ) + y 2 lc o s ( 妒2 ) z 品= 2 l c o s ( 6 p 2 ) s i n ( q ，1 一仍，) + y 2 ls i n ( q ，z ) s i n ( e p l 一仍。) + z 2 l c o s ( 妒l 一妒i 。) + 口s i n ( 妒l 一妒h ) f 2 2 4 ) 问样的将式子( 2 2 3 ) 和( 2 1 7 ) 代入上式就得到在固定坐标系s 。中，t i 蜗杆 下齿面的位置向量的表达式如下： llllllllj x x 互 l p m = 1，j 群叶茸 l 第二章存在装配误差时一次包络t i 蜗杆传动的数学模型 u = “( 戎，f ) 唬= i , 2 庐j x 2 r5r bc o s r + r b u s i n v y 2 r2r bs i n f 一 c o s z - z 2 r = p 2 ( f + o i u ) x p d 2 w 2 r c o s ( 仍) c o s ( 妒l 一仍。) - y 2 rs i n ( r p 2 ) c o s ( 妒l p l 。) + z 2 rs i n ( r & - 6 p 1 。) 一a c o s ( r & 一f o l 。) + a y l 毛爿2 rs i n ( r p 2 ) + y 2 re o s ( 妒2 ) z 名2 2 r c o s ( f 0 2 ) s i n ( r & - i ；o t 。) 椤2 rs i n ( r & ) s i n ( c , - 仍。) + 乃rc o s ( 妒l - 妒l 。) + as i n ( 仍一f o l 。) 2 6 2 蜗轮齿面的位置矢量在固定坐标系s ，中的表达式 r ；：m p 2 r 2 用分坐标表达式表示 m l z 2 j f 2 2 5 ) f 2 2 6 ) 通过以上坐标变换式，得到在固定坐标系s 。中，蜗轮左、右齿面的位置向量的 表达式。 其中左齿面位置向量 x 毳瞄z 盖 表达式为： x p l = r b c o s