猜测与证明的关系.doc

猜测与证明的关系商南县教研室樊金魁一培养学生的推理能力是数学教育的重要目标之一。推理既包括以三段论为主要形式的演绎推理，又包括以归纳、类比为主要途径的合情推理。这两种推理形式无论是在数学的研究中还是在数学的学习中都是十分重要的。合情推理是获得猜测提出猜想的有效途径，演绎推理所论证的对象也往往由合情推理得来的。同时，合情推理的所得到的猜测必须经过证明（即演绎推理）才能确定其正确性，才能认定其为数学的事实和正确结论，这一点也是数学学科的特征。在以往的数学教育教学中，我们对逻辑论证关注的较多，在我们强调的基础知识、技能、计算中，都表现出对逻辑的强调，即给出已知条件，求证一个结论，这是演绎的方法。但我们对引导学生们尝试着去推测、猜想等关注的不够，也就是说对归纳、类比等合情推理强调的不够。其中的原因可能是多方面的，既有主观认识上，也有客观原因。但是，归纳、类比等与创新的联系是非常密切的，因此不注重归纳，就不利于创新精神的培养，不利于创新型的人才的培养。所谓归纳，就是把一些特例所具有的特征推广到一般的情形中去，类比则是对于两个事物或两个系统而言的，如果它们在一些方面具有相同的或相似的性质，那么它们可能在其他方面也有相同的或类似的性质。可以看出，归纳和类比与逻辑演绎不同，它们没有固定的程序和具体的步骤，对它们的理解和把握以及运用更多的是需要学生自己去感悟和体会。因此为学生提供必要的问题情景和探索性机会，在解决问题的过程中，让学生们亲自去观察、概括、抽象，进而发现规律并作出相应的猜测，是十分必要的。在新课程的数学课程标准中，明确提出要让学生经历观察、试验、猜测的过程，要重视培养学生的合情推理能力。不仅如此，新课程的数学试验教材以及当前的课堂教学，都重视了学生探索、猜测的过程，为学生进行合情推理提供机会。同样在学生的学业评价中也增加了对学生通过观察、探索、归纳、概括进而发现规律并证明能力的考察。二在有关合情推理的教学和评价方面，广大数学教育工作者和数学教师通过自己的努力，营造出学生观察、思考、探索气氛，也编制出一些可供学生进行这方面探索的问题，同时也成为考察学生能力的试题。例如，如下的一道中考试题就是其中的一例。老师在黑板上写出三个算式，52-32=82，92-72=84，152-32=827，王凯接着又写出了两个具有同样规律的算式：112-52=812，152-72=822，（1） 请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式；（2） 用文字写出反映上述算式的规律；（3） 证明这个规律的正确性。在完成这个问题的解答过程中，既包含了对所给的算式的观察、分析，又要求在此基础上的对规律的归纳和探索，进一步对规律的表示以及对此规律的数学证明。因此，笔者认为这样的一个问题就实现了对学生的归纳、演绎两个方面能力的考察。事实上，在已知条件中，五个算式分两次给出，按照美国数学教育家波利亚的观点，将前三个算式称之为启发式联想，对这三个算式的观察与分析，能够启发观察者获得一定的认识以及初步的规律，但这样的认识是模糊的；接下来的算式波利亚称之为支持性联想，也就是对前面得到的较为模糊的认识的进一步的清晰和认可，这个过程实际上就是获得了猜测的过程。接下来对第一个问题的回答，我们可以看成是对前面的猜测进行验证的过程，换一句话说，是否能够再举出符合猜测的例子，抑或是否定猜测的例子，当然本问题是要求举出正面的例子。对第二个问题的回答，就已经是将猜测形式化了，第三步就是数学的证明。对于初中学生或者是小学生，通过观察、发现一定的规律进而获得猜测是可能做到的，但是要证明这个猜测的正确性有时就是学生们力所不能及得了。例如，计算21-1=1，22-1=3，23-1=7，24-1=15，25-1=31，。归纳各计算结果中的个位数字的规律，猜测22006-1的个位数字是（ ）。对于初中生来说，对观察到的结果的猜测是可以做到的，但是证明则不是本阶段数学学习所要求得了。那么，需要我们思考的是，这样的猜测意义何在？学会进行幂的计算，然后观察出个位数字的循环规律，并利用被自然数n除模的概念推测出结论，仅此而已，对结论的验证只能是再多计算几个式子，而证明在初中阶段就不在要求之列了。因此，这样的问题对学生来说容易形成固定的模式，缺少了一定的挑战性，归纳的味道也不足。与之相比，有些为学生提供的探索规律、归纳概括的问题情景还存在着一些其他学科方面的问题。例如，某公园的侧门口有九级台阶，小明一步只能上1级台阶或2级台阶，小明发现当台阶数分别为1级、2级、3级、4级、5级、6级、7级逐渐增加时，上台阶不同方法的种数依次为1、2、3、5、8、13、21、，这就是著名的菲波那契数列，那么小聪上这九级台阶共有 种不同的方法。实际上，这是一个非常富有探索和推理的问题，但由于出题者仅仅将问题局限在了对几个数字的规律的观察，而将问题的思考价值大打折扣，甚至会误导学生在获得结论的简单盲目，以及将归纳与推理论证的混淆。三但是笔者发现，在一些教学和评价问题中，也存在着对归纳、类比与证明之间的关系处理上不妥当的现象。例如，例如，小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下，输入12345输出当输入数据为8时，输出的数据为 。再如，观察分析下列数据，寻找规律：0，3，2，3，那么第10个数据是 。类似这样的例子在目前的各种练习册以及考试的试题中会经常见到。而且通常从问题的表述上我们可以看出，它们的答案似乎是唯一确定的，学生们需要通过观察、尝试的方法找出所给出的一组数的特征，并依此特征给出答案。如，第一个问题，答案是这样给出的：，所以输入n时，输出的数据为，所以当n=8时，输出的数据为。类似的第二个问题给出的答案是：因为0=， ，所以第n个数据应是，当n=10时，所对应的数据是3。对于中学生来说，这样的解答似乎是合理的，但事实上，这样的问题的答案并非是唯一的，而是无穷多个，即我们可以构造出无穷多个类似于上述的，的通项，它们满足题目给出的前几项的要求。例如，我们可以这样构造一个多项式y=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,并令当x=1，2，3，4，5,8时，y=1/2,2/5,3/10,4/17,5/26,m,由此我们能够得到一个关于an(n=1,2,3,4,5) 的方程组，解这个方程组，我们