matlab与复变函数.doc

数学实验七：matlab与复变函数matlab与复变函数一、 复数和复矩阵的生成在matlab中，虚数单位为i=j=sqrt(-1),其值在工作空间中都显示为0 + 1.0000i1复数的生成 复数可由z=a+b*i语句生成，也可简写成z=a+bi其中a为复数的实部，b为复数的虚部。 复数可由z=r*exp(i*theta)生成，也可简写成z=r*exp(theta i)其中theta为复数辐角的弧度值，r为复数的模。2创建复矩阵 同一般的矩阵一样直接输入其元素【例1】 A=3+6*i -2-8*i;5*exp(i*7) 9-5i 可用实部、虚部分别创建矩阵，再写成和的形式【例2】 re=rand(3,2); im=randn(3,2); com=re+im*icom = 0.9501 - 0.4326i 0.4860 + 0.2877i 0.2311 - 1.6656i 0.8913 - 1.1465i 0.6068 + 0.1253i 0.7621 + 1.1909i 函数complex( )可以生成复数、复矩阵【例3】 complex(3,8)ans = 3.0000 + 8.0000i二、 复数的运算 real(z) 返回复数z的实部 imag(z) 返回复数z的虚部 conj(z) 返回复数z的共轭复数 abs(z) 返回复数z的模（绝对值） angle(z) 返回复数z的辐角 sqrt(z) 返回复数z的平方根值 exp(z) 返回复数z的以e为底的指数值 log(z) 返回复数z的以e为底的对数值 复数的三角函数和反三角函数与实函数符号相同 以上参数z也可以为复矩阵。【例4】 z=3+6*i; re=real(z); im=imag(z); ab=abs(z); an=angle(z); sq=sqrt(z); ex=exp(z); lo=log(z); si=sin(z); ac=acos(z);【例5】求方程z3=8=0所有的根。 solve(z3+8=0)ans = -2 1-i*3(1/2) 1+i*3(1/2)三、 复变函数的极限、导数、积分与级数 求复变函数的极限、导数、积分与级数等的命令与实函数相同，不再重复，仅给出范例。【例6】求极限。 syms z f=z/(1+z); limit(f,z,1+5*i)ans =27/29+5/29*i【例7】求在的导数。 syms z f=log(1+sin(z); df=diff(f,z)df =cos(z)/(1+sin(z) vdf=subs(df,z,i/2)vdf = 0.8868 - 0.4621i【例8】计算。 syms z f=z*cos(z); intf=int(f,z,0,i)intf =cosh(1)-sinh(1)-1 vpa(intf,8)ans =-.6321206【例9】计算积分为正向圆周：。 syms t z; z=2*exp(i*t); f=1/(z+i)10*(z-1)*(z-3); inc=int(f*diff(z),t,0,2*pi)inc =779/78125000*i*pi+237/312500000*pi 【例10】求幂级数的收敛半径。 syms n; fn=exp(i*pi/n); R=abs(limit(fn(1/n),n,inf) R=abs(limit(fn(1/n),n,inf)R =1【例11】求函数在点的泰勒展开式。 syms z taylor(tan(z),i,2)ans =i*tanh(1)+(1-tanh(1)2)*(z-i)四、 有理分式函数留数的计算 R,P,K=residue(B,A) 返回留数、极点和两个多项式比值B(s)/A(s)的部分分式展开的直接项向量B和A为分子、分母以s降幂排列的多项式系数，向量R是返回的留数，向量P是返回的极点，向量K由B(s)/A(s)的商的多项式系数组成，如果length(B) B=1 3 0 2;A=1 6 -1; R,P,K=residue(B,A)R = 18.6706 0.3294P = -6.1623 0.1623K = 1 -3 由以上结果，可得Resf(z),-6.1623=18.6706,Resf(z),0.1623=0.3294,K(s)=s-3【例13】求满足Resf(z),-2=1,Resf(z),i=1+i,K(s)=s+1的有理分式函数f(z)。 R=1,1+i; P=-2,i; K=1 1; B,A=residue(R,P,K)B = 1.0000 3.0000 - 1.0000i 4.0000 - 2.0000i 2.0000 - 1.0000iA = 1.0000 2.0000 - 1.0000i 0 - 2.0000i 可得f(z)=z3+(3-i)*z2+(4-2*i)*z+(2-i)/z2+(2-i)*z-2*i五、 作图：复数表示式曲线和映射的像【例14】作出曲线的图形。 t=-1:0.01:1; z=exp(i.*t)+exp(-2*i.*t); plot(z); title(z=exp(i.*t)+exp(-2*i.*t)【例15】作出圆周在映射下的像。complexplot.m clear syms x y z t t=-pi:0.01:pi; x=2*cos(t); y=2*sin(t); z=x+i.*y; w=z+1./z; subplot(2,1,1); plot(z); title(z=2*cos(t)+2i*sin(t); axis equal subplot(2,1,2); plot(w); title(w=z+1/z) axis equal 运行complexplot.m的结果：六、 Fourier变换及其逆变换1Fourier变换 F=fourier(f) 返回默认独立变量x的函数f的Fourier变换，默认返回为w的函数。如果f=f(w),fourier（）函数返回t的函数。 F=fourier(f,v) 以v代替默认变量w的Fourier变换。 fourier(f,u,v) 返回F(v)=int(f(u)*exp(-i*v*u),u,-inf,inf)。【例16】 syms t v w x fourier(1/t)ans =i*pi*(Heaviside(-w)-Heaviside(w) 注：Heaviside(w)为单位阶跃函数。 fourier(exp(-x2),x,t)ans =pi(1/2)*exp(-1/4*t2) fourier(exp(-t)*sym(Heaviside(t),v)ans =1/(1+i*v) fourier(diff(sym(F(x),x,w)ans =i*w*fourier(F(x),x,w)2Fourier逆变换 f=ifourier(F) 返回默认独立变量w的函数F的Fourier逆变换，默认返回x的函数。 f=ifourier(F,u) 返回u的函数。 f=ifourier(F,v,u) 返回f(u)=1/(2*pi)*int(F(v)*exp(i*v*u,v,-inf,inf)【例17】 syms t u w x ifourier(w*exp(-3*w)*sym(Heaviside(w)ans =1/2/(-3+i*x)2/pi ifourier(1/(1+w2),u)ans =1/2*exp(-u)*Heaviside(u)+1/2*exp(u)*Heaviside(-u) syms v ifourier(v/(1+w2),v,u)ans =-i/(1+w2)*Dirac(1,u) 注：Dirac(n,t)表示单位脉冲函数的n阶导数。 ifourier(sym(fourier(f(x),x,w),w,x)ans =f(x)七、 Laplace变换及其逆变换1Laplace变换 L=laplace(F) 返回默认独立变量t的函数F的Laplace变换，默认返回s的函数。 L=laplace(F,t) 以t代替s为变量的Laplace变换。 L=laplace(F,w,z) 以z代替s的Laplace变换（相对于w的积分）。【例18】 syms a s t w x laplace(x5)ans =120/s6 laplace(exp(a*s)ans =1/(t-a) laplace(sin(x*w),w,t)ans =x/(t2+x2) laplace(sin(x*w),t)ans =w/(t2+w2) laplace(diff(sym(F(x)ans =s*laplace(F(x),x,s)-F(0)2Laplace逆变换 F=ilaplace(L) 返回默认独立变量s的函数L的Laplace逆变换，默认返回t的函数。 F=ilaplace(L,y) 返回以y代替默认变量t的函数。 F=ilaplace(L,y,x) 返回F(x)=int(L(y)*exp(x*y),y,c-i*inf,c+i*inf)。【例19】 syms s t w x y ilap