2009年高考全国卷I文科数学试题及其详解.pdf

中小学教育网 海量教学资源 无须注册 天天更新 无须注册的中国基础教 育网 09090909 年数学文科试卷 全国卷 试题和解析年数学文科试卷 全国卷 试题和解析 一 选择题一 选择题 1 sin585的值为 A 2 2 B 2 2 C 3 2 D 3 2 解析 这个题目是关于三角函数的计算的 首先要明白三角函数的周 期性 对于 SIN 函数 COS 函数周期是 2 也就是 360 Tan 还有 ctg 函数的周期是 也就是 180 在这里强调一下子 题目中给出的 有可能不是角度制而是弧度制时候要注意转化 还有要记忆一些常用 的三角函数的值 本题解析本题解析 Sin585 sin 585 360 sin225 sin 180 45 sin45 2 2 此处提供一部分简单的三角函数之间的转化 奇变偶不变符号看象 限 该处的奇变偶不变是看是否是 2 的奇数倍还是偶数倍 如果是奇 数倍则函数的名称就要改变 就是 sin 和 cos 之间的转化 如果是偶 数倍函数名称不变 然后看原函数在这个角度上是正数还是负数而改 变正负号 sin sin sin 2 sin sin 2 cos Sin 2 3 sin Cos cos cos 2 cos Cos 2 sin cos 2 3 sin Tan tan 这个函数的周期是 哦 中小学教育网 海量教学资源 无须注册 天天更新 无须注册的中国基础教 育网 遇到这类型的题首先看清楚是角度还是弧度 然后看看它角度是不是 大于 360 2 如果大 则利用周期性在其角度上逐次减去 360 直到小于 360 然后函数名称和符号均不变 然后看其是否大于 180 度 若大于 则在其角度上减去 180 函数名称不变符号变为负 看是否可以计算结果了 如果想也可以继续减去 90 然后还是名 称改变 原来函数是正数就不变符号 若是负数改变符号 可以轻松 计算结果 2 设集合 A 4 5 6 7 9 B 3 4 7 8 9 全集U AUB 则集合 u AIB 中的元素共有 A 3 个 B 4 个 C 5 个 D 6 个 解析 本题目是关于集合之间的关系的 包括子集 真子集 补集 全集 交集 并集的概念 首先子集就是一个集合里边所有的元素的 不同的组合 包括空集 要注意空集是任何一个集合的真子集 具体 的个数计算是2 n 其中 n 就是集合内元素的个数 真子集是除了自己 本身之外的所有集合就是1 2 n 个 非空真子集就是真子集里边再减 去一个空集 空集的表示 表示一个集合和空集不一样哦 补 集就是除了自身之外的所有元素的集合 交集是两个集合之间的关 系 表示两个集合中的公共元素的集合 并集是两个集合中所有元素 的集合 注意集合的特点 互异性 确定性 无序性 互异性和无序 性要注意 一个集合中不能有相同的元素 集合中元素的顺序不影响 本题解析本题解析 全集U AUB 3 4 5 6 7 8 9 AIB 4 7 9 CU AIB 3 5 6 8 遇到这类题先把每一个需要的集合写出来 根据集合之间的关系就可 中小学教育网 海量教学资源 无须注册 天天更新 无须注册的中国基础教 育网 以写出来 一般这类集合题都是和不等式的结合出现的 首先要解不 等式把不等式解出来 将集合表示为描述法最简单的不等式 然后画 图看交集并集补集等等 3 不等式 1 1 1 x x 的解集为 A 011xxx x U B 01xx C 10 xx D 0 x x 解析 这个题目是关于不等式的 解不等式的 在选择题中不等式的 题也比较简单 就是简单的绝对值的运算 要注意解不等式时候注意 分数的不等式 不要直接乘除运算 变到最简的不等式 还可以采用 特殊值法 本题解析 原不等式等价于 X 1 X 1 两边平方得到 X 1 2 X 1 2 即 4X 0 得到 X 0 注意将其写成集合形式 不等式 解集是一个集合 X X0 b 0 其中 a 为长轴的一半 b 为短轴的一半 其中有焦点为 F c 0 焦距为 2c 其中 c 2 a2 b2 中小学教育网 海量教学资源 无须注册 天天更新 无须注册的中国基础教 育网 准线为 X c a2 注意椭圆的定义是椭圆上的点到焦点的距离之和等 于 2a 离心率为 e a c 求离心率时候要注意用公式 c 2 a2 b2 结合题 目已知的条件 只要再有一个 a b c 的关系就可以得到 所以题目 里边关键就是找三者的另外一个条件 1 注意长短轴变化时 焦点在 y 轴上的情况 公式一样 分清哪 个是长轴 哪个是短轴 相应的公式中的 a b 2 注意椭圆的第二定义 到焦点和到准线的距离之比就是离心率 e 经常用椭圆的第二定义简化计算 椭圆的第二定义将一个二维的 东西一维化转变为一个横坐标的运算可以表示椭圆上的点到焦点的 距离 例如 根据第二定义e c a x PF 2 2 其中 P x y 为 p 点的坐标 这样在根据在椭圆中 x 始终是小于 c a2 所以 PF e c a2 x a ex 将 距离变成一个简单的左边运算 一维化 大大简化的相关曲线上的点 到焦点距离的大量的运算 3 椭圆的参数方程 sin cos by ax 其中 的范围是 0 2 遇到 关于最值问题时候考虑将原来的方程变为参数方程 但是要根据实际 的 x y 的范围确定 的取值范围 双曲线的知识点 方程 1 2 2 2 2 b y a x a 0 b 0 a b 分别为半长 轴和半短轴 焦点为 F c 0 其中 c 2 a2 b2 焦距为 2C 离心 中小学教育网 海量教学资源 无须注册 天天更新 无须注册的中国基础教 育网 率为 e a c 也是存在关系 c 2 a2 b2 但是注意和椭圆的区别 双曲 线是焦距长 准线方程为 X c a2 注意双曲线的定义 是到两个焦点 的距离之差是一个定值 2a 距离是一个绝对值 所以差值有两个 一正一负 双曲线的轨迹是两条 是一个开的曲线 不像椭圆是一个 封闭的曲线 1 双曲线比椭圆多的就是渐近线 渐近线的表示 y x a b 针 对方程 1 2 2 2 2 b y a x 渐近线的写法就是把方程的结果 1 变为 0 解出来的 两个直线方程 和椭圆的区别是不用分长短轴 只有实轴和虚轴 a 实 b 虚 当方程变化时要注意 焦点在 y 轴的时候 离心率的变化 分清楚实轴和虚轴 离心率的 a 是实轴 2 双曲线的第二定义 到焦点的距离与到准线的距离之比是离心 率 e 可以将到焦点的距离通过离心率转化为到准线的距离 简化计 算简化过程类似于椭圆的 3 离心率为 e a c 求离心率时候要注意用公式 c 2 a2 b2 结合题目 已知的条件 只要再有一个 a b c 的关系就可以得到 所以题目里 边关键就是找三者的另外一个条件 抛物线知识 抛物线的方程 y 2 2px 首先解释一下 p 的含义 p 指的 是焦点到准线的距离 注意不是 2P 有助于快速写方程 对于标准 的抛物线方程 焦点为 2 p 0 当焦点在 y 轴上时 方程为 x 2 2py 焦点为 0 2 p 注意先看清楚焦点是应该在那个轴上 准线方程为 中小学教育网 海量教学资源 无须注册 天天更新 无须注册的中国基础教 育网 x 2 p 1 注意 p 可以是正数也可以是负数 焦点的位置随着 p 变化 一般 做题时候把抛物线方程改写成标准方程再做 2 过抛物线焦点的直线与抛物线的交点为 x1 y1 x2 y2 则有 关系 y1y2 p 2 x 1x2 4 2 p 3 抛物线的第二定义 就是到焦点的距离和到准线的距离相等 离 心率为 1 圆的知识点 标准方程 x a 2 y b 2 r2 其中 a b 为圆心 r 为圆的半径 做关于圆的问题时候就是找到这三个参数 三个参数需 要三个相关联的方程 除了标准方程之外还有一般的方程就是其展开 式 建议做题时候先变成标准式不容易出错 1 题目中出现关于圆的最值问题时考虑其参数方程 sin cos rby rax 因 为 转 化 为 参 数 方 程 之 后 就 是 一 个 三 角 函 数 的 最 值 运 算 sin 1 cos 也是一样 2 对于圆来说 要注意弦长中点和圆心 还有圆上的点之间组成一 个直角三角形 圆心与弦的中点的连线垂直于弦 这个经常用有助于 计算圆的方程 本题的解析 该双曲线的渐进线为 y x a b 与抛物线相切 则应该 把方程联立 即将 y x a b 代入方程 y x2 1 得到 x2 1 x a b 该方程有 一个解 即 0 即04 2 2 a b 可以得到 a 和 b 的关系 22 4ab 结合 中小学教育网 海量教学资源 无须注册 天天更新 无须注册的中国基础教 育网 双曲线中的固定关系 222 bac 考虑到我们求离心率时候只有 a 和 c 的关系 二者结合计算得到 c2 5a2 根据离心率的表示得到离心率 为5 6 已知函数 f x的反函数为 10g xx 2lgx 则 1 1 f g A 0 B 1 C 2 D 4 解析 该题是关于函数方面的 该题涉及的是反函数的知识 首 先要会求反函数 其实就是把其中的自变量反解出来 但是要注意取 值范围 原来的值域就是反函数的定义域 反函数和原函数的区别 原函数过点 x y 反函数就是 y x 关于 y x 对称 并且原函数 和反函数的单调性是一致的 相关的知识点 函数中有三角函数 二次函数 指数函数 对数 函数 怎么求函数的定义域和值域 求函数的定义域时候一般遇到的 就是 分母不为 0 根号底下 0 对数函数的真数大于 0 有时候 三者结合使用 求函数的值域时候 就要进行相关的计算 求二次 函数的问题时候 就是要计算出二次函数的对称轴 看函数在这个所 给定义域上的单调性来求 将二次函数改写成顶点式计算最值方便 有的时候反解出来函数的反函数求其定义域 注意指数函数和对 数函数 指数函数 x a a 0 且 a 1 当 0 a1 时候函数单调递增 函数恒过一个定点 0 1 对数函数x a log 注意真数大于 0 单调性和指数函数一样 函数恒过点 1 0 可以 根据其单调性来求函数的值域或者最值 本题解析 求此类题不需要解出反函数或者原函数涉及计算数值 中小学教育网 海量教学资源 无须注册 天天更新 无须注册的中国基础教 育网 的运算可以根据他们之间的关系计算就可以 求 f 1 则相当于知 道了 g x 1 可以解出 x 1 即 f 1 1 g 1 1 可以得到结 果为 2 7 甲组有 5 名男同学 3 名女同学 乙组有 6 名男同学 2 名女同学 若从甲 乙两组中 各选出 2 名同学 则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有 A 150 种 B 180 种 C 300 种 D 345 种 解析 该题目是关于排列组合的 做排列组合的题目首先要看是 关于排列还是组合 考虑是先分歩还是先分类 还有就是公式的计算 知识点 排列 就是和顺序有关的 组合是和顺序没有关系的 但是排列和组合的规则是题目中要求的 这也是我们解题的关键所 在 怎么去想给出的问题 首先就是分析清楚题目中给出什么条件 要求干什么 里边有没有特殊的地方 也就是需要利用排列或者组合 的地方 这里边有好多种方法 挡板法 插空法 捆绑法等 但是 宗旨都是一样 就是先特殊后一般 排列的公式 mn n Am n 表示在 n 个里边找出 m 个并随机排列的 个数 组合公式 mmn n C m n 表示从 n 个里边选出 m 个的不同种类 本题解析 题目中给出两组 甲组 5 男 3 女 乙组 6 男 2 女 这 是已知的条件 题目要求 甲乙两组各选 2 名 这个是一个总的要 求 4 个人里边恰好有 1 个女的 这就是特殊的地方 看完题目了 我们想想这个跟顺序没有关系吧 所以是组合的问题 然后看它的特 殊的地方有 1 个女的 有可能是甲组也有可能是乙组 这就是分类 1 如果在甲组 则甲组是一男一女 分法有 1 3 1 5C C 乙组则为两男 分 中小学教育网 海量教学资源 无须注册 天天更新 无须注册的中国基础教 育网 法为 2 6 C 甲乙两组的选择是独立的 所以这种情况的分法为 225 2 6 1 3 1 5 CCC 2 如果在乙组 则乙组是一男一女 分法为 1 2 1 6C C 甲组则为两男 分 法为 2 5 C 这种情况的总分法为120 2 5 1 2 1 6 CCC 这两种情况合起来就是总 的选法 345 8 设非零向量abc 满足abc a b c 则ab A 150 B 120 C 60 D 30 解析 该题是有关向量的问题 向量的问题主要是掌握向量的定 义和表示还有向量之间的计算 在选择题中一般都是向量的简单运 算 比如是模的计算或者是夹角的计算 知识点 向量的各个要素 方向 模 还有两个向量之间的关系 例如向量为a b 1 向量的表示可以用坐标 x y 其中 x 和 y 分别为向量两个 端点对应坐标的差值 在表示向量之间的运算时方便 a 22 yx 可以类比两点之间的距离 且 2 2 aa 2 单位向量的表示 a a 模是 1 方向与a相同 3 向量a和b之间的关系 cos baba 其中 为二者之前的 夹角 求二者的夹角时候可以先求 cos cos ba ba 经常用坐标 表示 2121 yyxxba 看题目中给出的是什么形式 4 两个向量平行和垂直的坐标表示 从上边的式子我们就可以 得到 若两个向量a和b平行 则0 1221 yxyx 若两个向量垂直 则 中小学教育网 海量教学资源 无须注册 天天更新 无须注册的中国基础教 育网 0 2121 yyxx 向量运算中要熟记这些公式 本题解析 题目中给出cba 还有三个向量的模相等 题目是让求 a b 之间的夹角 与 c 无关 所以就是将 c 消去 由 cos ba ba 消去 c 的方法就是对等式两边平方即 2 2 cba 展开得到 222 2cbaba 由于三个向量模相等 得到ba 2 2 2 2 2 baaa 即 a b 2 1 9 已知三棱柱 111 ABCA BC 的侧棱与底面边长都相等 1 A在底面ABC上的射影为BC 的中点 则异面直线AB与 1 CC所成的角的余弦值为 A 3 4 B 5 4 C 7 4 D 3 4 解析 该题目是关于立体几何的 立体几何里边涉及的一般是异面直 线之间的夹角 直线与平面之间的夹角 平面与平面之间的夹角 包 括求一些三角函数值 主要的立体图形有三棱柱 三棱锥 长方体 正方体 了解基本图形里边的一些垂直和平行关系 知识点 1 异面直线之间的夹角 做这种题型就是要把异面直线通 过平行线的关系 平移到同一个平面内 然后放在同一个平面内的三 角形内运用三角函数来求其角度或者三角函数的值 平移时候尽量移 其中的一条 注意 直线与直线所成的角和夹角不一样 2 直线与平面之间的夹角 直线与平面的夹角 其实指的是这条直 中小学教育网 海量教学资源 无须注册 天天更新 无须注册的中国基础教 育网 线与它在平面内的投影之间的夹角 还是直线与直线之间的夹角 直 线在平面内的投影指的是过直线上的一个点做平面的垂线 垂足与直 线与平面的交点的连线 所以求直线与平面之间的夹角关键在于找到 垂直于平面的直线 或者是垂面 如果有垂面的话可以过直线与垂面 的交点做两个垂面交线的垂线 就可以出现垂线了 找到垂线之后就 可以得到投影 然后将该直线和自己的投影在一个三角形内计算即可 3 平面与平面之间的二面角 二面角定义的时候是在两个面的交棱 上的一个点 过这个点分别在这两个平面内做交棱的垂线 这两条垂 线所成的角就是二面角 实际运用的时候往往是反过来用的 就是在 一个平面 内先找一个点 C 一般都是另一个平面 的一条垂线 或 者垂面 和这个平面 的交点 过这个交点作 的垂线垂足为 A 过 A 作 和 交棱的垂线 垂足为 B 连接 A 和 C 则角 CBA 就是两个 平面的二面角 这个问题的关键是找到其中一个平面的垂面或者是垂 线 所以平时就是要注意遇到的基本图形之间的垂直和平行关系 做立体几何的问题 基本就是以上的几种 还有就是 两条直线之 间的平行 证明两条直线的平行基本上是通过平移将二者放在同一个 平面内 和另外两条已知的直线形成一个平行四边形 就可以证明两 条直线平行 证明一条直线 a 和一个平面平行是在平面内找一条直 线与直线 a 平行 就可以证明这条直线 a 和平面平行 证明直线 a 与 平面 垂直时就是在平面 内找两条相交直线与直线 a 都垂直就可以 证明直线a垂直于平面 证明直线与直线垂直时和平行是一样的 都是通过平移将其中一条和另外一条移到同一个平面内 再放在同一 中小学教育网 海量教学资源 无须注册 天天更新 无须注册的中国基础教 育网 个三角形内证明是一个直角即可 本题解析 题目中给出三棱柱的高和底边长相等 设为 a 如下图所 示 其中 D 为 BC 的中点 题目中让求 CC 和 AB 所成的角的余弦值 在三棱柱中 CC 平行于 AA 所求的值即为 cos ABA 在ABA 中 aABAA 只要知道了BA 的值就可以通过余弦定理得到 由已知条件可知 D 为A 在平面 ABC 内的投影 D 为 BC 的中点 则 ADDA 在ADA 中aAA AD a 2 3 则 2 a DA 在DBA 中 2 a DA BD 2 a 有了BA 的值 在ABA 中 cos 2 222 ABAA BAABAA 代入数 值得到余弦值为 4 3 上面的这个题目也可以用一个常用的公式直接求解 例如图中连接 AD 则构 成三 个角 度ADA 1 BAD 2 ABA 则有 21cos coscos 可以总结为一句话 三棱合一 一投影 一斜线 角度的余弦值有关系 斜 垂 平 10 如果函数3cos 2 yx 的图像关于点 4 0 3 中心对称 那么 的最小值为 中小学教育网 海量教学资源 无须注册 天天更新 无须注册的中国基础教 育网 A 6 B 4 C 3 D 2 解析 这个题目是有关三角函数的计算和对称性的问题 在这里再加 上三角函数的最值和单调性和周期性的问题 在这种题目中 必须实 记三角函数的对称性 就是最就简单的 sin 和 cos 函数 知识点 三角函数 sin cos 的最值和单调性 周期性 对称性 1 sin 1 cos 1 为任何角度值 2 sin 和 cos 的函数的图像上可以直接看到 在 2 2 k 2 2 k 的范围内 sin 单调递增 在 2 2 k 2 3 2 k 范围单 调递减 注意其中zk 一定写上 cos 在 0 单调递减 2 单调 递增 和 sin 函数一样也可以加上 k2 做单调性的题目时候写成 sin cos 的形式 里边的东西满足上述的单调性 解出来的就 是单调区间 保证 里边自变量前面的系数为正数 3 sin 函数的对称轴为 x 2 k 对称点为 k 0 cos 的对 称轴为 x k 对称中心为 2 k 0 函数不是简单的 sin 和 cos 时候只要保证 里边满足该条件就可以得到对称轴和对称中心 对 称轴处自变量代入方程式函数的最大值或者最小值 对称点代进去函 数值为 0 4 实记 sin 和 cos 函数 tan 函数的图像 5 若题目中给出 cossinbay 我们求最大值最小值的时候可 以根据三角函数的有界性来做 因为 a b bay tan sin 22 其中 本题解析 题目给出一个 cos 函数 还给出图像关于 3 4 0 对称 中小学教育网 海量教学资源 无须注册 天天更新 无须注册的中国基础教 育网 则将 x 3 4 代入函数值为 0 即 2 k 即 23 8 k 可以得到 6 2 6 13 kk或者 6 3 6 19 kk 由此可以得到 最小为 6 11 已知二面角 为 600 动点 P Q 分别在面 内 P 到 的距离为3 Q 到 的距离为2 3 则 P Q 两点之间距离的最小值为 解析 该题目是关于简单的二面角的计算 是反过来已知了二面角的 角度 然后给定其中一些长度 求解线段的距离 遇到此类题目先画 一个草图 把已知的东西标清楚 然后根据一些三角关系就可以求解 知识点 二面角的定义 表示两条垂直于交棱的直线所成的角 根据 这个把那个二面角自然的转变为两条直线的角 就关心直线就好了 点在直线上的情况就容易的多了 本题解析 在该题目中已知了二面角为 60 两个点分别在两个平 面内 给出的是距离其实就是直线了 垂直于交棱 我们可以把其中 的一个点固定在一条直线上 另一个点运动 Q 点在 平面内一条垂 直于交棱的直线上 Q 到 的距离为32 即图中的 QA 32 过 A 点 作交棱的垂线 AB 交点为 B 连接 QB 在QAB 中 过 A 作 BQ 的垂 线交于 D QBA 60 则 AB 2 得到 AD 3 即 P 点应该在过 A 点且平行于交棱的直线上移动 当 P 和 A 重合的时候 PQ 之间的距离 最小 最小距离为3 中小学教育网 海量教学资源 无须注册 天天更新 无须注册的中国基础教 育网 12 已知椭圆 2 2 1 2 x Cy 的右焦点为F 右准线l 点Al 线段 AF 交 C 于点 B 若 3FAFB uuu ruuu r 则AF uuur A 2 B 2 C 3 D 3 解析 该题目是有关椭圆和向量结合的问题 要注意椭圆的两个定义 特别是第二定义多用于长度的计算之中简化计算 知识点 椭圆的第二定义转化弦长的运算 在遇到弦长的计算时候多 考虑椭圆的第二定义 注意椭圆的焦点和对应准线之间的距离是 c b2 是个定值哦 计算过程中把已知的东西写出来方便使用 便于计算 向量是有方向的 向量与圆锥曲线结合的时候一般都是看做线段来处 理 但是是有方向的 有时候可以根据方向来判断交点的位置 本题解析 题中给出了一个椭圆的方程 首先看焦点在 x 轴上 右焦 点 为 F 1 0 右 准 线 为 x 2 A 在 右 准 线 上 如 下 图 中小学教育网 海量教学资源 无须注册 天天更新 无须注册的中国基础教 育网 由已知得到FBFA3 要求的是 AF 的长度必须转化到椭圆的第二定 义 2 1 e BC FB 则 2 BCAB 即 AF 2 PF 其中 PF 1 可以得到 2 二 填空题 二 填空题 13 10 xy 的展开式中 3 的系数与 37 x y的系数之和等于 解析 该题目是关于二项式定理的计算的 首先要熟记二项式的展开 式 还有项数和表达式的对应关系 还有就是系数和二项式系数的区 别 做这种题要细心 一般都不难 知识点 二项式定理 nn n rrnr n n n n n n n n baCbaCbaCbaCbaCba 022211100 其中第 项是 rrnr n baC 正好退后一项 要注意系数指的是变量 前面的数 而二项式系数指的就是 1 r n C 第 项 当其中的 为负数 时候计算过程就带上符号 结果变为正负交替 这里还要会计算 r n C的 中小学教育网 海量教学资源 无须注册 天天更新 无须注册的中国基础教 育网 值哦 若 a x 和 b 1 时候 X 取值为 1 和 1 时候二者计算的结果相加减可以 求出二项式系数奇数项和 偶数项和 还有当 x 0 时候可以得到 0 n C 有助于计算 本题解析 在 的展开式中 73y x的系数为 7 10 C 120 第 三项的二项式系数为45 2 10 C 二者之和为 75 14 设等差数列 n a的前n项和为 n S 若 9 72S 则 249 aaa 解析 该题目有关数列的 首先见到题目要看清楚是等差数列还是等 比数列 一般选择和填空题中都是简单的计算 就是数列的概念的计 算 要特别注意等差中项和等比中项的使用 还有就是熟记等差数列 等比数列的基本公式 知识点 1 等差数列 首先数列就是一些按照一定的规律排列在一 起就构成了数列 对于等差顾名思义就是相邻的两个数相差十一定 的 用公式表示就是daa nn 1 其中 d 为一个常数 n a 就表示一 个数列 但是这仅仅是一个表示方式 是一个代表 这里的 n a也可以 用别的表达式来代替 一些基本的公式 通项公式 dnaan 1 1 其中 1 a为首项 d为公 差 衍生一个公式 dmnaa mn 证明一个数列是等差数列就是 要 得 到daa nn 1 前n项 和 公 式 用 n S表 示 d nn naSn 2 1 1 n d an d 2 2 1 2 注意如果把 n 看作自变量这就是一 个没有常数项的二次函数 还有一个公式就是n aa S n n 2 1 这个是针 对于出现首项和末项还有项数的时候使用 还有一个有用的公式就是 中小学教育网 海量教学资源 无须注册 天天更新 无须注册的中国基础教 育网 化简以后的前 n 项和公式d n a n Sn 2 1 1 这是一个等差数列首项为 2 1 d a 公差为 2 d 另一个公式就是 n n n ann aa S 12 12 2 121 12 等差中项的概念 用公式表示就是 2 rnrn n aa a 计算过程中可以运 用等差中项来简化 假设一个等差数列的数时候 一般写为对称的形 式 例如 a 2d a d a a d a 2d 1 等比数列 顾名思义就是相邻的两个数的比值是一个定值 用 公式表示为q a a n n 1 这也是验证某个数列是否为等比数列的公式 通项公式 1 1 n n qaa 1 a首项 q 是公比 衍生一个公式 mn mn qaa 前 n 项和公式 当 q 1 时 1 naSn 当 q 1 时 q qa S n n 1 1 1 要注意 公比是否为 1 等比中项 就是中间的等于两边的乘积 11 2 nnn aaa 注意在已知三个 或者五个数是等比数列时候 假设五个数分别为 2 q a q a a aq 2 aq 这样根据公式就可以直接消去很多 简化了计算 不论是等差数列还是等比数列都存在最基本的关系 1 11 nnn SSa Sa 其 中2 n 遇到题目要看是不是需要这个最基本的关系式来求通项公式 或者别的运算 本题解析 题中给出了该数列是一个等差数列 还有结果是好几个项 数的和 我们要想到用等差中项来简化结果 由72 9 S 则由公式 nn naS 12 得到8 5 a 结果 5951942 3aaaaaaa 24 中小学教育网 海量教学资源 无须注册 天天更新 无须注册的中国基础教 育网 这里要注意 5142 aaaa 等差中项的应用很多 在等差数列中的一 项距离这个数相等的对应项的和等于该项的二倍 等比中项则是乘积 等于该项的平方 15 已知OA为球O的半径 过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M 若圆 M的面积为3 则球O的表面积等于 解析 该题目是关于立体几何中球体的一部分 这部分我们要注意的 就是一些基本的公式 球体的表面积公式 体积公式 还要掺杂一点 圆的知识 因为球的一个横切面就是一个圆 知识点 球体的表面积公式 2 4RS 体积公式为 3 3 4 RV 其中 R 为 球体的半径 这里要注意做题的过程中有可能有多个半径 包括小圆 不过球心的切面 的半径 这里也是和圆是一样的 就是球心与切 面上的小圆的圆心的连线垂直于这个小圆所在的平面 球心 小圆的 圆心 还有小圆上的一个点与二者的连线构成的三角形是一个之间三 角形 还有就是要注意题目中出现经纬度的时候 将经纬度在球上体 现出来就是精度圈就是过球心的大圆 纬线圈就是一个小圆 二者所 在的平面是垂直的 维度指的是上面三角形中球心和小圆上一个点的 连线 a 和小圆圆心与这个点的连线 b 的夹角 本题解析 本题中是求球体的表面积的 我们知道球体的表面积里边 最关注的就是球体的半径 我们就是要通过已知的条件得到球体的半 径 题目中给出一个小圆的面积为 3 我们可以的到圆的半径为 3 r 我们假设球体的半径为 R 根据上述的三角形是直角三角形 中小学教育网 海量教学资源 无须注册 天天更新 无须注册的中国基础教 育网 我们可以的到一个等式 222 2 r R R 即3 4 3 2 R 这样就可以的到 2 R 即球体的表面积为 S 16 16 若直线m被两平行线 12 10 30lxylxy 与所截得的线段的长为 2 2 则 m的倾斜角可以是 15o 30o 45o 60o 75o 其中正确答案的序号是 写出所有正确答案的序号 解析 该题目是关于直线之间的关系的题目 这里我们必须要搞清楚 直线的各种表示方法 还有就是两条直线之间的关系 还要注意弦长 公式 当直线与圆锥曲线集合的时候 要会联立方程得到弦长公式 知识点 直线的各种表示方法 一般式 0 CByAx 斜截式 bkxy 其中k为直线的斜率 直线的斜率可以 用直线上的两个点来求 例如 直线上的两个点为 11 yx 22 yx 则 12 12 xx yy k 点斜式 11 xxkyy 已知的是一个斜率 k 还有一个 点 11 yx 两点式 12 12 1 1 xx yy xx yy 其实这个很简单 就是两个斜率相 等 截距式 1 b y a x 其中 a b 分别为在 x 轴和在 y 轴上的截 距 注意这里 a b 均不为零 用截距式的时候要注意看截距是否为 零 中小学教育网 海量教学资源 无须注册 天天更新 无须注册的中国基础教 育网 但是归根结底写直线方程的时候 就是要找出一个斜率一个点 用点 斜式不容易出错 因为其中体现了两个特点 一个斜率一个点 两条直线之间的关系 平行 垂直 或者是普通的角度 这里要注意 夹角和到角的区别 夹角是小于 90 的 到角是有方向的与谁到谁 有关 到角公式 直线 2 l到直线 1 l的角为 则 tan 21 12 1kk kk 其中 21 k k 分别为直线 21 l l的斜率 夹角公式中 1 tan 21 12 kk kk 若 两 条 直 线 平 行 则 可 以 得 到 21 kk 两 条 直 线 分 别 为 0 0 222111 CyBxACyBxA 则两条直线平行时候 2 1 2 1 2 1 C C B B A A 要 注意直线平行的时候不一定要用这个公式 也许直线的斜率不存在 可以用整式 1221 BABA 计算完后一定要检验一下子 两条直线是否 相同 若两条直线垂直 则可以得到1 21 kk 用一般式中的字母表示得到 0 2121 BBAA 两条平行线之间的距离公式 22 21 BA CC d 点 到 直 线 的 距 离 公 式 点 11 yx到 直 线0 CByAx的 距 离 22 11 BA CByAx d 本题解析 题目给出两条直线 21 l l 我们可以看到两条直线平行 两 条直线之间的距离为2 2 2 d 一条直线截两条平行直线中间的截 距为22 我们可以做一个图形 中小学教育网 海量教学资源 无须注册 天天更新 无须注册的中国基础教 育网 题中两条直线之间的距离用蓝线表示 另外两条蓝色线段的距离为 22 可以得到 601 其中 453 则截平行线的直线l的倾斜角 为 75 或者 15 注意 在做已知直线的题目的时候尽量把直线给画出来 数形结合来 解决这一类的问题比较方便 这里补充一下子 假设直线的倾斜角为 则直线的斜率为 tan k 当 90 时倾斜角不存在 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 6 6 小题 共小题 共 70707070 分分 解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 17 本小题满分 10 分 注意注意 在试题卷上作答无效在试题卷上作答无效 设等差数列 n a 的前n项和为 n s 公比是正数的等比数列 n b 的前n项和为 n T 已知 113333 1 3 17 12 nn ababTSb 求 a的通项公式 解析 该题目是关于数列的计算的 一般就是求一下子某个数列的通 项公式或者是前 n 项和公式 在做大一点的数列的题目的时候要想到 数列的前 n 项和公式的来源 还有就是熟记通项公式的表示 这类题 目首先就是要看清楚有没有已知数列的类型 是等差数列还是等比数 列 然后考虑数列的特点和已知的条件进行解答 并且要大胆的假设 中小学教育网 海量教学资源 无须注册 天天更新 无须注册的中国基础教 育网 数列的通项公式 然后通过已知的条件解出公式中所求的字母的值 知识点 等差数列的通项公式和前 n 项和公式前面已经给出 这里不 再介绍 但是要补充的是前 n 项和公式的来源和基本的计算方法 等 差数 列前 n 项 和 首先 121nnn aaaaS 也 可以 表示 为 121 aaaaS nnn 将两个式子对照起来看 121 121 aaaaS aaaaS nnn nnn 将对应的项两两相加可以得到 2 121121 aaaaaaaaS nnnnn 我们知道等差中项的概 念 可 以 将 后 面 的 一 串 写 成 一 个 既 可 以 得 到 n aa SnaaS n nnn 2 2 1 1 即 即可以得到等差数列的前 n 项和公式 将式子中的 n a用有首项和公差的通项公式代替既可以得到另外的一 个公式d nn naSn 2 1 1 这里用到了倒序相加的方法 等比数列的前 n 项和公式的来源 我们知道 nnn aaaaS 121 将 含 有 首 项 和 公 比 的 通 项 公 式 分 别 代 入 可 以 的 得 到 1 1 1 2 1 2 11 1 1 2 1 2 111 nnn n nn n qaqaqaqaqaqS qaqaqaqaaS 这里我们给原来的上面全部 乘以 q 两个做差得到 q qa SqaaSq n n n n 1 1 1 1 11 即 这里我们强调 一下子 遇到类似的出现等差数列和等比数列相乘的数列求前n 项和 的时候就要仿照这个算法 错位相减法 类如 n n na2 仍旧使用错 位相减法会发现它与等比数列前 n 项和公式的差别就死前面都同时 乘了一个等差数列的公差 说到这里顺便提及一下另一种类型的求前 n 项和 出现类似 1 1 nn an的类型的题目要将它分成两个 1 11 nn an 中小学教育网 海量教学资源 无须注册 天天更新 无须注册的中国基础教 育网 这样我们可以得到前 n 项和为 1 1 1 1 11 3 1 2 1 2 1 1 121 nnn aaaaS nnn 中间的项全部消掉了 下面列出一些基本的求数列的通项公式的例子 这是针对数列中的递 推公式的 出现相邻的项之间的关系求数列的通项公式的情况 为了方便说明我们先给出最基本的等差数列和等比数列的通项公式 的递推公式 我们就是通过一些转化 将已知的公式变为最基本的等 差数列或者是等比数列的公式 这样就可以根据等差数列或者是等比 数列的一系列公式计算一个普通的数列的通项等等 最基本的两个公式 11 nnnn qaadaa常数 1 出现类似12 1 nn aa 其中两个数字和角标均可以变化 先只是举 个例子说明 看见这个问题我们首先观察的是如果去除常数 则等式 就是等比数列的基本形式 这样我们就想办法去掉常数 实际上是将 它分配在等式的两边 遇到这种情况我们假设 2 2 11 kaakaka nnnn 式子展开得到两个式子对比可以得到1 k 则 1 2 1 1 nn aa 我们前面说过在等差数列通项中 n a只是一个代 表 可以用任何的表达式表示的 对于这个题目 我们可以将1 n a看 做整体的1 nn ab设 则原式等于 1 2 nn bb转化成了一个标准的等比数 列 这样我们就可以先求出 n b的通项 然后反解出 n a 2 出现类似 n nn aa22 1 首先我们也是和上边一样的想法 去除后面 的那个 n 2 它就是一个等比数列 我们也是一样考虑将 n 2分配到两边 构造新的等比或者等差数列 这里我们发现还有一个特点就是这里是 中小学教育网 海量教学资源 无须注册 天天更新 无须注册的中国基础教 育网 两个 2 如果我们将等式两边同时除以 n 2 我们就可以得到 1 22 1 1 n n n n aa 这里我们假设 n n n a b 2 则将原式简化为1 1 nn bb 这是一 个标准的等差数列的递推公式 我们就可以先求出 n b的通项公式 然 后反解出 n a 这里要注意角标的变化 角标的变化时一致的 我们想 一想 这个题目中的特点就是两个数字相同 3 出现类似 n nn aa32 1 遇到这个类型的式子 我们想啊 后面也是 多了一个 n 3是一个等比数列 那我们就在两边同时加上等比数列的对 应项来代替 n 3 这样子就可以构造新的等比数列了 我们假设 3 3 2 3 23 1 1 1 n nn n n n n k aakaka 展开得到 与原式子对应可以的 到3 1 3 k k 即 我们假设 1 11 3 3 3 3 n nn n nn abab则 原式变为 1 2 nn bb 我们先解出 n b的通项公式再反解出 n a即可 解 n b的通项公 式的时候首项要根据两者的关系和题目中已知的 n a的首项计算哦 4 出现类似naa nn 1 2的情况后面是一个等差数列 我们还是一样的 处理方法 再等式两边加上一个等差数列的两项来代替其中的等差数 列 例如我们假设 2 2 1 2 11 kbknaabnkabkna nnnn 展开式子为 两个式子 对比就可以得到 k 和 b 的值 0 1 bk 我们假设nab nn 原式子 简化为 1 2 nn bb 也是一样先得到 n b的通项公式然后再反解出 n a 从上面的一些简单的计算我们可以得到一个结论遇到类似上述的格 式 首先看后面是一个常数还是等差数列还是等比数列 如果是等比 数列看有没有和前面的系数相同 注意前面的系数不是 1 中小学教育网 海量教学资源 无须注册 天天更新 无须注册的中国基础教 育网 若前面的系数是 1 即形式为 等比数列 等差数列常数 1 n nn kqbkndaa 我 们 先 移 向 变 为 1 nn aa的形式 然后写出它的 n 项然后左边加左边右边加右边 这样左边的 n a的数列就消去很多 剩下 1 aan 一般题中已知 1 a 等 式的右边是一个常数的和或者是一个等差数列前 n 项的和或者是一 个等比数列的前 n 项的和都可以用基本公式计算 这样我们就可以的 到 n a的通项公式了 如果题目中没有关于 n a的递推公式 出现的是 n a和 n S的关系的 我们 要利用 111 nnnnn SaSSa和 的对应关系 将原来的式子简化为 n a的递 推公式 然后写成以上的形式便于运用公式进行计算 本题解析 题目中已经给出 n a为等差数列 n b为等比数列 且公比为 正数 首项也是已知的 我们可以设 1 3 1 1 n nn qbdna 题目中 给出1623 173 21 22 33 dqqdba即 还已知 4 12 2 2 3 3 1 1 3 2 3 33 dqqd q q ST即 将这两个式子联立可以 得到0 125 2 2425 2 qqqq 即舍去 5 12 2 qq 得到了2 q 代入则可以得到2 d 则 1 2 3 12 n nn bna两个通项公式分别为 18 本小题满分 12 分 注意 在试用题卷上作答无效 注意 在试用题卷上作答无效 在ABC 中 内角 A b c 的对边长分别为 a b c 已知 22 2acb 且 sin4cossinBAC 求 b 解析 该题目是关于三角函数的运算的 经常出现两类题目 一类是 有关 sin 和 cos 函数的直接运算 就是一般都是先用倍角公式然后用 中小学教育网 海量教学资源 无须注册 天天更新 无须注册的中国基础教 育网 sin cossin 22 baba将表达式重新整理就可以根据简单的 sin 函数或者 cos 函数来计算题目中所求的 第二类就是有关三角函 数的正弦和余弦定理的 题目中出现三角形的边和角的关系的一般都 是运用这两个定理 然后运用三角函数的公式计算 知识点 正弦定理 径为三角形的外接圆的半其中R 2 sinsinsin R C c B b A a 余弦定理 bc acb A 2 cos 222 ac bca B 2 cos 222 ab cba C 2 cos 222 还有倍角半角公式 2cossincos 2cos1sin2 2cos1cos2 2222 要牢记这些基本 的公式 遇到题目中出现较多的边角关系的时候 里边出现的sin 比较多 我 们考虑用正余弦定理代替其中的角或者是边 然后变成同一类型计 算 但是注意一般情况用正弦定理替换后两边的 R 可以消去的 这 样就变成了简单的边运算或者三角函数的运算了 一般情况余弦定理 替换后式子比较复杂 代入后注意是否可以简化式子 若可以简化再 继续计算 还有就是要注意题目中所求的是边还是角度 若是边则运 用这两个定理替换角度为边 反之则替换边位角度 注意 在这类题型里边的一个关系就是 A B C 180 注意运用公 式 sin sin sinCBCBA 这三个角度可以来回替换 本题解析 由已知条件可以得到该题目中要求的是边 b 已知条件里 边CABsincos4sin 我 们 用 正 弦 和 余 弦 定 理 分 别 代 换 即 2 2 4 2222 222 acbbc bc acb b 即 已知条件中给出bca2 22 代 中小学教育网 海量教学资源 无须注册 天天更新 无须注册的中国基础教 育网 入上式得到04 2 bb 即可以得到4 b 19 本小题满分 12 分 注决 在试题卷上作答无效 注决 在试题卷上作答无效 如图 四棱锥SABCD 中 底面ABCD为矩形 SD 底面ABCD 2AD 2DCSD 点M在侧棱SC上 o ABM 60 证明 M是侧棱SC的中点 求二面角SAMB 的大小 解析 该题目是关于立体几何的题目 做立体几何的题目的时候关键 是读题 在读题的时候把已知的条件搞清楚是什么 最好是自己作 图 然后根据已知的条件就可以得出一些简单的垂直或者平行关系 有助于下面的做题 还是就是搞清楚题目要求的要证的是什么 心里 边有一些基本的步骤 是先干什么后干什么 一步一步的做 知识点 选择题第九题中已经给出 本题解析 我们先来读题 题目中给出该图是一个底面是矩形的四棱 锥 这里已知 1 底面是矩形 我们就想到底面上的相邻的两条直 线式垂直的 对面是平行的 2 底面 SD 则底面的任何直线 SD 中小学教育网 海量教学资源 无须注册 天天更新 无须注册的中国基础教 育网 且ABCDSDCABCDSDA平面 平面平面平面 有了面面垂直 我们还 可 以 知 道SDACDABSDC平面或者 平面 AD 3 已 知 长 度 2 2 DCDSAD 则是等腰直角三角形SDC 若 M 是中点 则有 SCDM 然后题目中给出一个角度 60ABM 1 要证明 M 为 SC 的中点 必须证明 2 SC DM 题目中给出的数字 和角度 因此我们可以假设xCM 则在ABM 中 2 AB 60ABM 2 2xBM 4 2 22 22 22 6 22 22 22 4 22222 xxxAMxxDM 由余弦定理得到 2 22 22 22 24 22 22 2 4 2 2 4 2 1 xx x x x xx 即 即 2 2 SC x 即 M 为 SC 的中点 2 问题是让求一个二面角 交棱为 AM 在