经典轧制力模型理论解析（带钢冷轧模型理论学习笔记）.doc

经典轧制力模型理论解析 （带钢冷轧模型理论学习笔记）中冶南方工程技术有限公司 上海分公司2005年11月9日经典轧制力模型理论解析 序号文章名称页数1一、奥罗曼（E.Orowan）理论62二、布兰德福特（D.R.Bland &H.Ford）轧制力近似计算理论163三、斯通（M.D.Stone）的计算轧制力公式54四、布兰德福特（D.R.Bland &H.Ford）轧制力及轧制转矩数学模型离散计算方法55五、用离散算法对轧制程序表的试算题266六、斯通轧制力与轧制转矩公式近似计算37七、M.D.Stone公式近似计算法试算例题188八、冷轧轧辊辊缝中摩擦形成理论3169经典轧制力模型理论解析在带钢冷轧机的轧制工艺设计、机械设备设计和轧钢生产过程控制应用软件的设计与开发。都需要利用轧制力模型做计算。那么，当前广为人们使用的轧制力模型是前人为我们留下的宝贵财富。只有对那些成果深入地理解，才能认清当前应用的各种轧制模型的脉络，提高对模型的鉴别力和有所前进。最先用微分方程式描述沿轧辊与带钢交界面的接触弧上的轧制力分布的是卡尔曼（T.Karmann），即所谓卡尔曼方程，发表在1925年的应用数学与力学杂志上。卡尔曼方程虽然用解析方法不能得解，但是对于随后的学者发展可用于工程的轧制力模型具有重要意义，如史密斯和采利可夫，他们各自利用不同假定和简化得到卡尔曼方程的实用解。贴近当前应用的，多采用在奥罗万（E.Orowan）理论的基础上，和由卡尔曼确立方程式的分析方法，布兰德福特（D.R.Bland & H.Ford）发展了广为应用的轧制力模型；斯通（M.D.Stone）提出了轧制力计算比较简便的斯通公式。本文将对奥罗万理论、布兰德福特轧制力模型和斯通公式做详细解析。带钢冷轧生产过程是个复杂的多参数作用的过程，有多项不确定性因素，从物理和数学的观点来说会是十分复杂的。因此，研制可实用的轧制力模型，通常要对过程条件和控制参数做些基本假定和简化如下：1. 轧件为连续介质，体积（或密度）基本不变。2. 变形金属的条件屈服应力为常数，或者沿接触弧长按可预知的方式变化。3. 假定轧件在弹性变形中为均匀压缩，即假定进入辊缝的带钢是由垂直于轧制方向的直立薄片所组成，这些薄片在轧制中镦粗并沿轧制方向延伸，但并不弯曲。4. 带钢轧制不产生宽展，若带钢厚度与宽度相比很小时，该条件可满足，即轧制过程可按二维对待。5. 轧辊中的润滑沿接触弧长度产生均匀的摩系数。（对于纯粹流体动力润滑，在轧辊入口有最大的滑动速度，对摩擦影响很大，在中性点处轧辊与带钢表面速度一致，摩擦的影响会减小到零；另一方面，润滑油膜的厚度，从出口平面到入口平面会逐渐减薄，由此界面层润滑而引起的摩擦系数会增加。因此，这项假定是很勉强的，但是为了建立数学模型，确往往被采用。）6. 忽略在轧辊中的薄带钢的弹性变形。7. 轧制中的轧辊产生弹性压扁，但同时假定轧辊的周边速度仍为常数，亦即轧辊没有旋转加速度和减速度。8. 忽略轧制中的温度效应。下面，将对奥罗万（E.Orowan）理论、布兰德福特（D.R.Bland & H.Ford）轧制力模型近似理论和斯通（M.D.Stone）提出的轧制力简便计算的斯通公式做详细地解析。本文还提出了对布兰德福特公式的离散算法和斯通公式的近似计算法及其验算结果。 李庆尧2005年1月14日一. 奥罗万（E. Orowan）理论奥罗万的沿接触弧轧制力计算理论力图其通用性和精确，避免通常采用的某些假定和数学近似算法（例如假定常摩擦系数和常值条件屈服应力等），允许屈服应力和沿接触弧的摩擦系数有某种变化。在理论推导中没有如通常所假设的那样为均匀压缩过程。采用了L.Prandtl和A.Nadai的二维塑性变形研究结果，还考虑了轧辊的弹性变形。但是奥罗万理论没有假定带钢在轧辊中的滑动，而提出了判定在接触弧中带钢产生滑动的准则，在那个区域发生贴合。（奥罗万理论如此处理，仅在理论上讨论了滑动摩擦）奥罗万理论是从分析两块无限长平行板之间塑性受压的应力开始的。假定两平行板没有加工硬化和两板之间保持贴合。受压塑性变形带钢的应力分布如下图所示。 y q t t x q 图1.1 受压塑性变形 带钢的应力分布如下图L.Prandtl的二维塑性变形研究结果，把两平行板受压塑性变形的力学关系式如下：两平行板受正压力（单位面积上的压力）为q，水平应力t和剪应力，其表达式如下：q=C + Sx/h（1.1）t=q + S(1 4y2/h2)1/2（1.2）=-Sy/h（1.3）式中 S : 塑性变形材的条件屈服应力h : 两平行板之间的距离x和y为坐标C ：积分常数积分常数的确定：在两平行板的终端q = 0,由（1.1）式得C = SL/h。C值的正负号由C位于x和y的象限而定。依此，按（1.1）（1.3）式可得到如图1.1的力分布图。在此基础上A.Nadai 提出，当两相似板彼此互成2的小倾斜角度受力时，板将向倾斜角的顶点方向蠕动。此时的水平应力t为：t=q + S(1 4y2/h2)1/2式中x和y值分别为y = r*,h = r*2,把这两个值代入上式，则得：t=q + S(1 2/2)1/2（1.4）同理=-S/2（1.5）两板互成2的小倾斜角度受力示意图见图 1.2 q t 图 1.2 非平行板受力 应力示意图 上式中的角为作用力点与相交顶点连线和两板对称线的夹角。A.Nadai的表达式是在两板贴合受压时向顶点方向蠕动得出的，而奥罗万应用A.Nadai的结果，设定为两板滑动摩擦受压时向顶点反方向蠕动。这与A.Nadai公式无矛盾，仍然适用（可理解为轧辊中轧材在前滑区或后滑区）。由于；两板接触方式的不同，其间的距离也有差异，可从以下求得：两板贴合受压时, 在贴合面上的剪应力表达式（1.5）式中，=，剪应力表达式应改写成：=- S/2（1.6）或=- S/2 = -Sy/h（1.7）两板滑动摩擦受压时, 两板接触面处的剪应力为摩擦系数乘正压力q，即=- q = -Sy/h*（1.8）用（1.8）式除以（1.7）式（这里忽略了两式中y值的差别），经整理得到：h*=Sh/2q（1.9）y O A B xh h* 图 1.3 两板贴合受压与滑动摩擦受压关系示意图h*/2 =OB*tg*, h/2 = OA*tg, 若视OB = OA 则得：h*/h = tg*/ tg = */ 。代入1.9式得到： * = S/2q （1.10）滑动摩擦受压的水平应力公式，把：（1.4）式中的值以*代换得到：t=q + S1 （2q/S）2（2/2） 1/2（1.11）该公式可作为轧辊咬入带钢的力学方程式。有了上述得到正压力q、水平应力t和剪应力公式之后，就可以进一步地分析带钢轧制过程在辊缝中力的平衡方程式。 d R=D/2 q 图 1.4 轧制过程在轧dA 辊中力的平衡 O A A f() f()+d f() 从图 1.4的力平衡列出如下平衡方程式：f() 2qsin*Rd = f()+d f() + 2cos*Rdd f() = 2qsin*Rd2cos*Rd （1.12）或d f()/ d = DqsinDcos （1.13）等号右边第2项前取“-”号为后滑区的剪力，取“+”号为前滑区的剪力。公式（1.13）表述了正压力q和剪应力与沿接触弧水平力f()的依存关系式。 R 图 1.4 轧制过程在辊A 中力的平衡 dAO D C /2- B根据奥罗曼的不均匀变形理论，带钢轧制前垂直面与辊缝中轧制是不能保持仍为垂直面而要产生变形。假定其变形面为圆柱形，依此做力学分析：从图1.4 深入地分析和推导力学方程式：因为预设水平应力作用在圆柱形面上，由三角关系得知OA = OC，而 sin AD/OA，又 AD h/2，所以 OC = h/2 sin；再有，C点的微分面积dA也由此得到，dA对应的夹角为d则得到：dA = OC*d 或dA = h d/2 sin （1.14）那么，圆柱形面上辐射方向的应力t作用在dA单元的水平力df（）。df（）= tcos*dA = tcos* h d/2 sin （1.15）把（1.11）式的t表达式代入1.15式，得到df（）表达式如下：df（）= q + S1 （2q/S）2（2/2） 1/2 cos* h d/2 sin= (q h/2 sin)cos* d + (S h/2 sin) 1 （2q/S）2（2/2） 1/2*cos* d （1.16）由此，得到单位板宽作用的水平力ft（）为：ft（）= 20 df（） （1.17）设 a = 2q/S 和W(，a) = 1/ sin0 1 a2（2/2） 1/2 cos* d故 ft（）= qh - Sh W(，a) （1.18）如图1.4，对应角的圆柱面积dA，在水平方向的剪力分力为：f() = dA*cos（/2 ） = (q/) (sin* h /2 sin)d则在单位带材宽度上的剪力f()为：f() = 20(q/) (sin* h /2 sin)df() =( qh/sin)0 sind对0 sind做分布积分得到0 sind = sin-cos所以f() = (qh/sin)( sin-cos) = qh/ - qh/tg或 f() = qh（1/ 1/tg） （1.19）剪力公式等号右边的“+”号为机架出口的剪力，“-”号为机架入口的剪力。故，作用在AB断面上的水平合力是：f（）= ft（）+ f()f（）= qh - Sh W(，a) qh（1/ 1/tg）= hq1 （1/ 1/tg） - S W(，a) （1.20）在带钢冷轧中，滑动摩擦f()的值很小，可以忽略不计。奥罗万认为hq（1/ 1/tg）仅为hq的1。所以在冷轧可以用如下近似公式表示：f（）= hq - S W(，a) （1.21）或 q = f（）/ h + S W(，a) （1.22）由此，得到的作用在AB断面上的水平合力公式后，（1.13）式可改写如下：d f()/ d = DqsinDcos 公式中的q由（1.22）式代换，= q。d f()/ d = Df（）/ h + S W(，a) sin Df（）/ h + S W(，a) cos整理后得到：d f()/ d = f（）D/ h（sincos）+ DSW(，a) （sincos） （1.23）以上是奥罗万在L.Prandtl和A.Nadai研究成果的基础上，提出的滑动摩擦计算轧制力的理论。布兰德福特的轧制力近似计算理论是在奥罗万理论的结果公式d f()/ d = DqsinDcos推导得到。二. 布兰德福特（D.R.Bland & H.Ford）轧制力近似计算理论布兰德福特在奥罗万理论的基础上推导出适合应用的轧制力计算理论，可以看作是奥罗万理论的轧制力近似计算方程式。奥罗万对轧辊施压于轧材，在接触弧断面上的任何一点的正压力、摩擦力和剪力得出如下微分方程：d f()/ d = DqsinDcos（2.1） 布兰德福特对2.1式中仅做了参数符号的代换，推演其近似算法。正压力q以s代换，剪应力以S代换，以代换，D以轧辊弹性压扁半径R代换。则2.1式改写成：d f()/ d = 2sR（sincos）（2.2）Huber-Mises对带材轧制在塑性变形条件状态下的研究得到正压力s，水平应力p（p = f/h）和条件屈服强度k有如下关系式：s = p + k = f/h + k （2.3）或 f = h(s k) （2.4）把上式f代入（2.2）式得：dhk(s/k - 1)/d = 2sR（sincos）（2.5）对2.5式等号左边微分展开得：hkd(s/k)/ d + (s/k - 1)d(hk)/ d = 2sR（sincos）（2.6）奥罗万假设 (s/k - 1)d(hk)/ d hkd(s/k)/ d则 hkd(s/k)/ d 2sR（sincos）（2.7）或整理成：d(s/k)/(s/k) = 2R（sincos）/h d （2.8）对（2.8） 式等号前后分别积分得：d(s/k)/(s/k) ln（s/k）+ C1 （2.9）对（2.8） 式等号右边积分之前，为了易于积分求解，对其中的参数要做如下简化： o A R i/2 (h-ho)/2 B hi h ho 图 2.1 接触弧中 几何关系 轧制方向由上图的几何关系可得到：(h-ho)/2 = R- Rcos = R(1 - cos) （2.10）h ho + 2 R(1 - cos) （2.11）上图中， h为接触弧内任一断面处的带钢厚度，hi为入口厚度，ho为出口厚度。又因 sin/2 = (1 - cos)/21/2 即 1 cos sin2/2,因为角很小，可取sin = ,于是1 cos （/2）2 代入（2.11）式得到：h ho + R 2 （2.12）因为角很小，于是sincos也改写为：sincos （2.13）那么，（2.8） 式右边，把（2.12）和（2.13）式代换后做积分，即：2R（sincos）/h d = （2.14）2R（）/(ho + R2) d =2（）/(ho/ R+2) d= d(ho/ R+2)/( ho/ R+2) d/( ho/ R+2) = ln(ho/ R+2) 2 (R / ho)1/2arctg ( R / ho)1/2 + C2 等号两边的积分结果相等，则ln（s/k） ln(ho/ R+2) 2 (R / ho)1/2arctg ( R / ho)1/2 + C3 （2.15）上式以自然指数e表示，则为：exp(s/k) = C*exp(ho/ R+2)*exp 2 (R / ho)1/2arctg( R / ho)1/2 （2.16）令 H 2 (R / ho)1/2arctg ( R / ho)1/2 和 （2.17）h ho + R 2则得，s/k = C*(h/ R)*exp（H） （2.18）C为积分常数，上式中的“+”号表示为前滑区的值，“-”表示为后滑区的数值。积分常数C的确定如下：在带钢出口处的张应力为o，即p = -o , 因为0, 则H = 0。此刻so = ko o （2.19）同理，在带钢出口处有si = ki i （2.20）分别代入2.17式得到积分常数为：Co = R(1 o/ ko)/ho 和 Ci = R(1 i/ ki)/hi （2.21）把（2.20）式各代入（2.17）式，得到前滑区和后滑区的正压力：前滑区的正压力s+ : s+ = kh(1 - o/ ko)/ho exp（H） （2.22）后滑区的正压力s- ： s- = kh(1 - i/ ki)/hi exp（Hi-H） （2.23）如果前滑区和后滑区无前后张应力，上两式为：s+ = kh/ho exp（H） （2.24）s- = kh/hi exp（Hi-H） （2.25）为了后面计算需要，先计算中性角n，下标n表示在中性角或中性点处的值。在中性点处 s+ = s-，即 s+ = s- = sn。即kh(1 - o/ ko)/ho exp（Hn）= kh(1 - i/ ki)/hi exp（Hi-Hn）经过整理后，存在前后张应力时的Hn值为：Hn = Hi/2 (1/2)lnhi(1 - o/ ko)/ ho(1 - i/ ki) （2.26）而无前后张应力时的Hn值为：Hn = Hi/2 (1/2)ln（hi/ ho） （2.27）由（2.17）式Hn 2 (R / ho)1/2arctg ( R / ho)1/2 n, 即可得到中心角n为：arctg ( R / ho)1/2 n = Hn(ho / R)1/2/2 所以,n (ho /R)1/2tg Hn(ho / R)1/2/2 （2.28）把（2.26）或（2.27）的Hn值，就可以由2.28式计算得到存在前后张应力或无前后张应力时的中心角n。为了便于推导单位带钢宽度上作用的轧制力表达式，将对计算中的参数做如下代换：令 = / （2.29） a = (R / ho)1/2 （2.30） r = (hi - ho)/hi = 1 ho/hi （2.31）由（2.12）式知 h ho + R 2，对等式两边以ho除得到：h/ho = 1 + (R /ho) 2 （2.32）由（2.23）和（2.29）式 (R / ho) （a/）2 和 = ,则上式改写成：h/ho = 1 + a22 （2.33）h/hi = ho*h/hi*ho = (1 - r)( 1 + a22) （2.34）用（2.29）和（2.30） 对（2.17）式的参数做代换，以乘2.17等式两边得：H 2 (R / ho)1/2arctg ( R / ho)1/2 H 2a arctg a （2.35）从图 2.1的几何关系得知：i/2 （hi ho）/2*AB, 而 AB = R i, 所以i2 （hi ho）/ R或i （hi ho）/ R 1/2 （2.36）而i = i/ 所以， i = （hi ho）/ R 1/2/ （1/）（ho/ R）1/2 (hi - ho)/ho1/2 = （1/a）r/(1 - r)1/2 （2.37）于是（2.35） 式 H 2a arctg a在轧辊入口处可写为：Hi 2a arctg ai = 2a arctgr/(1 - r)1/2 （2.38）把（2.27）式 Hn = Hi/2 (1/2)ln（hi/ ho）等式两边成以，再将（2.38）式代入得到：Hn = Hi/2 (1/2)ln（hi/ ho） （2.39）= a*arctgr/(1 - r)1/2 (1/2)ln1/(1 - r) 借助（2.35）式 H 2a arctg a在中性点处的表达式，可以再改写中性角的表达式：Hn 2a arctg an 把（2.39）式代入n = (1/a)tg Hn/2a,得到：n = (1/a)tgarctgr/(1 - r)1/2/2 (1/4a)ln1/(1 - r) （2.40）到此，计算积分式要确定的积分上下界的变换以及被积函数的参数转换等都准备完毕，下面将推演单位带钢宽度上的正压力P表达式：2.1 无前后张应力条件下，单位带钢宽度上的正压力P表达式P = Rn0(s+)d + in(s-) d （2.41）把（2.24） 和 （2.25）式代入上式得到无前后张应力时的单位轧制力积分式：P = Rkn0(h/ho) exp（H）d + in(h/hi) exp（Hi-H）d把该式中的参数分别由（2.33）、（2.35）、（2.34）、（2.35）、（2.38）和（2.29）的积分上下限代换，得到如下积分式：P/Rk = n0(1 + a22) exp（2a arctg a）d+ （2.42）(1 - r) exp 2a arctgr/(1 - r)1/2*in( 1 + a22) exp（-2a arctg a）d由此知道，P/Rk为 a,r, i和n 的函数，其实i和n也是a,r的函数。这里的k是前滑区和后滑区的屈服应力的平均值。（2.42） 单位正压力表达式等号右边的积分式难于用解析法积分，故实际应用中把它表示为曲线表，以解决工程计算问题。单位正压力算式表示为：P = Rk*f1(a,r) （2.43）f1(a,r)表示（2.42）式右边的积分式。考虑摩擦峰值等因素，把f1(a,r)乘以a(1 - r)/r，构成轧制力函数f3(a,r)：f3(a,r) = a(1 - r)/r1/2 f1(a,r) （2.44）用f3(a,r)编制成以a为参数的r与f3曲线族。工程计算轧制力时，查曲线获得f3(a,r)值。那么，单位（带钢宽度上）正压力计算式改写为：P = k*R（hi - ho）1/2* f3(a,r)*） （2.45）*） 2.45式与2.43式是完全相同的，即R（hi - ho）1/2* a(1 - r)/r = R（hi - ho）1/2*(R/ho)1/2*ho/(hi ho)1/2 = R。带钢前后分别无张应力的轧制力函数f3(a,r)曲线族，见图 2.2图 2.2 无张力时确定轧制力函数f3(a,r)计算值的曲线族2.2 带钢的前后分别有张应力时的单位轧制力的表达式把前滑区的正压力（2.22）式和后滑区的正压力（2.23）式代入（2.41）式，即得到带前后张应力的轧制力积分表达式：P = Rkn0(1-0/k0)h/hoexp（H）d + in(1-i/ki)h/hi exp（Hi-H）d(2.46)把该式中的参数分别由（2.33）、（2.35）、（2.34）、（2.35）、（2.38）和（2.29）的积分上下限代换，得到如下积分式：P/Rk =(1-i/ki)n0(1-0/k0)/ (1-i/ki) (1 + a22) *exp（2a arctg a）d+ (1 - r) exp 2a arctgr/(1 - r)1/2*in( 1 + a22) exp（-2a arctg a）d令 b (1-0/k0)/ (1-i/ki) 则得到如下表达式：P/Rk =(1-i/ki)n0b(1 + a22) exp（2a arctg a）d + (1 - r) exp 2a arctgr/(1 - r)1/2*in ( 1 + a22) exp（-2a arctg a）d （2.47）令 f1(a,r,b) n0b(1 + a22) exp（2a arctg a）d + (1 - r) exp 2a arctgr/(1 - r)1/2*in ( 1 + a22) exp（-2a arctg a）d （2.48）和 f3(a,r,b) a(1-r)/r1/2* f1(a,r,b) ,与（2.45）式同理得：P = kR（hi-ho）1/2 (1-i/ki) f3(a,r,b) (2.49)带钢前后有张应力时的轧制力函数f3(a,r,b)曲线族，见图 2.3和2.4。图 2.3 确定轧制力函数f3(a,r,b) 计算值的曲线族： 当 a = 0.5、0.75及1.0图 2.4 确定轧制力函数f3(a,r,b)计算值的曲线族：当 a = 1.5、2.0及2.52.3 单位带钢宽度的轧制转矩表达式当沿接触弧施加轧制力时，如果假定带钢与轧辊之间的摩擦系数为常数，用摩擦受力分析以解决轧制转矩的计算，轧辊咬入带钢后的力分析，见图2.5。若设s为法向正压力，为摩擦系数，R轧辊压扁半径，n为中性角，1为咬入角，为接触弧任意位置与轧辊中心线的夹角，则每个传动轴的轧制转矩G为：G Rin(s R)d- n0(s R)d(2.33)若带钢无前后张力，则列如下力的平衡方程：- i0 (s*sinR)d + in (s*cosR)d n0(s*cosR)d 0 （2.34）因为角度很小，故可认为 sin，cos1，代入上式得到：i0 (sR)d in (s R)dn0(s R)d （2.35）即是 G = Rin (s R)dn0(sR)d所以，G R Ri0 (s)d （2.36）如果带钢有前后张力，则在（2.35）式再加上前后张力产生的轧制转矩：GT （hi*i - ho*o）R / 2 （2.37）这时每个传动轴的轧制转矩GS：GS R Ri0 (s)d + （hi*i - ho*o）R / 2 （2.38）在此基础上，将推导单位轧制转矩的计算公式。下面仅对（2.38）式等式右边第一项做演算。图 2.5 轧辊咬入带钢后的力分析示意 图 2.6确定转矩函数f4(a,r)计算值的曲线族2.4 单位带钢宽度的轧制转矩表达式根据上节推导出的单位轧制转矩计算的通用表达式和前面推算单位轧制力表达式的过程数据和结果，将在这里引用以演算带钢前后无张力和带张力的单位轧制转矩表达式。2.4.1 带钢前后无张力时的单位轧制转矩表达式带钢前后无张应力时的法向正压力s如（2.24）和（2.25）式：前滑区的正压力s+ : s+ = kh/ho exp（H） （2.24）后滑区的正压力s- ： s- = kh/ ki/hi exp（Hi-H） （2.25）G R Ri0 (s)d按前变形区和后变形区列出积分式：G R Rn0 (s+)d + in（s-）d （2.39） G R Rn0 kh/ho exp（H）d +inkh/hi exp（Hi-H）d R khon0 h/ho (R/ho)1/2exp（H）d(R/ho)1/2 +inh/hi (R/ho)1/2exp（Hi-H）d(R/ho)1/2 （2.40）为了便于推导单位带钢宽度上作用的轧制转矩表达式，将对计算中的参数做如下代换： = (R/ho)1/2 (2.41)d = (R/ho)1/2d (2.42)n (ho /R)1/2tg Hn(ho / R)1/2/2 （2.28）Hn 2 (R / ho)1/2arctg ( R / ho)1/2 n （2.27）a (R / ho)1/2 （2.30）r (hi ho )/hi （2.43）h/ho = (ho + R 2)/ho 1 +2 （2.44）h/hi = （ho/hi）(h/ho) = (1 - r)(1 +2) （2.45）H 2 (R / ho)1/2arctg ( R / ho)1/2 （2.35）把（2.30）式代入上式得到：H 2a arctg （2.46）Hi 2a arctgi （2.47）（2.40）式中的各参数和积分上下限以上述参数代换，则得到：G R khon0 h/ho (R/ho)1/2exp（H）d(R/ho)1/2 +inh/hi (R/ho)1/2exp（Hi-H）d(R/ho)1/2G R khon0（1 +2）exp（2a arctg）d + （2.48）in (1 - r)(1 +2) exp（2a arctgi -2a arctg）dG R khon0（1 +2）exp（2a arctg）d + （2.49）(1 - r) exp2a arctgiin (1 +2) exp（-2a arctg）d因为 ho = (hi-ho)(1-r)/r带代入上式，并令 f4(a,r) n0 (1-r) （1 +2）/rexp（2a arctg）d + (1 - r)2/rexp2a arctgiin (1 +2) exp（-2a arctg）d （2.50）所以 G R k(hi-ho) f4(a,r) （2.51）f4(a,r)为带钢前后无张应力时的轧制转矩函数，其确定f4(a,r)计算值的曲线族，见图2.6。2.4.2 带钢前后有张力时的单位轧制转矩表达式 带钢前后有张应力时的法向正压力s如（2.22）和（2.23）式：前滑区的正压力s+ : s+ = kh(1 - o/ ko)/ho exp（H） （2.22）后滑区的正压力s- ： s- = kh(1 - i/ ki)/hi exp（Hi-H） （2.23）G R Ri0 (s)d按前变形区和后变形区列出积分式：G R Rn0 (s+)d + in（s-）dG Rk (1 - i/ ki) hobn0 （1 +2）exp（2a arctg）d + (1 - r) exp2a arctgiin(1 +2) exp（-2a arctg）d （2.52）与（2.50）变换同理，令f4(a,r,b) n0 (1-r) b（1 +2）/rexp（2a arctg）d + (1 - r)2/r exp2a arctgiin (1 +2) exp（-2a arctg）d（2.53）G Rk(hi-ho) (1 - i/ ki) f4(a,r,b) （2.54）故 每个传动轴的总轧制转矩G为：GS Rk (hi-ho) (1 - i/ ki) f4(a,r,b) + （hi*i - ho*o）R / 2 （2.55）f4(a,r,b)为带钢有前后张应力时的轧制转矩函数，其确定f4(a,r,b)计算值的曲线族，见图2.7和图2.8。图 2.7 确定轧制转矩函数f4(a,r,