等差数列优秀课件.ppt

2 2等差数列 第二章数列 第一课时 一 数列的定义 通项公式 按一定次序排成的一列数叫做数列 一般写成a1 a2 a3 an 如果数列 an 的第n项an与n的关系可以用一个公式来表示 那么这个公式就叫做这个数列的通项公式 二 数列的简单表示 三 给出数列的方法 复习 某此系统抽样所抽取的样本号分别是 7 19 31 43 55 67 79 91 103 115 某长跑运动员7天里每天的训练量 单位 m 是 7500 8000 8500 9000 10000 10500 观察以下数列 引入 这三个数列有何共同特征 从第2项起 每一项与其前一项之差等于同一个常数 请尝试着给具有上述特征的特殊数列用数学的语言下定义 交流 1 等差数列的定义如果一个数列从第2项起 每一项与其前一项的差等于同一个常数 那么这个数列就叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的公差 公差通常用字母d表示 1 指出定义中的关键词 从第2项起 等于同一个常数 由定义得等差数列的递推公式 说明 此公式是判断 证明一个数列是否为等差数列的主要依据 每一项与其前一项的差 探究 练习 判断下列数列中哪些是等差数列 哪些不是 如果是 写出首项a1和公差d 如果不是 说明理由 2 等差数列的通项公式 根据等差数列的定义得到 方法一 不完全归纳法 2 等差数列的通项公式 将所有等式相加得 方法二累加法 例1 求等差数列8 5 2 的第20项 401是不是等差数列 5 9 13 的项 如果是 是第几项 解 由a1 8 d 5 8 3 n 20 得a20 8 20 1 3 49 由a1 5 d 9 5 4 得到这个数列的通项公式为an 5 4 n 1 由题意得 401 5 4 n 1 解这个关于n的方程 得n 100 即 401是这个数列的第100项 例2在等差数列 an 中 已知a5 10 a12 31 求首项a1与公差d 这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组 解之得 小结 已知数列中任意两项 可求出首项和公差 主要是联立二元一次方程组 这种题型有简便方法吗 1 已知等差数列的首项与公差 可求得其任何一项 2 在等差数列的通项公式中 a1 d n an四个量中知三求一 结论 3 等差中项 如果a A b成等差数列 那么A叫做a与b的等差中项 由等差中项的定义可知 a A b满足关系 意义 任意两个数都有等差中项 并且这个等差中项是唯一的 当a b时 A a b 例3 1 在等差数列 an 中 是否有 2 在数列 an 中 如果对于任意的正整数n n 2 都有那么数列 an 一定是等差数列吗 4 等差数列通项公式的推广 解析 由等差数列的通项公式得 思考 已知等差数列 an 中 a3 9 a9 3 求a12 a3n 解法一 依题意得 a1 2d 9a1 8d 3解之得a1 11d 1 这个数列的通项公式是 an 11 n 1 12 n故a12 0 a3n 12 3n 解法二 1 等差数列 an 中 a1 a5 10 a4 7 求数列 an 的公差 2 在数列 an 中a1 1 an an 1 4 则a10 3 等差数列 an 的前三项依次为a 6 3a 5 10a 1 则a等于 A 1B 1C D 课本P40 A 1 3 B 2 作业 2 2等差数列 第二章数列 第二课时 2 等差数列的通项公式 1 等差数列的定义 3 等差数列的中项 复习 通项公式的证明及推广 100与180 用一下 例2 某出租车的计价标准为1 2元 km 起步价为10元 即最初的4km 不含4千米 计费10元 如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地 且一路畅通 等候时间为0 需要支付多少车费 5 等差数列的通项及图象特征 解析 思考 结论 首项是1 公差是2的无穷等差数列的通项公式为 an 2n 1 相应的图象是直线y 2x 1上均匀排开的无穷多个孤立的点 如右图 例如 性质 设若则 等差数列的性质 数列 an 是等差数列 m n p q N 且m n p q 则am an ap aq 判断 可推广到三项 四项等注意 等式两边作和的项数必须一样多 2 已知等差数列 an 中 a3和a15是方程x2 6x 1 0的两个根 则a7 a8 a9 a10 a11 3 已知等差数列 an 中 a3 a5 14 2a2 a6 15 则a8 跟踪训练 1 已知等差数列 an 中 3 更一般的情形 an d 小结 1 an 为等差数列 2 a b c成等差数列 an 1 an d an 1 an d an a1 n 1 d an kn b k b为常数 am n m d b为a c的等差中项AA 2b a c 4 在等差数列 an 中 由m n p q am an ap aq 注意 上面的命题的逆命题是不一定成立的 5 在等差数列 an 中a1 ana2 an 1a3 an 2 跟踪训练 300 83 5 n 1 500 巩固练习 1 等差数列 an 的前三项依次为a 6 3a 5 10a 1 则a等于 A 1B 1C D 2 在数列 an 中a1 1 an an 1 4 则a10 3a 5 a 6 10a 1 3a 5 提示 提示 d an 1 an 4 3 在等差数列 an 中a1 83 a4 98 则这个数列有多少项在300到500之间 35 提示 n 45 46 84 40 例4 例5已知三个数成等差数列 它们的和是12 积是48 求这三个数 解 设三个数为a d a a d 则 解之得 故所求三数依次为2 4 6或6 4 2 例6如图 三个正方形的边AB BC CD的长组成等差数列 且AD 21cm 这三个正方形的面积之和是179cm2 1 求AB BC CD的长 2 以AB BC CD的长为等差数列的前三项 以第9项为边长的正方形的面积是多少 3 7 11 a9 35 S9 1225 5 等差数列的性质 已知数列为等差数列 那么有 性质1 若成等差数列 则成等差数列 证明 根据等差数列的定义 即成等差数列 如成等差数列 成等差数列 推广 在等差数列有规律地取出若干项 所得新数列仍然为等差数列 如奇数项 项数是7的倍数的项 性质2 设若则 性质3 设c b为常数 若数列为等差数列 则数列及为等差数列 性质4 设p q为常数 若数列 均为等差数列 则数列为等差数列 例8 1 已知等差数列 an 中 a3 a15 30 求a9 a7 a11 解 1 a9是a3和a15的等差中项 2 已知等差数列 an 中 a3 a4 a5 a6 a7 150 求a2 a8的值 7 11 3 15 2 3 7 4 6 5 5 a3 a4 a5 a6 a7 5a5 150 即a5 30 故a2 a8 2a5 60 a7 a11 a3 a15 30 a3 a7 a4 a6 2a5 1 等差数列 an 中 a3 a9 a15 a21 8 则a12 2 已知等差数列 an 中 a3和a15是方程x2 6x 1 0的两个根 则a7 a8 a9 a10 a11 2 3 已知等差数列 an 中 a3 a5 14 2a2 a6 15 则a8 19 跟踪训练 例8 解 1