全国第八届研究生数学建模竞赛(D题) 优秀获奖论文.pdf

参赛密码 由组委会填写 由组委会填写 全全全全国国国国第第第第八八八八届届届届研研研研究究究究生生生生数数数数学学学学建建建建模模模模竞竞竞竞赛赛赛赛 学学 校校 西南大学西南大学 参赛队号参赛队号 10635008 队员姓名队员姓名 1 高斌斌高斌斌 2 李秋林李秋林 3 郭纪莲郭纪莲 参赛密码 由组委会填写 由组委会填写 全全全全国国国国第第第第八八八八届届届届研研研研究究究究生生生生数数数数学学学学建建建建模模模模竞竞竞竞赛赛赛赛 题 目 对天津市房地产行业的数学建模 摘 要 本文对天津房地产行业中的住房需求 供给 价格 行业发展态势以及它与国民经 济的其它行业之间的关系等问题进行了深入的探讨 基于附件中所提供的数据以及天津 市统计年鉴 利用主成分分析法 广义回归神经网络 最小二乘 灰色关联度分析法 时差相关分析法等方法 我们建立了住房需求 住房供给 住房价格预测回归模型 灰 色综合评判的房地产行业与国民经济其它行业关系模型 扩散指数的房地产行业态势预 测模型 在合理假设条件下 利用 MATLAB SPSS 数学软件对各个模型进行数值求解和 仿真模拟 所获结果客观的反应了现实情况 针对住房需求 供给 房价问题 本文采用主成分分析法进行降维 通过数值求解 和模拟 我们得到了引起住房需求 供给 房价问题的最重要因素 如人均收入 人均 消费 地区生产总值 工资水平等 考虑到给定的年度样本数据较少 我们对广义回 归神经网络进行了改进 建立了住房需求 供给 价格预测回归模型 通过对模型的仿 真模拟 得到了较为理想的结果 所获结果揭示了房地产行业需求 供给 价格的深层 次关系 并且能够对短期内三者的走势做出一个准确的预测 针对房地产行业与国民经济其它行业关系问题 本文利用灰色关联度分析法 结合 拓展的最小二乘准则 我们建立了基于灰色综合评判的房地产行业与国民经济其它行业 关系模型 得到房地产行业与工业的关联度最强 对国民经济的发展具有强劲的拉动作 用 针对房地产行业发展态势问题 我们采用时差相关分析法 对影响房地产行业发展 态势的因素进行指标分类 得到领先 同步 滞后三种指标 建立了房产景气扩散指数 模型 得到天津房地产景气循环轨迹 准确地预测了天津的房地产景气指数 并与国家 房地产综合景气指数进行了比较 所获结果表明 两者循环轨迹较吻合 关键词 关键词 主成分分析法 广义回归神经网络 最小二乘法 灰色关联度分析法 时差相关分析法 天津市房地产行业 1 一一 问题问题重述重述 房地产行业既是国民经济的支柱产业之一 又是与人民生活密切相关的行业之一 同时自身也是一个庞大的系统 该系统的状态和发展对国民经济的整个态势和全国人民 的生活水平影响很大 近年来 我国房地产业发展迅速 不仅为整个国民经济的发展做 出了贡献 而且为改善我国百姓居住条件发挥了决定性作用 但同时房地产业也面临较 为严峻的问题和挑战 引起诸多争议 各方都坚持自己的观点 然而多是从政策层面 心理层面和资金层面等因素来考虑 定性分析多于定量分析 显然从系统的高度认清当 前房地产行业的态势 从定量角度把握各指标之间的数量关系 依据较为准确的预见对 房地产行业进行有效地调控 深刻认识房地产行业的经济规律进而实现可持续发展是解 决问题的有效途径 故通过建立数学模型研究我国房地产问题是一个值得探索的方向 利用已提供的及可以查找到的资料建立房地产行业的数学模型 包括 1 住房需求模型 2 住房供给模型 3 房价模型等 4 房地产行业与国民经济其他行业关系模型 5 对我国房地产行业态势分析模型 并利用模型进行分析 量化研究该行业当前的态势 未来的趋势 模拟房地产行业 经济调控策略的成效 希望在深化认识上取得进步 产生若干结论和观点 如果仅就其 中几个问题建立模型也是适宜的 对利用附件给的天津市的数据建模并进行分析同样鼓 励 由于对房地产问题已经有许多研究成果和讨论材料 引用其他人的成果和数据 尤 其对于定量分析的成果 务必注明参考文献 提请研究生特别注意 二二 模型模型假设假设 1 假设题目数据真实可靠 2 在所研究的有效时间内房地产行业不会受到其他突然因素的重大影响 3 不考虑消费者对未来的预期 三三 符号说明符号说明 ij X 矩阵X的协方差矩阵 A 公因子载荷阵 G 优向量 B 次向量 xy r 相关系数 分辨系数 高斯函数的宽度系数 DI 扩散指数 i 矩阵 ij X的特征根 i u 矩阵 ij X的特征向量 I 示性函数 取大运算符 取大运算符 f x y 密度函数 ij a 因子载荷 随机误差 2 四四 模型建立与问题求解模型建立与问题求解 4 1 14 1 1 问题一的分析问题一的分析 住房需求就是指在一定的时期内 在某一价格水平下 住房的消费者在市场上所愿 意且能够购买的住房数量 住房需求的波动与诸多因素相关 一般而言 城市经济发展 水平 房屋价格 居民收入 利率变化 人口及家庭结构等决定了一定时期住房的需要 量 而经济因素 政策因素和价格预期决定了一定时期的有支付能力的住房需求 因此 我们首先要根据相关理论和文献找出可能影响住房需求的相关因素如下 商品房本年竣工面积 房地产开发投资额 市 固定资产投资总额 市辖区 地区生 产总值 GDP 市辖区 固定资产投资总额 市辖区 国内生产总值 现价 人均国内 生产总值 现价 个人的可支配收入 城镇家庭平均每人可支配收入 城镇家庭平均 每人全年实际收入 农村居民家庭人均年纯收入 在岗职工平均工资 城镇家庭平均每 人全年消费性支出 农村家庭平均每人年消费性支出 社会消费品零售总额 市辖区 商品房本年销售价格 住宅商品房本年销售价格 工业增加值 现价 年底总人口数 城镇年末从业人员数 5 年以下个人住房公积金单款利率 存款利率六个月至一年 含 一年 利率 4 4 1 1 2 2 数据预处理数据预处理 由于影响住房需求的因素复杂 在进行模型建立前必须对数据进行预处理 结合实 际情况过滤掉一些没有显著影响的因素 然后采用SPSS软件进行主成分分析法来查明影 响天津住房需求的深层次原因 本题的解决方案建立在数据已经过预处理的基础上 即 我们认为经过处理的数据 都是正确数据 但承认存在误差 主成分分析是将原来变量重新组合成一组新的相互独立的几个综合变量 同时根据 实际需要从中取出几个较少的综合变量尽可能多地反映原来变量信息 这种统计方法是 数学上处理降维的一种方法 利用原有的各个特征去构造一批新特征 每个特征都是原 有特征的函数 但新特征的总数应该少于原有特征的总数 这样 新几何特征既保留了 原有各特征的主要信息 又达到了减少特征维数即降低空间维数的目的 22个特征对分 类会增加计算的复杂度 因此 采用主成分分析的方法对这22个特征进行分析 降低维 数 其计算步骤如下 1 确立反应综合评价的指标体系 列出指标矩阵X 即通过附件中的数据建立表 2 计算 1 中列出的矩阵的协方差矩阵 相关系数矩阵 1 1 1 n ijikijkj i Xxxxx n 3 计算矩阵 ij X的特征根 12 n 和特征向量 12 u u n u 特征向量也按对应 特征值的顺序排列 4 定义第i个主成分 i y 的反方差贡献率为 12 i n 3 前m个主成分 12 m y yy 的累积方差贡献率为 12m 12n 当前m个主成分的累积方差贡献率超过 80 时 则可选定这m 个主成分 然后再根 据特征向量建立这m个主成分的方程 1111121 2212222 12 n n mmmnmn yxuuu yuuux uuuyx 其后的nm 个方程则作为次要因素舍去 一般地 6 设 p 个可观测变量 12 x x p x 与q个公共因子 qp 满足 1 122 1 2 iiiiqqi xa fa fa fip 此模型就称为因子分析模型 由于 12 q fff 是不可观测的因子 所以此模型有别 于线性回归模型 若记 11111121 22122222 12 q q pppqpqp xfaaa xaaaf xAf aaaxf 则因子分析模型的向量矩阵形式为 xAf 其中A矩阵称为公因子载荷阵 ij a称为因子载荷 f称为公共因子向量 x为原变 量向量 称为随机误差 在这个模型中 主要是估算出载荷矩阵A 本文所取的数据来自天津市统计年鉴 经过数据处理 选取了影响天津市供房需求 的 22 个指标 1 X 商品房本年销售面积 2 X 商品房本年销售额 3 X 城镇家庭平均每人可支 配收入 4 X 城镇家庭平均每人全年实际收入 5 X 城镇家庭平均每人全年消费性支 出 6 X 城镇年末从业人员数 7 X 农村家庭平均每人年消费性支出 8 X 农村 居民家庭人均年纯收入 9 X 商品房本年竣工面积 10 X 商品房本年销售价格 11 X 在 岗职工平均工资 12 X 住宅商品房本年销售价格 13 X 地区生产总值 GDP 市辖区 4 14 X 房地产开发投资额 市辖区 15 X 固定资产投资总额 市辖区 16 X 社会消费品零 售总额 市辖区 17 X 工业增加值 现价 18 X 国内生产总值 现价 19 X 人 均国内生产总值 现价 20 X 年底总人口数 21 X 5 年以下个人住房公积金单款利 率 22 X 存款利率六个月至一年 含一年 其中表中i即为 i X 1 2 22i 从相关系数表可知商品房本年销售面积与商品房本年销售额 城镇家庭平均每人可 支配收入 城镇家庭平均每人全年实际收入 城镇家庭平均每人全年消费性支出 农村 家庭平均每人年消费性支出 农村居民家庭人均年纯收入 商品房本年竣工面积 商 品房本年销售价格 在岗职工平均工资 住宅商品房本年销售价格 地区生产总值 GDP 市辖区 房地产开发投资额 市辖区 固定资产投资总额 市辖区 社会消费品零售总 额 市辖区 工业增加值 现价 国内生产总值 现价 人均国内生产总值 现价 年底总人口数这几个指标存在显著关系 可见许多变量之间直接的相关性比较强 证明 他们存在信息上的重叠 主成分主成分个数提取原则为主成分对应的特征值大于1的前m个主成分 特征值 在某种程度上可以被看成是表示主成分影响力度大小的指标 如果特征值小于1 说明 该主成分的解释力度还不如直接引入一个原变量的平均个数提取原则为主成分对应的 特征值大于1解释力度大 因此一般可以用特征值大于1 作为纳入标准 通过表2 方差 分解主成分提取分析 可知 提取2个主成分 即2m 从表3 初始因子载荷矩阵 可 知品房本年销售面积与商品房本年销售额 城镇家庭平均每人可支配收入 城镇家庭平 均每人全年实际收入 城镇家庭平均每人全年消费性支出 农村家庭平均每人年消费性 支出 农村居民家庭人均年纯收入 商品房本年竣工面积 商品房本年销售价格 在岗 职工平均工资 住宅商品房本年销售价格 地区生产总值 GDP 市辖区 房地产开发 投资额 市辖区 固定资产投资总额 市辖区 社会消费品零售总额 市辖区 工业增加 值 现价 国内生产总值 现价 人均国内生产总值 现价 年底总人口数在第一 主成分上有较高载荷 说明第一主成分基本反映了这些指标的信息 城镇年末从业人员 数 5年以下个人住房公积金单款利率 存款利率六个月至一年 含一年 指标在第二 主成分上有较高载荷 说明第二主成分基本反映了这两个指标的信息 所以提取两个主 成分 但是第二个主城成分贡献率比较小 为了使问题简化 在模型建立及求解中不予 考虑 表 1 方差分解主成分提取分析表 Total Variance Explained Component Initial Eigenvalues Extraction Sums of Squared Loadings Total of Variance Cumulative Total of Variance Cumulative 1 18 991 86 324 86 324 18 991 86 324 86 324 2 1 702 7 735 94 059 1 702 7 735 94 059 3 0 814 3 702 97 761 4 0 258 1 174 98 935 5 0 079 0 360 99 294 6 0 068 0 311 99 605 Extraction Method Principal Component Analysis 5 表 2 初始因子载荷矩阵 Component Matrix a Factor Component 1 2 商品房本年销售面积 0 945 0 172 商品房本年销售额 0 979 0 071 城镇家庭平均每人可支配收入 0 992 0 012 城镇家庭平均每人全年实际收入 0 995 0 003 城镇家庭平均每人全年消费性支出 0 987 0 047 城镇年末从业人员数 0 010 0 920 农村家庭平均每人年消费性支出 0 980 0 007 农村居民家庭人均年纯收入 0 989 0 019 商品房本年竣工面积 0 981 0 093 商品房本年销售价格 0 965 0 145 在岗职工平均工资 0 998 0 003 住宅商品房本年销售价格 0 964 0 134 地区生产总值 GDP 市辖区 0 985 0 108 房地产开发投资额 市辖区 0 982 0 117 固定资产投资总额 市辖区 0 953 0 188 社会消费品零售总额 市辖区 0 985 0 057 工业增加值 现价 0 994 0 082 国内生产总值 现价 0 996 0 064 人均国内生产总值 现价 0 993 0 006 年底总人口数 0 989 0 050 5 年以下个人住房公积金单款利率 0 371 0 586 存款利率六个月至一年 含一年 0 734 0 592 Extraction Method Principal Component Analysis a 2 components extracted 4 1 3 4 1 3 模型建立模型建立 广义回归神经网络 GRNN Generalized Regression Neural Network 是美国 学者 Donald F Specht 在 1991 年提出的 它是径向基神经网络的一种 GRNN 具有很强 的非线性映射能力和柔性网络结构以及高度的容错性和鲁莽性 适用于解决非线性问 题 GRNN 在逼近能力和学习速度上较 RBF 网络有更强的优势 网络最后收敛于样本量积 聚较多的优化回归面 并且在样本数据较少时 预测效果也较好 此外 网络还可以处 理不稳定的数据 因此 GRNN 在信号过程 结构分析 教育产业 能源 食品科学 控 制决策系统 药物设计 金融领域 生物工程等更个领域得到了广泛的应用 4 1 34 1 3 1 1 GRNNGRNN 的网络的网络结构结构 GRNN 在结构上与 RBF 网络较为相似 它由四层构成 如图所示 分别为输入层 input layer 嵌入层 patter layer 求和层 summation layer 和输出层 output layer 对应网络输入 1218 T Xx xx 其输出为 11 T Yy 和 22 T Yy 1 输入层 输入层神经元数等于学习样本中输入向量的维数 各神经元是简单的分布单元 6 直接将输入变基于广义回归神经网络的铁路货运量预测 温爱华 等量传递给模式层 2 模式层 模式层的神经元数目等于学习样本数目 18 各神经元对应不同样本 其神经元i的 传递函数为 2 exp 2 T ii i XXXX p 1 2 18i 神经元i的输出变量与对应的样本X间的 Euclid 距离平方的指数平方数 2 T iii DXXXX 指数形式 式中X为输入变量 i X 为第i个神经元对应的学习样 本 3 求和层 求和层中使用包括两种类型神经元进行求和 其中一类的计算公式为 2 1 exp 2 T n ii i XXXX 它对所有模式层神经元的输出 进行算术求和 其模式层与各神经元的连接权值为 1 传递函数为 1 n Di i SP 另一类计算公式为 2 1 exp 2 T n ii i i XXXX Y 它对所有模式层的神经元的输出 进行加权求和 模式层中第i个神经元 Pi 与求和层中第 j 个神经元之间的连接权值为 第 i个输出样本 i Y中的第 j 个元素 则传递函数为 1 n Njiji i Sy P 4 输出层 输出层中的神经元数目等于学习样本中输出向量的维数 k 各神经元将求和层的输出相 除 神经元 j 的输出对应估计结果 Y X 的第 j 个元素 即 Nj i D S y S 1 2j 4 1 34 1 3 2 2 GRNNGRNN 的理论基础的理论基础 广义回归神经网络的理论基础是非线性回归分析 非独立变量Y相对于独立变量X 的回归分析实际上是计算具有较大概率值的Y 设随机变量X和随机变量Y的联合概率 密度函数为 fx y 已知x的观测值为X 则Y相对于X的回归 也即条件均值为 yf X y dy y YE X f X y dy Y即为在输入X条件下 Y的输出预测 7 应用 Parzen 非参数估计 可由样本数据集 1 n ii i x y 估计密度函数 f X y 2 122 1 1 2 1 expexp 22 2 T n iii p i p XXXXXY f X y n 式中 ii X Y为随机变量 x和 y 的样本观测值 n为样本容量 p 为随机变量x的维数 为高斯函数的宽度系数 在此成为光滑因子 用 f X y 代替 f X y 代入式 并交换积分与加和的顺序 2 22 1 2 22 1 expexp 22 expexp 22 T n i ii i T n i ii i YYXXXX ydy Y YYXXXX dy 由于 2 0 z zedz 对两个积分进行计算后可得网络的输出 Y 为 2 1 2 1 exp 2 exp 2 T n ii i i T n ii i XXXX Y Y XXXX 估计值 Y为所有样本观察值 i Y 的加权平均 每个观察值 Y 的权重因子为相应的样本 i X 与 X 之间 Euclid 距离平方的指数 当光滑因子 非常大得时候 Y 近似于所有样本 因变量的均值 相反 当光滑因子 趋向于 0 的时候 Y和训练样本非常接近 当需预 测的点被包含在训练样本集中时 公式求出的因变量的预测值会和样本对应的因变量非 常接近 而一旦碰到样本中未能包含进去的点 有可能预测效果非常差 这种现象说明 网络的泛化能力差 当 取值适中 求预测值 Y时 所有训练样本的因变量都被考虑进 去 与预测点距离近的样本点对应的因变量被加了更大的权 根据住房需求影响因素的分析 分别取城镇家庭平均每人可支配收入 城镇家庭平 均每人全年实际收入 城镇家庭平均每人全年消费性支出 农村家庭平均每人年消费性 支出 农村居民家庭人均年纯收入 商品房本年竣工面积 商品房本年销售价格 在 岗职工平均工资 住宅商品房本年销售价格 地区生产总值 GDP 市辖区 房地产开 发投资额 市辖区 固定资产投资总额 市辖区 社会消费品零售总额 市辖区 工业增 加值 现价 国内生产总值 现价 人均国内生产总值 现价 年底总人口数因素 作为网络输入 第一次以商品房本年销售面积指标因素作为网络输出 第二次以与商品 房本年销售额指标因素为网络输出 构建 GRNN 由于训练数据较少 采取交叉验证方法 训练 GRNN 神经网络 并用循环找出最佳 SPREAD 4 1 4 1 4 4 模型求解模型求解 8 4 1 4 1 4 4 1 1 数据的选择和归一化数据的选择和归一化 将 GRNN 神经网络应用模型建立中 网络的输入向量各参量具有不同的量纲和较大 数值差别的特征值 根据网络特点 它们若直接输入网络 则由于加权通过累加器后 变得异常巨大 从而使得网络难以收敛 因此 有必要对网络的输入向量进行选择和一 化 该模型中我们用的数据归一化的方法是最大最小法 函数形式如下 min maxmin i i xx x xx 其中 ii x x 分别为归一化前后的数值 maxmin xx分别为归一化前后的最大最小值 4 1 4 4 1 4 2 2 基于改进的基于改进的 GRNNGRNN 神经网络的神经网络的 MATLABMATLAB 仿真仿真 在对原始数据进行了消除量纲的处理后 采改进的GRNN神经网络的MATLAB仿真用 得出如下结果 199019952000200520102015 0 12 0 1 0 08 0 06 0 04 0 02 0 0 02 0 04 0 06 商品房本年销售面积预测格相对误差 时 间 年 商 品 房 本 年 销 售 面 积 相 对 误 差 预 测 散 点 图 图 1 住房需求预测绝对误差预测图 图 2 住房需求相对误差预测图 199019952000200520102015 0 4 0 3 0 2 0 1 0 0 1 0 2 0 3 住 房 需 求 预 测 相 对 误 差 图 商品房销售额预测相对误差 时 间 年 图 3 住房需求绝对误差预测图 图 4 住房需求相对误差预测图 4 1 4 4 1 4 3 3 结果分析结果分析 基于建立的改进的GRNN神经网络的MATLAB仿真模型可得出如下结论 199019952000200520102015 200 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 商 品 房 本 年 销 售 面 积 预 测 图 商品房本年销售面积 平方米 时 间 年 预 测 值 实 际 值 绝 对 误 差 值 199019952000200520102015 2 0 2 4 6 8 10 12 14 x 10 6 住 房 需 求 预 测 图 时 间 年 商品房销售额 万元 预 测 值 实 际 值 绝 对 误 差 值 9 借助Matlab软件 基于建立的改进的GRNN神经网络的运行过程可以得到 当网络运 行参数SPREAD的值为0 7时 训练数据预测的结果较为理想 SPREAD的值越小 网络对 样本的逼近性越强 SPREAD的值越大 网络对样本数据的逼近过程就越平滑 但误差也 相应增大 从图1 2可以看出 对过去商品房的需求量预测值与实际测量值几乎相同 网络预 测的绝对误差比较小 由图3 4可以看出相对误差在 0 3 0 3 区间内 这表明网络收 敛效果十分理想 预测结果真实可靠 这样在一定程度上保证了模型预测的可靠性 这 样只要我们掌握了影响住房需求 即住房需求的影响因素 把这些因素的特征值作为输 入到已经训练好的网络 那么网络就会做出反应及网络输出 这样就可以实现对住房需 求量的预测 并且可以保证预测结果具有一定可靠性和准确性 把商品房本年销售面积作为住房需求量衡量时 从图1可以知道 商品房的销售面积 在1990年到2002左右之间增长速度较慢 而在2002年到2007年之间商品房的销售面积增 长速度出现猛增 这与中国经济的飞速发展 城市化水平加快等各种因素密切相关 也 反应了人们对住房的需求程度 在200年商品房销售面积出现萧条 在2008年以后有开 始增长 在2010年后商品房的销售面积增长速度趋于平稳 把商品房本年销售额作为住房需求量衡量时 从图2可以知道 商品房的销售额的增 长趋势基本与销售面积成正相关 但是由于受到住房供求关系等一些外在因素的影响 这两者之间又存在一些差别 这也符合经济学原理 可以进一步表明模型的可靠性 4 2 1 4 2 1 问题分析问题分析 由于我国住房内部结构的不合理 使得住房消费特性不能有效显现 住房存量市场 没有有效激活 经济适用房供给对象不明确 廉租住房制度缺乏有效执行 造成房价过 快上涨以及高房价 高空置率 双高 并存的局面 要改变这一现状 保证房地产市场 健康稳定发展 必须从理论层次深入分析目前存在的住房供需错位现象 对住房供给结 构进行合理调整 住房供给 从微观经济角度 特定市场的房地产供给 就是指生产 者在某一特定时期内 在各种可能的价格愿意而且能够租售的住宅商品量 住房供给指 标包括新开工面积 施工面积 竣工面积和空置面积 本题主要以竣工面积反应住房供 给 纵观整个住房供给市场 住房供给的多元化趋势不仅受到了房价攀高这一内因影 响 而且受到了国家宏观调控政策 居民收入水平 城市化进程等多种外因影响 因此 我们首先要根据相关理论和文献找出可能影响住房需求的相关因素如下 商品房本年竣工面积 房地产企业本年国家资本金 房地产企业本年经营总收入 房地产企业本年实收资本 房地产企业本年土地转让收入 房地产企业本年资产负债率 商品房本年施工面积 商品房本年销售额 商品房本年新开工面积 住宅本年销售额 地区生产总值 GDP 市辖区 房地产开发 住宅 投资额 市辖区 房地产开发投资额 市辖区 固定资产投资总额 市辖区 国内生产总值增速 按 1990 年不变价 市辖区 房地产业增加值 现价 GB2002 工业增加值 现价 等 4 2 4 2 2 2 数据预处理数据预处理 由于影响住房需求的因素复杂 在进行模型建立前必须对数据进行预处理 结合实 际情况过滤掉一些没有显著影响的因素 然后采用SPSS软件进行主成分分析法来查明影 响天津住房供给的深层次原因 本题的解决方案建立在数据已经过预处理的基础上 即 我们认为经过处理的数据 都是正确数据 但承认存在误差 本文所取的数值来自天津市 经过数据处理 主要选取了影响天津市住房供给的 18 个指标 1 X 商品房本年竣工面积 2 X 房地产企业本年国家资本金 3 X 房地产企 10 业本年经营总收入 4 X 房地产企业本年实收资本 5 X 房地产企业本年土地转让收 入 6 X 房地产企业本年资产负债率 7 X 商品房本年施工面积 8 X 商品房本年销 售额 9 X 商品房本年新开工面积 10 X 住宅本年销售额 11 X 地区生产总值 GDP 市辖区 12 X 房地产开发住宅投资额 市辖区 13 X 房地产开发投资额 市辖区 14 X 固定资产投资总额 市辖区 15 X 国内生产总值增速 按 1990 年不变值 市辖区 16 X 房地产业增加值 现价 GB2002 17 X 工业增加值 现价 18 X 国内 生产总值 现价 其中表中i即为 i X 1 2 18i 表 3 方差分解主成分提取分析表 Total Variance Explained Component Initial Eigenvalues Extraction Sums of Squared Loadings Total of Variance Cumulative Total of Variance Cumulative 1 15 032 83 513 83 513 15 032 83 513 83 513 2 1 213 6 737 90 250 1 213 6 737 90 250 3 0 749 4 162 94 413 4 0 631 3 507 97 920 5 0 203 1 128 99 048 6 0 086 0 477 99 525 7 0 034 0 188 99 713 8 0 021 0 115 99 828 9 0 015 0 085 99 913 10 0 008 0 047 99 960 11 0 003 0 017 99 976 12 0 002 0 011 99 987 13 0 001 0 007 99 994 14 0 001 0 004 99 998 15 0 000 0 001 99 999 16 0 000 0 001 100 000 17 0 000 0 000 100 000 18 0 000 0 000 100 000 Extraction Method Principal Component Analysis 11 表 4 初始因子载荷矩阵 Component Matrix a 影响因素 Component 1 2 商品房本年竣工面积 0 980 0 122 房地产企业本年国家资本金 0 958 0 163 房地产企业本年经营总收入 0 991 0 002 房地产企业本年实收资本 0 986 0 091 房地产企业本年土地转让收入 0 684 0 061 房地产企业本年资产负债率 0 224 0 762 商品房本年施工面积 0 994 0 035 商品房本年销售额 0 985 0 085 商品房本年新开工面积 0 988 0 034 住宅本年销售额 0 984 0 080 地区生产总值 GDP 市辖区 0 990 0 110 房地产开发 住宅 投资额 市辖区 0 977 0 170 房地产开发投资额 市辖区 0 990 0 114 固定资产投资总额 市辖区 0 959 0 185 国内生产总值增速市辖区 0 537 0 583 房地产业增加值 现价 GB2002 0 824 0 366 工业增加值 现价 0 995 0 027 国内生产总值 现价 0 994 0 015 Extraction Method Principal Component Analysis a 2 components extracted 从表 4 可知商品房本年竣工面积 房地产企业本年国家资本金 房地产企业本 年经营总收入 房地产企业本年实收资本 商品房本年施工面积 商品房本年销售 额 商品房本年新开工面积 住宅本年销售额 地区生产总值 GDP 市辖区 房 地产开发 住宅 投资额 市辖区 房地产开发投资额 市辖区 固定资产投资总额 市 辖区 工业增加值 现价 国内生产总值 现价 这几个指标存在显著关系 可 见许多变量之间直接的相关性比较强 证明他们存在信息上的重叠 主成分主成分个数提取原则为主成分对应的特征值大于 1 的前m个主成分 特 征值在某种程度上可以被看成是表示主成分影响力度大小的指标 如果特征值小于 1 说明该主成分的解释力度还不如直接引入一个原变量的平均个数提取原则为主 成分对应的特征值大于 1 解释力度大 因此一般可以用特征值大于 1 作为纳入标 准 通过表 5 方差分解主成分提取分析 可知 提取 2 个主成分 即2m 从表 6 初始因子载荷矩阵 可知商品房本年竣工面积 房地产企业本年国家资本金 房 地产企业本年经营总收入 房地产企业本年实收资本 商品房本年施工面积 商品 房本年销售额 商品房本年新开工面积 住宅本年销售额 地区生产总值 GDP 市辖区 房地产开发 住宅 投资额 市辖区 房地产开发投资额 市辖区 固定资产 投资总额 市辖区 工业增加值 现价 国内生产总值 现价 在第一主成分上有 较高载荷 说明第一主成分基本反映了这些指标的信息 房地产企业本年土地转让 收入 房地产企业本年资产负债率 国内生产总值增速市辖区 房地产业增加值 现 价 GB2002 指标在第二主成分上有较高载荷 说明第二主成分基本反映了这两个 指标的信息 所以提取两个主成分 但是第二个主城成分贡献率比较小 为了使问 12 199019952000200520102015 0 2 0 15 0 1 0 05 0 0 05 0 1 0 15 住 房 供 给 预 测 相 对 误 差 图 住房供给预测相对误差 时 间 年 题简化 在模型建立及求解中不予考虑 4 2 3 4 2 3 模型建立模型建立 基于广义回归神经网络模型 根据住房供给影响因素的分析 分别取房地产企业本 年国家资本金 房地产企业本年经营总收入 房地产企业本年实收资本 商品房本年施 工面积 商品房本年销售额 商品房本年新开工面积 住宅本年销售额 地区生产总值 GDP 市辖区 房地产开发 住宅 投资额 市辖区 房地产开发投资额 市辖区 固定 资产投资总额 市辖区 工业增加值 现价 国内生产总值 现价 因作为网络输入 商品房本年竣工面积指标因素作为网络输出 构建 GRNN 由于训练数据较少 采取交叉 验证方法训练 GRNN 神经网络 并用循环找出最佳 SPREAD 4 2 44 2 4 模型求解模型求解 4 2 44 2 4 1 1 模型求解模型求解结果结果 同问题一一样 由于网络的输入向量各参量具有不同的量纲和较大数值差别的特征 值 首先对数据的进行选择和归一化处理 然后用改进的GRNN神经网络的MATLAB仿真 对住房供给预测 图 5 住房供给预测图 图 6 住房供给预测相对图 4 2 4 4 2 4 2 2 结果分析结果分析 借助Matlab软件对所建立的GRNN网络进行训练 得到了如图5所示的住房供给随时 间变化的预测趋势图 预测与真实值之间的绝对误差也比较小 从图6可以知道相对误 差在 0 2 0 1 之间 这表明网络收敛十分理想 可以为住房供给预测的准确性提供保 证 在本问题中是选择以商品房本年竣工面积作为住房供给量的刻画 最终的到住房供 给预测的网络 从图中可以得到 商品房本年竣工面积的增长速度基本上比较一直平稳 在2003年到2005年之间 住房供给增长速明显加快 2005年以后住房供给一直处于平稳 增涨趋势 问题分析中指出 住房本年竣工面积反应了住房的供给量 这说明未来数年 的住房供给会继续增加 这表明在未来时间房地产行业态势发展良好 在一定程度上可 以保证天津市民的住房问题 4 4 3 3 1 1 问题分析问题分析 住房价格是一个反映房产经济的重要指标 同时又关系着百姓的切身利益 有关住 199019952000200520102015 500 0 500 1000 1500 2000 2500 住 房 供 给 预 测 图 住房供给量 平方米 时 间 年 预 测 值 实 际 值 误 差 值 13 房价格的研究可分为两类 一类是探导住房价格的合理性 以发现 分析和解决房地产 业中存在的问题 另一类是寻求影响住房价格的因素 掌握住房价格变化的规律并实现 有条件地预测房价 本问我们通过分析题目中所给的相关数据 先神经网拟合出缺失数据 然后通过 SPSS软件进行组成分分析找出影响房价的主要原因 确立变量 最后根据这些因素建立 一个影响房价的模型 我们知道 要去逐一分析每一种经济因素是不可能办到的 只能 抓住主要因素去着重分析 所以 房价的模型可以借鉴改进的GRNN神经网络模型的思想 来建立 4 3 4 3 2 2 数据预处理数据预处理 基于影响房价的指标太多 问题六主要采用主成分分析法来查明影响天津住房价格 的深层次原因 本文所取的数值来自天津市 主要选取了影响天津市住房价格的 31 个指标 1 X 商品房本年销售价格 2 X 经济适用房商品房本年销售价格 3 X 住宅商品房 本年销售价格 4 X 城镇家庭平均每人可支配收入 5 X 城镇家庭平均每人全年实际 收入 6 X 城镇家庭平均每人全年消费性支出 7 X 房地产企业本年国家资本金 8 X 房地产企业本年经营总收入 9 X 房地产企业本年实收资本 10 X 房地产企业 本年土地转让收入 11 X 经济适用房本年销售面积 12 X 农村家庭平均每人年消费性 支出 13 X 农村居民家庭人均年纯收入 14 X 商品房本年竣工面积 15 X 商品房 本 年 施 工 面 积 16 X 商 品 房 本 年 销 售 额 17 X 商 品 房 本 年 销 售 面 积 18 X 商品房本年新开工面积 19 X 在岗职工平均工资 20 X 住宅本年销售额 21 X 住宅本年销售面积 22 X 地区生产总值 GDP 市辖区 23 X 房地产开发 住宅 投 资额 市辖区 24 X 房地产开发投资额 市辖 25 X 固定资产投资总额 市辖区 26 X 年末总人口数 市辖区 27 X 社会消费品零售总额 市辖区 28 X 工业增加值 现 价 29 X 国内生产总值 现价 30 X 金融业增加值 现价 GB2002 31 X 人均国内生产总值 现价 其中其中表中i即为 i X 1 2 31i 因影响房价的指标太多 房价与这些指标的相关关系表太大 我们将相关关系表放 在附件 3 中 14 表 5方差分解主成分提取分析表 Total Variance Explained Component Initial Eigenvalues Extraction Sums of Squared Loadings Total of Variance Cumulative Total of Variance Cumulative 1 27 948 90 154 90 154 27 948 90 154 90 154 2 1 540 4 969 95 123 1 540 4 969 95 123 3 0 572 1 844 96 967 4 0 383 1 237 98 204 5 0 220 0 710 98 914 6 0 149 0 481 99 395 7 0 094 0 304 99 699 8 0 040 0 129 99 828 9 0 024 0 079 99 907 10 0 009 0 030 99 937 11 0 008 0 025 99 962 12 0 005 0 015 99 977 13 0 003 0 010 99 987 14 0 002 0 007 99 994 15 0 001 0 003 99 997 16 0 001 0 002 99 998 17 0 000 0 001 100 000 Extraction Method Principal Component Analysis 从表 5 可知商品房本年销售价格 住宅商品房本年销售价格 城镇家庭平均每人可 支配收入 城镇家庭平均每人全年实际收入 城镇家庭平均每人全年消费性支出 房地 产企业本年国家资本金 房地产企业本年经营总收入 房地产企业本年实收资本 农村家庭平均每人年消费性支出 农村居民家庭人均年纯收入 商品房本年竣工面积 商品房本年施工面积 商品房本年销售额 商品房本年销售面积 商品房本年新开工 面积 在岗职工平均工资 住宅本年销售额 地区生产总值 GDP 市辖区 房地产开 发 住宅 投资额 市辖区 房地产开发投资额 市辖区 社会消费品零售总额 市辖区 工业增加值 现价 国内生产总值 现价 人均国内生产总值 现价 这几个指标 存在显著关系 可见许多变量之间直接的相关性比较强 证明他们存在信息上的重叠 主成分主成分个数提取原则为主成分对应的特征值大于1的前m 个主成分 特征值 在某种程度上可以被看成是表示主成分影响力度大小的指标 如果特征值小于1 说明 该主成分的解释力度还不如直接引入一个原变量的平均个数提取原则为主成分对应的 特征值大于 1 解释力度大 因此一般可以用特征值大于 1 作为纳入标准 通过表 5 方 差分解主成分提取分析 可知 提取 2 个主成分 即 从表 6 初始因子载荷矩阵 可 知商品房本年销售价格 住宅商品房本年销售价格 城镇家庭平均每人可支配收入 城 镇家庭平均每人全年实际收入 城镇家庭平均每人全年消费性支出 房地产企业本年国 家 资 本 金 房 地 产 企 业 本 年 经 营 总 收 入 房 地 产 企 业 本 年 实 收 资 本 农村家庭平均每人年消费性支出 农村居民家庭人均年纯收入 商品房本年竣工面积 商品房本年施工面积 商品房本年销售额 商品房本年销售面积 商品房本年新开工 面积 在岗职工平均工资 住宅本年销售额 地区生产总值 GDP 市辖区 房地产开 15 发 住宅 投资额 市辖区 房地产开发投资额 市辖区 社会消费品零售总额 市辖区 工业增加值 现价 国内生产总值 现价 人均国内生产总值 现价 在第一主成 分上有较高载荷 说明第一主成分基本反映了这些指标的信息 商品房本年销售价格 房地产企业本年土地转让收入 经济适用房本年销售面积 住宅本年销售面积 固定资 产投资总额 市辖区 年末总人口数 市辖区 金融业增加值 现价 GB2002 指标在第 二主成分上有较高载荷 说明第二主成分基本反映了这两个指标的信息 所以提取两个 主成分 但是第二个主城成分贡献率比较小 为了使问题简化 在模型建立及求解中不 予考虑 表 6 初始因子载荷矩阵 Component Matrix a factor Component 1 2 商品房本年销售价格 0 974 0 014 经济适用房商品房本年销售价格 0 953 0 141 住宅商品房本年销售价格 0 973 0 015 城镇家庭平均每人可支配收入 0 987 0 068 城镇家庭平均每人全年实际收入 0 991 0 051 城镇家庭平均每人全年消费性支出 0 983 0 113 房地产企业本年国家资本金 0 955 0 263 房地产企业本年经营总收入 0 991 0 027 房地产企业本年实收资本 0 983 0 117 房地产企业本年土地转让收入 0 683 0 337 经济适用房本年销售面积 0 055 0 955 农村家庭平均每人年消费性支出 0 978 0 064 农村居民家庭人均年纯收入 0 984 0 079 商品房本年竣工面积 0 983 0 121 商品房本年施工面积 0 995 0 018 商品房本年销售额 0 982 0 128 商品房本年销售面积 0 949 0 150 商品房本年新开工面积 0 988 0 019 在岗职工平均工资 0 996 0 025 住宅本年销售额 0 981 0 125 住宅本年销售面积 0 951 0 142 地区生产总值 GDP 市辖区 0 975 0 159 房地产开发 住宅 投资额 市辖区 0 972 0 169 房地产开发投资额 市辖区 0 986 0 113 固定资产投资总额 市辖区 0 953 0 240 年末总人口数 市辖区 0 874 0 366 社会消费品零售总额 市辖区 0 978 0 102 工业增加值 现价 0 994 0 041 国内生产总值 现价 0 994 0 047 金融业增加值 现价 GB2002 0 921 0 119 人均国内生产总值 现价 0 995 0 060 Extraction Method Principal Component Analysis 16 199019952000200520102015 0 5 0 4 0 3 0 2 0 1 0 0 1 0 2 住宅商品房本年销售价格相对误差 时 间 年 住 宅 商 品 房 本 年 销 售 价 格 相 对 误 差 预 测 散 点 图 a 2 components extracted 4 4 3 3 3 3 模型建立模型建立 基于广义回归神经网络模型 根据影响房价因素的分析 分别取房地产企业本年国 家资本金 房地产企业本年经营总收入 房地产企业本年实收资本 商品房本年施工面 积 商品房本年销售额 商品房本年新开工面积 住宅本年销售额 地区生产总值 GDP 市辖区 房地产开发 住宅 投资额 市辖区 房地产开发投资额 市辖区 固定资产投 资总额 市辖区 工业增加值 现价 国内生产总值 现价 因作为网络输入 商品 房本年竣工面积指标因素作为网络输出 构建 GRNN 由于训练数据较少 采取交叉验证 方法训练 GRNN 神经网络 并用循环找出最佳 SPREAD 4 3 4 3 3 3 模型求解模型求解 4 4 3 3 4 1 4 1 模型求解模型求解结果结果 同问题一 二一样 由于网络