《现代控制理论基础》第八章(5).pdf

1 8 5 线性系统的实现线性系统的实现 实现问题如何根据一个传递函数 矩阵 写出状 态空间表达式的问题 有理分式矩阵必须满足物理可实现的条件 sG 1 传递函数矩阵中的每一个元素的分 sG ij G s 子分母多项式的系数均为实常数 2 传递函数矩阵的每一个元素必须是 sG ij G s 的真有理分式函数 s 2 真有理分式函数真有理分式函数分子多项式的次数不高于 分母多项式的次数 严格真有理分式严格真有理分式 ij G s分子多项式的次数小于 分母多项式的次数 sG 的所有元素均为严格真有理分式 实现具有形式 A B C 3 sG 中存在某元素 其分子分母多项式的次数相等 实现具有形式 A B C D 一般情况下 均研究严格真有理分式矩阵的实现 问题 4 8 5 1 能控规范型实现与能观规范型实现能控规范型实现与能观规范型实现 对于单输入单输出系统 一旦给出传递函数 就 能写出能控规范型和能观规范型实现 推广 m r 维的传递函数矩阵的实现问题 sW sW 将矩阵写成单输入单输出传递函数的形式 5 1210 nn 维矩阵维矩阵m r 1 110 nn n sss 特征多项式特征多项式 1 110 12 1210 nn nn nn n sss s sss W 1 6 sW 严格真有理分式矩阵 当时 它是一个单输入单输出系统的传 递函数 1mr 7 一一 能控规范型实现能控规范型实现 c 011 rrrr r r rrr rrnr 0I00 I A0 00I III c r r r r 0 0 B 0 I 011rn C 其中 r o阶零矩阵rr r I阶单位矩阵rr n分母多项式的次数 r 输入向量的维数 8 注 注 这个实现的维数为维 nr 1 1mr 当时 上述形式简化为单输入单输出维n 系统的情形 2 9 二二 能观规范型实现能观规范型实现 0 1 o 1 mmm mm mm m mmmnm 00I II A0I 0 00II 0 1 o 2 1 n n B ommm C00I 其中 m o阶零矩阵m m m I阶单位矩阵m m m 输出向量的维数 10 注 注 这个实现的维数为维 nm 1 1mr 当时 上述形式简化为单输入单输出维n 系统的情形 2 3 多输入多输出系统的能观规范型并不是能控规范型 的转置 这一点和单输入单输出系统有所不同 11 例17 试求 21 13 1 12 s ss s ss ss W 的能控规范型和能观规范型 解 首先将化为严格的真有理分式 sW 1 ss WCIABD 11 10 13 1111 12 ss ss 12 22 3222 2 32 11 13 11 12 56321 6116 56 43 115362 1 1154636116 ss ss ssss sssssss ss sss 1 s CIAB将写成按降幂排列 s 13 因此 012 6 11 6 0 62 63 1 53 54 2 11 11 得能控规范型的各系数矩阵 c 012 rrr rrr rrr 0I0 A00I III 001000 000100 000010 000001 6011060 0601106 14 c 00 00 00 00 10 01 r r r 0 B0 I c012 625311 635411 C 10 11 D 15 类似地 得能观规范型的各系数矩阵 0 o1 2 000060 000006 1000110 0100011 001060 000106 mmm mmm mmm 00I AI0I 0II 16 0 o1 2 62 63 53 54 11 11 B o 000010 000001 mmm C00I 17 8 5 2 最小实现最小实现 一个可实现的传递函数矩阵拥有无穷多个状态空间 表达式与之对应 从工程角度出发 寻求维数最小的实现具有重要的 现实意义 一一 最小实现的定义最小实现的定义 传递函数矩阵的一个实现为 sW xAxBu yCx 2 18 如果不存在其它实现 sW xAxBu yCx 使的维数小于的维数 则称式 2 的实现为最小 实现 xx 注 注 最小实现与非最小实现的区别 非最小实现的状态向量中存在 着不能控或不能观的状态分量 19 传递函数 矩阵 只能反映系统中能控且能观 子系统的行为 把系统中不能控或不能观的状态分量消去 将 不会影响系统的传递函数 矩阵 20 二二 寻求最小实现的步骤寻求最小实现的步骤 定理定理 传递函数矩阵的一个实现 sW xAxBu yCx 为最小实现的充分必要条件是 A B C既能控又能观 证明从略 21 求解最小实现的步骤求解最小实现的步骤 1 对给定的传递函数矩阵 先初步选出一种实 现 通常最方便的是选取能控规范型 实现或能观规范型实现 sW A B C 2 对上一步初选的实现 找出其完全能控 且完全能观部分 则这个能控能观部 分就是的一个最小实现 A B C 111 A B C sW 22 例18 求传递函数矩阵 11 1 2 2 3 s ssss W 的最小实现 解 sW是严格的真有理分式 直接将它写成按 降幂排列的标准格式 s 23 31 1 2 3 1 2 3 ss s ssssss W 1 31 1 2 3 ss sss 32 1 1 13 1 6116 s sss 即 0 6 1 11 2 6 0 3 1 1 1 1 2 00 24 由于是一个的矩阵 故 sW1 2 输出向量的维数 1m 输入向量的维数 2r 先采用能观规范型实现 0 1o 2 006 1011 016 mmm mmm mmm 00I AI0I 0II 25 0 o1 2 31 11 00 B o 00 1 mmm C00I 检验所求的能观测实现是否能控 ooo A B C 2 cooooo QBA BA B 310066 11311111 001135 26 c rank3n Q ooo A B C 所以能控且能观 即为最小实现 27 例19 求传递函数矩阵 21 11 1 12 s ss s ss ss W 的最小实现 解 sW将化成严格的真有理分式 然后写出相 应的能控规范型 或能观规范型 本题的能控规范型 已在例17中求得 即为 28 001000 000100 000010 000001 6011060 0601106 A 00 00 00 00 10 01 B 625311 635411 C 10 11 D 29 判断该能控规范型实现的状态是否完全能观测 o 2 625311 635411 665913 665812 61852719 61251614 C QCA CA o rank36n Q 所以该能控规范型不是最小实现 因此必须按照 能观性进行结构分解 状态不完全能观 30 对系统 o xR x xAxBu yCx 变换后的系统变为 xAxBu yCx 按照能观性进行结构分解需要引入如下线性变换 31 变换阵的构造方法 o R 1 1 1 2 1 o 1 n n n R R R R R R 其中前行向量是能观性矩阵中的 1 n 1 12 n R RR 1 n 个线性无关的行 另外的行向量 1 nn 1 1 nn RR 32 在确保为非奇异的前提下 是完全任意选择的 1 o R 对本例而言 选取变换阵如下 1 o 625311 635411 665913 100000 010000 001000 R 33 求逆得 o 000100 000010 000001 110010 31 0605 22 51 3010 22 R 34 于是 11 2122 A0 AA 1 oo 001000 31 2000 22 304000 000001 110010 31 0605 22 AR AR 35 o1 100000 010000 CCRC0 11 o 11 11 13 00 00 00 B BR B 0 经检验 是能控且能观的子系统 1111 AB C 36 于是 的最小实现为 sW 11 001 31 2 22 304 m AA1 11 11 13 m BB 1 100 010 m CC 10 11 D 37 8 5 3 单输入单输出系统的能控 能观性与其单输入单输出系统的能控 能观性与其 传递函数之间的关系传递函数之间的关系 定理定理 A b c 既能控又能观的充分必要条件是 一个单输入单输出系统 u y xAxb cx 3 传递函数没有零极点对消 现象 1 ssW cIAb 4 38 证明证明 先证明充分性 即 已知传递函数 4 没有零极点对消现象 证明 系统 3 既完全能控又完全能观 这相当于要证明系统 3 是一种最小实现 用反证法 假定系统 3 不是传递函数 4 的最小实现 则必存在另一种实现 A b c A b c u y xAxb cx 39 具有更少的维数 使得 由于的阶次比低 于是多项式的阶 AA det s IA 次也一定比的阶次低 det s IA 1 1 sssW cIAbcIAb 5 但是 欲使式 5 成立 必然是的 1 s cIAb 分子分母出现零极点对消现象 这与已知条件矛盾 所 以假定不成立 即充分性得证 40 再证明必要性 即 已知系统 3 既完全能控又完全能观 证明传递 函数 4 没有零极点对消现象 用反证法 假定传递函数 4 的分子分母出现零 极点对消现象 那么将退化为一个降阶 1 s cIAb 的传递函数 根据这个降阶的没有零极点对消的传递函数 可 以找到一个维数更小的实现 显然这是一个最小实现 41 换句话说 系统 3 就不是最小实现 所以系统 3 要么不能控 要么不能观 这与已知条件相矛盾 即必要性得证 42 例20 考虑传递函数 2 5 2 5 1 Y ss W s U sss 根据上述定理 这个系统的状态是不完全能控 或不 完全能观 或既不完全能控又不完全能观 下面验证这个结论 找出三种实现来验证这一问题 43 第一种实现第一种实现 101 02 51 10 u y xx x 这一实现能控但不能观 2 5 1 xy 2 x u 44 第二种实现第二种实现 101 02 50 1 1 u y xx x 这一实现能观但不能控 2 5 1 x 2 x u y 45 第三种实现第三种实现 101 02 50 10 u y xx x 这一实现既不能观又不能控 2 5 1 xy 2 x u 46 MATLAB中控制系统模型的建立中控制系统模型的建立 在线性系统理论中 一般常用的数学模型形式不 是很多 最常用的有状态方程模型 又称为系统的内 部模型 传递函数模型 系统的外部模型 以及零 极点模型等 而这些模型之间又有着某种内在的等效 关系 47 控制系统的传递函数描述控制系统的传递函数描述 给定线性系统的传递函数 1 121 1 121 mm mm nn nn bsb sb sbY s G s U sa sa sa sa 对于线性时不变系统来说 上式中的和均为常数 且 这种系统在MATLAB语言中可以方便地由其 分子和分母系数所构成的两个向量来唯一地表示 i a i b 1 0a num b1 b2 bm 1 den a1 a2 an 1 sys tf num den 48 如果系统的传递函数模型为非标准型 例如为 则可以先利用MATLAB提供的多项式乘法函数conv 将 它的分子 分母均转变为标准的降幂排列形式 这种函 数的调用格式为 22 1 332 4 2 66 1 325 sss G s s ssss c conv a b 49 其中a和b分别表示一个降幂多项式的系数行向量 而c 为多项式a和b的乘积多项式的系数行向量 也是降幂排 列的 函数conv 是允许多级嵌套的 上面的传递函 数可编程如下 1 G s num1 4 conv 1 2 conv 1 6 6 1 6 6 den1 conv 1 0 conv 1 1 conv 1 1 conv 1 1 1 3 2 5 sys1 tf num1 den1 50 还可以改编为 a conv 1 6 6 1 6 6 num1 4 conv 1 2 a b conv 1 1 1 3 2 5 c conv 1 1 b d conv 1 1 c den1 conv 1 0 d sys1 tf num1 den1 51 控制系统的状态方程模型控制系统的状态方程模型 对于线性定常系统 xAxBu yCxDu 只要先正确地输入四个系数矩阵 然后调用 MATLAB的专用函数ss 函数 以获得状态空间模型 其格式为 A B C D SYS SS A B C D 52 控制系统的零极点模型控制系统的零极点模型 零极点模型实际上是传递函数模型的另一种表达 形式 对于单输入单输出系统来说 可以简单地写成 12 12 m n szszsz G sK spspsp 其中的 和 分别称 为系统的零点和极点 它们既可以为实数 也可以为虚 数 当这些极点均具有负实部时 系统是稳定的 否则 系统是不稳定的 对于稳定系统来说 如果它的零点也 都具有负实部 则称它为最小相位系统 否则称为非最 小相位系统 i z1 2 im i p 1 2 in 53 对于这样的模型 在MATLAB中可以很方便地表示 出来 格式如下 z z1 z2 zm p p1 p2 pn K 某一实值某一实值 sys zpk z p K 其中的函数zpk 是指获得或转变成零极点模型 54 例 用MATLAB描述下面的零极点系统模型 1 45 1 3 4 5 ss G s s