伴随矩阵的性质探讨.doc

第2章 伴随矩阵的性质探讨前言伴随矩阵是线性代数中的一个重要的基本概念，但教材中及大学学习中所给出的主要应用是在求方阵的逆矩阵上，而关于伴随矩阵本身的性质及其与原矩阵之间的关联，没有系统的讨论和研究本文主要通过查找现有资料，整理归纳出伴随矩阵的一系列性质主要研究内容：阶矩阵的伴随矩阵的行列式与秩；阶矩阵的伴随矩阵的可逆性，对称性，正定性，正交性，和同性，特征值，特征向量及其与原矩阵的关联；伴随矩阵之间的运算性质以及各性质在题目中的综合应用1 伴随矩阵的定义设是阶矩阵中元素的代数余子式，称矩阵为的伴随矩阵相关内容：高等代数（王萼芳石生明版）定义在一个阶行列式中任意选定行列（），当时，在中划去这行列后余的元素按原来的次序组成的级行列式称为级子式的余子式，其中级子式为选定的行列（）上的个元素按照原来的次序组成的一个级行列式如果在前面加上符号后称作的代数余子式2 伴随矩阵的性质设2.1 伴随矩阵的基本性质定理2.1阶矩阵可逆的充分必要条件是非退化（即），当可逆时，其中为的伴随矩阵性质设为的伴随矩阵，则证明：由行列式按一行（列）展开的公式可得注：可逆时，证毕2.2伴随矩阵的行列式性质2证明:(i)若可逆，则，由性质得，,两边同时取行列式得，即，又,则（ii）若不可逆，则综上所述，证毕2.3伴随矩阵的秩的性质研究矩阵的秩是矩阵的重要特征定义：设在矩阵中有一个不等于0的阶子式，且所有阶子式（如果存在的话）全等于0，那么称为矩阵的最高阶非零子式，数称为矩阵的秩，记做如以下例题：求矩阵的秩解：由，的一个二阶子式故定理2.3 矩阵的行列式为零的充分必要条件是的秩小于.(高等代数王萼芳 石生明版)性质3若用表示矩阵的秩,则有以下结论:设是阶矩阵,则证明: 时,显然由性质2知,故 时,由定理知,性质1知,即和的列向量全都为方程组的解,又,则其次方程组的解向量组的和为. 知的列秩为1,即. ,中任一元素都是0,因为中不存在非零的阶子式,故证毕2.4 伴随矩阵的伴随矩阵的性质性质4为n阶矩阵,为的伴随矩阵,则有,特别情况有:当时,.证明:()i)当可逆时,;又由性质1知,所以, (两边同时左乘) (ii)当不可逆时,.综上所述, .证毕 2.5 n阶矩阵的伴随矩阵的可逆性 可逆的定义:n阶矩阵称为可逆的,如果有n阶矩阵使得.伴随矩阵可逆性与原矩阵的可逆性有以下联系：性质可逆的充分必要条件是可逆证明：必要性由性质知，若可逆，则非退化，即.两边同时消去,得.由以上的可逆定义可知是可逆的充分性即证可逆，则可逆，此命题与其逆否命题若不可逆，则也不可逆是等价的由矩阵不可逆可知,则变为证明若,则这里我们用反正法假设,则可逆由性质知（两边同时右乘）有得0，所以=0，所以与假设的矛盾故假设不成立，原命题成立综上所述，可逆的充分必要条件是可逆证毕2.6 n阶矩阵的伴随矩阵的对称性 对称定义：矩阵为对称矩阵，如果，且有性质若阶矩阵是对阵矩阵，则其伴随矩阵也为对称矩阵证明如下：设为对称矩阵，可知,，且，可知.即证得为对称矩阵证毕性质设非退化，若为对称矩阵，则也为对称矩阵即证证明如下：对称可知即为对称矩阵证毕 2.7 伴随矩阵 与原矩阵的正定性之间的联系 矩阵正定的定义：实对称矩阵为正定的，如果二次型正定又有，实二次型正定，如果对于任意一组不全为零的实数都有性质 若阶矩阵是正定的，则也是正定的证明：因为是正定的，所以存在可逆矩阵，使得,则又由正定的定义知也是正定矩阵 证毕2.8 伴随矩阵的正交性与其原矩阵n阶矩阵的正交性的关系 矩阵正交的定义：n阶实数矩阵称为正交矩阵，如果性质9 若为正交矩阵，则也为正交矩阵证明：为正交矩阵，知，由正交的定义知，也为正交矩阵证毕2.9 伴随矩阵的特征值的性质 性质10 设为n阶矩阵（可逆）的特征值，则其伴随矩阵的特征值与的关系为证明：设是的特征值，是的属于特征值的特征向量则有两边同时左乘有由性质知上式变为得由的特征值的性质可知即为的特征值证毕推广：性质11 若为阶矩阵（可逆）的特征值，则其伴随矩阵的特征值为证明：由题意知有（是的特征向量）两边左乘，知即，得即为的特征值即的特征值是证毕2.10 伴随矩阵的运算性质性质12 . 证明：设阶矩阵则其是中元素的代数余子式，由结果分析知证毕性质13 设为阶方阵，为任意非零常数,则.证明 设， ，可知 证毕性质14 证明：由性质知，,知证毕推广性质15 阶矩阵，则,证明过程同性质的过程证毕推广性质16 证明：令，则证毕性质7上（下）三角矩阵的伴随矩阵仍为上（下）三角矩阵.证明 设,当时，.直接计算得，,.即,则亦为上三角矩阵.同理可证，若为下三角矩阵，则也为下三角矩阵.证毕性质18 若矩阵与合同，且与可逆，则与也合同. 证明 因为与合同，所以存在可逆矩阵P使.又与可逆，则有,即.其中.又,则,即,其中是可逆矩阵.故与也合同.证毕3. 伴随矩阵的性质在题目中的综合应用 例3.1设求解：又例3.2 设三阶实数矩阵(非退化)的特征值为. 求 的值. 此题目应用知识:与的特征值的关