全国新课标卷文理科数学2012-2015试题分类汇编19圆锥曲线.doc

19圆锥曲线1.（2012新课标文科4）设,是椭圆：=1（0）的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（C）. . . .【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想，是简单题.【解析】是底角为的等腰三角形，=，=，故选C.2.（2012新课标理科4）设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点,是底角为的等腰三角形，则的离心率为（ C ） 【解析】选 是底角为的等腰三角形3.（2012新课标文科10）等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于、两点，=，则的实轴长为（C）. . .4 .8【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题.【解析】由题设知抛物线的准线为：，设等轴双曲线方程为：，将代入等轴双曲线方程解得=，=，=，解得=2，的实轴长为4，故选C.4.（2012新课标理科8）等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，；则的实轴长为（ C ） 【解析】选设交的准线于得：5.（2012新课标文科20）（本小题满分12分）设抛物线：（0）的焦点为，准线为，为上一点，已知以为圆心，为半径的圆交于,两点.()若,的面积为，求的值及圆的方程；()若，三点在同一条直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，求坐标原点到，距离的比值.【命题意图】本题主要考查圆的方程、抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、点到直线距离公式、线线平行等基础知识，考查数形结合思想和运算求解能力.【解析】设准线于轴的焦点为E，圆F的半径为，则|FE|=，=，E是BD的中点，() ，=，|BD|=，设A(，)，根据抛物线定义得，|FA|=，的面积为，=，解得=2，F(0,1), FA|=， 圆F的方程为：；() 【解析1】，三点在同一条直线上, 是圆的直径，,由抛物线定义知，的斜率为或，直线的方程为：，原点到直线的距离=，设直线的方程为：，代入得，与只有一个公共点， =，直线的方程为：，原点到直线的距离=，坐标原点到，距离的比值为3.【解析2】由对称性设，则 点关于点对称得： 得：，直线 切点 直线坐标原点到距离的比值为。6.（2012新课标理科20）（本小题满分12分）设抛物线的焦点为，准线为，已知以为圆心，为半径的圆交于两点； （1）若，的面积为；求的值及圆的方程；（2）若三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，求坐标原点到距离的比值。【解析】（1）由对称性知：是等腰直角，斜边 点到准线的距离 圆的方程为 （2）由对称性设，则 点关于点对称得： 得：，直线 切点 直线坐标原点到距离的比值为。7（2013新课标卷文科4）已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（ C ）（A） （B） （C） （D）8（2013新课标文科8）为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为（ C ）（A）（B） （C） （D）9. （2013新课标卷理科4）已知双曲线：（）的离心率为，则的渐近线方程为(C)A. B. C. D.10. （2013新课标卷理科10）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点。若的中点坐标为，则的方程为 (D)A.B.C.D.11（2013新课标卷文科21）(本小题满分12分)已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线。（）求的方程；（）是与圆，圆都相切的一条直线，与曲线交于，两点，当圆的半径最长是，求。11解：由已知得圆M的圆心为M（-1,0），半径;圆N的圆心为N（1,0），半径.设知P的圆心为P（x,y）,半径为R.（I） 因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以.有椭圆的定义可知，曲线C是以M,N为左.右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆（左定点除外），其方程为。（II） 对于曲线C上任意一点，由于，所以R2，当且仅当圆P的圆心为（2,0）时，R=2，所以当圆P的半径最长时，其方程为；若l的倾斜角为90，则l与y轴重合，可得.若l的倾斜角不为90，则知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则，可求得Q（-4,0），所以可设l:y=k(x+4).由l于圆M相切得，解得k=。 当k=时，将y=x+代入，并整理得，解得. 当k=.综上，.12. （2013新课标卷理科20）(本小题满分12分)已知圆:,圆:,动圆与外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线 C.（）求C的方程；（）是与圆,圆都相切的一条直线，与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|. 12解由已知得圆的圆心为（-1，0）,半径=1，圆的圆心为(1,0),半径=3.设动圆的圆心为（，），半径为R.（）圆与圆外切且与圆内切，|PM|+|PN|=4，由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，场半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为.（）对于曲线C上任意一点（，），由于|PM|-|PN|=2，R2,当且仅当圆P的圆心为（2，0）时，R=2.当圆P的半径最长时，其方程为，来源:学&科&网Z&X&X&K当的倾斜角为时，则与轴重合，可得|AB|=.当的倾斜角不为时，由R知不平行轴，设与轴的交点为Q，则=，可求得Q（-4，0），设：，由于圆M相切得，解得.当=时，将代入并整理得，解得=，|AB|=.当=时，由图形的对称性可知|AB|=，综上，|AB|=或|AB|=.13（2013新课标卷文科5）设椭圆的左、右焦点分别为是上的点，则的离心率为（D）（A）36 （B）13 （C）12 （D）3314（2013新课标卷文科10）设抛物线C:y2=4x的焦点为F，直线L过F且与C交于A, B两点.若|AF|=3|BF|，则L的方程为（C）（A） y=x-1或y=-x+1 （B）y=33（X-1）或y=-33（x-1）（C）y=3（x-1）或y=-3（x-1） （D）y=22（x-1）或y=-22（x-1）15（2013新课标卷理科11）设抛物线的焦点为，点在上，若以为直径的圆过点，则的方程为（C） （A）或 （B）或 （C）或 （D）或 16（2013新课标卷文科20） (本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，己知圆P在x轴上截得线段长为22，在Y轴上截得线段长为23. （）求圆心P的轨迹方程;（）若P点到直线y=x的距离为，求圆P的方程.17 （2013新课标卷理科20）(本小题满分12分)平面直角坐标系中，过椭圆的右焦点作直交于两点，为的中点，且的斜率为 （）求的方程； （）为上的两点，若四边形的对角线，求四边形面积的最大值18（2014新课标卷文科4）已知双曲线的离心率为2，则（ D ）A. 2 B. C. D. 1【答案】：D【解析】：由双曲线的离心率可得，解得，选D.19.（2014新课标卷文科10）已知抛物线C：的焦点为,是C上一点，则（ A ）A. 1 B. 2 C. 4 D. 8【答案】：A【解析】：根据抛物线的定义可知，解之得. 选A.20. （2014新课标卷文科20）（本小题满分12分）已知点，圆:，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.（I）求的轨迹方程；（II）当时，求的方程及的面积【解析】：（I）圆C的方程可化为,所以圆心为 C(0,4),半径为 4.设M(x,y),则，,由题设知,故，即由于点P 在圆C 的内部,所以M 的轨迹方程是 6 分()由()可知M 的轨迹是以点N(1,3)为圆心, 2 为半径的圆.由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P 在圆N 上,从而ONPM.因为ON 的斜率为3,所以的斜率为,直线的方程为：又，到的距离为，所以的面积为：. 12分 21. （2014新课标卷理科4）已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为（ A ）. .3 . .22. （2014新课标卷理科10）已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个焦点，若，则=（ C ）. . .3 .223. （2014新课标卷理科20）(本小题满分12分) 已知点（0，-2），椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点.()求的方程；（）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程.（20）解： 5分 9分 12分24.（2014新课标卷文科10）设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于,两点，则（ C ）（A） （B） （C） （D）25.（2014新课标卷文科12）设点，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是（ A ） （A） （B） （C） （D）26. （2014新课标卷理科10）设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为（ D ）A. B. C. D. 27.（2014新课标卷文科20）（本小题满分12分）设分别是椭圆C:的左右焦点，是上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为.（1） 若直线的斜率为，求的离心率；（2） 若直线在轴上的截距为，且，求.（27）解： 解：（I）根据及题设知 将代入，解得（舍去） 故C的离心率为. （）由题意，原点为的中点，轴，所以直线与轴的交点 是线段的中点，故，即 由得。设，由题意知，则，即代入C的方程，得。将及代入得解得，故.28. （2014新课标卷理科20）（本小题满分12分）设,分别是椭圆C:的左,右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N.（）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（）若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a,b.（28）解：（）根据c=a2-b2以及题设知M（c，b2a），2b2=3ac将b2=a2-c2代入2b2=3ac，解得ca=12，ca=-2（舍去）故C的离心率为12（）由题意，原点O的F1F2的中点，MF2y轴，所以直线MF1与y轴的交点D是线段MF1的中点，故b2a=4，即 b2=4a 由MN=5F1N得DF1=F1N设N（x，y），由题意可知y0)交于M,N两点。（）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程.（）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPM=OPN？说明理由。（34）解：（I）有题设可得又处的导数值为，C在点出的切线方程为，即.股所求切线方程为（I） 存在符合题意的点，证明如下：设P(0，b)为符合题意的点，M(x,y),N(x,y)直线PM，PN的斜率分别为故从而当b=-a时，有35（2015新课标II卷文科15）已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为 36、（2015新课标II卷文科20）（本小题满分12分）已知椭圆C：（0）的离心率为，点（2，）在C上（I）求C的方程（II）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值 （36）解： （）由题意有，解得 。所以C的方程为 （）设直线将代入得 故 于是直线OM的斜率 所以直线