分类讨论思想在高中数学中的应用.doc

盐城师范学院毕业论文（设计）分类讨论思想在高中数学中的应用xxx（数学科学学院，2003(8)班，02212149号）摘 要分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，通过分类讨论，常能化繁为简，更清楚地揭露事物的本质，并增加条件，使问题易于解决.本文首先介绍了分类讨论的思想，分类讨论的要求与原则，重点把分类讨论思想应用在高中数学的解题中，例如分类讨论在函数、数列、不等式中的应用最后通过对简化和避免分类讨论的研究，防止不必要的分类，注意挖掘问题中的特殊性和简单性，简化分类讨论过程，以提高分类讨论效益. 关键词分类讨论 数列 函数 应用一、简述分类讨论思想在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在数学解题中占有重要的位置二、分类讨论方法的要求及其意义科学的分类满足两个条件：（1）保证分类不遗漏（2）保证分类不重复在此基础上根据问题的条件和性质，应尽可能减少分类分类讨论的意义：当我们在解决数学问题时，有时由于被研究对象的属性不同，影响了研究问题的结果，因而需对不同属性的对象进行分类研究；或者由于在研究问题过程中出现了不同情况，因而需对不同情况进行分类研究通过分类讨论，常能化繁为简，更清楚地揭露事物的本质，并增加条件，使问题易于解决 三、分类讨论思想的原则分类讨论必须遵循一定的原则进行，在中学阶段，我们经常用到的有以下四大原则：(1) 同一性原则：分类应按同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类根据(2) 互斥性原则：分类后的每个子项应当互不相容，即做到各子项相互排斥，也就是分类后不能有一些事物既属于这个子项，又属于另一个子项.(3) 相称性原则：分类应当相称，即划分后子项外延的总和（并集），应当与母项的外延相等.(4) 层次性原则：分类有一次分类和多次分类之分一次分类是对被讨论对象只分类一次；多次分类是把分类后所得的子项作为母项，再次进行分类，直到满足需要为止有些对象的分类情况比较复杂，这时常采用”二分法”来分类，就是按对象有无某性质来进行分类，把讨论对象的外延一直分为两个互相矛盾的概念，一直分到不能再分为止.四、分类讨论思想在高中数学中的应用(一)分类讨论思想在函数中的应用1用分段函数来分类讨论例1 电信局为配合客户的不同需要，设有两种优惠方案.这两种方案应付电话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如图1中实线所示(注：图1中).试问：(1)若通话时间为2小时，按方案各付话费多少元？(2)通话时间在什么范围内，方案比方案更优惠？解 设这两种方案应付话费分别为，则(1)通话时间为2小时，按方案计算应 付话费元，按方案应付话费元. 图1(2)由图像1可知：当时，有； 当时，有；当时，由，可得. 综上所述，当通话时间在时，方案比方案更优惠.小结 分段函数一般要根据题中的条件、定义等进行完整的分类讨论.2 函数中含有参数的分类讨论例2 设为实数，函数，求的最小值.解 (1)当时，函数，若，则函数在上单调递减，从而函数在上的最小值为；若，函数在上的最小值为，且.(2)当时，函数，若 ，则函数在上单调递增，从而函数在 上的最小值为；若 ，函数在上的最小值为，且.综上，当时，函数在上的最小值为；当时，函数在的最小值为；当 时，函数在上的最小值为.小结此不等式中既含有绝对值，又含有参数，故分两级讨论，先利用绝对值的性质去掉绝对值，再讨论每种情况中二次函数的最小值，最后归纳总结.(二)分类讨论思想在排列组合中的应用分类讨论思想在排列组合中也非常常见，可根据题目中条件或结论不唯一进行分类讨论.例1 有两排座位，前排个座位，后排个座位，现安排人就坐，规定前排中间的个座位不能坐，并且这两人不左右相邻，那么不同排法的种数是（）.分析 这是一道辽宁的高考题，由于本题中限制条件较多，宜用分类讨论来解决.解法1 (直接法) (1)2人一前一后，有方法种；(2)2人同排，此时又需两种情况：2人均在后排，有方法种；2人均在前排，此时又可分为：(i)2人一左一右，有方法种；(ii)2人在同侧，有种.故满足条件的不同排法种数为.解法2 (间接法) 从总的可能中排除不符合题意的：.注 本题是分三级讨论，分类讨论使问题变得清晰易解.在解决排列组合和概率问题中，运用分类讨论的方法往往能把较复杂的问题化为简单问题，使问题求解变得容易.(三)分类讨论思想在圆锥曲线中的应用例1 已知直角坐标平面上和圆，动点到圆的切线长与的比等于常数，求点的轨迹方程，说明它表示什么曲线.解析 如右图所示，设直线切圆于，则动点组成的集合是.因为圆的半径，所以，设的坐标为，则.整理得：.检验：坐标适合这个方程的点都属于集合，故这个方程为所求的轨迹方程，于是：(1)当时，方程化为，它表示一条直线，该直线与轴垂直且交轴于点；(2)当时, 方程化为,它表示圆，该圆的圆心坐标为，半径为.小结 本题在求出轨迹方程后，因表达式中参数的值不同而导致曲线的形状不同，从而需要对参数按题中情况分类讨论，从而求得问题的结果.例2 若一个动点到两个定点的距离和为定值，试讨论点的轨迹.分析 可以联想到椭圆的第一定义，须分定值与大小关系来确定轨迹的形状.解 因为，所以(1)当动点到的距离和时，轨迹为线段.(2)当动点到的距离和时, 轨迹为以为焦点的椭圆，其中半焦距，半长轴为，其方程为.(3) 当动点到的距离和满足时，无轨迹.小结 由于定值的不确定性，须分情况讨论，若忽视椭圆定义中的条件，就漏掉(1)与(3)两种情况,所以应注意问题思考的周密性. (四)分类讨论思想在立体几何中的应用有的习题在题设条件下相关图形可能有几种情形,因此要对每种情形进行讨论求解,否则有可能漏解.这类问题多为平面解析几何习题或立体几何习题.下面一题是涉及图形位置不确定的分类讨论.例1 已知三个平面两两相交,求证:三条交线交于一点或互相平行.分析 如图2,由题设,.则直线同在内,在同一平面内两直线仅有两位置关系: (1)平行,(2)相交.从而展开分类讨论.证明 (1)若,因为,所以,又,所以,即；图2(2) 若,因为,所以；又,所以,因为,即过点,故三线共点. 综合(1)(2)知,三平面两相交,三条交线交于一点或互相平行.(五)分类讨论思想在数列中的应用1依据等比数列公比进行分类讨论例1 已知定义在上的函数和数列满足下列条件：,，其中为常数，为非零常数.(1)令，证明数列是等比数列.(2)求数列的通项公式.(1) 证明：易证是以为首项，为公比的等比数列,证明过程略.(2) 解 由（1）知，, 当时， 当时，, 而时，, 所以，当时，.上式对也成立，所以当数列 的通项公式为,当时，上式对也成立，所以数列的通项公式为.小结 当等比数列中公比是字母给出时，一般要分类讨论.2.依据奇偶性进行分类讨论在数列问题中对项数的奇偶性讨论成为近年高考的热点.例1 设为常数，且.(1) 证明：对任意.(2)假设对任意有，求的取值范围.解 (1)略.(2)由的通项公式得，则等价于 . (i)当，时,式即为，即为 . 式对都成立，有.(ii) 当，时,式即为，变形得 , 式对都成立，有 .综上，式对任意都成立，则，故的取值范围为.小结 把转化为恒成立时,应用分离参数法，但的系数正负不定，无法直接分离，此时思路受阻，如何确定正负？根据的奇偶性即可自然引出讨论，分类讨论相当于增加条件，变不定为确定，这是高考的新热点.(六)分类讨论思想在不等式中的应用1.涉及运算要求的分类讨论解题过程实际上是一种式的变形(或运算)过程,而很多变形或运算是受条件限制的.如等式两边同除以一个代数式时,要考虑代数式的值是否为0；解不等式当两边同乘(除)以一个代数式时,要考虑代数式的值是否是负；解无理不等式时,去掉根号要考虑两边是否都大于0等.例1 解不等式 . 分析 解此不等式需去掉根号,而去根号时,需考虑两边是否同为正,才能同时平方而不改变不等号方向,因此根据运算要求需进行分类讨论.解 原不等式可变形为或原不等式的解集为.例2 为非零自然数，实数，解关于的不等式.解 因为,所以原不等式左边可化为.故原不等式化为: ，根据乘方的意义,需对的奇偶性进行讨论,以便确定的符号.(1)当为奇数时，原不等式化为,因为 ，所以解为 ，(2)当为偶数时, ，原不等式化为.因为，所以解为 .综上，为奇数时，解集为；为偶数时，解集为.2. 涉及有关参数时的分类讨论例3 解不等式,其中.解 原不等式化为 ， 因为,所以，而,所以，因此即现对的符号分类讨论：(1)当时,有 则；(2)当时,即时,则；(3)当时,即时,则.综上,当时,不等式的解集为；当时,不等式的解集为.(七)分类讨论思想在实际问题中的应用近几年来，高考命题从知识测试转向能力测试，出现了大量有鲜活背景的实际应用问题.这种应用问题，往往需要有分类讨论的思想才能顺利解决.其解题思路是：用数学的语言加以表达和交流，敏捷地接受试题所提供的信息，并和所学的有关知识想结合，确定适当的分类标准，把一个较复杂的应用问题分解成几个较简单的问题，从而使问题获解. 例1 某市城区是该市交通最为拥堵的地区，为确保交通安全，规定在此地段内，车距是车速的平方与车身长米的正比例函数，且最小车距不得少于车身长的一半，现假定车速为千米/小时，车距恰为车身长.(1) 试写出关于的解析式（为常数）.(2) 问：应规定怎样的车速，才能使此地车流量最大.解 (1)由已知，设，且时,，得，则，当时，由，所以(2) 当时，所以 ，当且仅当时取等号. 当时，所以.故当千米/小时时，车流量最大.小结 上述例题中，速度都有限制，从而影响到后面的最值，故需分类讨论.近年的函数类高考应用题一般都是分段函数，做这种题要特别小心.五、简化和避免分类讨论分类讨论是一种重要的解题策略和手段，在学习分类讨论思想时，应当注意分类不是万能的，分类讨论不是唯一的解题思想，要防止不必要的分类，注意挖掘问题中的特殊性和简单性，简化分类讨论过程，以提高分类讨论效益.(1)通过换元法避免分类讨论例1 已知函数在上恒成立，求参数的取值范围.分析 若直接由成立去求的取值范围，这需要讨论.注意到只有二次项系数含有参数，且，可通过换元来避免讨论.解 当时，令，则，化为，设，则,所以应使的最小值，解得.(2)缩小必要条件范围，简化讨论例2 已知当时，不等式恒成立，试求的取值范围.分析 若对问题直接进行解答，则由于的范围太大，讨论繁冗，故先由其成立的必要条件缩小范围，简化讨论.解 若对一切，恒有,则其必要条件是，得,所以 又 由(1)知，而，故恒成立的充要条件是，化简得，解得 . 由得满足题设条件的的取值范围是 .参考文献1孔得刚.论分类讨论思想在解题中的应用.数理化学习(高中版),2005,20.10-112方可.学习应考实用手册.第2版, 北京:北京教育出版社,2005.2133丁明忠.2004年全国各地高考数学试题与模拟试题评析.数学通讯,2005,3.40-424肖 毅.分类讨论.数学通讯,2000,9.34-355朱永贞,严明瑗.新高考全科复习数学.第2版.南京:江苏教育出版社,2005.219The Application of Classified Discussion in the Middle School MathematicsxxxxxxAbstract Classified discussion is an in important mathematical thought and a logical method,also an vital strategy to solve mathematical problems.The problems can be simplified,the essence of object can be revealed more easily,conditions will be added to solve the problems easily by using classified discussion.This thesis first presents the thought of classified discussion and its requirement and principle,then it applies this thought to mathematical problems.For example,the applyment of this thought to function,sequence and inequality. Last by exploring simplification and prevention of