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关于对换元法的思考论文 深入分析换元法的目的和意义,从而得出各种换元技巧的本质规律,以便在数学解题中能够有效地选择换元方式.关键词:换元法,转化从一种形态转化到另一种形态,这是数学发展的一个杠杆,也是解题常用的手段.数学史中这样的例子很多,无论是对一些具体问题的解决,还是在经典的数学方法中,都无不渗透着 这一思想.解题中常用到的换元法,其实也是这一思想的具体体现. 当然,为了使问题得到解决,转化应该是有效的.什么是有效的转化?总的说来,有利于问题解决的转化就是有效转化.在具体问题中,针对转化的有效性,人们作了很多的探讨.以换元法为例,就有很多文章探讨了解方程中的换元技巧,积分中的换元技巧,等等.每一类问题又由于其具体形式的不同,换元的形式也多种多样.分析各种换元形式的共同规律,可以将其归结为以下两种模式. 一、通过换元使形式凝练、简化 化繁为简是处理问题的一种常用方法,也是数学解题的一种重要手段,恰当的换元往往可以起到这一作用. 例1解方程. 分析这是一个含根式的二次方程,形式较复杂,但注意到方程左端可以化成关于的表达式,令,原方程可简化为一元二次方程,问题得以解决. 解原方程可改写为 .(1) 令,则方程(1)可化为 ,(2) 解此方程,得(舍去),. 由,得 ,(3) 解方程(3),得原方程的根 ,. 二、通过换元改造难于处理的形式 表达式中出现难于处理的形式,如根式、超越函数等,通过适当的换元来改造形式,使问题得以解决. 例2求不定积分. 分析被积函数的分子、分母中分别出现了二次根式和三次根式,没有直接的积分公式可以套用,设法将根式去掉.令,可以将无理函数转化为有理函数. 解设,即,.于是 在具体问题中,换元的形式多种多样,但究其本质,多是从以上两个角度选择换元方式.弄清这一基本规律,我们就没有必要去记忆各种换元技巧,具体问题具体分析,有针对性地恰当选择换元. 参考文献 1刘玉琏,傅沛仁,林玎,苑德馨,刘宁.数学分析讲义(第四版)M.北京:高等教育出版社,xx. 2宋天鉴,
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