（机械设计及理论专业论文）高冗余度柔性机器人振动控制与混沌研究.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 摘要 有着广阔应用前景的高冗余度柔性机器人系统是一个高度耦合的非线 性系统，包含着复杂丰富的运动动力特性。因此，很有必要深入研究其内 在运动规律，为改善这类机器人的工作性能提供重要的依据和方法。本论 文对利用高冗余度柔性机器入自运动特性进行减振规划和回避奇异方面的 主要研究工作如下： 首先，基于有限元方法和拉格朗日方程，以单元弹性变形为广义坐标， 建立了高冗余度柔性机器人的动力学模型。 其次，在分析机器人零空间任意矢量和振动抑制关系的基础上研究了 高冗余度柔性机器人的自运动减振问题。提出了以最小化机器人整个运动 过程中振动峰值的平均值为优化目标，采用余弦规律来规划自运动矢量的 末端振动控制方法。将该方法分别应用于一个平面6 r 柔性冗余度机器人和 一个平面8 r 柔性冗余度机器人的自运动减振规划，获得了较为满意的振动 控制效果。 最后，利用混沌理论研究了高冗余度柔性机器人的自运动状态。通过 混沌识别的数值方法，发现了基于l a c o b i a n 矩阵的伪逆方法并采用p d 控制 器控制其末端重复跟踪工作空间内的一条封闭路径时，一个平面6 r 柔性冗 余度机器人的自运动是混沌的。并通过与一个结构参数和工作任务完全相 同的平面6 r 刚性冗余度机器人的最大l y a p u n o v 指数进行比较，发现柔性 机器人的混沌现象更为明显。 借助于m a t l a b 软件完成了本论文的建模、优化及仿真工作。 关键词：高冗余度柔性机器人：自运动；振动控制；混沌：动力学建模 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 i 页 a b s t r a c t h i 曲l y r e d u n d a n tf l e x i b l er o b o tw i t he x t e n s i v ep r o s p e c t i v ea p p l i c a t i o n si s h i g h l yc o u p l i n ga n dn o n l i n e a rw i t hp l e n t yo fc o m p l e xk i n e m a t i ca n dd y n a m i c b e h a v i o u r s s o ，i t so fs i g n i f i c a n c et oi n v e s t i g a t et h em o t i o nf e a t u r e so fs u c h r o b o tt oi m p r o v ei t sw o r k i n gp e r f o r m a n c e i nt h i st h e s i s ，t h ev i b r a t i o nc o n t r o l a n ds i n g u l a r i t ya v o i d a n c eo fh i g h l y r e d u n d a n tf l e x i b l er o b o ta r cs t u d i e df r o m t h es e l f - m o t i o np o i n to f v i e wa sf o l l o w s f i r s t l y , b a s e do nt h ef i n i t ee l e m e n ta n dt h el a g r a n g ee q u a t i o n ，d y n a m i c e q u a t i o no fah i e , m y r e d u n d a n tf l e x i b l er o b o ti sm o d e l e db yt a k i n gt h eu n i t e l a s t i cd e f o r m a t i o na st h eg e n e r a l i z e dc o o r d i n a t e s s e c o n d l 5am o d i f i e dv i b r a t i o nc o n t r o lm e t h o di sd e v e l o p e db a s e do rt h e r e l a t i o n sb e t w e e nt h ea r b i t r a r yv e c t o ri nt h en u l ls p a c ea n dt h ev i b r a t i o no ft h e e n d e f f e c t o r i nt h em e t h o d ，t om i n i m i z et h em e a nv a l u eo ft h ev i b r a t i o np e a k s i no n em o t i o nc y c l ei st h eo p t i m i z e dg o a l ，a n dt h ec o s i n er u l ei sa d o p t e dt o d e s i g nt h ea r b i t r a r y v e c t o rf o r t h e p u r p o s eo fv i b r a t i o ns u p p r e s s i o n t h e a p p l i c a t i o no ft h em e t h o dt ot h ev i b r a t i o nc o n t r o lo fap l a n a r6 ra n dap l a n a r8 r f l e x i b l er o b o ts h o w si t sf e a s i b i l i t y f i n a l l y , t h es e l f - m o t i o ns t a t eo fh i g h l y r e d u n d a n tf l e x i b l er o b o ti se x p l o r e d b yu s i n gc h a o st h e o r y t h en u m e r i c a ls i m u l a t i o n sb ym e a n so ft h ec h a o t i c r e c o g n i t i o nm e t h o d ss h o wt h a t ，t h es e l f - m o t i o no fap l a n a r6 rf l e x i b l er o b o t u n d e rt h e p s e u d o i n v e r s ec o n t r o l w i t l lp dc o n t r o l l e ri sc h a o t i cw h e nt h e e n d e f f e c t o rt r a c e sac l o s e d - p a t hr e p e a t e d l yi nt h ew o r k s p a c e i ti sa l s of o u n d t h a t ，u n d e rt h es a m ec o n d i t i o n s ，t h ec h a o t i cm o t i o no faf l e x i b l er o b o ti sm o r e 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 i i 页 o b v i o u st h a nt h a to f ap l a n a r6 r r i g i dr o b o tb yc o m p a r i n gt h e i rl a r g e s tl y a p u n o v e x p o n e n t s - t h ed y n a m i cm o d e l i n g ，o p t i m i z a t i o na n ds i m u l a t i o n si nt h i st h e s i sa r e c o n d u c t e du t i l i z i n gm a t l a b k e yw o r d s ：h i g h l y r e d u n d a n tf l e x i b l er o b o t ；s e l f - m o t i o n ；v i b r a t i o nc o n t r o l ； c h a o s ；d y n a m i cm o d e l i n g 西南交通大学硕士研究生学位论文 第1 页 第1 章绪论 1 1 课题的研究背景、目的和意义 随着生产力水平的提高与科学技术的进步，新一代机器人正向着高速 化、精密化和轻型化的方向飞速发展，对机器人的性能要求也越来越高：重 量轻以降低能耗；运行速度快以提高效率；定位精度高以适应精密作业； 特殊结构如超长机械臂以适应特殊工作环境。这种高速、精密和轻量化的 机器人与传统的刚性机器人相比，其机械构件的柔性变形已经成为影响机 器人运动性能和动力性能的重要因素。此时，把机器人当作刚性系统处理 己不能满足要求，需要考虑机器人杆和关节的弹性变形，这样的机器人称 为柔性机器人。与传统的刚性机器人系统帽比，柔性机器人系统具有许多 优点，如驱动器小、操作速度高、能量消耗低、载荷质量比大、构件设计 紧凑等等。柔性机器人应用时的主要困难在于振动大、末端难以精确定位 等。因此设计高速、高精度的机械臂时，必须克服这些困难，才能够使机 械臂的运动协调和精确。 冗余度机器人，从运动学的观点来说就是指完成某一特定任务时，机 器人具有多余的自由度。多余的自由度可用来改善机器人的运动及动力学 特性，如增加灵活性、躲避障碍、回避奇异、优化主运动任务下的辅助操 作指标、优化关节速度、加速度、力矩、能量等。冗余度机器人尤其是冗 余度较大的高冗余度机器人由于其自身众多优点而越来越受到人们的关 注，例如，基于高冗余度机器人机构的仿蛇形机器人就是目前研究的一个 热点。 迄今在上述两个领域的研究中都取得了许多成果，随着柔性机器人和 冗余度机器人研究的深入，人们把冗余度机器人和柔性机器人两方面的研 究结合起来研究，为柔性机器人的应用开拓了一条更广阔的道路。 然而，已有的研究基本上都是以低冗余度柔性机器人为研究对象，对 于更有应用价值的高冗余度柔性机器人的研究几乎没有开展。本文拟从这 类机器人的自运动特点出发，研究高度耦舍的非线性高冗余度柔性机器人 西南交通大学硕士研究生学位论文 第2 页 的复杂丰富的运动学和动力学特性，旨在为高冗余度柔性机器人结构和控 制的设计，以及工作性能的改善等提供必要的依据。因此，本论文的研究 具有重要的理论意义和工程应用价值。 1 2 文献综述 本论文的研究涉及柔性机器人、冗余度机器人、混沌动力学等多个研 究领域。下面就柔性冗余度机器人、机器人中的混沌的研究现状作一概述。 1 2 1 柔性冗余度机器人 柔性机器人和冗余度机器人所取得的研究成果为柔性冗余度机器人的 研究奠定了基础。 目前关于柔性机器人建模运用最多的是有限元方法，它假想地把连续 弹性体分割成有限数目的单元，选择合适的广义坐标，利用动力学原理得 到以广义坐标为未知数的微分方程。s u n a d a 和d o u b o w s k y l ij 运用模念综合 法对具有复杂形状的柔性机器人进行有限元分析。u s o r opb 等叫推导出了 平面柔性机器人的非线性有限元模型，并对一平面两杆柔性机器人进行了 数值模拟。k a l a r ap 等由g a l e r k i n s 方法推导出了柔性机器人的精确运动 微分方程，并用迭代法求解了非线性微分方程。s m a i la i 4 l 运用三节点有限 元模型导出了平面柔性机器人动力学方程，此方程综合考虑了关节柔性、 剪切、弯曲、转动惯量和对刚弹耦合有非线性影响的弹性分布和质量特性 等因素，并对一平面两杆柔性机器人进行了分析。n a g a n a t h a ng 等【5 j 利用拉 格朗r 单元，综合考虑了重力、扭转、轴向、横向及剪切变形的影响，建 立了空间柔性机器人的有限元模型。钟正虎【6 】采用混合梁模型，应用拉格朗 日方程，综合考虑杆的柔性、集中质量、分布刚度等各种因素，建立了柔 性机器人的空间动力学模型。该模型的集中质量采用替代原理，横向、轴 向与扭转变形则分别采用6 次、1 次、3 次插值多项式，并计入了轴向应变 能、弯曲应变能、扭转应变能、拉压应变能以及重力势能对横向变形的影 响。文章最后对具有不同关节集中质量的空俐三臂机械手以及具有一个冗 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 余度的空间四臂机械手进行了弹性动力学分析，证明此方法在计算效率及 精度上都有所提高。 冗余度机器人由于其自身的优点越来越受到了人们的重视。已有不少 学者在这一方面进行了广泛的研究，并取得了令人瞩目的成果。研究的内 容主要有：如何用冗余度机器人多余的自由度改善机器人的运动及动力学 特性，如增加灵活性、躲避障碍、回避奇异、优化主运动任务下的辅助操 作指标、优化关节速度、加速度、力矩、能量等。l i e g e o sa 1 7 1 提出了梯度 投影法，这种方法是基于广义逆矩阵的通用算法，它在保证机器人末端运 动规律不变的同时，可以将不同的性能指标比较容易地融合到控制中去， 实际运用非常广泛。d u b e y r 和l u h - j y s 8 , 9 1 采用速度比来衡量冗余度机 器人在各方向的灵活性。m a c i e j e w s h ia a 和k l e i nc a t l 0 研究了冗余度机 器入的避障问题。在最小关节力矩轨迹规戈的研究方面，h o t l e r b a c hjma n d s u hkc t “】采用局部优化方法成功地优化了关节力矩，但发现该方法存在计 算不稳定现象。k a z e r o u n i a nka n dn e d u n g a d ia 1 2 1 对文献 1 1 中的方法进行 了改进，利用拉格朗日乘子法导出了最小关节驱动力矩的最小二乘问题的 求解方法。这种方法只需求解一次广义逆，避免了文献【1 1 】中需要求两次广 义逆的缺点，改善了计算稳定性，但要完全避免计算不稳定的现象是不可 能的。文献 1 1 ，1 2 】采用的都是局部优化方法，这是一种在线优化方法，具 有计算效率高，便于实时控制等优点。然而，由于该类方法只要求机器人 提供当前信息，因而缺乏全局最优性，另外存在计算稳定性差及非保守性 等缺陷。为解决局部优化方法的缺陷，一些学者采用了全局优化方法。全 局优化方法采用积分形式的性能指标，具有能保证全局最优性、计算稳定 性好等优点，但全局优化方法需要多次对整个运动过程进行计算，因而计 算量大不便于实时控制。目前常用的优化方法有：变分法【1 3 - l ”，p o n t r y a g i n 最大值法t 1 外，以及最优控制方法 1 6 l 。l e e 1 7 1 应用全局优化方法对冗余度机器 人的最小关节力矩进行了规划，同时优化了关节速度和加速度。s u h 等 i s l 对冗余度机器人在最小二乘意义上的最小力矩的局部和全局优化方法进行 了比较。 冗余度机器人和柔性机器人取得的研究成果，为进一步提高机器人的 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 性能提供了新的途径：即利用机器人的冗余度，在保证机器人末端实现预 定轨迹的条件下，优化机器人各关节的运动规律，改善柔性机器人的运动 学和动力学性能，从而形成了柔性冗余度机器人这一新的研究方向。已有 的研究表明，利用冗余度柔性机器人的冗余特性改善柔性机器人的运动学 和动力学性能的方法确实有效。t 9 7 4 年，b o o k 1 9 率先对柔性机器人的减振 问题进行了研究。b a r b i e r i 和w a n g 【2 0 】提出了一种用于柔性冗余度机器人的 最优控制结构，但并未对冗余度机器人的自运动( s e l f - m o t i o n ) 对机器人弹性 的影响和如何通过规划消减弹性变形等问题进行认真研究。n g u y e n 和 w a l k e r 等【2 i 】指出冗余度在许多情况下可以用来帮助减轻振动，并设计了一 种闭环控制算法，使机器人能够在精确追踪给定轨迹的情况下，消减弹性 振动。这种控制算法实际上是通过选择这样的一种自运动来实现的：这种自 运动能使振动微分方程右端的惯性激振力为零，从而使机器人系统的振动 方程成为自由振动方程，由于系统存在阻尼，振动因此会很快衰减下去。 文中对一个在杆端有一个横向柔性变形自由度的三杆平面机器人作了仿真 模拟，以验证以上的控制算法。这种控制算法的弊端是显而易见的：当冗 余度数大于或等于柔往自由度数时，振动微分方程的右端惯性激振力可能 为零，从而使振动很快衰减：但当冗余自由度数小于柔性自由度数时，所选 择的自运动最多只能使右端激振力达到最小二乘意义上的最小值，振动微 分方程的惯性激振力不再为零，给这种闲坏控制算法的实施带来困难。 b a i l l i e u l t z 2 j 则对具有柔性关节的冗余度机器人如何进行运动规划，以便利用 冗余度来减小关节柔性的动力学效应作了研究。结果显示，为了达到沿预 定轨迹运动而不储存关节弹性能的目的，必须满足某些加速度约束；所给 出的平面3 r 机器人的模拟例子证明满足这些约束的解是存在的。然而，为 达到无能量存储的目的，即使机器人完成一个末端点到点的简单运动也需 要其他杆的复杂运动。同样，只有在柔性自由度数小于或等于冗余自由度 数时，以上的规划才能实现。而对柔性杆机器人而言，其柔性自由度数常 常是比较多的，显然不可能对应于每个柔性自由度都设置一个冗余度来实 现文中的控制算法；对柔性关节机器人而言，其各个关节都会存在柔性， 因此在实际情况中，使冗余度数大于或等于柔性自由度数是非常困难的， 这就大大限制了以上规划方法应用的可能性。岳士岗f 2 3 j 对利用冗余度解决 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 柔性机器人在运动过程中的振动、运动结束后的残余振动等问题进行深入 探讨。在减小机器人运动过程中的振动问题上，文中通过规划柔性冗余度 机器人运动过程中的自运动，使机器人尽可能地沿着预定轨迹运动，从而 减小运动过程中的振动。但是该方法存在的缺点是规划出的自运动规律很 不规则，关节角加速度变化剧烈，难以在实际控制中实现。另外，文中的 规划方法缺乏全局性。杨军 2 4 1 对柔性冗余度机器人的运动规律进行规划， 在保证机器人末端名义运动按预定轨迹运动的情况下，使末端误差最小。 为了解决文献【2 3 忡关节角加速度变化剧烈，难以在实际控制中实现的问 题，规划时使一个关节的角加速度满足由付立叶级数构成的运动规律，把 其它两个关节的角加速度视为第一个角加速度的函数，然后进行规划，以 减小柔性机器人运动过程中的振动变形。文中没有对冗余度进行分解，也 没有直接利用自运动变量，两是把一个关节变量视为另外两个关节变量的 函数，方法具有特色。但正如文中指出的那样，该方法也存在规划效果不 太明显的缺陷。边宇枢等 2 5 2 7 让机器人末端运动停止后依然进行自运动， 以实现对残余振动进行主动控制，并指出冗余度柔性机器人在通过优化其 自运动实现减小振动的同时，还具有二次优化的能力，给出了在满足控制 振动的前提下实现关节力矩优化的方法。赵京【2 9 】针对考虑关节柔性的两冗 余度机器人协调操作中的关节轨迹规划问题进行了研究。提出了最小力矩 法和最小变形法两种优化策略。杨继运1 2 9 j 首次研究了多冗余度柔性机器人 的规划问题。文中指出，多冗余度柔性机器人由于存在较大的冗余空间， 更利于最优解的获得。文中对两冗余度柔性机器人进行了最优规划，通过 与单冗余度机器人情况相比，得出了多冗余度机器人在改善柔性机器人性 能方面具有优越性。文中还研究了最小能量意义下的冗余度机器人的规划 问题。研究发现，通过以最小能量为目标进行规划，能有效地减小机器人 的末端误差。但该文在作单冗余机器人和多冗余机器人比较时，两个机器 人的条件不一样，可比性较差。另外，该文采用的规划方法并没有充分利 用冗余特性，而且缺乏全局性，得出的机器人控制变量的变化规律非常复 杂，没有规律性，在实际应用中是不可能实现的。总之，其方法的有效性 和结论的正确性有待进一步研究和考证。高志慧等( 3 0 i 利用拉格朗r 乘子法， 提出了一种在满足抑振的同时进行柔性冗余度机器人关节力矩优化的方 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 法。余跃庆等 3 q 采用直接限制关节角速度的方法，使规划出的关节角速度 与加速度最小范数解相比不至于过大，以运动过程中的最大变形为优化目 标，关节初始位形和自运动矢量为优化变量，对平面3 r 和4 r 柔性机器人 进行了振动抑制研究，但是关节角加速度的限制的放大系数的选择直接会 影响至u 最优路径的选择，而且该方法也不具有全局性。吴立成等【3 2 2 3 根据 复模态分析原理来分析写成状态空间形式的柔性振动动力学方程，通过自 运动的优化。选择在复模态空间中零化低阶模态的激励力，以实现对机器人 末端振动的抑制。但是该文中只考虑了末端杆的柔性，对于杆件全柔的情 况并役有迸行研究。高志慧【3 4 j 等提出了一种冗余关节规划全局优化方法， 可以保证机器人工作结束后各关节的自运动速度为零，从而避免由于终态自 运动的存在丽使原优化效果遭到破坏。张绪平【3 5 】研究了空间冗余度柔性机 器人的动力学规划问题，提出了具有全局性和易于控制的自运动规划方法。 作者首先利用机器人的冗余度，优化机器人的关节初始位形；接着规划机 器人的关节运动，以达到减振的目的；最后提出了同时优化机器人的关节 自运动和初始位形的冗余位形法。此外，该文针对柔性机器人的关节力矩， 对空间冗余度机器人进行了动力规划，但在获得关节易于控制的规划方法 的同时，关节的运动范围、运动速度和加速度都有较大的增加，从而使机 器人的关节驱动力矩和能耗增加。 1 2 2 机器人中的混沌 机器人系统是一个高度非线性、强耦合的动力系统，包含着丰富的动 力学特性，因此对该系统混沌现象的研究也弓f 起了人们的兴趣。国内外已 有一些学者对该问题进行了研究。s h r i n i v a s 3 6 b 和l r a v i s h a n k a r 37 】等人率先研 究了平面两自由度和三自由度机器人在不考虑杆件柔性、摩擦等情况下分 别具有转动关节( r ) 和移动关节( p ) 时系统的混沌运动。借助于高斯曲率解析 地判断了平面p p 、p r 、r p 、r r 、心、r r r 等机器人在只有惯性力作用下 混沌运动是否存在。研究表明：当机器人的构形空间的高斯曲率为负时， 存在混沌运动：当高斯曲率为零或正时，不存在混沌运动；从而得出平面 p p 和p r 机器人在只有惯性力作用下不存在混沌运动，平面r p 、r r 、r r p 、 西南交通大学硕士研究生学位论文第7 页 r r r 机器人在只有惯性力作用下存在混沌运动的结论。他们还用数值方法 研究了平面r p 和r r 机器人在有外力作用下系统的混沌运动情况，得到了 p o i n c a r e 映射图和系统的分岔图，结果表明系统是从倍周期分岔通向混沌 的。李开富等人 3 8 3 9 1 在此基础上对平面r p 和r r 机器人作了进一步的研究， 他们通过数值计算，找到了系统作周期运动和混沌运动的参数条件，得到 了动力系统的周期吸引子和混沌吸引子。m a t t h e w 等人 4 0 , 4 1 】则率先研究了 具有运动冗余度的机器人自运动中的混沌运动。他们基于非线性系统的反 馈线性化控制理论，通过构造微分同胚坐标变换来得到冗余度机器人系统 对应于其自运动的零动态方程，研究了平面3 r 刚性冗余度机器人末端跟踪 一条直线轨迹时其自运动中可能存在的混沌运动，通过作出系统的p o i n c a r e 映射图和功率谱图，发现在某些优化矢量条件下，机器人自运动状态是混 沌的，但没有找出系统自运动状态与零空闻矢量间的关系。李开富等1 3 8 4 2 矧 在此基础上作了深入细致的研究，找到了冗余度机器人自运动状态与任意 零空间矢量间的关系。他们的研究表明：平面3 r 冗余度机器人系统的零动 态中的运动状态与其零空间w = w i ，w 2 ，w 3 ) 的统计规律是：当x = 0 时， 零动态中存在规则运动，当w 1 # 0 时，零动态中存在混沌运动；平面4 r 冗余度机器人系统的零动态中的运动状态与其零空间矢量 w = ( w ，m ，w 3 ，w 4 的关系是：当w l w 3 = 0 时，零动态中存在规则运动， 当w t w x w a 0 时，零动态中存在混沌运动。f e m a n d ov e r d u z c o 等则研 究了两自由度平面机器人在铰链处有衡力矩驱动和线性粘性阻尼作用时系 统的分岔情况，但没有给出系统出现混沌运动的参数条件。王大龙等 4 5 1 对 具有关节摩擦的单连杆刚性机械臂控制系统运动轨迹的极限环和混沌现象 进行了研究，利用h a m i l t o n 原理建立了机械臂的动力学模型，考虑了不同的 摩擦模型，针对具有库仑摩擦和粘性摩擦的机械臂控制系统，建立了系统 的非线性部分的描述函数，证明系统存在稳定的极限环，利用l y a p u n o v 线 性化方法和数值仿真研究了系统的混沌现象。r o b e r t 等f 4 6 】研究t h o p i n g 机 器人在互相垂直的两个运动方向的周期运动，并用数值分析法绘出了系统 的分岔图，指出了该类机器人出现混沌运动的可能性。d a n i e l 等【4 ”研究了 h o p i n g 机器人在非线性弹簧作用下系统的动力学性态，分析出系统由倍周 期分岔通向混沌。v a k a k i s 等 4 8 , 4 9 1 也研究_ r h o p i n g 机器人中的混沌运动。沌 西南交通大学硕士研究生学位论文第8 页 现象。d u a r t e 等 5 0 - 5 3 1 对冗余度机器人的混沌现象进行了研究。研究表明：利 用混沌理论可以很好地解释关节运动轨迹的“漂移”( d r i f t ) 现象。通过分析 混沌的相图法和分维数法得出了伪逆控制方法所导致的关节运动轨迹的漂 移实质上对应冗余度机器人自运动的混沌状态的结论。的漂移实质上对应 冗余度机器人自运动的混沌状态的结论。刘朝晖”4 】对平面3 r 、4 r 刚性冗 余度机器人自运动中的混沌现象进行了研究。研究表明：基于分解运动速 度控制方法求解冗余度机器人末端重复跟踪工作空间内的封闭路径时的运 动学逆解其自运动是规则的；基于分解运动加速度控制方法求解其运动学 逆解，其自运动是混沌的。张登材等【5 5 57 】研究了冗余度刚性机器人末端重复 跟踪工作空间内的封闭路径时的混沌运动。研究表明：当平面冗余度机器 人基于扩展j a c o b i a n 矩阵方法求解其运动学逆解时，其自运动是规则的周期 运动：当平面冗余度机器人基于j a c o b i a n 矩阵的伪逆求解其运动学逆解时， 其自运动是混沌的。并提出了通过控制混沌来消除“漂移”现象的新思路。 刘朝晖等诤g 】首次对一个末杆是柔性连杆的平面3 r 柔性冗余度机器人的自运 动状态进行了研究。通过将其中的柔性连杆简化为e u l e r 。b e r n o u l l i 粱建立 了柔性冗余度机器人的运动学模型，运用混沌数值分析法中的相图法、 p o i n c a r e 映射法和最大l y a p u n o v 指数法发现了该类机器人自运动中的混 沌现象。但是他们的研究只考虑了根杆件的柔性，更没有考虑弹性变形 与机器人关节运动的耦合关系。 综上所述，尽管柔性机器人、冗余度机器人以及低冗余度机器人的研 究己取得了一定的成果，但作为机器人领域新的前沿课题之的高冗余度 柔性机器人的研究目耵还很少有人涉及。既然高冗余度带来的诸多优点是 低冗余度机器人所不能比拟的，而高冗余度机器人的优势有待于进一步证 实和挖掘。因此很有必要对高冗余度柔性机器人进行深入的研究。 1 3 本文研究内容和方法 本学位论文以高冗余度柔性机器人为研究对象，从利用其自运动特性 进行减振规划和回避奇异两个角度来进行研究。主要研究内容如下： 第2 章：基于有限元方法和拉格朗日方程，研究高冗余度柔性机器人动 西南交通大学硕士研究生学位论文第9 页 力学模型的建立方法，并对弹性变形引起的末端误差进行分析。 第3 章：在分析冗余度机器人零空间中任意矢量和振动抑制关系的基础 上，借助于m a t l a b 优化工具箱，研究高冗余度柔性机器人自运动减振问 题。并进行一个平面6 r 柔性冗余度机器入和一个平面8 r 柔性冗余度机器人 的末端误差控制的实例研究。 第4 章：在对冗余度机器人运动学逆解求解方法进行分析的基础上，运 用混沌理论，以一个平面6 r 柔性冗余度机器人为例，研究高冗余度柔性机 器人末端重复跟踪工作空间内的封闭路径并进行回避奇异规划时的自运动 状态。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 0 页 第2 章柔性机器人动力学建模及求解 2 1 引言 柔性机器人的动力学建模方法大致可以分为三种：集中参数法、假设 模态法和有限元法。 集中参数法包括集中质量法和集中刚度法。集中质量法将机器人杆件 简化成集中质量和无质量的弹性杆，这种方法简化了计算，但对质量分布 形式简化过多，精度不够。集中刚度法将机器人的杆件简化为由弹簧连接 的刚性杆，这样可以方便地写出单元的动力学方程，但这种方法还不成熟， 其优缺点和适用范围有待迸一步考查。 假设模态法把弹性杆的真实变形表示成为一些形状己知的模态函数的 线性组合，它具有方程规模小，便于实时控制的特点。但假设模态法需要 考虑系统的特征值问题，只能处理杆件形状简单、约束条件易求的机器人 系统，而难以适用于杆件形状复杂的机器人系统。 有限元法假想地把连续弹性体分割成有限数目的单元，选择合适的广 义坐标，利用动力学原理得到以广义坐标为未知数的微分方程。利用有限 元法可以将任意复杂结构的机器人系统直接用通用单元装配而成，不必再 去推导系统的运动微分方程。 本章采用有限元方法建立柔性机器人动力学模型，为以后研究高冗余 度柔性机器人运动规划提供基础。在采用有限元方法建立柔性机器入动力 学模型的过程中，采取如下步骤：首先，根据具体要求，对机器人杆件进 行单元划分；然后，建立每个单元的动力学方程：接下来，把单元坐标转 化为系统坐标；最后，把单元动力学方程组装成系统动力学方程。 在分析柔性机器人的真实运动时，一般有如下假定：( 1 ) 与采用刚性机 构的运动分析方法得到的机构名义运动的位移相比，由构件变形引起的弹 性位移很小；( 2 1 这种弹性位移不会影响机构的名义运动。依据上述假定， 机构真实运动的位移可以看作是名义运动位移和弹性位移的叠加。名义运 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 1 页 动可以用刚体机构运动方法求出，弹性位移则是用弹性动力分析方法求出。 2 ，2 广义坐标与型函数 为了便于说明广义坐标和型函数，以一个平面3 r 柔性冗余度机器人 为例，其简图如图2 1 所示，其中铲( i = 1 ，2 ，3 ) 对应关节的关节角。 y o 图2 1 平面3 r 柔性冗余度机器人 把机器入的每一根杆划分为一个单元，取任一单元为研究对象，如图 2 2 所示。单元有两个结点a 、b ，长度为l ，工轴与单元纵向轴线一致的 图2 2 单元广义坐标的设置 坐标系a - 砂称为单元坐标系。单元内任一点的轴向位移和横向位移分别用 v 和表示。当单元处于运动状态时，v 和为时间衍位置x 的函数。基 于小变形假设，不考虑单元在弯曲时单元的截面沿轴向的微小移动，因而v 和是相互独立的。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 2 页 结点处的广义坐标以m ( ，) 表示，任意点的位移通过“型函数”和广义 坐标联系起来： r ( x ，f ) = m ( f ) 丸( 工) ，l l w ( x ，f ) = q ( f ) ( x ) ，= l ( 2 1 ) 式中，n 为结点处广义坐标总数：丸( x ) 、九( 工) 为型函数，可通过位移假 定导出。 对于一般的柔性单元模型来说，为了符合构件变形的实际情况，单元 纵向变形采用线性插值来描述，即 r i ( x ，t ) = 甜十b( 2 - 2 ) 单元的横向位移通常采用两种假设：三次或五次埃尔米特多项式。在 结构分析中进行杆件系统静力分析时，一般采用三次多项式。而本文是要 进行动力分析，由于构件振动时，振型曲线的形状比静变形曲线要复杂得 多，因此提高多项式次数可模拟得更精确些【5 9 j 。 现假设横向位移为五次埃尔米特多项式分布 w ( x ，t ) = 以5 + 出4 + 甜+ 丘2 + + ( 2 3 ) 式( 2 ，2 ) 、( 2 3 ) 中共有八个待定系数。为确定这些待定系数需要八个边界条 件，即在结点a 、b 处需设八个广义坐标，这八个广义坐标形成单元广义 坐标列阵： “= “1“2“3“4“5 “6“7u87(2-4) 式中，, ，、1 1 5 一结点a 、b 处的纵向位移 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 3 页 u 2 、u 6 一结点a 、b 处的横向位移 鸭、“，一结点a 、b 处的弹性转角 u 。、“。一结点a 、b 处的曲率。 边界条件为： 在x = o 处 w ( o ，t ) = “2 v ( o ，f ) = u w ( o ，f ) = 也 w ( o ，) = “。 在x = 工处 w ( l ，f ) = i 9 6 v ( l ，t ) = u 5 w ( l ，f ) = 玛 w ( l ，t ) = “8 式中，矿、形为w 对x 的一阶、二阶偏导数。由这八个边界条件即可求出式( 2 3 ) 、 ( 2 - 4 ) q b 的待定系数，整理可得各型函数( p = x l ，称为相对坐标) ： 矾【x ) = 1 8 戎( 工) = 1 一f o e 3 + 1 5 e 4 6 e 九( x ) = l ( e 一6 e 3 + 8 e 4 3 e 5 ) 九( x ) = l 2 ( e 2 3 e3 + 3 e 4 口5 ) 2 九o ) = e 九( x ) = 1 0 e 3 1 5 e4 + 6 e 5 办( 工) = ( 4 e 3 + 7 9 4 3 e ) 蟊( 工) = l z ( e 3 2 e 4 + e5 ) 2 因此，式( 2 一1 ) 可改写为： 瞰，) 2 莓舭) 删1 阶，归享似心f ( 2 5 ) ( 2 - 6 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 4 页 式中。f ：i ，5 ，= 2 ，3 ，4 ，6 ，7 ，8 2 3 单元运动微分方程的建立 由于弹性位移很小，在分析单元运动时可忽略剐性运动和弹性变形运动的 耦合项l 删，单元的真实运动可表示为刚性运动和弹性运动的叠加。如图2 3 所 示，单元上任一点c 由于弹性变形运动到c 点，o 一朋，为与地球固接的坐标系， a 一砂为与粱单元固接的动坐标系，相对于0 胛做一般的平面运动。根据速度 合成定理，动点c 的绝对速度等于a 捌上与动点c 相重合的点的速度( 牵连速 度) 与动点c 相对于a w 的速度( 相对速度) 的矢量和，即： ，= i ，k u t x 一8 w + y u 月。+ o ( x + 矿) + 矿 o ( 2 7 ) 式中，j ，k 是单位向量，u 。和u 。是单元左端点a 的绝对速度在x 轴和y 轴的 分量，毋为关节角速度，矿和w 是c 点的轴向和横向弹性位移。 y o 图2 - 3 单元变形简图 x 2 3 1 单元动畿 单元的总动能由四部分组成，即单元的平动动能、单元的截面转动动能、 集中质量的平动动能与转动动能，即： 式中，p 为杆件材料密度；a 为单元横截面面积；u ( x ，f ) 为单元任意截面x 处的 绝对速度；谚( x ，f ) 为单元任意截面，处的绝对角速度；雕。、i l l s 为单元两端点的 集中质量：o a , x 、o a , y 、p 。、u 肌分别为单元两端点a ，b 的绝对速度在动坐标 系中的分量；i ，。、，。为两端点集中质量的转动惯量；驴2 ( o ，) 、妒2 ，f ) 为两端 点处的集中转动惯量的绝对角速度。 将式( 2 6 ) 、( 2 7 ) 代入式( 2 8 ) ，并表示成矩阵形式，则式( 2 _ 8 ) 可转化为： r ；【告户爿( u ：三十u 三+ 毋2 r + u 却旁工) + 专( 毋2 卅砧+ 庙脚，血) + 台7 b u + 口7 r + 庙7 z + 去p ，扫2 己十五。f + 去矗。棚，d 】 + 唼m 。( d 肛2 十”加2 ) + - - i i 。( d j ，十。+ 2 u 舢o l + p 2 r ) ( 2 - 9 ) + 妻( 以十厶) 台2 + 台2 啦群+ 毋甜7 6 l g + t m 7 y 十矗z 。 + 芝毒”d i + 台膏z f l 式中，为单元横截面对通过质心的轴的惯性矩，膈。= p a 孝，孝、矗、也、王r 、 r 、镌、槐，、脚，z 、z 具体表达式见本文附录 2 ，3 2 单元势能 单元的势能组成包括由单元受弯矩和轴向力作用发生弯益的拉伸、压缩的 一 啪 ”啪m o ：扛 纵 伊 媳 b 江 啦哪 慨 + ；絮 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 6 页 变形能，剪切和屈曲的变形能组成，即： ( 2 1o ) 式中，、a 为单元截面的惯性矩和面积：e 为材料的弹性模量：m ( x ) 、q ( x ) 为单元截面上的弯矩和剪切力：止为单元横截面对z 轴的惯性矩；a = ，a ，k ， 为舅切形式系数；g 为杆件材料的剪切弹性模量；n ( x ，) 为单元x 处的横截面 上的轴向力。 将式( 2 - 6 ) 、( 2 - 7 ) 代k ( 2 一l o ) ，并表示成矩阵形式，则( 2 1 0 ) 可转化为： h ：三盯r 后脚( 2 - 1 1 ) 2 式中， 露= ( q + 毛+ 如+ k 3 ) f _ j + e 1 4 手+ n n - p a l ( 吼，一委毋2 三) 】露4 + p 爿n ，屯一三p 4 毋2 。 “ 其中，口。为单元左端点的绝对加速度，虬为单元右端点的轴向作用力，q 、露、 ：、膏，、膏，、屯、f 具体表达式见本文附录。 2 3 3 单元运动微分方程 将式( 2 9 ) 、( 2 - 11 ) ，代入拉格朗日方程 i d ( 石o t ) 一要+ i o h ：q ( 2 - 1 2 ) d t 、8 讧。e wa h 、。 就可以得到粱单元的运动微分方程： 办 皆 r 荟 临 “ 叫 妒 一2 球 硝 出 眇黔 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 7 页 m i + c 由+ 咖= p( 2 一1 3 ) 式中r = r n l + 朋。+ n i ，+ ，一，c = 2 0 ( b + b o ) ，d = 露+ 务( 6 + 屯) 一舀2 ( 朋l + 肌。) p = y + 一2 一之一声一钯，舀为关节角加速度。 2 4 系统运动微分方程的形成 以上导出的微分方程是建立在与刚体梁单元固连的动坐标下的，必须将其转 换成系统坐标下的动力学微分方程。为此，引入一组系统坐标下的单元广义坐 标： u = ( u u 3u + 氓u 7u ) 7( 2 一1 4 ) “和u 之间的转换关系为： 口= ru 式中，r 为坐标转换矩阵f 6 ”。 对式( 2 一i s ) 两端求导，得到： ( 2 - 1 5 ) 印= r u 十r “ ， ( 2 1 6 ) i i = 月u + 2 r u - t - r u 将式( 2 - 1 5 ) 和( 2 1 6 ) 代入式( 2 1 3 ) 即得到在系统坐标系中表示的单元动力学 微分方程。 接下来利用坐标协调矩阵川把单元动力学方程集合起来就得到了系统的动 力学方程为 m u4 - c u + d u = p ( 2 - 1 7 ) 式中，驴为描述系统弹性变形的广义坐标；驴、口分别为广义加速度和广义速 度列阵：膨为系统的质量矩阵，它是由各单元的质量矩阵装配而成；c 、d 为 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 8 页 系统的当量阻尼矩阵和当量刚度矩阵，它们分别由各单元当量阻尼矩阵和当量 剐度矩阵装配而成；，为广义惯性力矩阵：盯、c 、d 、p 部是0 、0 、0 的 函数。 式( 2 17 ) 是二阶变系数微分方程，对于变系数微分方程的数值解法常见的有 线性加速度法、威尔逊一o 法、n e w m a r k 法等。线性加速度法的主要思想是在r 到 f + a t 间隔内将加速度按线性规划，这种方法的突出问题是计算精度与计算时间 的矛盾，为了保证精度，时间间隔f 必须取得足够小，但出变小会增加迭代步 数，计算时间也必然会增长。此外，迭代步数的增加还会增加累积误差，造成 迭代的不稳定。为了改善其稳定性和精度，人们提出了威尔逊0 法和n e w m a r k 法，这两种方法都具有良好的数值稳定性和精度，本文采用较为常用的n e w m a r k 法来求解式( 2 一1 7 ) 。 2 5n e w m a r k 方法简介 n e w m a r k 法是线性加速度法的推广，它采用口、两个参数，通过这两个 参数调整两个时间步的加速度的比例来适应所需要求解的问题，其值是根据所 要求的精度和稳定性确定的。下面介绍该方法的基本思想。 将f 到t + a t 间隔内的加速度近似假设为： 【厂( f ) = ( 1 一口) u ( f ) + a u ( t 十f )( 0 a 1 ) ( 2 一i s ) 式中，驴( f ) 是在区间( f ，f + a t ) 中某一点的加速度向量。 根据拉格朗日中值定理，f + 血时间的