同济大学2009-2010年电磁场与电磁波期中练习(有答案).pdf

一 一平行板电容器 板间距离为 d 介质为空气 忽略边缘效应 求 若如图一所示 插入一块 r 4 的介质 试计算电容器中的 E D 有无变化 板间电压有无 变化 若如图二所示 插入介质 同样计算电容器中的 E D 有无变化 极板上的电荷量有无变化 解答 设极板面积为 S 对图一 插入介质前后极板上的电荷不变 1 插入介质前 利用高斯定律计算得 S q D 2 插入介质后 有边界条件 即 nn DD 21 DDD 21 那么极板间的电位差 作为电场 强度的函数可以写成 1 0 1 0 1 0 1 333 U dDdDdD r 即 Ud D d D U 4 3 4 3 4 3 00 1 1 可以看到插入介质后 极板之间的电压变小了 这主要是由于在介质中的电场强度下降了 介质中的电场强度 E D E 4 1 4 1 0 2 D 是不发生变化的 所以 我们只要被介质的介电常数除 就可以得到介质中的电场强 度 所以 得出这样的结论 插入介质后不变 但是极板间电压降低了 只有插入前的 相应地 介质中的电场强度减弱了 但是其余部分的不变 D D E E 3 43 4 E E4 1 2 E E 图二中的电压是维持不变的 即插入介质前 后极板间的电位不变 1 插入介质前 在没有介质存在的情况下 直接可以通过电场作功获得电动势的方法 可以 得到E的数值 进而得出此时的电位移 即 d U E 0 d U ED 00 0 利用高斯定律可以计算出极板上所带的电量为 DSq 2 插入介质后 边界条件成立 同时由于没有切向分量 所以 插 入介质后 极板间的电位差不变 所通过电场作功获得电位差的公式可以写成 nn DD 21 D 21 DD 0 0 1 0 1 0 1 333 U dDdDdD r 那么经过简单计算得到 D d U DUd D 3 4 3 4 4 3 00 10 0 1 在d 3 1 的空气中 E d UD E 3 4 3 4 0 0 1 1 即在左右两侧的电场强度增加了 在d 3 1 的介质中 E d UD E rr 3 1 3 4 0 0 2 2 即在介质中的电场强度减少了 这样才能 维持极板间的电位差不变 极板上的电荷量可以通过高斯定律来计算 qDSSDq 3 4 3 4 11 二 半径为 b的两个同轴圆柱导体的电位分别为a 0 0U ba 导体间两种介质与 的分界面与轴平面重合 应用边值问题求解介质内的电位分布 求单位长度的电容 1 2 解答 1 对此问题建立圆柱坐标系 电位 只与r有关 需要求解拉普拉斯方差 0 2 在圆柱坐标系中 0 1 r r rr 得出的通解具有如下的形式 21ln CrC 利用边界条件 brU ar 0 0 计算得 ln 0 1 a b U C a b U aC ln ln 0 2 于是 a r a b U a b U ar a b U ln ln ln lnln ln 0 00 方法二 先利用高斯定律 求出电场强度 qDDrqdSD S 21 又由于 111 ED 121 ED 且 21 EE 代入上式后得 21 r q E 于是 a rq dr r q Edrr r a r a ln 21 21 由边界条件 0 Ub 可知 a b Uq U a bq ln ln 0 21 0 21 代入得到相同的结果 a r a b U rln ln 0 2 现在来求单位长度的电容 根据 E v 求得 r a a b r U E v v ln 0 电场强度在边界上的切向分量连续 所以此问题的边界条件为EEE 21 利用高斯定律 可以计算出单位长度圆柱内表面的电荷为 ln lnln 21 0 0 2 0 1 21 21 a b U a a b a U a a b a U aEaE aDaDq 则单位长度同轴圆柱导体的电容为 a b U q C ln 21 0 这个结果可以在第二种方法中的边界条件 0 Ub 中直接得出 三 如图所示平行板电容器 其极板面积远大于它们之间的距离 在电容器极板之间均 匀分布有电荷体密度 d dx 2 0 两极板用导线短接并接地 介质的介电常数为 0 忽略边 缘效应 求极板间的电位分布 电场强度 极板上的电荷密度 解答 1 极板间电位分布满足泊松方程 0 2 对于该题目 泊松方程可以写为 d x dx d 0 0 2 2 2 该方程的解具有如下形式 21 0 3 0 12 CxC d x 利用边界条件 dx x 0 0 0 来求常数的具体数值 解得 0 12 2 0 0 1 C d C 于是电位分布可以写成 x d d x 0 0 0 3 0 1212 接下来求电场强度 根据 E v 求得 x a d d x E v v 0 0 0 2 0 124 利用导体和介质边界上电场强度和表面电荷密度的关系 对0 x的极板 由导体指向介质 1212 0 0 0 0101 dd E s 同样对于的极板 由介质指向导体 由于导体中的电场强度为零 所以下式中有负 号的存在 dx 6124 0 0 0 0 0 0202 ddd E s 四 如图所示的半无限大导体槽 底面保持电位 U 其余两面电位为零 求槽内电位的通 解 解 我们需要求解该静电场的位函数 槽内电位满足二维拉普拉斯方程 0 2 2 2 2 2 yx yx 其边值条件为 3 0 2 0 1 0 0 0 Ux yyx yay 由边界条件 1 和 2 可以写出位函数的通解 sin 1 x a n eAyx y a n n n 由边界条件 3 能够得到 sin 1 0 x a n AU n n 对此式两边同乘 sin x a n 并对x从积分得 a 0 6 4 20 5 3 1 4 cos1 2 sin 2 0 0 0 0 n n n U n n U dxx a n a U A a n 则 sin 14 5 3 1 0 x a n e n U yx y a n n 五 一个具有两层介质的平行板电容器 极板面积为A 极间距离为 极板间介质分布 见图 1 和 2 介质的参数为 d 1 1 和 2 2 当外加电压为U时 分别求 通 过电容器的总电流 电容器的电阻 分界面上的电荷密度 解 先考虑介质间的边界上的常量 对图 1 电场强度的切向分量在边界上连续 即 tt EE 21 极板间的电场强度只有垂直于 极板的分量 所以根据前述的边界条件 我们得到 d U EEE 21 通过电容器的总电流 22222 21221121 A d UA E A E A J A JI 电容器的电阻 2 21 A d I U R 分界面上的电荷密度由于电场在交界面上没有法向的分量 所以0 S 对图 2 考虑恒定电流场的边界条件 即电流密度在交界面上的法向上连续 可得 同时极板间没有横向流动的电流 所以 nn JJ 21 JJJ 21 于是根据极板间的电压和电场强度之间的关系 可以计算得 11 2 22 21 2 2 1 1 d U J dJdJ U 通过电容器的总电流为 11 2 21 d UA AJI 电阻为 11 2 21 A d I U R 介质交界面上的电荷密度为 2 1221 211 1 2 2 1122 12 d U J EE DD nnS 六 一平行板电容器 极板面积 两板相距 2 cm800 Scm5 0 d 两板中间的一半厚度 为玻璃所占 另一半为空气 已知玻璃的7 7 其击穿电场强度为 60kV cm 空气的击 穿场强为 30kV cm 当电容器接到 16kV 的电源上 会不会被击穿 为什么 解答 根据边界条件 二介质中电通密度的法向分量相同 nn DD 21 可得出 nn EE 12 7 由 ldEV vv 故 0050 0 0025 0 1 0025 0 0 2 dxEdxEV nn 可以计算得 3 12 10160025 00025 0 nn EE 求得 cmkVEE cmkVmVE nn n 567 8 108 21 5 2 cmkVEcmkVE nn 30 60 12 故空气被击穿 当空气被击穿后 电压直接加在玻 璃二端 故 cmkVE n 321016005 0 3 2 因为 故玻璃不会被击穿 cmkVcmkV 60 32 七 两半径均为 平行放置的长直圆柱导体 轴线间距离为a 2 add 现将相交部分 挖成一空洞 并且在相交处用绝缘纸隔开 设两导体分别通有体密度为和 z eJJ v v 01 z eJJ v v 02 的电流 求空洞中的磁场强度 解答 方法一 方法一 对两个圆柱分别建立圆柱坐标系 由安培环路定律 IldH vv 得 0 2 111 2JrrH 即 2 01 1 Jr H 加入方向 1 01 1 2 a Jr H v v 同理 2 02 2 Jr H 即 2 02 2 2 a Jr H v v 综合的磁场强度 2 2 2 02 1 01 21 a Jr a Jr HHH vv vvv 将 1 1 11 r r aaaa zrz v vvvv 和 2 2 22 r r aaaa zrz v vv