固体物理-第二章.pdf

1 第二章第二章第二章第二章量子力学和统计物理基础量子力学和统计物理基础量子力学和统计物理基础量子力学和统计物理基础 2 1 量子力学的诞生量子力学的诞生 2 2 波函数和量子态波函数和量子态 2 3 薛定谔方程薛定谔方程 2 4 量子力学中物理量的数学表达量子力学中物理量的数学表达 2 5 薛定谔方程的近似解法薛定谔方程的近似解法 2 6 统计物理学基本概念统计物理学基本概念 参考教材参考教材参考教材参考教材 曾谨言 量子力学导论量子力学导论量子力学导论量子力学导论 北京大学出版社 2001 Peter S Riseborough Quantum Mechanics 网上电子版 Temple University PA USA 2 1 2 1 量子力学的诞生量子力学的诞生量子力学的诞生量子力学的诞生 量子力学量子力学量子力学量子力学 Quantum Mechanics Quantum Mechanics 是二十世 是二十世 是二十世 是二十世 纪初在经典物理学纪初在经典物理学纪初在经典物理学纪初在经典物理学 Classical Physics Classical Physics 无法解无法解无法解无法解 释一些新的实验现象时 而应运而生的 释一些新的实验现象时 而应运而生的 释一些新的实验现象时 而应运而生的 释一些新的实验现象时 而应运而生的 二十世纪物理学取得的两个划时代的进展是相二十世纪物理学取得的两个划时代的进展是相二十世纪物理学取得的两个划时代的进展是相二十世纪物理学取得的两个划时代的进展是相 对论和对论和对论和对论和量子理论量子理论量子理论量子理论 量子力学的建立 开辟了人们量子力学的建立 开辟了人们量子力学的建立 开辟了人们量子力学的建立 开辟了人们认识微观世界的认识微观世界的认识微观世界的认识微观世界的 道路道路道路道路 原子和分子之谜被揭开了 原子和分子之谜被揭开了 原子和分子之谜被揭开了 原子和分子之谜被揭开了 没有量子理论的建立 就没有近代物理学科和没有量子理论的建立 就没有近代物理学科和没有量子理论的建立 就没有近代物理学科和没有量子理论的建立 就没有近代物理学科和 相关边缘学科 相关边缘学科 相关边缘学科 相关边缘学科 新材料和纳米技术新材料和纳米技术新材料和纳米技术新材料和纳米技术等 的发等 的发等 的发等 的发 展 就没有人类的现代物质文明 展 就没有人类的现代物质文明 展 就没有人类的现代物质文明 展 就没有人类的现代物质文明 普朗克的量子论普朗克的量子论普朗克的量子论普朗克的量子论 19001900年 年 年 年 Max Plank Germany Max Plank Germany 第一次提出第一次提出第一次提出第一次提出 能量不连续能量不连续能量不连续能量不连续 的概念 即物体吸收或的概念 即物体吸收或的概念 即物体吸收或的概念 即物体吸收或 发射电磁辐射 只能以发射电磁辐射 只能以发射电磁辐射 只能以发射电磁辐射 只能以 量子量子量子量子 quantum quantum 的方式的方式的方式的方式 进行 每个进行 每个进行 每个进行 每个 量子量子量子量子 的能量为 的能量为 的能量为 的能量为 hE Planck 线线 能量密度 能量密度 104cm 0510 Max PlanckMax Planck 1858 1947 Nobel Prize in 1918 黑体辐射黑体辐射 sJh 34 10626 6 电磁辐射不仅在发射和吸收时以能量电磁辐射不仅在发射和吸收时以能量 h 的微粒形式出现 而且以这种形式 在空间以光速C传播 这种粒子叫做光 量子 或光子 当光照射到金属表面时 能量为 的微粒形式出现 而且以这种形式 在空间以光速C传播 这种粒子叫做光 量子 或光子 当光照射到金属表面时 能量为 h 的光子被电子所吸收 电子把这份能量 的一部分用来克服金属表面对它的吸 引 另一部分用来提供电子离开金属表 面时的动能 其能量关系可写为 的光子被电子所吸收 电子把这份能量 的一部分用来克服金属表面对它的吸 引 另一部分用来提供电子离开金属表 面时的动能 其能量关系可写为 以上 很好地解释了以上 很好地解释了以上 很好地解释了以上 很好地解释了光电效应光电效应光电效应光电效应具有具有具有具有 的两个特点的两个特点的两个特点的两个特点 1 1 具有临界频率具有临界频率具有临界频率具有临界频率 2 2 光电 子动能只决定于光子的频率 光电 子动能只决定于光子的频率 Albert EinsteinAlbert Einstein 1879 1955 GermanyGermany Nobel Prize in 1921 AhmV 2 2 1 爱因斯坦的光量子爱因斯坦的光量子爱因斯坦的光量子爱因斯坦的光量子 light quantum light quantum 1905 1905 19131913年 年 年 年 NielsNiels Bohr Bohr Denmark Denmark 原子能够 而且只能够稳定地存在 于与分立的能量相应的一系列状态中 这些状态称为 原子能够 而且只能够稳定地存在 于与分立的能量相应的一系列状态中 这些状态称为定态定态定态定态 stationary state stationary state stationary state stationary state 原子能量的任何变化 只能在两个定态 之间以 原子能量的任何变化 只能在两个定态 之间以跃迁跃迁跃迁跃迁 transition transition transition transition 的方式进行 原子在两个定态跃迁时 发射或吸 收的电磁辐射的频率由下式给出 的方式进行 原子在两个定态跃迁时 发射或吸 收的电磁辐射的频率由下式给出 量子力学的建立标志着物理学研究 工作 量子力学的建立标志着物理学研究 工作第一次集体共同努力的胜利第一次集体共同努力的胜利第一次集体共同努力的胜利第一次集体共同努力的胜利 在这 一批量子物理学家中公认的领袖就是 在这 一批量子物理学家中公认的领袖就是 NielsNiels BohrBohr mn EEh NielsNiels BohrBohr 1885 1962 Nobel Prize in 1922 波尔的原子模型波尔的原子模型波尔的原子模型波尔的原子模型 2 The Nobel Prize in PhysicsThe Nobel Prize in Physics 1918 Max Plank in recognition of the services he rendered to the advancement of Physics by his discovery of energy quanta 1921Albert Einstein for his services to Theoretical Physics and especially for his discovery of the law of the photoelectric effectphotoelectric effect 1922 NielsNiels BohrBohr for his services in the investigation of the structure of the structure of atomsatoms and of the radiation emanating from them 19231923年 年 年 年 Louis de Broglie Louis de Broglie France France 根据根据Planck Einstein 光量子论 光 具有波动粒子二重性 以及 光量子论 光 具有波动粒子二重性 以及Bohr量子 论 启发了 量子 论 启发了de Broglie 他提出了实物 粒子 静质量 他提出了实物 粒子 静质量 m 不等于不等于 0 的粒子 也具 有波动性 也就是说 粒子和光一样也具 有 的粒子 也具 有波动性 也就是说 粒子和光一样也具 有波动波动波动波动 粒子二重性粒子二重性粒子二重性粒子二重性 与一定能量与一定能量与一定能量与一定能量 E E 和动量和动量和动量和动量 p p 的实物粒子相的实物粒子相的实物粒子相的实物粒子相 联系的波 他称之为联系的波 他称之为联系的波 他称之为联系的波 他称之为 物质波物质波物质波物质波 的频率和 的频率和 的频率和 的频率和 波长分别为 波长分别为 波长分别为 波长分别为 de Broglie 波波 hE ph exp trkiA r r expEtrp i A rr h Louis de BroglieLouis de Broglie 1892 1987 Nobel Prize in 1929 德布罗意的物质波德布罗意的物质波德布罗意的物质波德布罗意的物质波 19261926年 年 年 年 Erwin SchrErwin Schr dingerdinger Austria Austria 19261926年 年 年 年 当时在瑞士当时在瑞士当时在瑞士当时在瑞士University of University of ZurichZurich工作的工作的工作的工作的ErwinErwin SchrSchr dingerdinger 根 据同事 根 据同事Peter Debye的提醒 想要找到 一个方程来描述原子中电子的 的提醒 想要找到 一个方程来描述原子中电子的de Broglie 波 依靠其天才的想象 波 依靠其天才的想象 ErwinErwin SchrSchr dingerdinger 凭科学直觉推测出 了一个关于波函数的偏微分方程 由此 他建立了量子波动力学 凭科学直觉推测出 了一个关于波函数的偏微分方程 由此 他建立了量子波动力学 薛定谔方程薛定谔方程薛定谔方程薛定谔方程是量子力学最基本的方程 其地位与牛顿方程在经典力学中的地位 相当 是量子力学最基本的方程 其地位与牛顿方程在经典力学中的地位 相当 Erwin SchrErwin Schr dingerdinger 1887 1961 Nobel Prize in 1933 薛定谔的波动力学薛定谔的波动力学薛定谔的波动力学薛定谔的波动力学 The Nobel Prize in PhysicsThe Nobel Prize in Physics 1929 Louis de BroglieLouis de Broglie for his discovery of the wave nature of electronswave nature of electrons 1933 Erwin SchrErwin Schr dingerdinger for the discovery of new productive forms of atomic theoryatomic theory shared with Paul DiracPaul Dirac 2 2 2 2 波函数和量子态波函数和量子态波函数和量子态波函数和量子态 波函数的统计诠释波函数的统计诠释波函数的统计诠释波函数的统计诠释 statistical statistical interpretation of wave functioninterpretation of wave function 不确定性原理不确定性原理不确定性原理不确定性原理 uncertainty principle uncertainty principle 量子态量子态量子态量子态 quantum state quantum state 态叠加原理态叠加原理态叠加原理态叠加原理 superposition principle superposition principle 波函数的统计诠释 波函数的统计诠释 波函数的统计诠释 波函数的统计诠释 19261926年年年年 Max BornMax Born Germany Germany 微观粒子的波函数用微观粒子的波函数用 r 描述 但 波函数的模 方 描述 但 波函数的模 方 r 2表达的意义与与经典波根本不同 表达的意义与与经典波根本不同 r 2的意义是代表电子出现在的意义是代表电子出现在 r 点附近概率的 大小 确切的说 点附近概率的 大小 确切的说 r 2 x y z表示在表示在 r 点处 体积 点处 体积 x y z中找到粒子的概率 这就是首先由 中找到粒子的概率 这就是首先由 Born 提出的提出的波函数的概率解释波函数的概率解释波函数的概率解释波函数的概率解释 它 是量子力学的基本原理之一 其正确性已被无数次的 实验观测所证实 电子呈现出来的波动性只是反映微观物体运动的 一种统计规律性 因此描写粒子的波是 它 是量子力学的基本原理之一 其正确性已被无数次的 实验观测所证实 电子呈现出来的波动性只是反映微观物体运动的 一种统计规律性 因此描写粒子的波是概概率波率波率波率波 probability wave probability wave 波函数 波函数 r 有时也称为概率波 幅 有时也称为概率波 幅 probability amplitude probability amplitude Max BornMax Born 1882 1970 Nobel Prize in 1954 Statistical interpretation of wave function 2 经典波的波函数经典波的波函数 cos u x tAy 平面简谐波 波强平面简谐波波强uAI 22 2 1 经典波波函数的模方与波的强度成正比经典波波函数的模方与波的强度成正比 3 波粒二象性波粒二象性波粒二象性波粒二象性 wave wave particle duality particle duality 经典概念中1 经典概念中1 有一定质量 电荷等 颗粒性 的属性有一定质量 电荷等 颗粒性 的属性 粒子粒子意味着2 有确定的运动轨道 每一时刻有一定位置和速度 意味着2 有确定的运动轨道 每一时刻有一定位置和速度 经典概念中1 实在的物理量的空间分布作周期性的变化 经典概念中1 实在的物理量的空间分布作周期性的变化 波波意味着2 意味着2 干涉 衍射现象 即相干叠加性干涉 衍射现象 即相干叠加性 电子衍射实验 电子衍射实验 粒子粒子粒子粒子 波波波波 几率波几率波几率波几率波 probability wave probability wave 电子源电子源 感 光 屏 感 光 屏 不确定性原理不确定性原理不确定性原理不确定性原理 Uncertainty principle Uncertainty principle 测不准原理测不准原理测不准原理测不准原理 Werner HeisenbergWerner Heisenberg 1901 1976 Nobel Prize in 1932 一维粒子一维粒子一维粒子一维粒子 1 2 0 x p h h 0 0 2 1 pix x ep h 2 1 2 0 p x h 0 0 xip p ex 确定的动量确定的动量确定的动量确定的动量P P 0 0 确定的位置确定的位置确定的位置确定的位置x x 0 0 x p 几率波的反映 几率波的反映 几率波的反映 几率波的反映 19271927年年年年 Werner Heisenberg Werner Heisenberg 在试图理解电子的粒子性和波动性在试图理解电子的粒子性和波动性在试图理解电子的粒子性和波动性在试图理解电子的粒子性和波动性 时所提出时所提出时所提出时所提出 他本人一直反对将电子看成是波 他本人一直反对将电子看成是波 他本人一直反对将电子看成是波 他本人一直反对将电子看成是波 C Certain pairs of physical properties like position and ertain pairs of physical properties like position and momentum cannot simultaneously be known to arbitrary momentum cannot simultaneously be known to arbitrary precision That is the more precisely one property is known precision That is the more precisely one property is known the less precisely the other can be knownthe less precisely the other can be known 经典力学中质点的运动都沿着一定的轨道 在轨 道上任意时刻都有确定的位置和动量 经典物理学 是一门最严格最精密 最不能容忍不确定的科学 不确定性原理表明 微观粒子的位置和动量不能 同时有完全确定的值 粒子运动轨道的概念已经没 有意义 粒子运动轨道的概念已经没 有意义 不确定性是建立在波和粒子的双重基础上的 它 其实是电子在波和粒子间的一种摇摆 不确定性是建立在波和粒子的双重基础上的 它 其实是电子在波和粒子间的一种摇摆 由于h是一个非常小的量 不确定性原理与我们 日常生活经验并无矛盾 当当h 0时 量子力学将回 到经典力学 或者说量子效应可以忽略 0时 量子力学将回 到经典力学 或者说量子效应可以忽略 不确定性原理不确定性原理不确定性原理不确定性原理 Uncertainty principle Uncertainty principle 测不准原理测不准原理测不准原理测不准原理 The Nobel Prize in PhysicsThe Nobel Prize in Physics 1954 Max BornMax Born for his fundamental research in quantum mechanics especially for his statistical statistical interpretation of theinterpretation of the wavefunctionwavefunction 1932 Werner HeisenbergWerner Heisenberg for the creation of quantum mechanicscreation of quantum mechanics the application of which has inter alia led to the discovery of the allotropic forms of hydrogen 量子态量子态 quantum state 微观粒子的状态 不能采用经 典力学的描述方法 经典力学中质点在某一时刻的态 是由该质点在该时刻 的位置和速度 或动量 来确定 粒子运动有确定的轨 道 各物理量都取确定值 微观粒子的量子态量子态量子态量子态不应由物理量来描述 因为 微观粒 子处在一定的态中 其物理量的取值可能不确定 另一 方面 对于微观粒子来讲 测量一般说来要影响体系的 状态 这种影响是不可忽略的 微观粒子的量子态可以由波函数波函数波函数波函数来描述 波函数 r 2 表示粒子出现在 r 点附近概率的大小 对于一个微观粒子 当描述它的波函数给定后 粒子所 有力学量的测值几率分布测值几率分布就确定了 从这个意义上来 讲 波函数完全完全描述了一个三维空间中的量子态 也就是说 波函数包含了粒子该量子态的所有信息 波函数包含了粒子该量子态的所有信息 所 以波函数也称为态函数态函数 量子态与波函数量子态与波函数量子态与波函数量子态与波函数 经典力学中波的叠加原理 经典力学中波的叠加原理 经典力学中波的叠加原理 经典力学中波的叠加原理 几列波可以保持各自的特点 频率 波长 振幅 振动方向等 同时通过同一介 质 好像在各自的传播过程中没有遇到其它波一样 若 1 2 n是量子体系量子体系的一系列可能的状态 则 这些态的线性叠加 C1 1 C2 2 Cn n也是体 系的一个可能状态 其中 C1 C2 Cn为复常数 测量态 下力学量A的值可能出现各种可能的结果 即a1 a2 an 分别对应于态 1 2 n 即粒子态 是态 1 2 n的线性叠加 而粒子部分地处于态 1 部分地处于态 2 n 而获得ai i 1 n 的概率是确定的 即处于态 i的概率 是确定的 由波函数的模方来决定 量子力学中这种态的叠加导致叠加态下观测结果的不确 定性 态叠加原理是量子力学的一个基本原理 量子力学中这种态的叠加导致叠加态下观测结果的不确 定性 态叠加原理是量子力学的一个基本原理 态叠加原理态叠加原理态叠加原理态叠加原理 superposition principle superposition principle 4 坐标表象坐标表象坐标表象坐标表象 动量表象动量表象动量表象动量表象 表象表象表象表象 representation representation 波函数是用来描述微观粒子的量子态的 这种描述可以用位置 r作为自变量 称为坐标表象 也可以用动量p来作为自变量 称 为动量表象 坐标表象和动量表象之间有确定的变换关系 Fourier transform 彼此完全等价 它们描述的都是同一个量子态 只不过表象不 同而已 如同一个矢量可以采用不同的坐标系来表达一样 微观粒子量子态的描述方式与经典粒子运动状态的描述方式根 本不同 微观粒子不能用每一时刻的坐标和动量来同时描述 不 确定性原理 这是由波粒二象性所决定的 Fourier transform pdepr rp i3 2 3 2 1 h rr r h r rderp rp i3 2 3 2 1 h rr r h r 1 3 2 3 2 pdprdr rr 归一化归一化归一化归一化 normalization normalization 条件条件条件条件 根据波函数的统计诠释 粒子 不产生 不湮没 在空间各点的几率之总和应该为1 即 常数因子不确定性常数因子不确定性常数因子不确定性常数因子不确定性 相位因子不确定性相位因子不确定性相位因子不确定性相位因子不确定性 波函数的性质波函数的性质波函数的性质波函数的性质 2 2 1 2 2 1 tr tr trC trC r r r r dxdydzrd 1rd r 33 2 全 C 描述的是同一个几率波与trtr e ia 描述的是同一个几率波与trtr 如何理解微观粒子的波函数如何理解微观粒子的波函数如何理解微观粒子的波函数如何理解微观粒子的波函数 经典波的波函数经典波的波函数表示扰动在介质中的传播所形成的波 可 以绘制成波形曲线 微观粒子的波函数可以微观粒子的波函数可以微观粒子的波函数可以微观粒子的波函数可以用来描述微观粒子的量子态 其函 数曲线没有任何物理意义 微观粒子的波函数的模方才有物理意义 表征粒子出现的微观粒子的波函数的模方才有物理意义 表征粒子出现的微观粒子的波函数的模方才有物理意义 表征粒子出现的微观粒子的波函数的模方才有物理意义 表征粒子出现的 概率概率概率概率 微观粒子具有波粒二象性 微观粒子具有波粒二象性 微观粒子具有波粒二象性 描述粒子的波是微观粒子具有波粒二象性 描述粒子的波是概概率波率波率波率波 波函 数也称为概率波幅 波函 数也称为概率波幅 微观粒子微观粒子微观粒子波函数包含了粒子该量子态的所有信息微观粒子波函数包含了粒子该量子态的所有信息 微观粒子微观粒子微观粒子波函数满足的波动方程是薛定谔方程 可以求解微观粒子波函数满足的波动方程是薛定谔方程 可以求解 微观粒子的波函数不是微观粒子的波函数不是微观粒子的波函数不是微观粒子的波函数不是 东西东西东西东西 玻尔玻尔 Niels Bohr 说 说 如果谁不为量子论而感到困惑 那他就是没有理解量子论 如果谁不为量子论而感到困惑 那他就是没有理解量子论 2 3 2 3 薛定谔方程薛定谔方程薛定谔方程薛定谔方程 薛定谔方程的引进 薛定谔方程的引进 薛定谔方程的引进 薛定谔方程的引进 微观粒子量子态用波函数完全描述 波函数确定之后 粒子的任何一个力学量的平均值及其测量的可能值和相应 的几率分布也都被完全确定 波函数完全描写微观粒子的 状态 因此量子力学最核心的问题就是要解决以下两个问 题 微观粒子量子态用波函数完全描述 波函数确定之后 粒子的任何一个力学量的平均值及其测量的可能值和相应 的几率分布也都被完全确定 波函数完全描写微观粒子的 状态 因此量子力学最核心的问题就是要解决以下两个问 题 1 1 找出各种情况下描述系统的各种可能的波函数 找出各种情况下描述系统的各种可能的波函数 找出各种情况下描述系统的各种可能的波函数 找出各种情况下描述系统的各种可能的波函数 2 2 波函数如何随时间演化 波函数如何随时间演化 波函数如何随时间演化 波函数如何随时间演化 这些问题在这些问题在这些问题在这些问题在1926192619261926年薛定谔提出了波动方年薛定谔提出了波动方年薛定谔提出了波动方年薛定谔提出了波动方 程之后得到了解决 程之后得到了解决 程之后得到了解决 程之后得到了解决 牛顿方程的基本考虑 牛顿方程的基本考虑 牛顿方程的基本考虑 牛顿方程的基本考虑 从牛顿方程 人们可以确定以后任何时刻 t 粒子的 状态r和p 因为初始条件知道的是坐标及其对时间的 一阶导数 所以牛顿方程是时间的二阶常微分方程二阶常微分方程二阶常微分方程二阶常微分方程 0 000 tt dt rd mprtt r r 时刻 已知初态是 2 2 dt rd mF r r 方程 粒子满足的方程是牛顿 2 2 22 2 1 t y ux y Classical wave equationClassical wave equation 可以证明 此波动方程是各种波所必须满足的二阶偏微分方程 且波函数就是波动方程的解波函数就是波动方程的解 经典波动方程 经典波动方程 经典波动方程 经典波动方程 u x tfy 波函数波函数 SchrSchr dingerdinger EquationEquation 薛定谔方程薛定谔方程薛定谔方程薛定谔方程 1925年 Peter Debye让他的学生薛定谔作一个关于德布 罗意波的学术报告 并在报告后提醒薛定谔说 对于波 应该有一个波动方程 19261926年 年 Erwin SchrErwin Schr dingerdinger依靠其天才的想象 凭科学直 觉通过 猜 和 凑 出了一个关于波函数的二阶偏微分方程 与经典波的波动方程相类似 与经典波的波动方程相类似 SchrSchr dingerdinger equationequation是微观是微观 粒子表现波动性时粒子表现波动性时 wave wave particle duality particle duality 所遵循的波动方所遵循的波动方 程程 wave equation wave equation 微观粒子的波函数是微观粒子的波函数是薛定谔方程的解薛定谔方程的解薛定谔方程的解薛定谔方程的解 薛定谔方程揭示了微观世界中物质运动的基本规律薛定谔方程揭示了微观世界中物质运动的基本规律薛定谔方程揭示了微观世界中物质运动的基本规律 薛定谔方程揭示了微观世界中物质运动的基本规律 薛定谔方程是量子力学最基本的方程 其地位与经典力学薛定谔方程是量子力学最基本的方程 其地位与经典力学薛定谔方程是量子力学最基本的方程 其地位与经典力学薛定谔方程是量子力学最基本的方程 其地位与经典力学 中的牛顿方程相当 中的牛顿方程相当 中的牛顿方程相当 中的牛顿方程相当 实际上 薛定谔方程是量子力学的一个基本假定 并不能实际上 薛定谔方程是量子力学的一个基本假定 并不能实际上 薛定谔方程是量子力学的一个基本假定 并不能实际上 薛定谔方程是量子力学的一个基本假定 并不能 严格证明 其正确性与适用范围 归根到底 只能由实践严格证明 其正确性与适用范围 归根到底 只能由实践严格证明 其正确性与适用范围 归根到底 只能由实践严格证明 其正确性与适用范围 归根到底 只能由实践 来检验 来检验 来检验 来检验 5 薛定谔方程薛定谔方程薛定谔方程薛定谔方程 拉普拉斯算符拉普拉斯算符拉普拉斯算符拉普拉斯算符 Laplace operator psai 希腊文字母 2 2 2 trrV m tr t i rrhr h 单粒子单粒子 2 21 1 21 2 2 21 trrrrrrVrU m trrr t i N N i Niii i N r L rrr L rrrh r L rr h 2 2 2 rErrV m rrrh 定态定态 多粒子多粒子 一维谐振子一维谐振子一维谐振子一维谐振子 薛定谔方程的求解薛定谔方程的求解薛定谔方程的求解薛定谔方程的求解 2 1 2 22 2 22 xExxm dx d m h h 2 1 nEE n 2 2 xHeAx n x nn 2 4 1 0 22 x ex 2 4 1 1 222 x xex 2 22 4 1 2 22 12 2 1 x exx 能量本征值 分立能级能量本征值 分立能级 本征波函数本征波函数 Hn x Hermite polynomials 厄米多项式 一维谐振子一维谐振子一维谐振子一维谐振子 one one dimentionaldimentional harmonic oscillator harmonic oscillator n 0 n 1 n 2 3 2 1 0 1 2 3 E0 E1 E2 氢原子氢原子氢原子氢原子 量子力学发展史上最突出的成就之一是对氢原子 光谱和化学元素周期律给予了相当满意的说明 氢原子是最简单的原子 其薛定谔方程可以严格 求解 2 2 2 rErrVr r rrrh 能量本征值能量本征值 定态波函数定态波函数 3 2 1 2 22 4 lmnlnlm n YrRr n n e E r L h r e rV 2 222 zyxr 薛定谔方程的求解薛定谔方程的求解薛定谔方程的求解薛定谔方程的求解 rRnl lm Y径向波函数球谐函数 算符算符算符算符 operator operator 对波函数进行某种运算或变换的符号对波函数进行某种运算或变换的符号 算符只是一种运算符号 所以它单独存在 是没有意义的 仅当它作用于波函数上 对波 函数做相应的运算才有意义 算符只是一种运算符号 所以它单独存在 是没有意义的 仅当它作用于波函数上 对波 函数做相应的运算才有意义 拉普拉斯算符拉普拉斯算符拉普拉斯算符拉普拉斯算符 Laplace operator 2 2 2 rErrV m rrrh A 2 4 2 4 量子力学中物理量的数学表达量子力学中物理量的数学表达量子力学中物理量的数学表达量子力学中物理量的数学表达为什么要引入算符 为什么要引入算符 为什么要引入算符 为什么要引入算符 量子力学中 如果给定了微观粒子的状态 如何 预测某一物理量的测量结果 经典物理中 体系的物理量可以通过以r和p为自 变量 它们表示粒子的状态 的函数来获得 如 微观粒子的量子态可以由波函数波函数波函数波函数来描述 波函数 包含了粒子该量子态的所有信息 波函数的模方 表征找到粒子的概率 波函数随时间的演化符合 薛定谔方程 量子力学中的物理量与波函数没有直接的关系 物理量与波函数没有直接的关系 即不能由体系的波函数直接得到某一物理量的取 值 而且一个物理量的取值也不唯一 量子力学中的物理量用算符算符算符算符表示 2 2 EpmV r 6 单位算符单位算符单位算符单位算符 dx d ipxh p r h r ip riprL r h rr r xyxyz zxzxy yzyzx yxipypxL xzipxpzL zyipzpyL h h h VTH 常用算符常用算符常用算符常用算符 动量算符动量算符动量算符动量算符 HamiltonHamilton算符算符算符算符 角动量算符角动量算符角动量算符角动量算符 dy d ipyh dz d ipzh 算符算符算符算符的本征值和本征函数的本征值和本征函数的本征值和本征函数的本征值和本征函数 EV 2 2 h A An n 称为算符称为算符称为算符称为算符 的一个的一个的一个的一个本征值本征值本征值本征值 n n 为相应的为相应的为相应的为相应的本征函数本征函数本征函数本征函数 体系处于算符本征函数所描写的状态 称为体系处于算符本征函数所描写的状态 称为体系处于算符本征函数所描写的状态 称为体系处于算符本征函数所描写的状态 称为本征态本征态本征态本征态 能量本征方程能量本征方程能量本征方程能量本征方程 nnn AA EH 关于量子体系状态的描述 关于量子体系状态的描述 波动力学波动力学和和矩阵力学矩阵力学这两种 方法的共同特点是 与体系有关的所有信息都由 这两种 方法的共同特点是 与体系有关的所有信息都由波函数波函数波函数波函数 给出 问题是 能否不从单一角度描述体系 而用统一 的方式全面概括体系的所有性质及概念 给出 问题是 能否不从单一角度描述体系 而用统一 的方式全面概括体系的所有性质及概念 狄拉克狄拉克狄拉克狄拉克从数学 理论方面 构造了一个抽象的 一般矢量 从数学 理论方面 构造了一个抽象的 一般矢量 态矢态矢 并引 进了一套 并引 进了一套 狄拉克符号狄拉克符号 简捷 灵活地描述量子力学体 系的状态 简捷 灵活地描述量子力学体 系的状态 量子力学的理论表述 常采用量子力学的理论表述 常采用DiracDirac符号符号符号符号 它有两个优 点 一是可以无须采用具体表象来讨论问题 二是运算 简捷 它有两个优 点 一是可以无须采用具体表象来讨论问题 二是运算 简捷 狄拉克符号是量子力学中广泛应用于描述量子态的一套 标准符号系统 狄拉克符号是量子力学中广泛应用于描述量子态的一套 标准符号系统 在这套系统中 每一个量子态都被描述为在这套系统中 每一个量子态都被描述为Hilbert空间中 的态矢量 定义为右矢 空间中 的态矢量 定义为右矢 ket 每一个右矢的复数共轭定义为其左矢每一个右矢的复数共轭定义为其左矢 bra bracket 括号括号 Dirac Dirac 符号符号符号符号 Dirac Dirac bracket bracket notation notation Dirac Dirac 符号符号符号符号 Dirac Dirac bracket bracket notation notation drtrtr rr drtrtr 2 121 rr drtrOtrOO rr 1221 drtrdrtrtr 2 rrr 1 21 0 21 xaxA aa aa aaA a aaaaaaaa adxxaxdxxAxAA 为厄米算符 为本征值为厄米算符 为本征值A a 等式两边左乘 再积分等式两边左乘 再积分 x a 归一化正交归一化正交 2 5 2 5 薛定谔方程的近似解法薛定谔方程的近似解法薛定谔方程的近似解法薛定谔方程的近似解法 数值积分数值积分数值积分数值积分 numerical integration numerical integration 变分法变分法变分法变分法 variationalvariational method method 矩阵法矩阵法矩阵法矩阵法 matrix method matrix method 微扰法微扰法微扰法微扰法 perturbation theory perturbation theory Perturbation theory is undoubtedly the most widely used approximation method in solving Schr dinger equation 将体系的哈密顿量分成两部分 一是可以严格求解的主要 部分 另一部分是比较小的扰动部分 称为微扰 例如 将一个带电粒子放置在一个附加的电场或磁场中 这个电场或磁场将可以看成微扰 微扰法广泛应用于固体能带理论和第一性原理计算等领域 微扰法微扰法微扰法微扰法 perturbation theory perturbation theory L 2 0 2 1 0 0 xfxffxf 0 0 0 0 nnn EH HHH 0 nn EH 函数的泰勒展开函数的泰勒展开函数的泰勒展开函数的泰勒展开 可严格求解的哈密顿量可严格求解的哈密顿量可严格求解的哈密顿量可严格求解的哈密顿量 为无量纲的参数为无量纲的参数为无量纲的参数为无量纲的参数 7 微扰法微扰法微扰法微扰法 perturbation theory perturbation theory 考虑非简并的状态考虑非简并的状态考虑非简并的状态考虑非简并的状态 0 0 0 0 nnnn EE L 2 2 1 0 nnnn EEEE 0 0 0 0 0 j nj njnnnj j njn aaa 基态波函数是完备的基态波函数是完备的基态波函数是完备的基态波函数是完备的 L 2 2 1 0 nnnnnnnn aaaa njforaaa njnjnj L 2 2 1 njnj a 0 lim nallfora j nj 1 1 2 1 2 2 0 2 1 2 0 2 2 nn nj nn nj njnn aaaaa nj L 1 nn a 因为因为 归一化条件归一化条件归一化条件归一化条件 微扰法微扰法微扰法微扰法 perturbation theory perturbation theory EH 薛定谔方程薛定谔方程薛定谔方程薛定谔方程可以化成如下的形式可以化成如下的形式可以化成如下的形式可以化成如下的形式 LLL 0 0 1 0 2 2 1 0 0 0 1 0 0 j nj njnnnnj nj njn aEEEaHH LLL 0 0 1 0 0 2 2 1 0 0 0 1 0 0 0 j nj njnnnnnj nj njnn aEEEaHH njjn 0 0 nj nj njjn nj njn nnnnn nnn HaHaE HHE HE r r 0 1 0 0 0 1 2 2 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 n 上式两边同乘以上式两边同乘以上式两边同乘以上式两边同乘以 由于由于由于由于 The first order shift in the energy of level n due to a small perturbation is given by the diagonal matrix element of the perturbing Hamiltonian evaluated with the unperturbed wave functions The kth order correction to the energy levels requires knowledge of the k 1 th order wavefunctions nnnnn HHE r 0 0 0 1 微扰法微扰法微扰法微扰法 perturbation theory perturbation theory LLL 0 0 1 0 2 2 1 0 0 0 1 0 0 j nj njnnnnj nj njn aEEEaHH 0 k 上式两边同乘以上式两边同乘以上式两边同乘以上式两边同乘以 nk 项为项为项为项为0 0 整理 整理 整理 整理项得 项得 项得 项得 0 1 nk kn nk kn nk kn nk nj nj njn EE H H EE H HaE 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 r r 是厄米算符 nk H r The second order shift depends on the off diagonal matrix elements but inversely weighted by the distance in energy to the state in questions thus in general states nearby in energy have a larger effect States with energy below above a given level induce a second order energy shift which is positive negative this effect is often referred to as level repulsionlevel repulsion 能级排斥 能级排斥 能级排斥 能级排斥 并积分并积分并积分并积分 0 0 0 0 1 kn nk nk EE H a 代入 得代入 得代入 得代入 得 The Nobel Prize in PhysicsThe Nobel Prize in Physics 2010 2010 for groundbreaking experiments regarding the two dimensional material graphenegraphene Andre Andre GeimGeim Born in 1958 a Dutch Russian physicist Prof at University of Manchester Konstantin Konstantin NovoselovNovoselov Born in Russia 1974 Prof at University of Manchester Student of Andre Geim Electric Field Effect in Atomically Thin Carbon Films Science 2004 306 666 669 石墨烯被认为在晶体管方面具有广泛的应用石墨烯被认为在晶体管方面具有广泛的应用石墨烯被认为在晶体管方面具有广泛的应用石墨烯被认为在晶体管方面具有广泛的应用 前景前景前景前景 石墨烯能被雕刻成具有单个晶体管的微小电石墨烯能被雕刻成具有单个晶体管的微小电石墨烯能被雕刻成具有单个晶体管的微小电石墨烯能被雕刻成具有单个晶体管的微小电 路 其尺寸比一个分子大不了多少路 其尺寸比一个分子大不了多少路 其尺寸比一个分子大不了多少路 其尺寸比一个分子大不了多少 独特的电子结构独特的电子结构独特的电子结构独特的电子结构 石墨烯是一种令人兴奋的新材料 具有非同石墨烯是一种令人兴奋的新材料 具有非同石墨烯是一种令人兴奋的新材料 具有非同石墨烯是一种令人兴奋的新材料 具有非同 寻常的属性 未来会十分有趣寻常的属性 未来会十分有趣寻常的属性 未来会十分有趣寻常的属性 未来会十分有趣 2 6 2 6 统计物理学基本概念统计物理学基本概念统计物理学基本概念统计物理学基本概念 统计物理学统计物理学统计物理学统计物理学 statistical mechanics statistical mechanics 的研究对象是大量的研究对象是大量的