optiqueWIT(巴黎十三大物理课教案_10年9月_2009级).pdf

Institut Galil e Sciences et technologies Licence 1i ere ann e Optique G om trique WIT ISPG Yann Charles isotrope la vitesse de la lumi re est ind pendante de sa direction de propagation Dans ce milieu d apr s le principe de Fermat la lumi re se d place en ligne droite On d fi nit alors le rayon lumineux comme tant la courbe suivant laquelle se propage la lumi re Les rayons lumineux n interagissent pas entre eux Dans tout ce cours sauf pr cision nous consid rerons uniquement des milieux homog nes iso tropes La vitesse de propagationV de la lumi re d pend de sa longueur d onde et de la nature du milieu V c n o c est la vitesse de la lumi re dans le vide c 299792458 m s 1 n est appel indice de r fraction du milieu de propagation Sa valeur d pend du milieu de propagation mais aussi de la longueur d onde du rayon lumineux Par exemple le vide n 1 l air n 1 00029 l eau n 1 33 le verre n 1 5 Nous appellerons faisceaux lumineux un ensemble de rayons lumineux Si l on consid re deux milieux homog nes et isotropes 1 et 2 d indice de r fraction respectivement n1et n2 on dit que le milieu 2 est plus r fringent que le milieu 1 si n1 n2 et si l angle d incidence i1est tel que 1 sin i1 n2 n1 alors nous aurions sin i2 1 ce qui est impossible Dans ces conditions le rayon r fract n existe pas il s agit du cas de la r fl exion totale la surface de s paration agit comme un miroir fi gure 4 A l inverse si le rayon incident rase la surface de s paration i1 2 et que le milieu de r fraction est plus r fringent que le milieu incident le rayon r fract fait un angle limite maximal avec la normale au plan de s paration tel que sin i2 n1 n2 Le rapport n1 n2est appel indice relatif du milieu 2 par rapport au milieu 1 Si ce dernier est l air indice n 1 alors l indice relatif de tous milieux est 1 n 7 n1 n2 n1 i1 asin n2 n1 n1 n2 n1 i2 asin n1 n2 r fl xion totalepas de r fraction FIGURE4 Angles limites S paration des milieux i1 i2 n1 n2 i1 i2 n1 n2 FIGURE5 Principe du retour inverse de la lumi re 2 4 2Retour inverse de la lumi re Le trajet suivit par la lumi re est ind pendant de son sens de propagation fi gure 5 2 5 Construction g om triques des rayons r fl chis et r fract s Soit un dioptre dont les indices des milieux incident et r fract sont respectivement n1et n2 Nous nous placerons dans le plan d incidence Le rayon incident fait un angle i1avec la normale la surface de s paration donc l angle r fl chi fait galement un angle i1avec la normale Soit deux demi cercles de rayon R1et R2proportionnels aux indices de r fraction n1et n2 fi gure 6 Nous savons que n1sin i1 n2sin i2 Or nous pouvons exprimer sin i1 en fonction des donn es g om triques sin i1 IH IA 8 n1 n2 i1 n1 n2 i1 i2i2 H H A I I A B B FIGURE6 Construction g om trique des rayons r fract s et donc sin i2 n1 n2 IH IA Comme de plus R1 n1 R2 n2 et que IA R1 alors R2 n2 n1 IA et nous en d duisons que sin i2 IH R2 L angle i2est donc l angle au sommet d un triangle dont I et H sont deux points et qui est rectangle en H Le troisi me point de ce triangle est donc le point B intersection des droites AH et du cercle associ n2 Nous pouvons aussi visualiser et dessiner les angles limites en fonction de la r fringence relative du milieu 2 fi gure 7 2 6R fraction dans des milieux non homog nes Dans certains cas la lumi re se propage dans des milieux dont l indice de r fraction varie rapidement mi lieux non homog nes La lumi re est donc d vi e au fur et mesure de sa propagation et non ponctuellement comme dans le cas des dioptres Pour comprendre la progression des rayons lumineux dans ces milieux nous consid rerons une succession de milieux homog nes et isotropes d indices diff rents fi gure 8 A chaque changement d indice le rayon lumineux est d vi pouvant ventuellement atteindre l angle limite de r fraction et ne produire qu un rayon r fl chi Ce ph nom ne est l origine des mirages les rayons lumineux sont d vi s au voisinage du sol du fait d une variation de l indice de r fraction L observateur re oit donc des rayons lumineux qui proviennent d un objet qui n est pas face lui bien qu il le voit devant lui 9 n1 n2 n1 n2 H A H B I I A B FIGURE7 Construction g om trique des angles limites n1 n2 n3 n4 n5 n variable Mirage Observateur Objet FIGURE8 Propagation dans des milieux non homog nes 10 3Objets et images 3 1 D fi nitions Objet et image Soit un point A si tous les rayons lumineux issus de A et passant au travers du syst me optique ar rivent en un point B alors B est appel image de l objet A Du fait du principe de retour inverse A et B peuvent changer de r le l objet devient l image et r ciproquement on dit que A et B sont conjugu s Stigmatisme Lorsque tous les rayons issus de A passent en B apr s un syst me optique on dit que l on r alise le stigmatisme rigoureux pour le couple AB Cette propri t est tr s diffi cile obtenir dans la r alit m me pour des syst mes simples Aplan tisme Soit un syst me optique poss dant un axe de sym trie ou axe optique le syst me est dit centr si cette sym trie est de r volution On dit que le syst me est aplan tiste si tout objet plan orthogonal l axe optique poss de une image plane et normale galement cet axe En g n ral les syst mes optiques poss dent cette propri t 3 2Nature des objets et des images On distingue en optique deux types d objets et d images r els et virtuels On prend le sens de propagation de la lumi re pour d fi nir l amont le d part et l aval l arriv du syst me optique miroir lentilles Un objet situ en amont du syst me optique est r el S il est en aval alors l objet est virtuel Une image situ e en aval du syst me optique est r elle Si elle est en amont alors elle est virtuelle Par exemple les syst mes repr sent s fi gure 9 Syt me optique AB 1 Syt me optique A 2 B Syt me optique II C Syt me optique I AB 3 FIGURE9 Nature des objets et des images 11 Pour le syst me 1 le point A est un objet r el et le point B une image r elle Pour le syst me 2 le point A est un objet r el et le point B une image virtuelle Pour le syst me 3 I le point A est un objet r el et le point B une image r elle Pour le syst me 3 II le point B est un objet virtuel et le pointC une image r elle Pour le syst me 3 I 3 II le point A est un objet r el et le pointC une image r elle 3 3Image d un objet tendu Dans le cas g n ral un objet n est pas un point mais un ensemble de points L image est alors d fi nie comme l ensemble des points images Prenons l exemple d une chambre noire toute la lumi re passe par un orifi ce qui constitue le syst me optique fi gure 10 Objet Image Objet ponctuel Image FIGURE10 Chambre noire Chaque point de l objet poss de un conjugu sur le plan de l image et l ensemble correspond l image de l objet Ce dispositif est appel st nop il a t beaucoup utilis par les peintres du XVII me si cle pour d fi nir un guide pour leurs peintures Si le trou est petit alors pour chaque point image un seul rayon passera par le trou et l image associ e sera ponctuelle En revanche la quantit de lumi re sera faible au niveau de l image A l inverse un trou important illuminera le plan image mais l image sera fl ou car chaque point objet correspondra une tache plusieurs rayons peuvent partir de l objet fi gure 10 Ce syst me est astigmate les rayons issus d un point ne se rencontrent jamais apr s tre pass s au travers du syst me optique 3 4Conditions de Gauss Soit un syst me optique centr qui poss de un axe de sym trie constitu d un dioptre Nous allons d terminer les conditions pour lesquelles ce syst me poss de un stigmatisme rigoureux et r alise l aplan tisme 3 4 1 Cas d un objet une distance infi nie Comme l objet est l infi ni tous les rayons sont parall les les uns aux autres en arrivant sur la surface de s paration des deux milieux ils sont donc r fract s de la m me mani re et resterons parall les dans le milieu 2 Un observateur verra donc l image de l objet l infi ni fi gure 11a Dans ces conditions tous les rayons issus 12 de l objet l infi ni se croiserons en un m me point image galement l infi ni ce syst me optique r alise un stigmatisme rigoureux n1 n2 n1 Objet Observateur Image n1 n2 n1 Observateur A B H i2 i1 I a Objet une distance inifinie b Objet une distance finie FIGURE11 Stigmatisme d un dioptre 3 4 2 Cas d un objet une distance fi nie Soit un objet A situ une distance donn e de la surface de s paration des deux milieux r fringents fi gure 11b La droite AH est normale au dioptre le rayon lumineux suivant AH n est pas d vi lors du passage d un milieu un autre L image B du point A est alors n cessairement sur la droite AH Consid rons pr sent un second rayon lumineux issu de A faisant un angle i1avec la normale la surface de s paration des deux milieux Soit B le point d intersection du rayon r fract avec la normale AH si le syst me poss de un stigmatisme rigoureux alors B doit tre ind pendant de l angle d incidence du rayon lumineux Nous pouvons d duire g om triquement les relations entres les diff rentes distances tan i1 HI AH tan i2 HI BH et nous en d duisons BH AH tan i1 tan i2 Comme le rapport sin i1 sin i2est constant d apr s les lois de Descartes alors tan i1 tan i2varie et B n est pas ind pendant de l angle d incidence Le syst me n a pas de stigmatisme rigoureux pour des points distance fi nie de la surface de s pa ration il est astigmate 13 3 4 3Les conditions de Gauss Comme nous l avons vu les conditions pour qu un syst me centr v rifi e les conditions de stigmatisme et d aplan tisme approch s sont les points de l objet ne sont pas trop loign s de l axe optique les rayons lumineux sont peu inclin s par rapport l axe optique Ces deux conditions constituent les conditions de Gauss 14 4Les lentilles 4 1 D fi nitions Lentille Une lentille est un milieu homog ne isotrope transparent dont au moins l une des faces n est pas plane On peut interpr ter une lentille comme une somme de diff rents prismes fi gure 12 Lentille mince Une lentille est dite mince lorsque son paisseur est faible compar e au rayon de courbure de ses faces Dans le cadre des conditions de GAUSS les lentilles minces sph riques r alisent un stigmatisme et un aplan tisme approch s Centre optique On d signe par centre optique le point de l axe optique au centre de la lentille c est l axe passant par les deux centres des dioptres formant la lentille On le note O Le prisme La lentille vue comme une superposition de prismes FIGURE12 Une lentille comme plusieurs prismes 4 2Types de lentilles Il existe deux types de lentilles optiques les lentilles convergentes et les lentilles divergentes Les lentilles convergentes transforment un faisceau de rayons parall les en un faisceau qui converge vers un pointenavaldelalentilles leslentillesdivergentestransformentunfaisceauderayonsparall lesenunfaisceau qui converge vers un point en amont de la lentille fi gure 13 a Lentille convergente b Lentille divergente Axe optique FIGURE13 Lentilles convergentes et divergentes 15 Ces deux types de lentilles se d composent en plusieurs sous types selon la forme de leurs deux faces fi gure 14 Cependant chaque sous type est sch matis de la m me mani re FIGURE14 Diff rents types de lentilles 4 3Propri t s des lentilles convergentes et divergentes 4 3 1Distances focales plan focaux et foyers d une lentille convergente Distance focale objet OF Tous les rayons qui passent par F foyer objet ressortent parall les fi gure 15 FIGURE15 Distance focale objet d une lentille convergente Distance focale image OF0 Tous les rayons qui arrivent parall les passent par F0 foyer image fi gure 16 16 FIGURE16 Distance focale image d une lentille convergente Plan focal image Tous rayons qui arrivent parall les se croisent sur le plan focal image fi gure 17 Plan focal objet Tous rayons qui se croisent dans le plan focal objet repartent parall les entres eux cette distance est positive si F est en aval de O et n gative sinon Pour les syst mes optiques dont les milieux d entr e et de sortie sont identiques les distances focales deviennent gales en valeur absolue F est donc le sym trique de F0par rapport O 4 3 2Distances focales plan focaux et foyers d une lentille divergente Distance focale objet OF Tous les rayons qui passent par F foyer objet ressortent parall les fi gure 18 Distance focale image OF0 Tous les rayons qui arrivent parall les passent par F0 foyer image fi gure 19 Plan focal image Tous rayons qui arrivent parall les se croisent sur le plan focal image fi gure 20 Plan focal objet Tous rayons qui se croisent dans le plan focal objet repartent parall les entres eux 17 FIGURE18 Distance focale objet d une lentille divergente FIGURE19 Distance focale image d une lentille divergente FIGURE20 Plan focal objet d une lentille divergente 4 4Construction d une image pour une lentille convergente 4 4 1Rayons lumineux particuliers Il existe trois types de rayons lumineux aux propri t s simples que l on utilisera pour la mod lisation gra phique pour une lentille convergente Tous les rayons incidents passant par O ne sont pas d vi s Tous les rayons incidents parall les l axe optique passent par F0 foyer image Tous les rayons incidents passant par F foyer objet ressortent parall le l axe optique 18 FIGURE21 Rayons particuliers pour la construction de l image A de A lentille conver gente 4 4 2Cas g n ral Soit un objet en amont de la lentille Pour un point quelconque de l objet tous les rayons issus de ce point convergent en un point de l image C est vrai pour deux rayons particuliers le rayon passant par le centre optique le rayon parall le l axe optique Le premier ne sera pas d vi par la lentille et le second passe par le foyer image F0 fi gure 22 Le point d in tersection de ces deux rayons est le point image du point objet F O B F A F O B F A FIGURE22 Construction d une image dans un cas g n ral 4 5Construction d une image pour une lentille divergente La construction des images pour une lentille divergent est similaire celle des lentilles convergentes sauf que les foyers images et objets sont invers s fi gure 23 19 F O B F A F O B F A FIGURE23 Construction d une image avec une lentille divergente 4 6Prolongement d un rayon quelconque La m thode pour d terminer le prolongement d un rayon se d duit des m thodes de construction des images En effet un faisceau de rayons parall les r fract converge vers un m me point situ sur le plan focal image Ce point sera donc l image d un objet l infi ni dans la direction du rayon incident que l on souhaite prolonger Cette prolongation est donc le rayon passant par ce point image fi gure 24 4 7Aberrations Les lentilles optiques ne forment pas des images parfaites l image d un point n est g n ralement pas un point mais une tache un paquet de points Ces d fauts sont des aberrations il y a les aberrations chroma tiques et les aberrations g om triques Ces aberrations n existent pas pour les miroirs car la lumi re n est que r fl chie et ne passe pas par des milieux diff rents 4 7 1Aberrations g om triques Ces aberrations sont dues l cart des conditions de Gauss mesure que les rayons s loignent de l axe optique le syst me optique devient astigmate et le foyer image dispara t Un faisceau de rayons parall les venant d un objet plac l infi ni ne donnera pas une image ponctuelle sur le plan focal image mais une tache fi gure 25 20 B F OF F OF FIGURE24 Prolongation d un rayon Plan focal image FIGURE25 Aberration g om trique 4 7 2Aberration chromatique Dans les mat riaux usuels tel que le verre l indice de r fraction vu par un rayon lumineux d pend de sa longueur d onde comme repr sent sur la fi gure 26 La loi de variation de n en fonction de est connue sous le nom de loi de Cauchy n A B 2 o A et B sont des constantes d pendant du mat riaux On constate que si un rayon polychromatique est r fract par une lentille les diff rentes longueurs d ondes ne suivront pas le m me trajet chaque longueur d onde correspondra un foyer et un plan focal image dif f rent Si l on consid re le plan focal image id al au lieu d un point nous verrons une t che color e fi gure 27 21 Indice n 400 bleu 800 rouge Longueur d onde mm FIGURE26 Variation de l indice optique en fonction de la longueur d onde Lumi re blanche FIGURE27 Aberration chromatique 4 8Formules de conjugaison 4 8 1Grandissement lin aire Le grandissement est le rapport entre les longueurs alg briques des images BB0et des objets AA0 fi gure 28 FIGURE28 D termination du grandissement d une lentille 22 D apr s le th or me de Thal s pour les triangles OAB et OA0B0 A0B0 AB OA0 OA est le grandissement sa valeur est positive ou n gative car les longueurs sont alg briques 4 8 2Formule de Descartes Soient un objet et son image fi gure 29 Le raisonnement suivant est vrai pour des lentilles convergentes ou divergentes F O B F B Objet Image A A FIGURE29 Formule de Descartes D apr s le th or me de Thal s A0B0 AB F0A0 F0O soit A0B0 F0A0 AB F0O Or nous pouvons crire plus simplement FO f0 soit avec f0 AB A0B0 F0A0 F0A0 De plus F0A0 OA0 OF0 OA0 f et donc f0 OA0 f On en d duit donc que f0 OA OA0 OA0OA La formule de Descartes donne la position de l image sur l axe optique en fonction de la position de l objet 1 OA0 1 OA 1 f0 23 4 8 3Vergence de la lentille La vergence V est l inverse de la distance focale elle s exprime en dioptrie ou m 1 On peut montrer que V 1 f0 n 1 R1 R2 avec n l indice de la lentille et Ri OCi o Ciest le centre du cercle de la face i avec i 1 pour la face amont et i 2 pour la face aval Soit les lentilles repr sent es fi gure 30 les rayons des deux faces sont de 12 mm donc R1 OC1 12 et R2 OC2 12 Avec n 1 67 nous obtenons pour la lentille divergente 1 f0 1 90 soit f0 90mm Il s agit du m me calcul dans le cas de la lentille convergente avec le signe oppos O C2 C1 O C1 C2 FIGURE30 Calcul de la distance focale d une lentille 4 9Miroir sph rique concave Les miroirs sph riques concaves sont des portions de sph res creuses dont le centre est C On positionne le miroir sur l axe optique pour tre dans les conditions de Gauss c est dire passant par C Le point S est l in tersection de l axe optique et du miroir Un rayon qui arrive sur le miroir est r