大学物理教程第7章.pdf

171 习题习题 7 7 7 1 如图所示的弓形线框中通有电流I 求圆心O处的磁感应强度B 解 圆弧在 O 点的磁感应强度 00 1 46 II B RR 方向 直导线在 O 点的磁感应强度 00 00 2 0 3 sin60sin 60 4cos602 II B RR 方向 总场强 0 31 23 I B R 方向 7 2 如图所示 两个半径均为 R 的线圈平行共轴放置 其圆心 O1 O2相距为 a 在两线圈 中通以电流强度均为 I 的同方向电流 1 以 O1O2连线的中点 O 为原点 求轴线上坐标为 x 的任 意点的磁感应强度大小 2 试证明 当aR 时 O 点处的磁场最为均匀 解 见书中载流圆线圈轴线上的磁场 有公式 2 0 3 22 2 2 IR B Rz 1 左线圈在 x 处P点产生的磁感应强度 2 0 1 3 22 2 2 2 P IR B a Rx 右线圈在 x 处P点产生的磁感应强度 2 0 2 3 22 2 2 2 P IR B a Rx 1P B 和 2P B 方向一致 均沿轴线水平向右 P点磁感应强度 12PPP BBB 2 33 0 2222 22 222 IR aa RxRx 2 因为 P B随x变化 变化率为 dB d x 若此变化率在0 x 处的变化最缓慢 则 O 点处的 磁场最为均匀 下面讨论 O 点附近磁感应强度随x变化情况 即对 P B的各阶导数进行讨论 对B求一阶导数 dB d x 2 55 0 2222 22 3 22222 IR aaaa xRxxRx 当0 x 时 0 dB dx 可见在 O 点 磁感应强度B有极值 对B求二阶导数 172 2 2 ddBd B dx dxdx 22 2 0 5757 22222222 2222 5 5 3 11 22 2 2222 aa xx IR aaaa RxRxRxRx 当0 x 时 2 0 2 x d B dx 22 2 07 22 2 3 2 aR IR a R 可见 当aR 时 2 0 2 0 x d B dx O 点的磁感应强度B有极小值 当aR 时 2 0 2 0 x d B dx O 点的磁感应强度B有极大值 当aR 时 2 0 2 0 x d B dx 说明磁感应强度B在 O 点附近的磁场是相当均匀的 可看成匀 强磁场 利用此结论 一般在实验室中 用两个同轴 平行放置的N匝线圈 相对距离等于线圈 半径 通电后会在两线圈之间产生一个近似均匀的磁场 比长直螺线管产生的磁场方便实验 这样的线圈叫亥姆霍兹线圈 7 3 无限长细导线弯成如图所示的形状 其中c部分是在xoy 平面内半径为R的半圆 试求通以电流I时O点的磁感应强度 解 a 段对 O 点的磁感应强度可用 0 S B dlI 求得 有 0 4 a I B R 0 4 a I Bj R b 段的延长线过O点 0 b B c 段产生的磁感应强度为 00 44 c II B RR 0 4 c I Bk R 则 O 点的总场强 00 44 O II Bjk RR 方向如图 7 4 在半径cm1 R的无限长半圆柱形金属片中 有电流A5 I 自下而上通过 如图所示 试求圆柱轴线上一点P处的磁感应强 度的大小 解 将半圆柱形无限长载流薄板细分成宽为dlRd 的长直电 流 有 dld dI R 利用 0 S B dlI 173 在 P 点处的磁感应强度为 00 2 22 dIId dB RR 0 2 sinsin 2 x I dBdBd R 而因为对称性 0 y B 那么 00 5 22 0 sin6 37 10 2 xx II BBdBdT RR 7 5 如图所示 长直电缆由半径为 R1的导体圆柱与同轴的内外半径分别为 R2 R3的导体圆 筒构成 电流沿轴线方向由一导体流入 从另一导体流出 设电流强度 I 都均匀地分布在横 截面上 求距轴线为 r 处的磁感应强度大小 r0 解 利用安培环路定理 0 S B dlI 分段讨论 1 当 1 0rR 时 有 2 10 2 1 2 r I Br R 0 1 2 1 2 Ir B R 2 当 12 RrR 时 有 20 2BrI 0 2 2 I B r 3 当 23 RrR 时 有 22 2 30 22 32 2 rR BrII RR 22 3 2 0 3 22 3 2 I B Rr Rr R 4 当 3 rR 时 有 40 2 BrII 4 0B 则 0 2 1 0 1 12 22 3 23 22 32 3 0 0 0 2 2 2 rR RrR B Rr RrR Ir R I r Rr r I R R 7 6 一 边 长 为l 0 15m的 立 方 体 如 图 放 置 在 均 匀 磁 场 631 5 T Bijk中 计算 1 通过立方体上阴影面积的磁通量 2 通过立方体六面的总磁通量 解 1 通过立方体上 右侧 阴影面积的磁通量为 Wb135 015 066 5 136 2 1 SSS m dSidSkjiSdB 174 2 由于立方体左右两个面的外法线方向相反 通过这两个面的磁通量相互抵消 同理 上下两面和前后两面各相互抵消 因此通过立方体六面的总磁通量为 0 7 7 一根很长的直导线 载有电流 10A 有一边长为 1m 的正方形平面与 直导线共面 相距为 1m 如图所示 试计算通过正方形平面的磁感应通量 解 将正方形平面分割成平行于直导线的窄条 对距离直导线为 x 宽度 为 dx 的窄条 通过的磁通量为 dx x I dx x I Bldxd m 2 1 2 00 通过整个正方形平面的磁通量为 Wb10412 22 6 0 2 1 0 ln I dx x I m 7 8 如图所示 在长直导线旁有一矩形线圈 导线中通有电流 1 20A I 线 圈中通有电流 2 10A I 已知 d 1cm b 9cm l 20cm 求矩形线圈上所受到的 合力是多少 解 矩形线圈上下两边所受的磁力相互抵消 矩形线圈左边所受的磁力为 N108 2 4 10 2121 d I lIlBIF 方向向左 矩形线圈右边所受的磁力为 N108 2 5 10 2222 bd I lIlBIF 方向向右 矩形线圈上所受到的合力为 N102 7 4 21 FFF 方向向左 7 9 无限长直线电流 1 I与直线电流 2 I共面 几何位置如图所示 试求直线电流 2 I受到电流 1 I磁场的作用力 解 在直线电流 2 I上任意取一个小电流元dlI2 此电流元到长直线的距离为x 无限长直线电流 1 I 在小电流元处产生的磁感应强度为 0 1 2 I B x 再利用dFIBdl 考虑到 0 cos60 dx dl 有 0 1 2 0 2cos60 I I dx dF x 0 1 20 1 2 0 ln 2cos60 b a I II I dxb F xa 175 7 10 一半径为R的无限长半圆柱面导体 载有与轴线上的 长直导线的电流I等值反向的电流 如图所示 试求轴线上长 直导线单位长度所受的磁力 解 设半圆柱面导体的线电流分布为 1 I i R 如图 由安培环路定理 i电流在O点处产生的磁感应强度为 0 2 i dBRd R 可求得 001 2 0 sin 2 Oy iRI BdBd RR 又 dFIdlB 故 0 1 2 2 2 O I I dFB I dldl R 有 0 1 2 2 I I dF f dlR 而 21 II 所以 2 0 2 I dF f dlR 7 11 有一根U形导线 质量为m 两端浸没在水银槽中 导线水平部分的长度为l 处在磁感应强度大小为B的均匀 磁场中 如图所示 当接通电源时 U导线就会从水银槽中 跳起来 假定电流脉冲的时间与导线上升时间相比可忽略 试由导线跳起所达到的高度h计算电流脉冲的电荷量q 解 接通电流时有FBIl dv mBIl dt 而 dq I dt 则 mdvBldq 积分有 0 vm mv qdv BlBl 又由机械能守恒 mghmv 2 2 1 有 ghv2 2 mvm qgh BlBl 7 12 截面积为S 密度为 的铜导线被弯成正方形的三边 可以绕水平轴O O 转动 如图 14 53 所示 导线放在方向竖 直向上的匀强磁场中 当导线中的电流为I时 导线离开原来 的竖直位置偏转一个角度 而平衡 求磁感应强度 解 设正方形的边长为a 质量为m aSm 平衡时重力矩等于磁力矩 由 m MpB 磁力矩的大小 202 sin 90 cosMBIaBIa 重力矩为 sin2sin2sin 2 a Mmgamgmga O y dB 176 平衡时 2cos 2sinBIamga 22 tantan mggS B IaI 7 13 在电子显像管的电子束中 电子能量为 12000eV 这个显像管的取向使电子水平地由 南向北运动 该处地球磁场的竖直分量向下 大小为 5 5 5 10 T 问 1 电子束受地磁场的影响将偏向什么方向 2 电子的加速度是多少 3 电子束在显像管内在南北方向上通过 20cm时将偏离多远 解 1 根据fqvB 可判断出电子束将偏向东 2 利用 2 2 1 mvE 有 m E v 2 而maqvBf 114 1028 6 2 sm m E m qB m qvB a 3 22 11 3mm 22 L yata v 7 14 如图所示 一个带有电荷q 0q 的粒子 以速度v平行于均匀 带电的长直导线运动 该导线的线电荷密度为 0 并载有传导 电流I 试问粒子要以多大的速度运动 才能使其保持在一条与导线距离 为d的平行线上 解 由安培环路定律 0 l B dlI 知 电流I在q处产生的磁感应强度为 0 2 I B d 方向 运动电荷q受到的洛仑兹力方向向左 大小 0 2 q vI FqvB d 洛 同时由于导线带有线电荷密度为 在q处产生的电场强度可用高斯定律求得为 0 2 E d q受到的静电场力方向向右 大小 0 2 q F d 电 欲使粒子保持在一条与导线距离为d的平行线 需FF 洛电 即 0 2 qvI d 0 2 q d 可得 00 v I 思考题 7 1 在图 a 和 b 中各有一半径相同的圆形回路 1 L 2 L 圆周内有电流 1 I 2 I 其分布相同 且均在真空中 但在 b 图中 2 L回路外有电流 3 I 1 P 2 P为两圆形回路 上的对应点 则 12 12 dd PP LL A BlBl BB 12 12 dd PP LL B BlBl BB B 电子束方向 南北 177 12 12 dd PP LL C BlBl BB 12 12 dd PP LL D BlBl BB 答 B的环流只与回路中所包围的电流有关 与外面的电流无关 但是回路上的磁感应强 度却是所有电流在那一点产生磁场的叠加 所以 C 对 7 2 哪一幅图线能确切描述载流圆线圈在其轴线上任意点所产生的B随x的变化关系 x 坐标轴垂直于圆线圈平面 原点在圆线圈中心O 答 载流圆线圈在其轴线上任意点所产生的磁感应强度 2 3 22 2 0 2xR IR B 0 x时 R I B 2 0 xR 2 0 3 2 IR B x 根据上述两式可判断 C 图对 7 3 取一闭合积分回路L 使三根载流导线穿过它所围成的面 现改变三根导线之间的相 互间隔 但不越出积分回路 则 A 回路L内的 I不变 L上各点的B不变 B 回路L内的 I不变 L上各点的B改变 C 回路L内的 I改变 L上各点的B不变 D 回路L内的 I改变 L上各点的B改变 答 B 对 7 4 一载有电流I的细导线分别均匀密绕在半径为R和r的长直圆筒上形成两个螺线管 rR2 两螺线管单位长度上的匝数相等 两螺线管中的磁感应强度大小 R B和 r B应满 足 2 Rr A BB Rr B BB 2 Rr CBB 4 Rr D BB 答 对于长直螺线管 nIB 0 由于两螺线管单位长度上的匝数相等 所以两螺线管磁 感应强度相等 B 对 178 7 5 均匀磁场的磁感应强度B垂直于半径为r的圆面 今