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学院 年级 班 学号 姓名 -线- - -封- -密- 重庆大学研究生2010级工科硕士生矩阵论 考试试卷A(考试时间：2010年12月10日 晚7：00-9：00 考试方式：闭卷A) 成绩： 一、（15分）设, 试求 . 解： (4分)利用长除法或待定系数法求的 （5分）由于 所以 =A+2E (3分)所以原式= (3分)二、（15分）定义在由数域上次数不超过2的多项式构成的线性空间,对任意的,定义.证明： (1) 构成的内积,从而对这个内积构成欧氏空间; （2）证明为中一组基; (3) 求对基坐标.解：证：(1) 对称性：。 （2分） 可加性： 对，有。 （2分） 齐次性：对，有。 （2分） 非负性：显然有，且。从而构成内积。 （2分）(2) 先证线性无关。假定存在三个常数，使得：显然要使得该等式恒成立，必有：，从而线性无关。 （1分）其次，任意多项式 均由线性表示。故得证。 (1分)(3) 方法一，假定存在三个常数使得= 展开比较。即有坐标为。 （5分）(4) 方法二， 所以有即有坐标为。 共4页，第1页 学院 年级 班 学号 姓名 -线- - -封- -密-三、（10分）证明：设是上的方阵范数, 是可逆矩阵且. 对于任意矩阵,规定. 证明：是上的方阵范数. 证明：1.非负性：（1）（2）是可逆矩阵,（3）是可逆矩阵,（3分）2.齐次性：, （2分）3. 三角不等式:, （2分）4.次乘性：, （3分）四、（5分）设若存在一种矩阵范数使得则证明：1.（2分）2. （2分）3. （1分）五、（5分）设。证明：相容的充要条件为。证明：若，则显然为的解，故相容。(2分)反过来，若相容，则存在，使得：， (2分)从而：。 （1分） 学院 年级 班 学号 姓名 -线- - -封- -密-六、(10分) 设矩阵求算子范数与.解：1. = （5分） 2. = （5分）七、（15分）假定(1) 求矩阵的满秩分解； (5分)(2) 求； (5分)(3) 判断方程组是否相容？若相容，求其最小范数解；若不相容，求其极小最小二乘解。(5分)解：（1），故矩阵的满秩分解为：。（2），。（3）因为，所以方程组是不相容。从而其极小最小二乘解为：。八、（15分）设求解常微分方程组的初值问题. 解：1.求出最小多项式.（5分）2.求出.设于是（3分） .（5分）3.求解方程组：（2分） 学院 年级 班 学号 姓名 -线- - -封- -密-九、（10分）令，。试用圆盘定理估计矩阵的特征值分布范围，并在复平面上画出示意图；为了得到更精确的结果，请利用矩阵的盖尔圆盘来隔离矩阵的特征值。解：（1） 由矩阵盖尔圆的定义，易求得三个盖尔圆分别为： 。（3分） （2） 显然，三个盖尔圆有两个在复平面上相交。(图略)（4分） （3）令。（6分） 于是此时可进一步求得的三个盖尔圆分别为：。显然，此时三个盖尔圆两两不再相交。
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