习文教育高二上学期数学寒假作业 (六).pdf

习文教育高二上学期寒假作业 六 班级姓名学号 一 选择题 本大题共 12 个小题 每小题 5 分 共 60 分 1 等轴双曲线的离心率为 A 1 B 2 C 2 D 4 2 已知抛物线 y 2x2 则焦点坐标为 A 1 2 0 B 0 1 2 C 0 1 8 D 0 1 8 3 一动圆与圆 O1 x 3 2 y2 1 外切 与圆 O2 x 3 2 y2 81 内切 则动圆圆心的轨迹是 A 抛物线 B 双曲线 C 椭圆 D 圆 4 已知抛物线顶点在原点 焦点在 y 轴上 抛物线上一点 P m 1 到焦点的距离为 5 则抛物线方程为 A x2 8y B x2 8y C x2 16y D x2 16y 5 已知双曲线 2 2 2 y a x 1 a 0 的一条准线与抛物线 y2 6x 的准线重合 则该双曲线 的离心率为 A 3 2 B 3 2 C 6 2 D 2 3 3 6 椭圆 36 y 100 x 22 1 上 一点 P 到右准线的距离为 10 则该点在左焦点的距离 A 8 B 10 C 12 D 14 7 若直线 y kx 2 与双曲线 x2 y2 6 的右支有两个没的交点 则 k 的取值范围是 A 3 15 3 15 B 1 3 15 D 0 3 15 C 3 15 0 8 过双曲线 2x2 y2 2 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A B 两点 当 AB 4 时 这样的 直线有 条 A 4 B 3 C 2 D 1 9 已知点 P 8 1 平分双曲线 x2 4y2 4 的一条弦 则该弦所在直线的斜率为 A 1 B 2 C 1 2 D 1 4 10 已知点 P 在圆 x2 y 2 2 1 上 点 Q 在抛物线 x2 y 上 则 PQ 的最小值为 A 0 B 1 C 2 7 1 D 2 7 11 已知 AB 是经过抛物线 y2 2px p 0 焦点的弦 则 AB 为直径的圆必与抛物线的准线 A 相交 B 相切 C 相离 D 无关系 12 如图 P 是椭圆 9 y 25 x 22 1 上的一点 F 是右焦点 且 OQ 1 2 OFOP OQ 4 则 P 到右准线的距离为 A 5 2 B 1 C 2 D 3 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 将答案直接写在题中横线上 13 点 P x y 在椭圆 4x2 y2 4 上 则 x y 的最大值为 14 双曲线 C 与椭圆 4 y 8 x 22 1 有相同的焦点 直线 y 3x 是 C 的一条渐近线方程 则双曲线 C 的方程为 15 已知定点 Q 4 0 P 是 x2 y2 1 上的动点 M 分 PQ 所成的比为 1 3 则动点 M 的 轨迹方程为 16 抛物线 y 1 2 x2 x 1 2 的焦点坐标为 三 简答题 本大题共小题 共 74 分 解答应写出必要的文字说明 证明或推演步骤 17 本小题 12 分 已知直线 y ax 1 与抛物线 y2 8x 只有一个公共点 求 a 的值 18 本小题 12 分 已知一双曲线离心率为 2 F1 F2分别是其左 右焦点 P 为双曲线上的点 且 F1PF2 60 PF1F2的面积为 123 求双曲线标准方程 19 本小题 12 分 已知直线 l 与椭圆 9y2 4x2 36 相交于 A B 两点 弦 AB 中点为 E 1 1 求直线 AB 的 方程 20 本小题 12 分 已知圆 O x2 y2 4ax 2ay 20a 25 0 1 无论 a 为何实数 求圆 O 恒经过的定点 2 当 a 变化时 求圆心的轨迹方程 并求这些圆中面积最小的圆的方程 21 本小题 12 分 已知直线 y x m 与椭圆 x2 4y2 4 相交于 A B 两点 O 为坐标原点 求 1 AB 2 三角形 ABO 面积的最大值 并求此时 m 的值 22 本小题 14 分 已知椭圆 G x a y b 2 2 2 2 1 a b 0 的两个焦点 F1 c 0 F2 c 0 M 为椭圆上一点 且 F1M F2M 0 1 求离心率 e 的取值范围 2 当离心率 e 取得最小值时 点 N 0 3 到椭圆上的点的最远距离为 52 求此时椭圆的方程 设斜率为 k k 0 的直线 l 与椭圆 G 相交于不同两点 A B 设 Q 为 AB 中点 问 A B 两点能否关于过点 P 0 3 3 Q 的直线对称 若能 求出 k 的取值范围 若不能 请说 明理由 习文教育高二上学期寒假作业 六 答案 一 选择题 123456789101112 BCBDDCDBBCBA 二 填空题 13 514 x y 2 2 3 1 15 22 9 1 16 xy 16 1 1 2 三 解答题 17 解 1 当 a 0 时 直线方程为 y 1 解方程组 y yx 1 8 2 得 x y 1 8 1 即直线与抛物 线只有一个交点 1 8 1 2 当 a 0 时 由方程组 yax yx 1 8 2 得 ay 2 8y 8 0 要直线与抛物线只有一个交点 则必 有 8 2 4 8 a 64 32a 0 解得 a 2 综上所述 符合条件的 a 的值为 0 或 2 18 解 设所求双曲线实半轴长为 a 半焦距为 c 虚半轴长为 b 由于 P 是双曲线上一点 由双曲线的定义有 PF 1 PF2 2a 所以有 PF1 2 2 PF 1 PF2 PF2 2 4a2 又因为三角形 PF1F2的面积等于 123 且 F1PF2 60 0 所以有1 2 PF1 PF2 sin60 0 12 3 从而 得 PF1 PF2 48 在三角形 PF1F2中由余弦定理得 F1F2 2 PF 1 2 PF 2 2 2 PF 1 PF2 cos60 0 所以有 PF1 2 PF 2 2 PF 1 PF2 4c 2 由 得 48 4c 2 96 4a2 即 a2 c2 12 0 又因为双曲线的离心率为 2 所以c a 2 即 c 2a 解 方程组 ac ca 22 120 2 得 a c 2 4 因为 b 2 c2 a2 16 4 12 所以所求双曲线的标准方程 为 xy 22 412 1 19 解 设点 A 与 B 的坐标分别是 A x1 y1 B x2 y2 设直线 AB 的斜率为 k 由于 A 与 B 都在椭圆上 所以有 9y2 2 4x 2 2 36 9y 1 2 4x 1 2 36 两式相减得 9 y2 2 y 1 2 4 x 2 2 x 1 2 0 即 9 y 2 y1 y2 y1 4 x2 x1 x2 x1 0 又因为点 E 1 1 是点 A 与 B 的中点 所以有 1 2 x1 x2 1 1 2 y1 y2 1 即 x1 x2 2 y1 y2 2 代入上式得 9 2 y2 y1 4 2 x2 x1 所以有 k yy xx 21 21 4 9 由点斜式得所求直线的方程为 y 4 9 x 1 1 即 4x 9y 13 0 20 解 1 由原方程得 x 2 y2 25 a 4x 2y 20 0 这表示过圆 x2 y2 25 与直线 4x 2y 20 0 的交点的圆系方程 解方程组 xy xy 22 25 42200 得 x y 3 4 或 x y 5 0 所以无论 a 为何实数 圆 O 恒经过定点 3 4 及 5 0 2 由原方程配方得 x 2a 2 y a 2 5 a2 4a 5 所以这个圆的圆心 O x y 必然满足 xa ya 2 从两式中消去 a 得圆心运动的轨迹方程为 x 2y 0 由上式配方得已知圆的半径 r 满足 r 2 5 a2 4a 5 5 a 2 2 1 5 当且仅当 a 2 时半径 r 取最小值5 这时圆的方程为 x 4 2 y 2 2 5 21 解 1 由于直线 y x m 与椭圆 x 2 4y2 4 交于 A B 两点 所以设 A x 1 y1 B x2 y2 则两个点的坐标是方程组 xy yxm 22 44 的解 由方程组得 5x 2 8mx 4m2 4 0 对于方程 必然有 64m 2 4 5 4m2 4 0 整理得 m2 5 5 me 2 2 所以所求椭圆的离心率的范围是 2 2 1 2 由 1 得当离心率 e 2 2 1 2 时 取得最小值 即 c a 1 2 设 c k a 2k 则由于 b 2 a2 c2 2k2 k2 k2 所以有 b k 这样椭圆的方程变为 x 2 2y2 2k2 设 P x y 是椭圆上任意一点 则必有 x 2 2y2 2k2 x2 2k2 2y2 由两点间距离公式得 PN 2 x2 y 3 2 2k2 2y2 y2 6y 9 y2 6y 2k2 9 其中 k y k 由于 PN 2是关于 y 的二次函数 且这个二次函数开口向下 对称轴为 y 3 所以当 3 k 即 0 k 3 时 函数在 y k 时取得最大值 为 PN 2 max k 2 6k 2k2 9 k2 6k 9 k 3 2 即 PN max k 3 由已知 PN max 5 2 所以有 k 3 52 k 3 52 而 k 3 523 均不合题意 舍去 当 k3 时 函数在 y 3 时取得最大值 为 PN 2 max 9 18 2k 2 9 2k2 18 由已知 PN max 52 所以 2k 2 18 50 从而有 k2 16 k 4 符合题意 这时 a 42 b 4 椭圆的方程为 xy 22 3216 1 3 设符合条件的点 A 与 B 的坐标分别是 A x1 y1 B x2 y2 其中点坐标为 Q x0 y0 由于点 A 与 B 都在椭圆上 所以有 xy 2 2 2 2 3216 1 xy 1 2 1 2 3216 1 两式相减得 xxyy 2 2 1 2 2 2 1 2 3216 0 即 xxxxyyyy 21212121 3216 0 由中点坐标公式得 x0 1 2 x1 x2 y0 1 2 y1 y2 代入上式得 x0 2ky0 从而点 Q 的坐标为 2ky0 y0 设直线 PQ 的斜率为 k1 由斜率公式得直线 PQ 的斜率 k1 y ky 0 0 3 3 2 由于 PQ 与 AB 垂直 所以有 y ky 0 0 3 3 2 k 1 从而可得 y0 3 9 所以 x0 2 3 9 k 所以点 Q 坐标为 2 3 9 k 3 9 直线 AB 的方程为 y k x 2 3 9 k 3 9 由已知该直线与椭圆 xy 22 3216 1 即 x