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离散数学II抽象代数复习题一 单项选择题1、设集合S=a,b，*运算如下定义。是代数系统的是（ A ）。*ab*ab*ab*abaaaaaa,baabab无baaba,bbbbebba2、关于代数系统的某个二元运算*的幺元，说法正确的是（ A ）。A幺元不一定存在B若幺元存在，不一定唯一C除非幺元存在且*运算满足结合律，幺元才唯一D幺元一定不是零元3、已知代数系统和满同态，SS1=。若中存在幺元x，则（ B ）。A一定存在幺元，幺元还是xB一定存在幺元，幺元不是xC不一定存在幺元D一定不存在幺元4、下列代数系统不是群的是（ C ）。A S=1,3,4,5,9，*是模11的乘法B S是有理数，*是一般的加法C S是有理数，*是一般的乘法D S是整数，*是一般的加法5、关于群正确的说法是（ C ）。A群一定存在零元B群一定不存在零元C群一定存在幺元D群一定不存在幺元二 填空题1、一个代数系统，如果 a,bS,a*b=b*a/a,b,cS,(a*b)*c=a*(b*c)，则*满足交换律/结合律。2、一个代数系统，如果 a,b,cS,a*(b+c)=(a*b)+(a*c)且 (b+c)*a=(b*a)+(c*a)，则*对+满足分配律。3、设是群，对a,bG，填写以下证明过程每步的理由。(a*b)*(b-1*a-1)=a*(b*b-1)*(a-1) *满足结合律 =e 逆元定义、幺元定义4、设是环，0是环的加法幺元、乘法零元。对a,bR，-a表示a的加法逆元。填写以下证明过程每步的理由。(-a)b=(-a)b+(ab+(-(ab) ab+(-(ab)=0, (-a)b+0=(-a)b =(-a)b+ab)+(-(ab) +满足结合律 =(-a)+a)b+(-(ab) 对满足分配律 =0b+(-(ab) (-a)+a0 =-(ab) 0b=0,0+(-(ab)=(-(ab)三 计算题1、设S=a,b,c,d,e，S上的运算*运算表如下：*abcdeaaacbdbabcddcccbbddbdbededdddd（1）*是否有零元？无零元。（2）*是否有幺元？无幺元。（3）每个元素是否有逆元？因为无幺元，所以每个元素都无逆元。（4）*是否满足交换律？因为运算表是对称矩阵，所以*满足交换律。2、S=a,b,c ，构造群，并使a为幺元。（1） 给出*的运算表；*abcaabcbbcaccab技巧：首先完成幺元的各行、列，然后根据b、c互为逆元，完成b*c=a，c*b=a，最后根据运算表每行都要出现所有元素完成b*b=c，c*c=b。（2） 写出各个元素的阶；因b3=a，c3=a，所以b、c的阶都是3。（3） 找出的所有子群；2个子群： （4） 该群是否是循环群？若不是，说明理由；若是，找出所有的生成元。是循环群。b和c都是生成元。3、设是环，+和*由以下两表定义。+abcdaabcdbbcdaccdabddabc*abcdaaaaabacaccaaaadacaa判断：（1）该环是否是可交换环？因*运算满足交换律，所以是可交换环。（2）是否是含幺环？因*运算没有幺元，所以不是含幺环。（3）是否是含零因子环？如果是，找出所有零因子。*运算有零元a，因b*c=a，c*d=a，因此有零因子b、c、d。四 证明题1、设有幺元a、零元b，并且S的元素个数大于1。证明零元b一定无左、右逆元。此题实际是课本P211定理10.5的证明。2、设f、g都是到的同态，并且*、+都满足交换律和结合律，如下定义的函数h：ABh(x)=f(x)+g(x) 证明：h是到的同态。此题是课本P220第5题的作业。证明：为证h是到的同态，根据同态定义，需证明对a,bA，有 h(a*b)=h(a)+h(b)。根据h定义，h(a*b)=f(a*b)+g(a*b)根据f是到的同态，f(a*b)=f(a)+f(b)根据g是到的同态，g(a*b)=g(a)+g(b)于是h(a*b)=f(a)+f(b)+g(a)+g(b) =(f(a)+g(a)+ (f(b)+g(b) (*、+满足交换律和结合律) =h(a)+h(b) (h函数的定义)3、设为群，定义集合S=x|xGy(yGx*y=y*x)。证明为的子群。此题是课本P236第10题作业。证明：为证为的子群，需证明以下3点：（1）G的幺元eS；（2）若a,bS，则a*bS；（3）若aS，则a-1S。也可以只证明（2）、（3）。（1）因为G是群，所以G存在幺元e。对yG，e*y=y*e=y，所以eS。（2）若a,bS，则对yG，(a*b)*y=a*(b*y) （*满足结合律） =a*(y*b) （根据bS） =(y*b)*a（根据aS） =y*(b*a) （*满足结合律） =y*(a*b)（根据a,bS）所以a*bS。（3）若aS，则对y