数学概念的分类_特征及其教学探讨_邵光华.pdf

第 2 9 卷第7 期 2009年 7 月 裸程 来材 表法 C U R R IC U I U M T E A C H IN G M A T E R IA I A N D M E T H O I2 V o l 29 N o 7 July 2009 毅学概合 的今类 特征友其教 管探衬 邵光华 章建跃2 1 宁 波大学 教师 教育学院丁浙 江 宁波 31 52n 2 课程教材研究所 北京 100081 摘要 概念教学在数学教学中具有关键地位 根据来源 数学概念可分为两类 相 应地有两类概念教学方法 数学概念有多重特征 揭示这些特征是概念教学的重要 任务 概念教学有多种策略 策略的使用能提高教学的有效性 数学教师应增长这 些 方面 的知识 关键词 数学概念 概念特征 概念教学 中图分类号 G 633 6文献标识码 A文章编号 一 000一 0186 2009 07一 0047一 05 概念教学在数学教学中具有关键地位 一直 是数学教学研 究的一个 主题 当前 的课改实践 中 存在忽视数学概念的抽象逻辑建构特征 过 于强调情境化 生活化 活动化 的倾 向 所 以 应更深人地研究概念教学 以丰富概念教学法的 知识并用于实践 类是纯数学抽象物 这类概念是抽象逻辑思维的 产物 是一种数学逻辑构造 没有客观实在与之 对应 如方程 函数 向量内积等 这类概念对 建构数学理论非常重要 是数学继续发展的逻辑 源泉 二 数学概念的特征 一 数学概念及其分类 数学概念是人类对现实世界空间形式和数量 关系的概括反映 是建立数学法则 公式 定理 的基础 也是运算 推理 判 断和证明的基石 更是数学思维 交流的工具 一般地 数学概念 来源于两方面 一是对客观世界中的数量关系和 空间形式 的直接抽象 二是在已有数学理论上的 逻辑建构 相应 地 可以把数学概念分为两类 一类是对现实对象或关系直接抽象而成 的概念 这类概念与现实如此贴近 以致人们常常将它们 与现实原型 混为一谈 0 融为一体 如三角形 四边形 角 平行 相似等都有这种特性 另一 2 0世纪 8 0年代 国外有人提 出 数学 内容 可 以分为过程和对象两个侧面 过程 0 就是具 备可操作性的法则 公式 原理等 对象 0 则 是数学中定义的结构 关系 数学概念往往兼有 这样的二重性 许多概念既表现为过程操作 又 表现为对象结构 如对于 等于 0 概念 在数与 式的运算中具有过程性 它表示 由等号前 的算式 经运算得出等号后的结果的过程指向 在式的恒 等变形 中蕴涵着 往下继续算 0 的操作属性 而 方程中 等于 0 的意义则不同 它没有过程指向 性 只有结构意义 表示 了等号两边代数式的一 种关系 Sfard 1991 1994 等人的研究表 明 全国教育科学 十一五0 规划教育部重点课题 课题编号 DH A 0 60 1 37 阶段性成果 收稿 日期 2009 一03一07 作者简介 邵光华 1964一 山东单县人 博士 浙江宁波大学教师教育学院教授 主要研究数学教育 章建跃 1958 浙江金华人 课程教材研究所研究员 理学博士 主要研究数学教育心理学 数学课程教材教学 4 7 特殊性 由明确的规定所限制 这些规定也是概念 内涵的一部分 6 形态特征 有些概念描述了数学对象的 形态 从形态上规定概念的属性特征 如三角 形 四边形 三棱锥 四棱台等概念都具有形态 特征 它们给人留下的多是直观形象 用于判断 时多从形态上先识别 根据形态就可大致判断是 概念的正例还是反例 一般 而言 形如 的 0 这类概念都具有形态特征 概念的教学 三叫象对 概念的过程和对象有着紧密的依赖关系 概念 的 形成往往要从过程开始 然后转变为对象的认 知 最后共存于认知结构中 在过程阶段 概念 表现为一系列固定操作步骤 相对直观 容易模 仿 进人对象状态时 概念呈现一种静态结构关 系 有利于整体把握 并可转变为被操作的 实 体 2 我们认为 关于数学概念特征的上述描述稍 嫌抽象 为有利于教师把握 下面对数学概念的 特征做更具体的描述 1 判定特征 概念具有判定特征 指依据 概念的内涵 人们便能判定某一对象是概念的正 例还是反例 2 性质特 征 概念 的定义就是对 概念 所指 对象基本性质 的概括 因而具有性质特征 上述两个特征从另一个侧面表现 了 概念的 二重性 0 判定特征有助于厘清概念的外延 性 质特征有助于认识概念的内涵 3 过 程性 特 征 运 算 过 程或 几 何 操 作过 程 有些概念具有过程性特征 概念的定义就 反映了某种数学过程或规定 了操作过程 如 分母有理化 0 着将分母变形为有理数 式 的 操作过程 平均数 0 概念隐涵着将几个数相加 再除以个数的运算操作过程 n 的阶乘 0 蕴涵 着从 1连乘到 n 的运算操作过程 向量的加法0 概念规定了 形 0 三角形法则 的操作过程 等等 4 对 象特 征 思 维 的细 胞 交 流 的语 言 词 概念是一类对象的泛指 如三角形 四边 形 复数 向量等概念都是某类对象的名称 泛 指一类对象 又如复数的模 就是与复数 a b i b任R 对应的结构式召 护不了 5 关系特征 有些概念具有关 系特性 反 映了对象之间的关系 如垂直 平行 相切 异 面直线 集合 的包含等 都反映了两个对象的相 互关系 具有关联性 对称性 这些概念 从静 态角度看是一种结构关系 从变化观点看则是运 动过程 中的某种特殊状态 具有主从关系的概念 则反映了相对于另一概念对象而言的对象 具有 相依性 滋生性 如三角形的外接圆 角的平分 线 二面角的平面角等 都是在其他概念对象基 础上生成 的 这些概念反映的都是特殊对象 其 48 上述数 学概念 的多重性 为教 学指 明 了方 向 总的来说 教师应在分析所教概念特性的基 础上 选择适当的素材 设 计恰 当的问题情境 使学生在经历概念发生发展过程中 认识概念的 不同特征 通过概念的运用训练 使学生掌握根 据具体问题的需要改变认识角度 反映概念不同 特征的方法 进而有效地应用概念建构原理和解 决问题 一 概念教学的 目标 概念教学的基本 目标是让学生理解概念 并 能运用概念表达思想和解决问题 这里 理解是 基础 从认知心理学看 理解某个东西是指把 它纳人一个恰当的图式 0 图式就是一组相互联 结的概念 图式越丰富 就越能处理相关的变式 情境 数学概念理解有三种不同水平 工具性理 解 Instrum ental U nderstanding 关 系性理解 R elati onal U nderstandi ng 和 形 式 性 理 解 F orm al U nderstanding 工具性理解指会用概 念判断某一事物是否为概念的具体例证 但并不 清楚与相关概念的联系 关系性理解指不仅能用 概念做判断 而且能将它纳入到概念系统 中 与 相关概念建立联系 形式性理解指在数学概念术 语符号和数学思想之间建立起联系 并用逻辑推 理构建起概念体系和数学思想体系 z 理解概念 是明确概念间的关系 灵活应用概念的前提 否 则会产生判断错误 思维就会陷人困境 例如 如 果 角 的 弧 度 概 念 不 明 确 就 会 导 致 公咒三 理 解上的困难 i n x 是一个 实数 x 是一个角度 如何 比 更不用说求相关 的极限了 概念学习不仅是理解定义描述的语义 也不 仅是能用以判断某个对象是否为它的一个例 还 要认识它的所有性质 这样才能更清楚地掌握这 个概念 从概念系统观看 概念的理解是一个系 统工程 概念学习的最终结果是形成一个概念系 统 学生要理解一个数学概念 就必须围绕这个 概念逐步构建一个概念 网络 网络的结点越多 通道越丰富 概念理解就越深刻 所以 概念的 学习需要一个过程 但不是一个单纯的逻辑解析 过程 讲清楚0 定义并不足以让学生掌握概念 概念教学不能 只满足于告诉学生 是什么 0 或 什么是 0 还应让学生了解概念的背景和引 人它的理由 知道它在建立 发展理论或解决问 题中的作用 核心概念的教学尤应如此 所 以 在概念教学前需要对概念进行学术解构和教学解 构 学术解构是指从数学学科理论角度对概念的 内涵及其所反映的思想方法进行解析 包括概念 的内涵和外延 概念所反映的思想和方法 概念 的历史背景和发展 概念的联系 地位作用和意 义等 教学解构是在学术解构的基础上 对概念 的教育形态和教学表达进行分析 重点放在概念 的发生发展过程的解析上 包括对概念抽象概括 过程的 再造 0 辨析过程 内涵与外延的变式 正例和反例的举证 和概念的运用 变式应用 等 其中寻找精当的例子来解释概念是一件具有 创造性的教学准备工作 二 概念教 学的方式 众所周知 概念的获得有两种基本方式 概念形成与概念同化 同类事物的关键属性 由学 生从 同类事物的大量例证中独立发现 这种方式 叫概念形成 用定义的方式直接揭示概念 学生 利用已有认知结构中的有关知识理解新概念 这 种方式 叫概念 同化 川两种获得方式对应着两类 概念及两种教学方式 1 概念形成教学方式 新概念是 对现实对象或关 系直接抽象 而成 时 常采用概念形成教学方式 即通过创设情境 从客观实例 引人 抽象共性特 征 概括本 质特 征 形成数学概念 这种数学化地形成概念的方 式可使学生感到数学源于 自己周围生活而备感亲 切 如数轴 的引人 从 秤杆 温度计等 实物 引 人 让学生认识到它们有如下共同要求 度量的 起点 度量的单位 明确的增减方向 根据这些 现实模型引导学生抽象出数学模型而形成数轴概 念 这种方式遵循 了由形象到抽象的思维规律 用此方式教概念 可以先用实物 教具或多媒体 展示等作为引导性材料 让学生直观感知概念 在充分感知 的基础上再做概括 这里要强调引导 学生仔细观察 防止出现概念类化错误 不足或 过度 的重要性 2 概念同化教学方式 新概念是基于数学逻辑建构形成时 常采用 概念同化教学方式 即直接揭示概念的定义 借 助已有知识进行 同化理解 用这种方式教概念 可有不同的引人途径 需要强调的是应让学生理 解引人新概念的必要性 这种方式其实是通过逻 辑演绎进行概念教学 由于是从抽象定义出发 所以应注意及时用典型实例使概念获得 原型0 支持 形成概念的 模式直观 0 以弥补没有经 历概念形成的 原始 0 过程而出现概念加工不充 分 理解不深刻的缺陷 概念教学的基本原则是采用与概念类型 特 征及其获得方式相适应的方式 以有效促进概念 的理解 由于数学概念大都可通过逻辑建构而产 生 所以概念同化是学生获得数学概念的主要方 式 尤其是 中学阶段 它能让学生更清楚地认识 概念的系统性和层次性 有利于学生从概念的联 系中学习概念 在概念系统中体会概念的作用 从而不仅促进学生的概念理解 而且有利于概念 的灵活应用 当然 如果学生 的认知结构中 作 为新概念学习 固着点 0 的已有知识不充分时 则只能采取概念形成方式 概念符号化是概念教学的必要步骤 这是因 为数学概念大都由规定的数学符号表示 这使数 学的表示形式更简明 清晰 准确 更便于交流 与心理操作 这里要注意让学生掌握概念符号的 意义 并要进行数学符号及其意义的心理转换技 能训练 以促进他们对数学符号意义的理解 三 概念教 学的策略 1 直观化 数学概念 的掌握要 经过一个 由 生动的直观到抽象的思维 再从抽象的思维到实 际的应用的过程 甚至要有儿个反复才能实现 借助概念的直观背景 对抽象概念进行直观化表 征 可提高概念教学的有效性 数学 中的直观是 相对 的 实物 教具模型 图形或多媒体呈现的 49 图片等属于具体而生动 的直观 已经熟知的概 念 原理及其例等都属于抽象而相对的直观 2 通过正例和友例深化概念理解 概念的 例可加深概念理解 通过 样例 0 深化概念认识 是必需而有效的教学手段 其实 数学思维中 概念和样例常常是相伴相随的 提起某一概念 头脑中的第一反应往往是它的一个 样例 0 这 表明例在概念学习和保持中的重要性 如提起 函数 0 我们头脑中可能立即浮现一次函数 二 次函数 指数函数 对数函数等的具体解析式或 其图像 概念的反例提供了最有利于辨别的信 息 对概念认识 的深化具有非常重要的作用 反 例的运用不但可使学生的概念理解更精确 准 确 而且 可 以排 除无关 特征的干扰 要注意 的 是 反例应在学 生对概念有一定理解后 才使用 否则 如果在学生刚接触概念时用反例 将有可 能使错误概念先人为主 干扰概念的理解 在揭 示概念定义后 为进一步突出概 念的本质特征 防止概念误解 可利用概念的正例或反例 如对 于 异面直线 0 概念 要通过概念的正例和反例 让学生认识到 异面直线是怎么也找不到一个平 面将它们纳人其中的两条直线 而不是 在两个 不同平面上 的直线 0 3 利 用对 比明晰 概念 有 比较 才有 鉴别 对同类概念进行对 比 可概括共同属性 对具有 种属关系的概念做类 比 可突出被定义概念的特 有属性 对容易混淆的概念做对 比 可澄清模糊 认识 减少 直观理 解错误 如对 于 最 值 0 和 极值 0 通过对比可认识它们的差异 即前者有 整体性而后者仅有局部性 最值 0 一定能取到 极值 0 未必能取到 4 运用变式完善概念认识 通过变式 从 不同角度研究概念并给出正例 可以全面认识概 念 变式是变更对象的非本质属性特征 的表现形 式 变更观察事物的角度或方法 以突 出对象的 本质特征 突出那些 隐蔽 的本质要素 简言之 变式是指事物 的肯定例证在无 关特征方 面的变 化 通过变式 可使学生更好地掌握概念的本质 和规律 如 等差 中项 0 除 了认识 若 a b 成等差数列 则称 b 为a 的等差中项 0 这一 定义外 还必须认识变式 a一b一b一 0 2 b a 0 必须建立算法 a 与 b 的等差中项是 a b 2 由于学生习惯形象思维与记忆 对较抽 象的数学概念要尽量引导学生从形的角度进行再 认识 以获得 概念 的直观 形 象支撑 如 极 值0 和 最值 0 值得指出的是 概念变式的运 用应服务于概念理解 并要掌握好时机 只有在 概念理解的深化阶段运用才能收到理想效果 否 则 学生不仅不能理解变式的目的 变式的复杂 性反而会干扰学生的概念理解 甚至产生混乱 5 概念精致 一定意义上 概念的精致可 理解为概念浓缩 即抓住概念的精要所在 概念 的精练表达和 组块 0 占据记忆空间少且易于提 取 我们曾就增函数概念调查过五名非数学专业 大学毕 业生 结果 是 一 人答 当 x 大 于 为 时 f x 大于 f x 0 一人答 好像 是函数 值跟着大吧 0 另三人的答案则是 上凸增函数 类图像 0形态的手势比画 这表明 学习 增函 数0 首先应有直观形象 图像 的引人 然后 到语言描述 再到数学符号语言的描述 这些过 程结束并理解了什么叫 增函数 0 后 学生会回 到简单而本质的关键词上 对关键词的表征就是 概念本质属性的表征 这正是概念精致所要达到 的高度 这也表明 在学生的认知结构 中 概 念定义 0 是惰性的 甚至会被遗忘 起作用的是 精致后的概念精要 因此 概念教学必须经历概 念精致过程 以使学生提炼出代表性特征 6 注意概念的多元表征 数学概念往往有 多种表征方式 如利用 现实情境 中的实物 模 型 图像或图画进行的形象表征 利用口语和书 写符号进行的符号表征 等等 不同的表征将导 致不同的思维方式 概念多元表征可以促进学生 的多角度理解 在不同的表征系统中建立概念的 不同表征形式 并在不同表征系统之间进行转换 训练 可 以强化学生对概念联系性的认识 建立 概念不同表征间的广泛联系 并学会选择 使用 与转化各种数学表征 是有效使用概念解决复 杂 综合问题 的前提 因此 使学生掌握概念的 多元表征 并能在各种表征间灵活转化 是数学 概念教学 的基本策略 7 将概念算法化 学习概念的 目的是应用 反之 应用能促进概念的深刻理解 概念的应用 可分为两类 一是用概念做判断 二是把概念当 性质用 为了更好地运用概念 需要将概念算法 化 即要将陈述性的概念定义转化为程序性的算 法化知识 如将 二面角的平面角 0 算法化 l 角的顶点在二面角的棱上 2 角的两边分 别在二面角的两个面内 3 角的两边都与二面 角的棱垂直 由此得作一个二面角的平面角的算 法 先在二面角的棱上任取一点 再从这点出 发 在二面角的两个面内分别作与二面角的棱垂 直的射线 判断一个角是否为二面角的平面角 的 算法 先看顶点是否在棱上 再看角的两边是否 分别在二面角的两个面内 最后看角的两边是否 都与棱垂直 一项不符合 就被否定 通过上述 算法化学习 二 面角的平面角概念才能更好用 没有实现陈述性概念定义的算法化是学生不能应 用概念的主要原 因之一 四 核心数学概念及其教学 数学概念最重要的特征是它们都被嵌人在组 织良好的概念体系中 数学的逻辑严谨性主要体 现在数学概念的系统性上 后继概念大多是前概 念基础上的逻辑建构 个别概念的意义总有部分 来自与其他概念的相互联系 或出自系统的整体 特征 在一个概念体系中 有些概念处于核心位 置 其他概念或由它生成 或与它有密切的联 系 我们称这些概念为核心概念 key c o nc e P t 或本源概念 root eoneept 核心数 学 概 念 的特 征 从 学科 角 度 看有 1 在数学 内部具有广泛的联系性 2 对数学 发展具有奠基性作用和持续影响 从数学学习角 度看 l 是一个意义丰富的认知根源 在此基 础上 通过较简单 方便的认知扩充策略 不必 进行认知重构就能得到数学认 知结构 的基 本发 展 2 在发展更复杂的理解时仍具有重要的 作用 综上所述可知 核心数学概念具有一般概念 所不具备的基础性和生长性 所以 核心数学概 念的教学 除了遵从一般概念教学要求 还有其 自身的特殊要求 其中 最关键的是要树立 整 体观 0 和 系 统观 0 要 以核心 数学概 念为 纲 0 将相关概念统整为一个网络系统 达成 纲举目张 0 之效 这就是说 核心数学概念的 教学必须实现从工具性理 解到关 系性 理解 的过 渡 这就要求在核心数学概念的教学中 要重点 考虑概念的来源 相关概念及其关系 概念的作 用 新知识的论释 旧知识的翻新 等 也要突 出概念形成的过程性 特别值得注意的是 核心 数学概念的形成不是一墩而就的 常常需要几节 课或一个阶段才能完成概念建构 甚至是一个长 期 动态的建构过程 函数概念就是最典型的 例证 参考文献 12李士铸 PM E 数学教育心理 M 2 上海 华东 师范大学出版社 2001 109一113 2 S k em p R 数学学习心理学 M 陈泽民 译 台 北 九章出版社 1995 166 38 曹才翰 章建跃 数学教育心理学 叨 北京 北 京师范大学出版社 第二版 2006 1 0 5一n 4 责任编辑 李冰 T he C l a s sif i c a ti o n C hara c teristie