高等数学自考复习提纲.pdf

一 题型与分值一 题型与分值 题型题型1 四选 一 四选 一 2 填空 填空 3 计算 计算 4 综合 综合 总计总计 题数题数5108225 题分题分2366 小计小计10304812100 二 各章分布二 各章分布 工专 工专 51 分 分 工本 工本 49 分 分 章 节 章 节 1234512356 分 数 分 数 511915111199911 题 型 题 型 1 21 2 3 2 32 3 4 1 2 3 1 2 3 2 32 32 31 2 4 三三 各章范围各章范围 基本初等函数的性质 图像等要熟悉基本初等函数的性质 图像等要熟悉 基本求导和积分公式要熟记基本求导和积分公式要熟记 相关考点请在书中找到相关例题 了解和熟练怎样解题 并相关考点请在书中找到相关例题 了解和熟练怎样解题 并 找相关习题练习 工专 找相关习题练习 工专 第一章 一 第一章 一 选择题选择题 1 自然定义域自然定义域 使表达式各项和实际问题有意义的自变量的取值使表达式各项和实际问题有意义的自变量的取值 范围范围 偶次根号被开方式非负偶次根号被开方式非负 0 xfxf 对数的真数大于对数的真数大于 0 0 ln lg xfxfxf或 分母不等于分母不等于 0 0 1 xf xf 例例 1 1 1lg x xy的定义域为的定义域为 A1 xB1 xC1 xD1 x 2 奇偶性奇偶性 f Dxxfy 前提是定义域前提是定义域 f D关于原点对称关于原点对称 否则非奇非偶否则非奇非偶 f Dxxfxf 为偶为偶 f Dxxfxf 为奇为奇 否则非奇否则非奇 非偶 例 下列函数中非奇非偶的函数有 非偶 例 下列函数中非奇非偶的函数有 A1 xxfBxxfarctan Cxxxfcossin D 2 x exf 例 例 xxxfsecln 是 是 A 奇函数奇函数 B 偶函数偶函数 C 周期函数周期函数 D 有界函数有界函数 3 有 界 性有 界 性 给 定 区 域 上 的 有 界 性给 定 区 域 上 的 有 界 性 如如 2 1 1 x x y有 界有 界 但但 2 0 1 x x y无界无界 例 例 1 1 xx xf 在 所给的区间内有界在 所给的区间内有界 A 1 0 B 0 1 C 1 2 D 2 3 4 反函数反函数 f Dxxfy 反函数反函数 f Ryyfx 1 或或 f Rxxfy 1 求方法步骤 求方法步骤 由由 f Dxxfy 解出解出 1 yfx 并求出并求出y的去值范围的去值范围 f Ry 在将在将x换为换为y y换为换为x 即得反函数 即得反函数 f Rxxfy 1 例 求例 求13 x y的反函数的反函数 二二 填空题填空题 1 求一给定函数的单调区间 方法 求一给定函数的单调区间 方法 运用基本初等函数或简单函数的单调区间解题运用基本初等函数或简单函数的单调区间解题 运 用 导 数 求 单 调 区 间运 用 导 数 求 单 调 区 间0 xf f Dxxfy 增增 0 xf f Dxxfy 减 例 减 例 12 2 xxxfy的单调增区间为的单调增区间为 2 求自然定义域求自然定义域 例例 3 1 1ln x xy的定义域为的定义域为 3 给定给定 xfy 求求 xf 例例 12 2 xxxfy 则则 1 xf 1 x f 若若 2 x则则 1 2 xf 4 axxh axxg xfy 则则 bf 例 例 1 1 12 2 xx xxx xfy 则则 1 f 第二章第二章 选择题选择题 1 无穷大无穷小概念无穷大无穷小概念 无穷小 量 无穷小 量 0 lim xf 无穷大 量 无穷大 量 limxf 注注 limxf关于自变量取极限方式可以是关于自变量取极限方式可以是 0 xx 0 xx x和和 x即即 x中任一种中任一种 例 例 x y 1 sin A 当当0 x为无穷小量为无穷小量B 当当0 x为无穷大量为无穷大量 C 在区间在区间 1 0 为无界变量为无界变量D 在区间在区间 1 0 为有界变量为有界变量 2 等比级数的敛散性等比级数的敛散性 1 1 1 2 0 q q q a aqaqaqaaq n n n 不存在 例 下列级数收敛的是 例 下列级数收敛的是 A 0 1 3 n n B 0 23 n n C 0 2 n n D 0 3 n 例 使级数例 使级数 0n n aq发散的发散的q是 是 A1 B5 0C0D 4 1 例 使级数例 使级数 n aqaqaqa 2 收敛的收敛的q是 是 A1 B5 0C1D2 3 0 0 n n n n ulinu 收敛发散 0 0 n nn n uulin 例 若级数例 若级数 0n n u收敛 则有 收敛 则有 A 0 n n ulinB n n ulinC 0 n n ulinD n n ulin 无要求 例 若 无要求 例 若0 n n ulin 则有 则有 A 级数级数 0n n u收敛收敛B级数级数 0n n u发散发散 C级数级数 0n n u可能收敛也可能发散可能收敛也可能发散D 0n n u有界 例 若 有界 例 若0 n n ulin 则有 则有 A 级数级数 0n n u收敛收敛B级数级数 0n n u发散发散 C级数级数 0n n u可能收敛也可能发散可能收敛也可能发散D 0n n u有界有界 4 两个重要极限两个重要极限 e x lin x x 1 1 1 sin x x lin x e xf xf xf 1 1lim lim 1 sin lim 1lim 0 lim 1 xf xf exfxf xf 注注 limxf取极限可以是取极限可以是 0 xx 0 xx x和和 x即即 x 中任一种中任一种 0 xx 和和 x即即 x考的可能性大考的可能性大 例 例 x x xlin 1 0 31 A3 B 3 1 C 3 eD 3 e 例 例 2sin 2 2 2cos 1 2 xx x lin x A B1C0D2 注 等价无穷小替换注 等价无穷小替换 2 2sin 2 2 2 2 2 2 2cos 1 2 2 2 xxx x xx 或用重要极限或用重要极限 填空题填空题 1 axxh axxg xfy 不存在 A xflin ax 若若 lim 0 xgxflinaf axax 和和 lim 0 xhxflinaf axax 中有一个不存在中有一个不存在 含极限为无穷大含极限为无穷大 或两都存在但不相等或两都存在但不相等 则则 xflin ax 不存在不存在 若 两 者 都 存 在 且 相 等 即若 两 者 都 存 在 且 相 等 即 0 0 afaf 则则 0 0 afafxflin ax 例 设 函 数例 设 函 数 0 0 3sin2sin 2 22 xA x x xx y在在0 x处 连 续 则处 连 续 则 A 用用 xf在在ax 处 连 续 有 等 量 关 系 式处 连 续 有 等 量 关 系 式 afxflin ax 或或 afxflinxflin ax ax 即即 0 0 afafaf 建立关于未知参数 的方程或等式求解 建立关于未知参数 的方程或等式求解 例 设函数例 设函数 0 cos 0 0 sin 1 2 xbx xa x x e y x 在在 内连续 则内连续 则 a b 3 等比级数求和等比级数求和 1 1 2 0 q q a aqaqaqaaq n n n 例 例 n 2323233 21 4 求极限求极限 0 xflin xx xflin x 例 例 xx x lin x 2 sin 35 53 2 xx x 2 2 sin 在运用分式函 数极限 见下注 在运用分式函 数极限 见下注 x x xlin 2 0 1ln 1 凑重要极限结合凑重要极限结合xxx 1ln 0 1 sin 0 2 x e xx x elin 注 利用分式函数极限注 利用分式函数极限 0 lim 0 0 1 10 1 10 mn mn mn b a bxbxb axaxa m mm n nn 重要极 重要极 限限 函数的连续性函数的连续性 初等函数在其自然定义域内都连续 从而有在 某点极限等于该点函数值 初等函数在其自然定义域内都连续 从而有在 某点极限等于该点函数值 后面还学用罗比塔法则等求极限后面还学用罗比塔法则等求极限 计算题计算题 1 求极限求极限 方法 型 xflin x 例 求极限例 求极限 2 xxxlin x 2 axb axx axx xfy 2 1 问问ax 是否为间断点是否为间断点 如是如是 是哪一类是哪一类 只只 需说出是第一类或是第二类即可需说出是第一类或是第二类即可 例 设函数例 设函数 0 3cos 0 2 0 sin 1 2 xx x x x e y x 问问0 x是否为间断点是否为间断点 如是如是 是哪一类是哪一类 例 设函数例 设函数 0 1cos 0 1 0 sin 1 2 xx x x x e y x 问问0 x是否为间断点是否为间断点 如是如是 是哪一类是哪一类 3 等比级数求和等比级数求和 运用公式运用公式1 1 2 0 q q a aqaqaqaaq n n n 4 axb axxg xfy 求求b使使 xfy 连续连续 例 求例 求A 使使 0 0 3sin2sin xA x x xx y在在0 x处连续处连续 第三章 记住基本初等函数求导公式和求导法则 四则运算的导数 复合 函数导数 反函数导数 第三章 记住基本初等函数求导公式和求导法则 四则运算的导数 复合 函数导数 反函数导数 填空题填空题 1 已知已知 xfy 求求 af 2 已知已知 xfy 求求 y 3 已知已知 xfy 求求 dy 4 求过求过 xfy 上已知点上已知点 00 yxP的切线方程的切线方程 000 xxxfyy 注注 所给函数很简单所给函数很简单 有的是简单函数有的是简单函数 有的是复杂函数有的是复杂函数 求导一次 可得 求导一次 可得 也有两次求导也有两次求导 如如 uvvuuv 例 已 知例 已 知 x xey 则 则 1 y y dy x xey 上过点上过点 1 eP的切线方的切线方 程程 计算题计算题 1 已知已知 xfy 求求 ayayy 例 已知例 已知 x e x y 求求 2 1 yyy 2 已知已知0 yxF 求求 y x F F dx dy dx dy 用公式 例 已知函数例 已知函数 xyy 由由016 2 xxyey所确定 求所确定 求 dx dy 3 已知已知 ty tx 求求 2 2 dx yd 32 2 t tttt dx yd t t dx dy dx dy 用反函数和复合函数求导公式用反函数和复合函数求导公式 2 2 dx yd 用一参数方程求导公 式 用一参数方程求导公 式 例 求由参数方程例 求由参数方程 tty tx arctan 1ln 2 所确定的函数所确定的函数 xyy 的二阶导数的二阶导数 2 2 dx yd 第四章 填空题 第四章 填空题 1 铅直渐近线铅直渐近线ax xflin ax 铅直渐近线可能发生在函数的间断点处 也可能发生在有定义的 区间端点处 铅直渐近线可能发生在函数的间断点处 也可能发生在有定义的 区间端点处 例 例 1 2 3 x x y的铅直渐近线为的铅直渐近线为 2 水平渐近线水平渐近线by bxflin x 例 例 2 2 2 xx x y的铅直渐近线为的铅直渐近线为 3 拐点拐点 00 xfx 方法方法 a 先求先求0 0 xf及及 0 xf不存在的点不存在的点 0 x b 在判断在判断 看点看点 0 x两边二阶导数符号是否相反 考题中不需判断 也是拐点 两边二阶导数符号是否相反 考题中不需判断 也是拐点 例 函数例 函数 x xey 的拐点为的拐点为 4 单调区间单调区间 在在 ba内 内 0 xf 则 则 xf单调增加单调增加 在在 ba内 内 0 xf 则 则 xf单调减少单调减少 例 例 1 2 3 x x y的单调增加区间为的单调增加区间为 计算题计算题 1 使用罗比塔法则求极限使用罗比塔法则求极限 用用 1 次或次或 2 次次 用等价无穷小也可解用等价无穷小也可解 题题 例 求例 求 x ee xx x sin lim 0 例 求例 求 1ln 1ln lim 2 x x x 例 求例 求 x x x 1 lnlim 2 确定单调区间确定单调区间 画出表格 请参考书中例题解题画出表格 请参考书中例题解题 例 试求处例 试求处 3 2 2 1 2 xxy的单调区间的单调区间 p149 综合题综合题 1 应用题应用题 先写先写 xfy 此为关键步此为关键步 求最大值求最大值 极值极值 考题中有唯考题中有唯 一极值情形多为最值一极值情形多为最值 例 从一块半径为例 从一块半径为 R 的圆形铁皮上剪下一块圆心角为的圆形铁皮上剪下一块圆心角为 的扇形用的扇形用 来做漏斗来做漏斗 试问试问 当当 为多少时 漏斗容积最大 为多少时 漏斗容积最大 p1583 2 应用题应用题 先写利润表达式先写利润表达式 xCxRy 求求x多少时利润最大多少时利润最大 例 设产品的需求函数为例 设产品的需求函数为pQ 60 Q为需求量 为需求量 p为价格为价格 其成 本函数为 其成 本函数为QC220 当 当p为多少时利润最大 为多少时利润最大 3 应用题应用题 先写先写 xfy 求求x 使运费最省使运费最省 例 铁路上例 铁路上 AB 段的距离为段的距离为 100km 工厂 工厂 C 与与 A 相距相距 400km 并且并且 AC 垂直于垂直于 AB 现在要在现在要在 AB 之间一点之间一点 D 处向工厂处向工厂 C 修一 条公路 使得从原料供应站 修一 条公路 使得从原料供应站 B 运货到工厂运货到工厂 C 所用费用最省 试所用费用最省 试 问问 D 点应该设在何处 已知每千米的铁路运费和公路运费之比 为 点应该设在何处 已知每千米的铁路运费和公路运费之比 为 3 5 p1582 4 给出给出 baxxfy 求最大求最大 或最小或最小 值值 最值点最值点 驻点驻点 导数不存导数不存 在的点在的点 端点处函数值比较端点处函数值比较 考题中无导数不存在的点考题中无导数不存在的点 求极值 点 和最值 点 方法和步骤请参看工专求极值 点 和最值 点 方法和步骤请参看工专 P167 例 函数例 函数58 24 xxy在区间在区间 3 1 上的最大值和最小值上的最大值和最小值 5 给出给出 xbafy 求求ba 使使 00 yxP为拐点 求两个参数 要建立为拐点 求两个参数 要建立 两个方程 一个由点两个方程 一个由点 00 yxP在在 xbafy 上 其坐标满足曲线 方程 建立一个方程 另一个由 上 其坐标满足曲线 方程 建立一个方程 另一个由 00 yxP为为 xbafy 拐点 有拐点 有 0 0 xx y建立第二个方程 此需要求建立第二个方程 此需要求 xbafy 的二阶导函数的二阶导函数 y 例 已知曲线 例 已知曲线1 23 bxaxy以以 3 1 为拐点 使求为拐点 使求ba 第五章 选择题 第五章 选择题 1 反常反常 无穷限无穷限 积分的敛散性积分的敛散性 b aba dxxfdxxf lim b aa b dxxfdxxf lim 0 0 dxxfdxxfdxxf 对收敛的无穷限积分对收敛的无穷限积分 lim aFxFaFFxFdxxf x a a lim xFbFFbFxFdxxf x b b lim lim xFxFFFxFdxxf xx 其中其中 xF是是 xf的一个原函数 即的一个原函数 即 xfxF 注 反常积分是否收敛关键看极限注 反常积分是否收敛关键看极限 limxF x limxF x 是否存在 a p x dx 1 p收敛 收敛 1 p发散 发散 1 ln xx dx p 1 p收敛 收敛 1 p发散 例 下列反常积分中收敛的是 发散 例 下列反常积分中收敛的是 A e xx dx ln B e dx x xln C e xx dx 2 ln D e xx dx ln 例 下列反常积分中发散的是例 下列反常积分中发散的是 A 132 x dx B 1 3 x dx C 1 3 ln xx dx D 1 dxe x 例 反常积分例 反常积分 1 2 x dx A B1C 3 1 D1 例 反常积分例 反常积分 1 2 dxe x A 不存在不存在 B 2 2 1 eC 2 2 1 eD2 2 变上限变上限 xfdttf dx d x a 给算式选择结果给算式选择结果 例 设例 设 x dttty 0 2 1 则 则 0 y A2 B0C1D2 3 xfdxxf dx d dxxfdxxfdCxFdxxFxdF 给算 给算 式选择结果 例 变上限积分 式选择结果 例 变上限积分 x dt t t 2 sin A x xsin BC x x sin C 2sin x x DC x x 2 sin 填空题填空题 1 xxfdttf dx d x a 例 例 x tdt e dx d tan 0 2 反常积分 例 反常积分 例 dx xx22 1 2 1 1 1 1 22 1 22 xd x dx xx 3 简单的定积分简单的定积分 b a dxxf 记住基本积分公式 例 记住基本积分公式 例 4 2 2 22 1 dx xx 4 xfxF 求求 CxFdxxxf 例 设例 设 xf的一个原函数为的一个原函数为xxln 则 则 dxxf 计算题计算题 1 1 1 bx B ax A bxax dx bxax 方法 例 试求例 试求dx xx 32 1 2 3 1 1 1 4 1 32 1 2 xxxx 2 1 11 111 1 2 22222 e dx aeedxacbxax dx cbxax 方法 例 试求例 试求dx xx 54 1 2 3 凑微分凑微分 2 2 1 ln 1 cossindxxdxcxddxxddx x dxexdxdx x 4 分部积分分部积分 b a b a x xdxdxxeln 哪个作为分部积分中 哪个作为分部积分中u 哪个作为 哪个作为v 请看工专 请看工专 P193 194 归纳的 工本 第一章 选择题 归纳的 工本 第一章 选择题 1 求关于原点对称的点求关于原点对称的点 000 zyxP原点对称点原点对称点 000 zyxQ 例 例 3 2 1 P原点对称点为 原点对称点为 A 3 2 1 Q B 3 2 1 QC 3 2 1 QD 3 2 1 Q 2 求单位向量求单位向量 000 zyxa 2 0 2 0 2 0 000 0 zyxa a zyx a 例 例 3 2 1 a 的单位向量为 的单位向量为 A 14 3 14 2 14 1 0 a B 0 0 1 0 a C 1 1 0 0 a D 1 0 0 0 a 3 求平面法向量求平面法向量 CBAnDCzByAx 例 例 532 zyx的法向量为 的法向量为 A 1 3 2 n B 5 3 2 n C 1 3 2 n D 2 1 3 n 4 求求 2 个向量的夹角余玄个向量的夹角余玄 cos或夹角或夹角 111 zyxa 222 zyxb ba ba cos ba ba arccos 例 例 3 2 1 a 与与 3 1 2 b 的夹角为 的夹角为 A 14 13 arcsin B 14 13 arccos C 14 13 cos D 14 13 sin 例 例 3 2 1 a 与与 3 1 2 b 的夹角余弦为 的夹角余弦为 A 14 13 arcsin B 14 13 arccos C 14 13 cos D 14 13 sin 5 给定一空间曲面如给定一空间曲面如0 yxF 选择该面是与选择该面是与x轴轴 y轴轴 xoy面等面等 中哪平行 例 中哪平行 例 5 x与哪个平行 与哪个平行 A 平面平面1 zx B平面平面1 zyx C面面2 yx轴轴 Dyoz面 例 面 例 532 yx与哪个平行 与哪个平行 Az轴 轴 Bx轴轴 Cy轴轴 Dxoy面面 6 旋转抛物面旋转抛物面 给一个方程给一个方程 是哪一种面是哪一种面 是旋转还是球面是旋转还是球面 考试选考试选 择的结果是旋转面择的结果是旋转面 7 球面方程球面方程 给定中心给定中心 半径半径 4选选1 是其中哪个所求的旋转而球面是其中哪个所求的旋转而球面 方程方程 旋转抛物面 旋转抛物面 2 22 a yx z 为为 2 2 a x z 或或 2 2 a y z 绕绕z轴旋转而成的轴旋转而成的 旋转抛物面 旋转抛物面 旋转椭球面 旋转椭球面 1 2 2 2 22 c z a yx 为为1 2 2 2 2 c z a x 或或1 2 2 2 2 c z a y 绕绕z轴旋轴旋 转而成的旋转椭球面 转而成的旋转椭球面 球面方程 球面方程 22 0 2 0 2 0 azzyyxx 顶点在顶点在 000 zyx 半 半 径为径为a的球面方程 的球面方程 截痕法或截痕法或zyx 全是二次方程全是二次方程 看二次变量的系数是否有相看二次变量的系数是否有相 等情况 恰有两个相等为旋转椭球面如等情况 恰有两个相等为旋转椭球面如1 2 2 2 22 c z a yx 三 三 个都相等为球面 当个都相等为球面 当zyx 有一个是一次且另两个二次变 量的方程 看两个二次变量的系数是否有相等情况 相等 为旋转抛物面如 有一个是一次且另两个二次变 量的方程 看两个二次变量的系数是否有相等情况 相等 为旋转抛物面如 2 22 a yx z 否则都不是 否则都不是 填空题填空题 1 内积 内积 0 ba称称ba 即两向量垂直 例 即两向量垂直 例 3 0 1 a 与与 0 1 0 b 则向量 则向量a 与与b 关系关系 3 向量积向量积k bb aa i bb aa i bb aa bbb aaa kji ba 21 21 3 31 32 32 321 321 其中符号其中符号bcad dc ba 321 aaaa 321 bbbb 例 例 3 0 1 a 与与 0 1 0 b 则 则 ba 3 已知已知 321 aaaa 321 bbbb 求求bcac 21 例 例 3 0 1 a 与与 0 1 0 b 则 则 ba32 4 给给 000 zyxa 求求 2 0 2 0 2 0 zyxa 例 例 3 0 1 a 则 则 a 5 给给 000 zyxP求关于求关于 oxy 面对称点面对称点 000 zyxQ 例 例 3 2 1 P关于关于 oxy 面对称点为面对称点为 关于 关于 oxz 面对称点 为 面对称点 为 关于 关于 oyz 面对称点为面对称点为 6 过点过点P求平行于求平行于 oxy 坐标面的平面方程 例 过点 坐标面的平面方程 例 过点 3 2 1 P平行于平行于 oxy 坐标面的平面方程为坐标面的平面方程为 平行 平行 于于 oxz 坐标面的平面方程为坐标面的平面方程为 平行于 平行于 oyz 坐标面的平面 方程为 坐标面的平面 方程为 8 求绕求绕z轴的旋转抛物面轴的旋转抛物面 xfz 或或 yfz 绕绕z轴的旋转抛物面轴的旋转抛物面 方程为方程为 22 yxfz 一般 一般 0 zyf绕绕 z 轴的旋转面方程为轴的旋转面方程为0 22 zyxf 此为 自加 出卷人没指出 例 此为 自加 出卷人没指出 例 2 2 x z 绕绕 z 轴的旋转抛物面为轴的旋转抛物面为 计算题 计算题 1 求过两点的直线方程求过两点的直线方程 过点过点 000 zyxP和和 111 zyxQ的直线方程的直线方程 01 0 01 0 01 0 zz zz yy yy xx xx 2 点法平面方程点法平面方程 0 000 zzCyyBxxA为法向量为为法向量为 CBAv 过点过点 000 zyxP 的平面方程 的平面方程 3 点向式直线方程点向式直线方程 方 向 向 量 为方 向 向 量 为 nmlv 过 点 过 点 000 zyxP的 直 线 方 程 的 直 线 方 程 n zz m yy l xx 000 4 已知平面已知平面 和直线和直线l 求交点求交点 例 已知平面例 已知平面 方程 方程 0543 zyx和直线和直线l方程方程 3 3 2 2 2 1 zyx 求交点求交点 5 求两平面的夹角即两平面法向量的夹角求两平面的夹角即两平面法向量的夹角 锐角锐角 注 两平面的夹角和两直线夹角 直线与平面夹角都取为锐角 但两向量夹角可为钝角也可为锐角 注 两平面的夹角和两直线夹角 直线与平面夹角都取为锐角 但两向量夹角可为钝角也可为锐角 例 已知平面例 已知平面 1 方程 方程 0543 zyx 平面 平面 2 方程 方程 052 yx 求两者夹角 求两者夹角 6 求过点求过点P与与 垂直的直线方程 垂直的直线方程 C zz B yy A xx 000 为过点为过点 000 zyxP且与平面且与平面 0 DCzByAx 垂直的直线方程 例 求过点 垂直的直线方程 例 求过点 3 8 2 P且与平面且与平面 0232 zyx垂直的直线方程垂直的直线方程 7 求点到平面的距离求点到平面的距离 点点 000 zyxP到平面到平面 0 DCzByAx的距离 的距离 0 222 000 CBA DCzByAx d 例 求过点例 求过点 3 8 2 P与平面与平面 0232 zyx的距离的距离 第二章 填空题 第二章 填空题 1 已知已知 yxzz 求求 y z x z 例 例 223 24yxyxxz 则则 x z y z 2 已知已知 yxzz 求求dy y z dx x z dz 形式不复杂形式不复杂 甚至可分离变量甚至可分离变量 例 例 223 24yxyxxz 求 求dz 计算题计算题 1 给给0 zyxF 隐函数隐函数 求过点求过点 000 zyxP的切平面方程或切平面 的法线方程 切平面方程 的切平面方程或切平面 的法线方程 切平面方程 0 000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxF zyx 切平面的法线方程 切平面的法线方程 000 0 000 0 000 0 zyxF zz zyxF yy zyxF xx zyx 例例 求椭球求椭球152 222 zyx在点在点 3 2 1 P处的切平面和法线方程处的切平面和法线方程 2 给给0 zyxF或或 yxzz 求求 2 2 2 2 y z x z y z x z 例 例 223 24yxyxxz 求 求 2 2 2 2 y z x z y z x z 例 例 0152 222 zyx 求求 2 2 2 2 y z x z y z x z 第三章 会准确地划出以下积分区域 第三章 会准确地划出以下积分区域D和和 有助于积分 填空题 有助于积分 填空题 1 D D aSadxdy D一般为三角形一般为三角形 矩形矩形 圆等 例 圆等 例 D adxdy3 其中 其中D由由1 1 0 yxxx围成的平面区域围成的平面区域 2 bVbdxdydz 一般为球一般为球 半球半球 圆柱等圆柱等 球的体积公式球的体积公式 3 4 3 R 例 例 dxdydz3其中其中 由由1 1 0 22 yxzz围成的空间区域 计算题 围成的空间区域 计算题 1 zdxdydz dxdydzyxf 22 为半球为半球 圆柱圆柱 先对先对 z 积分化为积分化为 D dxdyyxf 22 D 为圆为圆 再化成极坐标再化成极坐标 rdrddxdy ry rx sin cos 例 例 zdxdydz其中其中 由由1 2 0 22 yxzz围成的空间区域 例 围成的空间区域 例 dxdydzyx 22 1其中其中 由由1 0 222 zyxz围成的空间区域围成的空间区域 2 dxdydzzWyvxu dxdydzzWyvxu 为立方体 例 为立方体 例 xyzdxdydz其中其中 由由30 20 10 zyx构成的空间区域 例 构成的空间区域 例 dxdydzzyx 其中其中 由由30 20 10 zyx构成的空间区 域 构成的空间区 域 3 D dxdyyxf 22 D 为圆为圆 再化成极坐标再化成极坐标 rdrddxdy ry rx sin cos 其中其中 22 yxf 为为 22 yx 或或1 22 yx或或 22 yx 例 例 D dxdyyx 22 其中 其中 D 为圆为圆4 22 yx 4 D dxdyyxf D 为矩形为矩形 例 例 D dxdyyx 1 22 其中其中 D 为矩形为矩形20 10 yx 第五章 填空题 第五章 填空题 1 可分离变量可分离变量 xfy 求通解 例 求通解 例 2 1 x y 通解通解 2 可分离变量可分离变量0 dyyqdxxg 求通解 例 求 求通解 例 求 x y y 通解通解 3 微分方程的阶数微分方程的阶数 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的 阶数称为微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的 阶数称为微分方程的阶 4 二阶常系数齐次微分方程二阶常系数齐次微分方程 求通解求通解 0 qypyy 2121 21 rrececy xrxr 其中其中 21 r r为为0 2 qprr的两不等的实根的两不等的实根 21 rx exccy 其中其中r为为0 2 qprr的两相等的实根的两相等的实根 当特征方程当特征方程0 2 qprr有一对共轭复根情形通解不考有一对共轭复根情形通解不考 例 例 04 4 yyy通解通解 例 例 06 5 yyy通解通解 计算题计算题 1 可分离可分离 ygxfy 求通解求通解 例