高等数学第四章课件-矩阵的概念.pdf

4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 矩阵的概念矩阵的概念矩阵的概念矩阵的概念矩阵的概念矩阵的概念矩阵的概念矩阵的概念 11112211111122111111221111112211 21122222211222222112222221122222 1122112211221122 nnnnnnnn nnnnnnnn sssnnssssnnssssnnssssnns a xa xa xba xa xa xba xa xa xba xa xa xb a xa xa xba xa xa xba xa xa xba xa xa xb a xa xa xba xa xa xba xa xa xba xa xa xb 1 1 1 1 线性方程组线性方程组 的解取决于的解取决于 1 1 1 1 1 1 1 1 ij ij ij ij ais jnais jnais jnais jn 系数系数 1 2 1 2 1 2 1 2 i i i i b isb isb isb is 常数项常数项 一 矩阵概念的引入一 矩阵概念的引入一 矩阵概念的引入一 矩阵概念的引入 111211111211111211111211 212222212222212222212222 12121212 n n n n n n n n sssnssssnssssnssssns aaabaaabaaabaaab aaabaaabaaabaaab aaabaaabaaabaaab 对线性方程组的对线性方程组的 研究可转化为对研究可转化为对 这张表的研究这张表的研究 线性方程组的系数与常数项按原位置可排为线性方程组的系数与常数项按原位置可排为 2 2 2 2 某航空公司在某航空公司在A A A A B B B B C C C C D D D D四四 城市之间开辟了若干航线城市之间开辟了若干航线 如图所示表示了四城市间的如图所示表示了四城市间的 航班图航班图 如果从如果从A A A A到到B B B B有航班有航班 则用带箭头的线连接则用带箭头的线连接 A A A A 与与B B B B A A A A B B B B C C C C D D D D 发站发站 到站到站 A A A AB B B BC C C CD D D D A A A A B B B B C C C C D D D D 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 为了便于计算为了便于计算 把表中的把表中的 改成改成1 1 1 1 空白地方填上空白地方填上 0 0 0 0 就得到一个数表就得到一个数表 二 矩阵的概念二 矩阵的概念二 矩阵的概念二 矩阵的概念 11121111211112111121 21222212222122221222 12121212 n n n n n n n n sssnsssnsssnsssn aaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaa ijs nijs nijs nijs n AaAaAaAa 简记为简记为简记为简记为 数数数数 称为矩阵称为矩阵称为矩阵称为矩阵A A A A的的的的 i i i i 行行行行 j j j j 列的列的列的列的元素元素元素元素 其中 其中 其中 其中i i i i为行指为行指为行指为行指 ij ij ij ij a a a a 标 标 标 标 j j j j为列指标为列指标为列指标为列指标 定义定义定义定义 由数域 上由数域 上由数域 上由数域 上 个数排成的个数排成的个数排成的 个数排成的 行 行行行 列的数表列的数表列的数表列的数表 s ns ns ns n s s s sn n n nP P P P 称为数域 上一个称为数域 上一个称为数域 上一个称为数域 上一个 矩阵矩阵矩阵 矩阵 s ns ns ns n P P P P 注意 矩阵与行列式有本质的区别注意 矩阵与行列式有本质的区别注意 矩阵与行列式有本质的区别注意 矩阵与行列式有本质的区别 行列式是一个行列式是一个行列式是一个行列式是一个算式算式算式算式 一个数字行列式经过计算可一个数字行列式经过计算可一个数字行列式经过计算可一个数字行列式经过计算可 求得其值求得其值求得其值求得其值 而矩阵仅仅是一个而矩阵仅仅是一个而矩阵仅仅是一个而矩阵仅仅是一个数表数表数表数表 它的行数和列数可以不同它的行数和列数可以不同它的行数和列数可以不同它的行数和列数可以不同 三 矩阵的相等三 矩阵的相等三 矩阵的相等三 矩阵的相等 1 1 1 1 两个矩阵的行数相等两个矩阵的行数相等两个矩阵的行数相等两个矩阵的行数相等 列数相等时列数相等时列数相等时列数相等时 称为称为称为称为同型同型同型同型 矩阵矩阵矩阵矩阵 例如例如 9 9 9 93 3 3 3 4 4 4 48 8 8 8 3 3 3 314141414 7 7 7 73 3 3 3 6 6 6 65 5 5 5 2 2 2 21 1 1 1 与与与与 为为同型矩阵同型矩阵 ijm nijk lijm nijk lijm nijk lijm nijk l AaBbAaBbAaBbAaBb 2 2 2 2 设矩阵设矩阵设矩阵设矩阵 若若若若 1 1 1 1 A A A A与与与与B B B B是同型矩阵是同型矩阵是同型矩阵是同型矩阵 1 1 1 1 1 1 1 1 ijijijijijijijij abim jnabim jnabim jnabim jn 2 2 2 2 则称则称则称则称矩阵矩阵矩阵矩阵A A A A与与与与B B B B相等相等相等相等 记作记作记作记作 A A A A B B B B 四 几类特殊的矩阵四 几类特殊的矩阵四 几类特殊的矩阵四 几类特殊的矩阵 行数与列数都等于行数与列数都等于行数与列数都等于行数与列数都等于 的矩阵的矩阵的矩阵的矩阵 称为 称为 称为 称为 级级级级n n n nn n n nA A A A 方阵方阵方阵方阵 A A A A 称为称为称为称为矩阵矩阵矩阵矩阵A A A A的行列式的行列式的行列式的行列式 记作 记作 记作 记作 或或或或detAdetAdetAdetA 11121111211112111121 21222212222122221222 12121212 n n n n n n n n nnnnnnnnnnnnnnnn aaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaa 由由由由 级方阵级方阵级方阵级方阵 定义的定义的定义的定义的 级行列式级行列式级行列式级行列式 ijn nijn nijn nijn n AaAaAaAa n n n nn n n n 2 2 2 2 只有一行的矩阵只有一行的矩阵只有一行的矩阵只有一行的矩阵 2 2 2 21 1 1 1n n n n a a a aa a a aa a a aA A A A 称为称为称为称为行矩阵行矩阵行矩阵行矩阵 或或或或行向量行向量行向量行向量 2 2 2 2 1 1 1 1 n n n n a a a a a a a a a a a a B B B B 只有一列的矩阵只有一列的矩阵只有一列的矩阵只有一列的矩阵 称为称为称为称为列矩阵列矩阵列矩阵列矩阵 或或或或列向量列向量列向量列向量 3 3 3 3 形如形如形如形如 的方阵的方阵的方阵的方阵 称为称为称为称为上三角矩阵上三角矩阵上三角矩阵上三角矩阵 11121111211112111121 222222222222 0 0 0 0 00000000 n n n n n n n n nnnnnnnn aaaaaaaaaaaa aaaaaaaa a a a a 0 0 0 0 形如形如形如形如 的方阵的方阵的方阵的方阵 称为称为称为称为下三角矩阵下三角矩阵下三角矩阵下三角矩阵 11111111 2122212221222122 12121212 00000000 0 0 0 0 nnnnnnnnnnnnnnnn a a a a aaaaaaaa aaaaaaaaaaaa 0 0 0 0 称为称为称为称为对角对角对角对角对角对角对角对角 矩阵矩阵矩阵矩阵矩阵矩阵矩阵矩阵 或或或或对角阵对角阵对角阵对角阵对角阵对角阵对角阵对角阵 n n n n 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 2 2 2 2 1 1 1 1 4 4 4 4 形如形如形如形如 的方阵的方阵的方阵的方阵 O O O O O O O O 记作记作记作记作 12121212 n n n n AdiagAdiagAdiagAdiag 5 5 5 5 元素全为零的矩阵称为元素全为零的矩阵称为元素全为零的矩阵称为元素全为零的矩阵称为零矩阵零矩阵零矩阵零矩阵 零零零零矩阵矩阵矩阵矩阵n n n nm m m m n n n nm m m m o o o o o o o o记作 或 记作 或 记作 或 记作 或 称为称为称为称为对角元对角元对角元对角元 i i i i 6 6 6 6 方阵方阵方阵方阵 1 1 1 10 0 0 00 0 0 0 0 0 0 01 1 1 10 0 0 0 0 0 0 00 0 0 01 1 1 1 n n n n E E E EE E E E O O O O O O O O 全为全为1 1 1 1 称为称为称为称为单位矩阵单位矩阵单位矩阵单位矩阵 或 或 或 或单位