三角形单元复习与巩固.doc

三角形单元复习与巩固知识网络 目标认知学习目标1.了解三角形的边、高、中线、角平分线的定义及性质；2.掌握三角形的内角和及多边形的内角和公式；3.通过三角形的内角和来确定三角形的外角和以及多边形的外角和；4.会利用多边形的内角和公式求多边形的边数、角度数、外角度数等；5.掌握多边形内角和性质的应用.重点三角形的三边关系,以及三角形内角和定理的综合应用.难点本章的难点是镶嵌问题，它综合运用到多边形内角和以及正多边形等知识.知识要点梳理知识点一：三角形的有关的概念1.三角形定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边上的公共点叫做三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角. 注意：通过三角形的定义可知，三角形的特征有：三条线段；不在同一条直线上；首尾顺次连接. 这是判定是否是三角形的标准.2.三角形的表示方法：“三角形”用符号“”表示，顶点是A，B，C的三角形，记作“ABC”，读作“三角形ABC”. 3.三角形的分类4.三角形的三边关系三边关系性质：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，三角形的三边关系反应了任意三角形边的限制关系.三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形. 当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围.注意：这里的“两边”指的是任意的两边. 对于“两边之差”它可能是正数，也可能是负数，一般地取“差”的绝对值；三角形的三边关系是“两点之间，线段最短”的具体应用.知识点二：三角形的高、中线、角平分线1.三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.注意：三角形的高线是一条线段；锐角三角形的三条高都在三角形内，三条高的交点也在三角形内部；钝角三角形有两条高落在三角形的外部，一条在三角形内部，三条高所在直线交于三角形外一点；直角三角形有两条高恰好是三角形的两条直角边，另一条在三角形的内部，它们的交点是直角的顶点.三角形的三条高交于一点，这一点叫做三角形的垂心.2.三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线.注意：三角形的中线是一条线段；三角形的每一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形；三角形三条中线交于三角形内一点，这一点叫做三角形的重心.3.三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线和对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.注意：三角形的角平分线是一条线段；三角形的三条角平分线交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.知识点三：三角形的内角与外角1.三角形的内角：（1）定义：三角形中相邻两边组成的角，叫做三角形的内角.（2）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180.（3）三角形内角和定理的作用：在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角度数；求一个三角形中各角之间的关系.2.三角形的外角（1）定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 三角形的外角和为360.（2）特点：外角的顶点在三角形的一个顶点上； 外角的一条边是三角形的一边； 外角的另一条边是三角形某条边的延长线. （3）性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. 知识点四：多边形1.多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.注意：各个角都相等、各条边都相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角都相等的四边形才是正方形.2.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 从边形的一个顶点出发，可以画条对角线，边形一共有条对角线.3.多边形的内角和公式：边形的内角和为.内角和公式的应用：已知多边形的边数，求其内角和；已知多边形内角和，求其边数.4.多边形的外角和定理：多边形的外角和等于360. 外角和定理的应用：已知外角度数，求正多边形边数；已知正多边形边数，求外角度数.知识点五：镶嵌1.平面镶嵌的定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做多边形覆盖平面（或平面镶嵌）.2.镶嵌的条件：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就能拼成一个平面图形.规律方法指导三角形是最简单的多边形，是研究复杂图形的基础，在解决多边形的内角和问题时，通常转化为与三角形相关的角来解决.三角形有很多重要性质，如稳定性，三角形内角和等于180等，这些在生产和生活中有广泛的应用. 通过本章学习可以进一步丰富对图形的认识和感受，提高同学们的思考和说服能力. 在运用多边形的内角和公式与外角的性质求值时，常与方程思想相结合. 数形结合思想和转化思想在本章中体现较为明显，如三角形的三边关系、内角和、外角和的语言表述与符号、数字之间的互化；多边形问题通过连接对角线转化为三角形问题等. 本章内容是中考的必考内容，主要考查三角形的三边关系、三角形内角和、多边形内角和、平面镶嵌及其简单的应用，常以填空题、选择题的形式命题.经典例题透析类型一：数学思想方法的应用1分类思想1等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30，则顶角的度数为( )A60 B120 C60或150 D60或120思路点拨：锐角三角形的高都在三角形的内部，钝角三角形的高有两条在三角形的外部，应进行分类讨论答案：D.总结升华：三角形的高与三角形的形状有关，应进行分类讨论.举一反三：【变式1】已知BD、CE是ABC的高，直线BD、CE相交所成的角中有一个角为50，则BAC的度数为_.【答案】50或130思路点拨：本题中由于没有图形，ABC的形状不确定，应分两种情况. 图1 图2如图1所示，ABC是锐角三角形，因为BD、CE是ABC的高，所以BOE、BAD都是直角三角形，则A+290，1+290，所以A150，即BAC50.如图2所示，ABC是钝角三角形，因为BD、CE是ABC的高，所以ABD、OBE都是直角三角形，则1+290，O+290，所以1O50，所以BAC180118050130. 【变式2】有四条线段，它们的长分别为1cm，2cm，3cm，4cm，从中选出三条组成三角形，正确的选法有()A、1种B、2种C、3种D、4种解析：从四条线段中任选三条，共有4种选法：1cm，2cm，3cm；1cm，2cm，4cm；1cm，3cm，4cm；2cm，3cm，4cm，其中能构成三角形的选法只有2cm，3cm，4cm，故选A。答案：A总结升华：判断三条线段能否构成三角形，只要检验两条较短(小)线段之和能否大于第三条线段即可。若大于，则能构成三角形；否则，不能。2转化思想2(1)如图1是一个五角星ABCDE，请算出A+B+C+D+E的大小.(2)如图2，3，4，5的变式图形中，上面的结论成立吗？为什么思路点拨：本题是一题多变题，先求出图1中各角之和，其他图形是否有相同的结论同理可证. 图1 图2 图3 图4 图5解析：(1)A+B+C+D+E180. 理由：C+E1，B+D2，A+B+C+D+E1+2+A180.(2)在图2,3,4,5中，仍有A+B+C+D+E180. 理由同(1).在图2中，B为EBD. 在图4中，延长CE与AD交于一点，则A+C1，B+E2， A+B+C+D+E1+2+D180.总结升华：运动变化的问题一直是中考的热点问题，处理这类问题的关键是抓住变化中不变的量. 将所求转化到我们所熟悉的知识点上，再求解.举一反三：【变式1】如下图，ABCDEF。解析：如下图，21CBA，又2EFD360，则ABCDEF360。答案：360。【变式2】一个零件的形状如下图所示，规定A90，B和C分别是32和21，检验工人量得BDC149，就断定这个零件不合格，请你运用三角形的有关知识说明零件不合格的原因。解析：连结AD，并延长至点E，如下图：因为CDECADC，BDEBADB(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和)所以CDEBDECADCBADB，即BDCBACCB，如果零件合格，那么BDC902132143。而现量得BDC149，所以零件不合格。3方程思想3在ABC中，B20+A，CB10，求A的度数.思路点拨：由三角形的内角和，建立方程解决.解析：CB10A+10，由三角形的内角和定理，得A+B+CA+A+20+A+10180，A50. 总结升华：本题根据三角形的内角和定理列出以A为未知数的方程，解方程即可求得A.建立方程求解，是本章求解角度数的常用方法.举一反三：【变式1】如下图，若等腰三角形中，一腰上的中线把它的周长分为15cm和6cm的两部分，求该三角形各边的长。解：设腰长为xcm，底边长为ycm，分两种情况(1)(2) 4413，不能形成三角形，应舍去。等腰三角形三边长分别为10cm，10cm，1cm。【变式2】已知从多边形一个顶点出发的所有对角线，将多边形分成三角形的个数恰好等于该多边形所有对角线条数，求多边形内角和。思路点拨：根据从n边形一个顶点引出的对角线，把多边形分成(n2)个三角形，共有条对角线，列出方程，先求出多边形的边数n，再进一步求内角和。解析：设该多边形为n边形，则从一个顶点引出的对角线，把多边形分成(n2)个三角形，共有条对角线。根据题意得n2。解之，得n4或n1(舍去)该多边形的内角和为(42)180360。类型二：三角形内角和定理4. 如图所示，已知D是AB上一点，E是AC上的一点，BE、CD相交于点F，A62，ACD15，ABE20.(1)求BDC的度数；(2)求BFD的度数；(3)试说明BFCA.思路点拨：BDC是ADC的一个外角，由三角形的外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. 可以求出BDC和BFC均大于A。然后根据三角形内角和定理，求出BFD。解析：(1)BDCA+ACD，BDC62+1577；(2)ABE+BDC+BFD180，BFD180207783；(3)BFC是DBF的一个外角，BFCBDC. BDC是ADC的一个外角， BDCA. BFCA.总结升华：求一个角的度数，我们应该首先弄清这个角在哪个三角形中，是外角还是内角，跟已知的角有什么联系。 举一反三：【变式1】已知：如图，在ABC中，ABC345，BD、CE分别是边AC、AB上的高，BD、CE相交于H，求BHC的度数。思路点拨：由已知可求出A、B、C，在RtABD中，190A，在RtBEH中，2901，而2是BHC的邻补角，BHC1802即可求出。解析：设A3x，则B4x，C5x3x4x5x180(三角形内角和定理)x15A45，190-4545，2901=45BHC135【变式2】如图，已知D为ABC内任一点，求证：BDCABD。思路点拨：要证BDCABD，这两个角度没有直接关系，如连结AD并延长，则在ABD中有1ABD，而BDC1，所以BDCABD。证明：过D作射线AE在ABD中有1ABD(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角)BDC1(如图)BDCABD(不等式性)类型三：三角形三边性质5如图，点P是ABC内一点，比较BP+CP与AB+AC的大小.思路点拨：三边关系是说明不等式问题的首选方法，寻找或构造一个新的三角形，使它与已知的两个三角形联系起来.解析：延长BP交AC于点，则AB+ADBD，即AB+ADBP+PD. 而PD+DCCP. +得AB+AD+PD+DCBP+PD+CP，AB+ACBP+CP.总结升华：通过作辅助线，构造三角形，利用三角形的两边之和大于第三边. 在这两个不等式中，PD起了桥梁的作用.举一反三：【变式1】不等边三角形的边长都是整数，且周长是12，这样的三角形共有个。解析：设三角形的三边为a，b，c，且abc。根据三角形三边关系，得abc。所以abc2c。由题意，得abc12。所以2c12，即c6。因为a，b，c都是整数，所以c3或4或5。当c3时，由于c是最长边，不满足周长为12，舍去；当c4时，由于c是最长边，不满足周长为12，舍去；当c5时，则a3，b4，满足周长为12，符合题意。所以符合题意的三角形共有1个。答案：1【变式2】已知：如图，P为ABC内任一点。求证：PAPBPC(ABBCAC)思路点拨：一般证明结论有分数系数时，常把它化成整系数证明，故结论变为：2(PAPBPC)ABBCAC而由PA、PB、PC、AB、BC、AC组成三个小三角形，即ABP、BCP、ACP。根据三角形三边关系定理有APBPABBPCPBCAPCPAC由得结论。证明：在ABP、PBC、APC中有APBPABBPCPBCAPCPAC(三角形两边之和大于第三边)得，2(APBPCP)ABBCACAPBPCP(ABBCAC)类型四：实践应用6某公园便道用三种不同的正多边形地砖铺设，其中已选好了用正十二边形和正方形两种，还需要选用_，使这三种组合在一起把便道铺满.思路点拨：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角和加在一起恰好组成一个周角时，就能拼成一个平面图形. 解析：分别计算正十二边形与正方形每个内角的度数，它们分别为150和90，再用36015090120，每个内角为120的正多边形为正六边形. 另外正三角形的两个内角和也为120，所以正三角形也可以.所以还需选用正六边形或正三角形.总结升华：用两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形，实质上是相关正多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题。举一反三：【变式】(烟台市中考题)现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形.正方形.正六边形.正八边形，且它们的边长都相等同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有( )A2种 B3种 C4种 D5种解析：几个多边形围绕一点拼在一起时，当内角加在一起恰好组成一个周角时就能铺地面。易知正三角形的每个内角为60度，正方形的每个内角为90度，正六边形的每个内角为120度，正八边形的每个内角为135度，那么正三角形与正方形、正三角形与正六边形、正方形与正八边形都可分别密铺地面，所以有3种选择的方式。答案：B7餐馆的厨房有一块90cm长，54cm宽的长方形墙面准备贴上瓷砖，现在已经买了18cm12cm的瓷砖24块，6cm6cm的瓷砖三块，请你帮忙设计一种铺设方案，并说明设计意图.思路点拨：此类问题应先进行有关的运算，再寻找合理的设计方案解析：18cm12cm的瓷砖长宽相差6cm，按图1所示那样拼，中间会出现一个边长为6cm的小正方形，正好放下一块6cm6cm的瓷砖，即每块6cm6cm的瓷砖周围需要18cm12cm的瓷砖4块，所以3块6cm6cm的瓷砖按图2所示的方法连续平铺，然后在大长方形的上、下各平铺5块18cm12cm的瓷砖，则形成了一个90cm54cm的大长方形，即把长为90cm，宽54cm的长方形墙面贴满瓷砖. 图1图2总结升华：对于寻找合理的设计方案，首先要进行有关的运算，然后分情况进行分析及论证，选择最佳方案。举一反三：【变式】如图，某部队在灯塔A周围进行爆破作业，A的周围3千米内的区域为危险区域，有一渔船误入离A为2千米的B处，为了尽快驶离危险区域，该船应沿哪条射线方向航行？(要求给予证明)解析：该船应沿射线AB方向驶离危险区域。 证明如下：如图，设射线AB交A于点C，再在A上任取一点D(不在直线AB上，且不与点C重合)。连结AD、BD，进而在ABD中有ABBDAD(三边关系定理)但半径ADACABBC，ABBDABBC，BDBC中考题萃1.（山西太原市）在ABC中，B=40，C=80，则A的度数为（ ）.A.30 B.40 C.50 D.602.（浙江杭州市）如图，已知直线ABCD，C=115，A=25，则E=（ ）. A.70 B.80 C.90 D.1003.（陕西省）一个三角形三个角的度数之比为237，这个三角形一定是（ ）.A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形4.（黑龙江哈尔滨市）某商店出售下列四种形状的地砖：正三角形；正方形；正五边形；正六边形. 若只选购其中一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（ ）.A.4种 B.3种 C.2种 D.1种5.（江苏无锡市）五边形的内角和为_.6.（吉林省）如图，点D、B、C在同一直线上，A=60，C=50，D=25，则1=_. 7.（安徽省）如图，已知，1=70，2=40，则3=_.8.（江苏南京市）若等腰三角形的一个外角为70，则它的底角为_.9.（辽宁沈阳市）已知ABC中，A=60，ABC、ACB的平分线交于点O，则BOC的度数为_.10.（山西省）如图所示的图案是由正六边形密铺而成，黑色正六边形周围第一层有六个白色正六边形，则第层有_个白色正六边形.答案