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注册金融分析师考试实战突破 陆家嘴财富管理培训中心 编著 陆家嘴财富管理培训中心 CFA WMICHINA ORG PAGE 1 贝叶斯公式贝叶斯公式 在统计学中 贝叶斯统计占有重要的地位 对许多读者来说 贝叶斯公式 贝叶斯公式 Bayes formula 显得太难 本书希望通过一种全新的方式来阐释贝叶斯公式 让贝叶斯公式显得 简单一些 贝叶斯公式是基于条件概率定义 P AB P A B P B P B A P A 变形得到 BP APABP BAP 其中 分母 P B 常用全概率公式展开 P B P B A1 P A1 P B A2 P A2 P B An P An 贝叶斯公式的作用是根据新信息来更新我们先前对事件概率的判断 先验概率 如果 事件 A 是我们要判断概率的事件 事件 B 是新信息 那么贝叶斯公式可以表示为 率新信息发生的无条件概 先验概率新信息发生的条件概率 后验概率 以上是贝叶斯公式的传统解释 我们在这里要用一种全新的方法来解释贝叶斯公式 我们要指出 贝叶斯公式的含义是天地阴阳的关系 早在两千年以前 道家理论就已经解 释了贝叶斯公式公式 知道道家的标志是怎么样的吗 图图 道家阴阳图道家阴阳图 我们将用这个太极图来解答贝叶斯公式的题目 是否有点不可思议 我们先要对太极 图作一些小小的调整 Copyright 2009 2010 WMICHINA All Rights Reserved 陆家嘴财富管理培训中心 CFA WMICHINA ORG PAGE 2 图图 天地万物分阴阳 图 天地万物分阴阳 图 我们这个图与太极图其实是一样的 太极图的大圆就是我们的大长方形 太极图的两 个小圆就是我们图里面的两个半圆 太极图中间弯曲的曲线就是我们图中间的直线 我们现在来解释一下这个图的意思 大长方形代表 天 里面的圆代表 地 中间 的直线表示 分阴阳 我们可以把左半边叫做 阴 右半边叫做 阳 我把这个图命名 为 天地万物分阴阳 通过掌握这种新方法 它能让你在 1 分钟之内解决贝叶斯公式的题目 首先 你要记 得这张 天地万物分阴阳 图 先把先验概率标在阴阳两侧 再把新信息概率标在图内 然后 图内的 4 个概率分别乘以各自的先验概率 求得全部 4 部分的面积 最后 你就很 容易得到答案了 我们下面将用传统方法和全新方法来解答以下例题 使读者能有感性认识 例例 现在新发现了一种隐性疾病 在所有人群中 30 的人患有这种疾病 70 的人没有这种疾病 由于是新 发现的疾病 诊断比较复杂 耗时很长 现在有人发明了一种快速诊断仪 其优点是可以在很短的时间内 作出诊断 但其缺点是 诊断不是 100 正确的 如果被测者真的有病的话 那么诊断仪说有病的概率为 0 8 说没病 误诊 的概率为 0 2 如果被测者真的没病的话 那么诊断仪说有病 误诊 的概率为 0 1 说没病的概率为 0 9 机器说有病 机器说没病 如果人真有病 0 8 0 2 如果人真没病 0 1 0 9 现有一人被快速诊断仪诊断为有病 问其真有病的概率是多少 A 0 300 B 0 487 C 0 774 D 0 920 答案 答案 C 解法解法 1 传统方法 我们定义事件 A 为 人真的有病 事件 B 为 机器说有病 那么 P A B 就是我们所要求的概率 机 Copyright 2009 2010 WMICHINA All Rights Reserved 陆家嘴财富管理培训中心 CFA WMICHINA ORG PAGE 3 器说有病的情况下 人真有病的概率 根据题意 P A 0 3 P B A 0 8 分子上这两个概率都是已知的 问题是分母 P B 怎么求 如前所述 P B 要用全概率公式展开 P B 表示机器说有病的概率 要分两种情况讨论 1 人真的 有病 2 人真的没病 因此 P B P B A P A P B A P A 0 8 0 3 0 1 0 7 0 31 我们终于得到答案 P A B 0 3 0 8 0 31 24 31 77 4 解法解法 2 全新方法 终于轮到我们的 天地万物分阴阳 图登场了 首先要说明的是 天 的概率为 1 也就是大长方 形的面积为 1 天 代表 全部 而 我们终于得到答案 P A B 0 3 0 8 0 31 24 31 77 4 1 在 中国古代也代表 全部 的意思 在本题中 天 代表所有的人 然后 我们要把先验概率写在左右 阴 阳 两处 如果我们用 阴 代表 人真的有病 阳 代表 人真的没病 那么左半边的面积为 0 3 右半边的面积为 0 7 如下图所示 接下来 我们用 地 代表新信息 就是 机器说有病 也就是说 在圆中表示 诊断仪说有病 在圆外表示 诊断仪说没病 那么 我们可以将剩下的 4 个概率在图中表示为 如果被测者真的有病的话 那么诊断仪说有病的概率为 0 8 即左面的圆内的概率 面积 是 0 8 如 果被 但是 我们知道 圆的左边的概率 面积 并不是 0 8 因为整个左面的面积只有 0 3 左半边圆的面 测者真的有病的话 那么诊断仪说没病的概率为 0 2 即左面的圆外的概率 面积 是 0 2 右边同理 Copyright 2009 2010 WMICHINA All Rights Reserved 陆家嘴财富管理培训中心 CFA WMICHINA ORG PAGE 4 积只不过是整个左面面积的 80 而已 所以 左半边圆的面积为 0 8 0 3 0 24 其他依此类推 如图所 示 好了 现在我们已经有了全部 4 块的面积 我们要求的是 在机器说有病的条件下 人真有病的概率 也就 数问题数问题 是 在 地 中的条件下 在 阴 中的概率 再换句话说 就是 在圆中的条件下 在左半边的 概率 已知圆的面积为 0 31 0 24 0 07 那么 在圆中的条件下 在左半边的概率 即为 0 24 0 31 77 4 计计 高中里学过排列组合 这都属于计数问题 counting problems 本书将系统地 讲述 乘法法则乘法法则 n 个物品放到 n 个位置上 有 n n n 1 1 种 放法 labeling 是指 我们有 n 个物品需要标上标签 标签共有 k 种 第一种有 n1个 n物品标上 n 个标签 共有 n 种标法 但是请注意 同 种标 我们在 计数问题 首先我们从计数问题的乘法法则讲起 计数问题的乘法法则是指 把 因为对于第一个位置 我们有 n 个物品可以选 对于第二个位置 由于已经放了一 个物品 我们只剩 n 1 个物品可以选 依此类推 到最后一个位置 只剩一个物品可以选 n 表示 n 的阶乘 factorial 标号问题标号问题 标号问题 第二种有 n2个 依此类推 且总标签数为 n 个 n1 n2 n3 nk n 那么 我 们总共有多少种贴标签的方法呢 根据计数问题的乘法法则 个 签是相同的 同种标签互相调换视为同一种贴法 那么对于第一种标签来说 共有 n1 种标法是相同的 对于所有的标签来说 共有 n1 n2 nk 种标法是相同的 于是 我们得到计数问题的答案 Copyright 2009 2010 WMICHINA All Rights Reserved 陆家嘴财富管理培训中心 CFA WMICHINA ORG PAGE 5 21k nnn n 组合组合 如果只有两种标签 k 2 这称为组合 combination 问题 若第一种标签有 r 个 n1 r 第二种标签有 n2 n r 个 由上面的计数问题公式可以得到组合公式 rrn n r n Cr n 可能有读者发现这和在高中里教的方法不一样 高中里我们说组合就是从 n 个物品中 挑出 r 个 有几种挑法 我说这是一样的 我们可以把第一种标签定义为 要 第二种 标签定义为 不要 那么 从 n 个物品中挑出 r 个 就变成 给 n 个物品贴上 要 和 不要 的标签 排列排列 如果挑出的这 r 个物品要考虑顺序 也就是先挑和后挑有区别 那么这就是排列 permutation 问题 由于考虑顺序 所以公式为 rn n Pr n 本章重要考点 考点一 考点一 区别三种概率 考点二 考点二 计算独立事件的乘法法则和加法法则 考点三 考点三 计算两个随机变量的协方差和相关系数 考点四 考点四 了解组合的公式 本章专业术语 独立事件 independent events 期望值 expected value 协方差 covariance Copyright 2009 2010 WMICHINA All Rights Reserved 陆家嘴财富管理培训中心 CFA WMICHINA ORG PAGE 6 常见概率分布常见概率分布 基本概念基本概念 随机变量的取值是变化的 或者说不确定的 例如 我们掷一枚骰子 得到的结果就 是一个随机变量 在掷骰子之前 我们不知道结果如何 但我们知道其可能的取值为 1 2 3 4 5 6 像这样取值范围是离散数值的随机变量称为离散随机变量 离散随机变量 discrete random variable 又如 明天中午 12 点时你家的温度也是一个随机变量 在明天中午 12 点之前 你不 知道你家的温度会是多少 我们也无法穷举出所有可能的取值 因为其取值是连续的 像 这样取值范围是连续的随机变量称为连续随机变量 连续随机变量 continuous random variable 离散分布离散分布 概率函数概率函数 对于离散随机变量 我们可以用概率函数 probability function 来表示其概率分布 假 设 X 是离散随机变量 其有以下可能的取值 x1 x2 xn 并假设取到每个值的概率为 p xi P X xi 其中 i 1 2 n 我们就称 p x 为随机变量 X 的概率函数 当 x xi时 就有 p x P X xi 对于其他的 x 有 p x 0 离散随机变量的概率函数有以下性质 1 0 p x 1 2 取遍 X 所有值的 p x 之和为 1 即 p x 1 下面 我们要介绍两个离散的分布 离散均匀分布和二项分布 离散均匀分布离散均匀分布 离散均匀分布 discrete uniform distribution 取到每一个可能的值的概率相等 前面举 的掷骰子的例子就是一种离散均匀分布 如果骰子均匀的话 其取到每一个可能的值的概率 均为 1 6 用概率函数表示为 1 6 x 1 2 3 4 5 6 0 otherwise xp 二项分布二项分布 Copyright 2009 2010 WMICHINA All Rights Reserved 陆家嘴财富管理培训中心 CFA WMICHINA ORG PAGE 7 要讲二项分布 二项分布 binomial distribution 我们先要从贝努里分布 Bernulli distribution 讲起 如果一个离散的随机变量 Y 只有两个可能的取值 0 和 1 那么称这个随机变量 Y 为 贝努里随机变量 假设取到 1 的概率为 p 取到 0 的概率为 1 p 即有 P Y 1 p P Y 0 1 p 例如 我们掷一枚硬币 只有两个可能的取值 正面和反面 我们把正面记作 1 反 面记作 0 那么 这就构造了一个贝努里随机变量 我们就把 掷一次硬币 称为 做一 次贝努里试验 得到的结果有离散的取值 0 或 1 同样 我们掷一枚骰子 也可以只有两种可能的取值 奇数和偶数 我们把奇数记作 1 把偶数记作 0 这也构造了一个贝努里随机变量 那么 我们做 n 次贝努里试验 正好得到 x 次 1 的概率为多少 二项分布就是表示 n 次贝努里试验中正好有 x 次 1 的概率 其概率函数为 xnx pp x n xXPxp 1 其中 X 是服从二项分布的随机变量 p 为每次贝努里试验取到 1 的概率 为组 合数 x n xxn n x n Cx n 例例 假设某股票在每一个交易日内上涨的概率为 0 65 下跌的概率为 0 35 那么 其在一周之内 即连续 5 个交易日 至少有 3 天上涨的概率为多少 A 0 3364 B 0 6488 C 0 7648 D 0 9947 答案 答案 C Copyright 2009 2010 WMICHINA All Rights Reserved 陆家嘴财富管理培训中心 CFA WMICHINA ORG PAGE 8 3364 0 35 0 65 0 3 5 3 23 p正好有 3 天上涨的概率为 同样的 正好有 4 天上涨的概率为 p 4 0 3124 正好有 5 天上涨的概率为 p 5 0 1160 因此 至少有 3 天上涨的概率为 p 3 p 4 p 5 0 7648 贝努里随机变量和二项随机变量的期望值和方差如下表 期望值 方差 贝努里随机变量 p p 1 p 二项随机变量 np np 1 p 连续分布连续分布 概率密度函数和累积分布函数概率密度函数和累积分布函数 对于连续随机变量 我们不能穷举其所有可能的取值 因此 我们不能像离散随机变 量那样 用概率函数来表示连续随机变量的概率分布 值得注意的是 对于连续随机变量 取到任一个离散值的概率为 0 因此 我们只能说连续随机变量取到某一范围内的值的概 率为多少 我们常用概率密度函数 概率密度函数 pdf probability density function 来描述连续随机变 量的分布情况 密度函数常用 f x 来表示 连续随机变量 X 取值落在常数 a 与 b 之间的概 率为 bXaPdxxf b a 由上述定义可知 连续随机变量 X 取值落在常数 a 与 b 之间的概率为密度函数 f x 从 a 到 b 的积分 也即密度函数 f x 从 a 到 b 的部分与 X 轴所夹的面积 连续随机变量的概率密度函数有以下性质 1 概率密度函数在 X 轴上方或在 X 轴上 即 f x 0 2 1 dxxf 我们定义累积分布函数 F x 为概率密度函数从 到 x 的积分 x duufxF 如果已知连续随机变量 X 的累积分布函数 我们就很容易求得 X 取值落在常数 a 与 b Copyright 2009 2010 WMICHINA All Rights Reserved 陆家嘴财富管理培训中心 CFA WMICHINA ORG PAGE 9 之间的概率为 P a X b F b F a 连续随机变量的累积分布函数有以下性质 1 累积分布函数在 X 轴上方或在 X 轴上 即 F x 0 2 F 1 下面 我们要介绍 3 个连续的分布 连续均匀分布 正态分布和对数正态分布 连续均匀分布连续均匀分布 连续均匀分布 continuous uniform distribution 在取值范围 a b 内 概率密度函数与 X 轴平行 在取值范围 a b 外 概率密度函数与 X 轴重合 连续均匀分布的概率密度函数表 示为 otherwise 0 1 bxa ab xf 其累积分布函数表示为 for 1 for for 0 bx bxa ab ax ax xF 对任意满足 a x1 x2 b 的常数 x1 和 x2 服从连续均匀分布的随机变量 X 取值 落在 x1 x2 之内的概率为 1221 2 1 abxxdxxfxXxP x x 正态分布正态分布 1 正态分布的性质 正态分布的性质 正态分布 正态分布 normal distribution 是最重要的概率分布 正态分布由德国数学家高斯发 现 因此又称为高斯分布 正态分布的密度函数图形如钟形 因此又称为钟形分布 正态 分布的密度函数图形如下 Copyright 2009 2010 WMICHINA All Rights Reserved 陆家嘴财富管理培训中心 CFA WMICHINA ORG PAGE 10 图图 正态分布的密度函数正态分布的密度函数 从图形上可知 正态分布是对称的分布 其均值 中位数 众数均相等 正态分布的 取值范围为 即正态分布的密度函数向左右两边无限延伸 无限接近 X 轴但 在 X 轴上方 正态分布有以下重要性质 1 正态分布可以由其均值和方差完全描述 记为 2 XN 表示随机变量 X 服从均值为 方差为 2 的正态分布 2 正态分布是对称的分布 其密度函数关于均值左右对称 随机变量落在均值两边的 概率相等 其偏度为 0 超额峰度为 0 3 两个服从正态分布的随机变量经过线性组合得到的新随机变量仍然服从正态分布 2 正态分布的置信区间 正态分布的置信区间 有了正态分布的概率密度函数 我们可以知道正态随机变量取值落在某个区间的概率 这称为正态分布的置信区间 confidence interval 服从正态分布的随机变量 X 落在均值周围正负 1 个标准差的概率为 0 68 我们称 X 的 68 的置信区间为 sxsx x为样本均值 s 为样本标准差 服从正态分布的随机变量 X 落在均值周围正负 1 65 个标准差的概率为 0 9 我们称 X 的 90 的置信区间为 65 1 65 1 sxsx 服从正态分布的随机变量 X 落在均值周围正负 1 96 个标准差的概率为 0 95 我们称 X 的 95 的置信区间为 96 1 96 1 sxsx 服从正态分布的随机变量 X 落在均值周围正负 2 58 个标准差的概率为 0 99 我们称 X 的 99 的置信区间为 58 2 58 2 sxsx Copyright 2009 2010 WMICHINA All Rights Reserved 陆家嘴财富管理培训中心 CFA WMICHINA ORG PAGE 11 图图 正态分布的置信区间正态分布的置信区间 正态分布的置信区间在后面假设检验和置信区间估计中都有很重要的作用 3 标准正态分布 标准正态分布 如果正态分布的均值为 0 方差为 1 称为标准正态分布 标准正态分布 standard normal distribution 记为 N 0 1 或 Z 分布 我们可以把服从任意正态分布的随机变量转变成服从标准正态分布的随机变量 这个 过程称为标准化 standardization 如果一个随机变量 X 服从正态分布 N 2 那么我 们把随机变量 X 减去均值 再除以标准差 即得到 X Z 通过转换后的随机变 量 Z 是服从标准正态分布的随机变量 我们把随机变量标准化的目的是为了方便我们利用标准正态分布表来解决我们面临的 问题 例例 随机变量 X 服从 N 3 4 求随机变量 X 落在 4 到 6 48 之间的概率 A 0 1915 B 0 2676 C 0 4591 D 0 6506 答案 答案 B Copyright 2009 2010 WMICHINA All Rights Reserved 陆家嘴财富管理培训中心 CFA WMICHINA ORG PAGE 12 先标准化 将 4 和 6 48 分别标准化 4 3 2 0 5 6 48 3 2 1 74 所以 随机变量 X 落在 4 到 6 之间的概率 就等于标准正态分布取值在 0 5 到 1 74 之间的概率 P 0 5 Z 1 74 F 1 74 F 0 5 查阅标准正态分布表 得到 F 1 74 0 4591 F 0 5 0 1915 于是 P 0 5 Z 1 74 F 1 74 F 0 5 0 4591 0 1915 0 2676 即随机变量 X 落在 4 到 6 48 之间的概率为 0 2676 4 安全第一比率 安全第一比率 不足风险 shortfall risk 是指投资组合的价值低于某个可以接受的底限值的风险 Roy 的安全第一准则 Roy s safety first criterion 是指找到最优投资组合 其收益率低于最低 可以接受的底限收益率 threshhold return 的概率最小 我们用安全第一比率 安全第一比率 Roy s safety first ratio 来挑选 shortfall risk 最小的组合 如果 组合的收益率服从正态分布 那么安全第一比率最大的组合 其 shortfall risk 最小 安全 第一比率的公式为 p Lp RRE RatioSF E Rp 资产组合的期望收益率 即平均收益率 RL 最低可以接受的底限收益率 threshhold return p 资产组合收益率的标准差 即资产组合的总风险 例例 A B C 三个股票的期望收益率和收益率的标准差如下 假设最低可以忍受的收益率为 2 选择哪个股 票可以使得收益率低于最低可以忍受的收益率的概率最小 期望收益率 标准差 A 10 20 B 12 18 C 5 9 Copyright 2009 2010 WMICHINA All Rights Reserved 陆家嘴财富管理培训中心 CFA WMICHINA ORG PAGE 13 答案 答案 B 分别计算三个安全第一比率 越大越好 Safety first ratio 与 Sharpe Ratio 非常相似 区别是 Safety first ratio 分子上减去最低可 以接受的底限收益率 Sharpe Ratio 分子上减去无风险收益率 当最低可以接受的底限收益 率等于无风险收益率时 Safety first ratio 即为 Sharpe Ratio 因此 称 Sharpe Ratio 是 Safety first ratio 的特例 对数正态分布对数正态分布 如果随机变量 X 的自然对数服从正态分布 那么称 X 服从对数正态分布 lognormal distribution 对数正态分布的密度函数图形如下 图图 对数正态分布的密度函数对数正态分布的密度函数 你不需要知道对数正态分布的期望值和方差 对于对数正态分布 你只需要记住以下 三点 1 如果随机变量 X 的自然对数服从正态分布 那么 X 服从对数正态分布 Lognormal means log is normal 2 对数正态分布的取值范围大于等于 0 3 对数正态分布是右偏的 我们之所以要学习对数正态分布 是因为著名的期权定价模型 Black Scholes Model 假 设标的资产价格是服从对数正态分布的 蒙特卡洛模拟和历史模拟蒙特卡洛模拟和历史模拟 我们通常要研究一个变量的变化对另一个变量的影响 当所研究的变量过于复杂时 可以使用模拟方法 最常用的两种模拟方法是蒙特卡洛模拟 Monte Carlo simulation 和 Copyright 2009 2010 WMICHINA All Rights Reserved 陆家嘴财富管理培训中心 CFA WMICHINA ORG PAGE 14 历史模拟 historical simulation 模拟方法广泛应用于金融领域 包括给股票 债券等资 产定价 以及在风险管理中估计风险价值 VaR 等 蒙特卡洛模拟的过程 首先对变量的概率分布进假定 生成大量的随机数序列 然后 用这些随机数计算所需要研究的数值 在计算机中重复模拟足够多的次数 再对所有的模 拟结果进行统计 其缺点是需要假定输入参数的概率分布 如果假定不符合实际 那么其 结果也就缺乏实际意义 历史模拟则不假定随机变量的分布 而是采用其历史数据的分布来进行模拟 其缺点 是如果在历史上没有发生的事件 在模拟中也不会出现 另外 如果缺乏历史数据 则只 能做蒙特卡洛模拟 本章重要考点 考点一 考点一 利用二项分布概率函数计算二项分布的概率 考点二 考点二 正态分布的置信区间 考点三 考点三 了解标准正态分布的概念和性质 考点四 考点四 利用安全第一比率求解最优投资组合 本章专业术语 概率函数 probability function 贝努里分布 Bernulli distribution 二项分布 binomial distribution 概率密度函数 pdf probability density function 正态分布 normal distribution 置信区间fidil Copyright 2009 2010 WMICHINA All Rights Reserved 陆家嘴财富管理培训中心 CFA WMICHINA ORG PAGE 15 学习章节学习章节 4 经济学 微观经济学概念 经济学 微观经济学概念 记住需求曲线 或供给曲线 的移动和沿着曲线的变动之间的区别很重要 随着价格 的变化 需求数量将会沿着曲线变动 随着消费者偏好的变化 整条需求曲线将会移动 换句话来说 当整条需求曲线移动时 与所有不同价格水平相对应的需求数量都会变化 弹性 弹性 需求价格弹性需求价格弹性 需求价格弹性 需求价格弹性 Price Elasticity of Demand 是指商品需求数量的变化与商品价格 变化之间的关系 它衡量的是某种商品的价格变化引起需求量变动的敏感程度 随着商品 价格的上升 商品的需求量减少 其计算公式如下 下图给出了需求价格弹性的不同种类 有弹性的需求 有弹性的需求 Elastic demand 是指商品价格的少量上升引起商品需求量的大 量减少 其需求价格弹性系数绝对值大于 1 即需求量变动的百分比大于价格变动的百分 比 无弹性的需求 无弹性的需求 Inelastic demand 是指商品价格的大量上升引起商品需求量的少 量减少 完全有弹性的需求完全有弹性的需求 Perfectly elastic demand 是指商品价格的少量上升使商品的 需求量减少为零 水平的需求曲线 即弹性系数为无穷大 完全无弹性的需求完全无弹性的需求 Perfectly inelastic demand 是指商品价格的变化不会引起商 品需求量的变化 竖直的需求曲线 即弹性为零 Copyright 2009 2010 WMICHINA All Rights Reserved 陆家嘴财富管理培训中心 CFA WMICHINA ORG PAGE 16 Elastic D D D Perfectly Inelastic DPerfectly elastic Quantity QuantityQuantity InelasticPerfectly Elastic Inelastic Price Price Price Price 我们根据需求弹性能熟练地判断商品价格和商品总收益之间的关系 如果需求有弹性 那么价格的减少能使总收益增加 因为需求量增加的百分比大于价格减少的百分比 如果 需求没有弹性 那么价格和总收益将同方向发生变化 需求价格弹性有两个主要的决定因素 决定商品需求价格弹性的因素主要有 1 替代品的有效性 2 商品支出占总预算的 比重 3 价格变化所经历的时间长短 替代品的有效性 替代品的有效性 Availability of substitutes 如果商品存在替代品 那么当商 品价格上升时 消费者将转而使用其替代品 如果商品存在很多的替代品 那么商品的需 求弹性将趋于上升 例如汽油的需求价格弹性是缺乏弹性的 绝对值小于 1 正式由于 没有相应的替代品 至少在短期内如此 而另一方面 牛肉富有需求价格弹性的真正原 因正式由于其拥有众多易获得的可替代品 比如鱼肉 鸡肉 商品支出占总预算的比重 商品支出占总预算的比重 Share of budget spent on product 如果商品支出只占 总预算相对很小的比例 那么该商品需求将趋于对价格无弹性 例如我们考虑牙刷和汽车 这两类商品 因为人们在牙刷上的消费所占的比重是微乎其微的 当牙刷涨价10 时 人 们觉得其对自己消费的影响可以忽略不计 但是翻过来 因为人们在汽车上的消费所占的 比重很大 当汽车涨价10 时 当年的汽车需求量将显著减少 人们将更少地驾车而花费 更多在汽车修护上以延长期使用寿命 或者将选择其他可替代的交通工具出行 价格变化所经历的时间长短 价格变化所经历的时间长短 Time since the price change 大多数商品长期比短 期更富有需求弹性 以 1970 年代世界石油和天然气的涨价为例来说明这一问题 短期人 们的反应是少开车 选择较近的度假地点 做公车上班或者合伙拼车 并且在冬天时将其 房屋的室内温度维持在一个相对较低的水平 然而在长期 新的替代品研发出 比如人们 购买小功率汽车 选择住在里上班地点较近并且采用木柴来烧火取暖 由于在长期中 消费者将根据产品新的价格做出更多的调整 所以长期的弹性更大 Copyright 2009 2010 WMICHINA All Rights Reserved 陆家嘴财富管理培训中心 CFA WMICHINA ORG PAGE 17 需求收入弹性需求收入弹性 收入弹性 收入弹性 Income Elasticity 描述的是消费者需求的变化向对于收入变化的敏感性 其 中商品的价格保持不变 其计算公式如下 需求的收入弹性与被衡量的商品属性有关 劣等品 劣等品 Inferior good 具有负的收入弹性 随着收入的上升 减少 商品的需求反 而减少 增加 劣等品包括公共汽车交通 人造黄油等 正常品 正常品 Normal good 具有正的收入弹性 随着收入的上升 减少 商品的需求相应 地增加 减少 正常品包括面包 烟草等 必需品 必需品 Neccessities 是指收入弹性较低 在 是指收入弹性较低 在 0 到到 1 之间 的正常品 之间 的正常品 奢侈品 奢侈品 Luxury good 是指需求的收入弹性大于 1 的正常品 比如 当收入增加 5 时 需求的增加大于 5 交叉需求弹性交叉需求弹性 交叉弹性 交叉弹性 Cross Elasticity 衡量的是一种商品的需求变化相对于其替代品或互补品 价格变动的反映程度 其计算公式如下 如果两种商品为替代品 那么交叉弹性是正的 比如冰激凌和冰的酸奶酪 如果两种商品为互补品 那么交叉弹性是负的 因为互补品通常是一起使用的 故一种商品涨价将降低对另一种商品的需求量 比如汽车和汽油 供给弹性供给弹性 供给价格弹性供给价格弹性 Price Elasticity of Supply 类似于商品的需求价格弹性 衡量的是供 给量变动相对于价格变动的反映程度 即有 Copyright 2009 2010 WMICHINA All Rights Reserved 陆家嘴财富管理培训中心 CFA WMICHINA ORG PAGE 18 完全无弹性 垂直 的商品供给曲线其供给弹性为零 完全有弹性 水平 的商品供给曲线其供给价格弹性是无限大的 而对于大多数商品来说其供给价格弹性介于两者之间 供给价格弹性有两个主要的决定因素 1 生产商品所使用的原材料的替代品的有效性 2 价格变化的供给时间滞后程度 生产商品所使用的原材料的替代品的有效性生产商品所使用的原材料的替代品的有效性 如果商品只能由特殊的或者罕见 的原材料制成 那么供给弹性比较低 供给曲线几乎是竖直的 另一方面 我们考虑农 产品例如蔗糖和稻谷 他们都可以由同一片土地种植获得而且生产一种产品来替代另一种 产品的机会成本几乎是固定的 这样 这两类产品都是富有供给价格弹性的 其供给曲线 接近于水平 价格变化的供给时间滞后程度价格变化的供给时间滞后程度 可以从以下三个不同的时期考虑供给弹性 1 瞬时供给 瞬时供给 Momentary supply 是指价格变化后 供给数量立刻变化 如果生产 者不能够立刻改变商品 比如桔子 的产出量 那么瞬时供给非常缺乏弹性 葡萄和橙子 这类商品是典型的不能瞬时调整供给量的商品 如果生产者能够立刻改变商品 比如电 的产出量 那么瞬时供给非常富有弹性 无论对电的需求量如何变动 在价格并无显著变 化的情况下电的供给量可有较大变化 2 短期供给 短期供给 Short term supply 是指通过长期调整生产过程后所形成的供给曲线 随着生产者在生产过程中不断地调整 比如改变所雇用的劳动者数量 供给曲线将变得 更加富有弹性 例如 制造企业可以看通过调整劳动力数量来对价格作出反应 增加或减 少劳动力成本都会改变供给曲线的形状 随着时间流逝 企业将作出更多的调整 比如技 术革新 新员工培训等 这将进一步改变供给曲线的形状 调整期越长则其供给价格弹性 越大 3 长期供给 长期供给 Long term supply 是指在所有可能性调整供给的方法都被采用过后 所形成的供给曲线 在长期 供给最具有弹性 因为生产者可以做出所有可能的调整 包 括诸如建造厂房 建立营销体系及培训相应的操作员工等 如图所示 在需求曲线上 不同点的需求价格弹性系数是不同的 Copyright 2009 2010 WMICHINA All Rights Reserved 陆家嘴财富管理培训中心 CFA WMICHINA ORG PAGE 19 在需求曲线上 高价商品 A 点 的需求价格弹性要高于底价商品 B 点 的需求价 格弹性 商 品 价 格 从 6上 升 到 7时 需 求 价 格 弹 性 系 数 为 6 25 6 67 5 2 32 商 品 价 格 从 1上 升 到 2时 需 求 价 格 弹 性 系 数 为 2 05 1 12 5 7 87 在 B 点的价格弹性是 1 也就是说价格上升 1 将引起需求量 1 的下降 在这一点 将会获得最大总收入 P Q 4 50 45 202 50 在价格低于 4 50 缺乏弹性的区间 总收入随着价格上升而上升 也就是说随着价 格的上升 需求量的减少的幅度小于价格上升的幅度 在价格高于 44 50 富有弹性的区间 总收入随着价格的上升而下降 因为需求量下 降的百分比大于价格上升的百分比 因此 我们可以通过总收入法来估计需求的价格弹性 当价格和总收入同时增减 则 说明这时的需求是缺乏弹性的 如果总收入与价格的变化方向是想法的 说明在目前的价 格水平上需求是富有弹性的 提示 商品的需求价格弹性系数是沿着商品的需求曲线变化的而并非简单的表示为需 求曲线的斜率 请注意这一点非常重要 我们现在考察线形的需求曲线 我们将会发现曲线上的不同点具有不同的弹性 也就 是说 不变斜率的直线并不代表不变的弹性 在更少的数量 更高的价格 时 数量变化 Copyright 2009 2010 WMICHINA All Rights Reserved 陆家嘴财富管理培训中心 CFA WMICHINA ORG PAGE 20 的百分比相对大于价格变化的百分比 在这种情况下 需求弹性的绝对值大于 1 这时我 们称需求具有弹性 价格的上升将会将会引起总收益 P Q 的下降 在更多的数量 更 低的价格 时 数量变化的百分比相对小于价格变化的百分比 在这种情况下 需求弹性 的绝对值小于 1 这时我们称需求不具有弹性 价格的上升将会将会引起总收益 P Q 的上升 需求曲线上使总收益 P Q 最大 即无论价格上升还是下降都会引起总收益的 减少 的点的需求弹性等于 1 我们称该点具有单一弹性 或单一弹性点 本章重要考点 考点一 考点一 计算和解释需求弹性和供给弹性 讨论影响弹性的各种因素 考点二 考点二 计算在直线型需求曲线上各点的弹性 区别弹性 非弹性 单位弹性区域 本章专业术语 需求价格弹性 price elasticity of demand 有弹性的需求 elastic demand 无弹性的需求 inelastic demand 完全有弹性的需求 perfectly elastic demand 完全无弹性的需求 perfectly inelastic demand 替代品的有效性 availability of substitutes 商品支出占总预算的比重 share of budget spent on product 价格变化所经历的时间长短 time since the price change 收入弹性 income elasticity Copyright 2009 2010 WMICHINA All Rights Reserved 陆家嘴财富管理培训中心 CFA WMICHINA ORG PAGE 21 效率和公平 效率和公平 在资本主义市场经济中 绝大多数的产品和服务都是通过市场价格来配置的 那些愿 意为产品和服务支付市场价格的客户将获得这些产品和服务 当然 也有一些稀缺的产品 和服务时通过其他的方式来实现资源配置的 命令体制 指令系统 是指由中央集权来决定资源配置 在中央计划经济下通常使用 的是这种方法 同时 有些公司和军队也都采用这种命令体系 多数决定原则也经常用于资源配置 政府的财政政策 如税收和转移支付就是这种类 型的资源配置 有时候 资源配置也依据个人特征 诸如 种族 宗教 民族或性别 也有通过先到 先得 彩券发 甚至是强制力来实现的 诸如勒索 偷窃 战争 从经济学的视角来看 通过市场价格来配置资源 产品和服务 有很重要的优势 当 市场运行良好的时候 竞争和资源配置能够很好的实现有效地资源配置 也就是说给社会 带来的边际收益等鳄鱼生产最后一个产品或服务的成本即编辑成本 边际收益 边际收益 Marginal Benefit 是指额外一个单位所带来的收益 即单个人从消费更多 一个单位的商品或者服务中获得的收益 随着商品总消费量的增加 边际收益不断减少 递 减的边际效用 边际成本 边际成本 Marginal Cost 是指生产额外一个单位的产品所使用的成本 我们也称它 为机会成本 因为它代表了除生产本产品以外该资源的次优的最好利用情况 当边际收益大于边际成本时 消费者愿意为额外一单位的产品支付高于其生产成本的 价格 从而 我们可以通过生产更多单位的该种产品来创造价值 这就需要将用于生产其 他具有更低价值的产品的资源转而用于生产该种产品 当边际收益小于边际成本时 生产者使用资源生产下一个单位产品所花费的成本大于 消费者愿意支付的水平 从而 我们可以通过生产更少单位的该种产品来创造的价值 把 资源转而用于生产其他更具有价值的产品 当市场有效运作时 产品或服务的需求权限反映了消费者额外单位的产品或服务的效 用是递减的 而攻击曲线反映的是生产额外单位的产品或服务的机会成本 我们用向下的 倾斜 斜率为负 的需求曲线反映边际效用递减规律 用向上倾斜 斜率为正 的供给曲 线反映边际报酬率递减规律 由上述对需求曲线和供给曲线的阐述 我们就可以解释为什么任何产品和服务的最有 规模产生于其需求曲线和供给曲线的交叉点 Copyright 2009 2010 WMICHINA All Rights Reserved 陆家嘴财富管理培训中心 CFA WMICHINA ORG PAGE 22 下图说明了这一结论 如果一个经济体生产不足 3000 吨的钢铁 我们就没有达到钢铁 生产的最大收益 因为消费者赋予额外单位的钢铁的价值超过了为生产这些钢铁所放弃的 其他产品和服务的价值 反之 如果一个经济体生产超过 3000 吨的钢铁 则超过 3000 吨 以上的每一额外单位生产所放弃的其他产品和服务的价值多与消费者愿意支付的价格 直 到代表边际收益的需求曲线与代表边际成本的供给曲线相交时 这时应该生产的钢铁均衡 产量为 3000 吨 我们将供求曲线相交时的产量称为均衡产量 并且经济学家也用这一产量来衡量一个 经济体的生产是否均衡 在资本主义市场经济体制中 每一个消费者力求购买价值最大化 的商品组合 每一个生产者力求通过生产达到利润最大化 这样就导致了资源的有效配置 资源的有效配置产生于这个经济体的生产资源所产生的所有产品和服务都使消费者的效用 最大化 与之相反 在一个集中计划经济体制下 政府计划并规定合适的产量 并且你将 会了解到为每一种产品或服务规定产量的重要性在于使这个国家的公民的福利达到最大 化 一个社会的资源的有效配置和生产的均衡发生在边际收益等于边际成本时 使得边际 收益等于边际成本的产出水平具有最高的总收益水平 我们称之为有效产量 有效产量 Efficient Quantity 消费者剩余和生产者剩余消费者剩余和生产者剩余 消费者剩余 消费者剩余 Consumer Surplus 是指消费者愿意为一个商品或服务支付的数额与他 实际支付数额之间的差额 如图深色阴影三角形部分 消费者为这 3000 吨钢铁所愿意支付 的总价格超过其必须支付的总价格 Copyright 2009 2010 WMICHINA All Rights Reserved 陆家嘴财富管理培训中心 CFA WMICHINA ORG PAGE 23 因为随着商品总消费量的增加 边际收益不断减少 所以每消费额外一个单位的商品 该单位的消费者剩余不断减少 当单位消费者剩余为零时 边际收益等于价格 消费者不 会购买任何更多的单位的产品 从而 边际收益曲线与消费者需求曲线在该点相交 我们同样也能用消费者剩余解释单个人的情况 对于一个消费者来说 消费者剩余就 是个人愿意为他消费的每单位产品或服务所支付的价格和他实际支付的价格之间的差异加 总 下图描述了一个消费者每周的汽油消费需求 需求曲线 边际收益曲线 向下倾斜是 因为对消费者来说 每一额外加仑的汽油价值小于之前的价值 即边际效用递减 当一加 仑汽油的市场价格为 3 美元时 这个消费者选择每周购买 5 加仑并一共支付 15 美元 然而 这个消费者愿意为第一加仑支付 5 美元 对第一加仑的评价 所以第一加仑的消费者剩余 为 5 3 2 如果我们加总这个消费者愿意为这 5 加仑所愿意支付的最高价格 则其结果 为 20 美元 那么 这个消费者的总消费剩余为 20 15 5 美元 生产额外一个单位商品的边际成本 或者机会成本 使生产者愿意提供该额外单位所 能接受的最低供给价格 minimum supply price Copyright 2009 2010 WMICHINA All Rights Reserved 陆家嘴财富管理培训中心 CFA WMICHINA ORG PAGE 24 在一定的假设条件下 完全竞争市场 行业的供给曲线即是其边际成本 机会成本 曲线 在平均可变成本之上 生产者剩余 Producer Surplus 是指生产者生产额外一个单 位产品所接受的价格与该单位的最低供给价格 机会成本 之间的差额 例如在图中 钢 铁生产者愿意以 400 美元的价格提供生产 2500 吨的钢铁 然而 消费者实际支付的价格为 500 美元 则生产和销售这 2500 吨钢铁所获得的生产剩余为每吨 100 美元 生产钢铁的总 成本或机会成本和购买者的总支付之间的差异在 3000 吨产量处达到最大 如下图所示 边际社会收益与边际社会成本边际社会收益与边际社会成本 边际社会收益 边际社会收益 Marginal Social Benefit 是指所有消费者从单位产品或服务中边际收 益的总和 边际社会收益曲线是商品或服务的市场需求曲线 边际社会成本 边际社会成本 Marginal Social Cost 是指所有生产者为提供额外一个单位产品或服 务所产生的边际成本的总和 边际社会成本曲线是商品或服务的市场供给曲线 注意到当边际收益等于边际成本时 在钢铁生产的均衡数量下 消费者剩余和生产者 剩余的总和将达到最大化 消费者追求消费者剩余最大化和生产者追求生产者剩余最大化 联合起来导致了钢铁生产资源的有效配置 因为它使钢铁生产的饿社会总经济收益最大化 于是 给定某种产品的边际社会收益曲线 MSB