第八章习题解答2012.pdf

1 概率论与数理统计 习题解答 概率论与数理统计 习题解答 8 假设检验假设检验 1 请写出下列问题的原假设与备择假设 1 机床厂某日从两台及其所加工的同一种零件中 分别抽取 12 20 25nn 的两个样本 设两总体的均值分别为 12 方差分别为 22 12 问两台机床的加工精度是否相 同 2 某青年以往的记录是 平均每加工 100 个零件 有 60 件是一等品 今年考核他 在他 加工的零件中随机抽取 100 件 发现有 70 件是一等品 设 p 表示一等品的概率 问今 年这个成绩是否证明该青年的技术水平有了显著提高 3 某药厂研制出一种新型安眠药 据说在一定剂量下与一般的安眠葯相比 可以延长睡眠 时间 为验证这一说法 现随机抽取 10 个失眠患者 让他们分别服用这种新型安眠葯 和一般的安眠葯 并记录下他们服用相应药物之后的睡眠时间 现将服用新型安眠葯与 一般安眠葯后的睡眠时间分别记为 12 问这种新型安眠葯是否可以延长睡眠时 间 答 答 1 2222 012112 Hv sH 通常用方差衡量精度 2 01 0 60 0 60Hpv sHp 3 012112 Hv sH 针对实际问题建立原假设与备择假设 需要注意 1 原假设与备择假设的地位不同 一般而言 应将需要用充分证据支持的假设作为备择假备择假 设设 而将其对立面作为原假设 因为统计学中给出的假设检验方法 将拒绝原假设而犯 第一类错误的概率控制在显著性水平之下 但是 一般不控制 也不指出接受原假设而 犯第二类错误的概率 如果根据样本数据拒绝了原假设 那么往往可以认为有充分的证 据支持备择假设 犯错误的 可能性 不超过显著性水平 反之 接受原假设只是表 明没有充分证据否定原假设 不说明有充分证据支持原假设 因为此时犯错误的 可能 性 究竟多大不清楚 2 为方便数学处理 等号一般放在原假设中 2 设 1 XN 110 xx 是来自 X 的 10 个观察值 要检验 01 0 0Hv s H 1 以 X 为检验统计量 请写出拒绝域的形式 2 在 0 05 的水平下 检验的临界值应为多少 若已知1X 是否可以据此样本 推断0 2 3 若在 1 0 05 和 2 0 10 两个显著性水平下均拒绝原假设 那么在哪个显著性水 平下作出该判断的把握更大 4 如果以 1 15 RX 作为该检验的拒绝域 求犯第 I 类错误的概率 解 解 1 因为 越大X大的概率大 越小X小的概率大 故拒绝域的形式为 110 xxXc 2 因为 2 10 XN 1 中检验规则的势函数为 210 10 gPXc or Xccc 犯第一类错误的概率为 0 22 10 gc 犯第二类错误的概率为 1 10 10 1 0gcc 水平为 的检验规则对应的临界值 c 应满足 0 g 即 10 12c 1 要使犯第二类错误的概率最小 还应满足 对 0 最小化 10 10 cc 2 因为对 2 式关于 c 单调增 故应取使 1 成立的最小的 c 作为临界值 因此 12 1 10 cz 若取 0 05 则临界值 0 975 1 0 6198 10 cz 若1X 则因 0 6198X 拒绝原假设 即认为0 3 在较小显著性水平下作出拒绝原假设的判断 犯第 I 类错误的概率更小 因此在显著性 水平为 1 0 05 时拒绝原假设更可靠 4 若以 1 15 RX 作为拒绝域 犯第 I 类错误的概率为 22 10 1 15 0 000296 3 3 设 1 n XX i i d 1 N 考虑如下假设检验问题 01 2 3Hv s H 取检验的拒绝域为 2 6 X 1 当 20n 时 求犯第二类错误的概率 2 如果要使犯第二类错误的概率 0 01 n 最小应取多少 3 证明 当 n 时 0 0 解 解 1 犯第二类错误的概率为 3 2 6 20 2 63 1 7889 0 03682PX 2 要使犯第二类错误的概率 0 01 即 3 2 6 2 63 0 4 0 01PXnn 则 22 0 01 2 3264 33 83 0 40 4 z n 故 n 最小应取 34 3 2 3 2 6 1 2 62 1 0 6 0 2 6 0 4 0 PXnnn PXnn 4 假定总体服从 2 N 其中 2 已知 X是容量为 n 的简单随机样本的样本均值 取显著性水平为 检验 00110 Hv s H 检验规则为 当 0 Xk 时拒绝 0 H 1 证明 该检验法犯第 II 类错误的概率为 1 10 0 PXkU n 也即 2 2 2 10 nUU 2 若 n 固定 当 减小时 怎样变化 3 若 n 固定 当 减小时 怎样变化 并写出 10 0 12 0 02 0 05 0 025 时 样本容量 n 至少等于多少 解 解 4 1 因为 2 XNn 为使该规则的显著性水平为 则 k 应满足 0 0 1 k PXk n 即 k U n 再根据定义就可证得犯第 II 类错误的概率 及 n 的公式 2 若 n 固定 当 减小时 U 增大 故 增大 3 若 n 固定 当 减小时 U 减小 故 增大 参数如题中所定时 2 2 2 2 2 10 0 12 1 64 1 96 467 0 02 nUU 5 设 12 n XXX是来自 Poi 0 的简单随机样本 现欲检验 0010 Hv s H 其中 0 是给定的正数 1 请以样本均值X 为检验统计量 构造出水平为 的检验规则 并尽量最小化犯第 II 类错误的概率 2 设 0 12 0 5n 若以 12 112 1 2 i i xxx 为拒绝域 犯第 I 类错误的概率 是多少 当 1 3 时 犯第 II 类错误的概率是多少 解 解 1 直观地 检验规则应为 当 Xc 时拒绝 0 H 由 Poi TnXn 可知 该规则 的势函数为 0 t nc n c t n gP Tnce t 要使该规则的水平为 则 c 应满足 0 0 0 0 t nc n c t n ge t 若同时还要最小 化犯第 II 类错误的概率 则 nc 应为满足上式的最大整数 2 0 0 2 12 0 0 12 2 0 06197 t t P Te t 2 12 3 1 3 0 12 3 1 2 10 7619 t t PTe t 5 8 第 6 题同理 设 12 n XXX是来自均匀分布 0 0 U 的简单随机样本 对 于假设检验问题 01 3 3Hv s H 采用形为 n Xc 的拒绝域 其中 n X为最 大次序统计量 1 要使该检验规则的水平为 上述拒绝域中的临界值 c 应取什么值 2 若要使 2 99 n X 成为水平为 的拒绝域 那么 n 至少应多大 解 解 1 以 n Xc 为拒绝域 势函数为 1 1 n cnn c gP XcP Xc 要使该规则的水平为 则 c 应满足 3 max cc gg 易得 1 3 1 nc 若同时还要使犯第 II 类错误的概率尽量小 则取 1 3 1 nc 2 2 99 n X 要成为水平为0 05 的拒绝域 则应有 3 2 99 2 99 1 3 n n PX 即 log 1 15 36 log 2 99 3 n 7 解 解 因为 1 n i i XB n p 故该规则犯第 I 类错误的概率为 10 1 1 0 01 nc kn k pi ik n g pPXcppp k 由提示即可知 g p关于 p 单调增 因此 当 0 01p 时犯第 I 类错误的概率达到 最大 9 正确命题为 3 5 7 6 10 某厂生产的钢筋断裂强度 22 35 XNkg cm 今从现在生产的一批钢 筋中抽测 9 个样品 测得的平均值 X 较以往的均值 0 大了 2 17 kg cm 设总体方差不 变 问能否认为这批钢筋的强度有明显提高 取0 05 解 解 该问题可以通过检验 0010 Hv s H 来回答 总体分布为正态 方差已 知 故应该采用 Z 检验法 水平为 检验规则为 当 0 1 X Zz n 时 拒绝 0 H 由样本观测数据算得 17 1 457 35 9 Z 0 95 1 64z 因 0 95 Zz 故当水平为 0 05 时不能拒绝原假设 即没有充分证据表明这批钢筋的强度有明显提高 11 解 解 可以从均值 方差两个角度来考察该仪器的测量结果是否符合要求 先检验均值是否符 合要求 检验问题为 0010 Hv s H 显然 该仪器测量值的方差未知 假定其测量值的总体服从正态分布 那么应该用 t 检验法 检验统计量为 0 X T Sn 水平为 检验规则为 当 12 1 Ttn 时 拒绝 0 H 由样本观测数据算得 61 1 56 1 63 20 41 T 0 975 40 2 021t 因 0 975 40 Tt 故当水平为 0 05 时不能拒绝原假设 可认为该仪器的均值符合要求 再检验方差是否符合要求 检验问题为 2222 0010 Hv s H 应该用 2 检验法 检验统计量为 222 0 1 nS 水平为 检验规则为 当 2222 122 1 1 norn 时 拒绝 0 H 由样本观测数据算得 22222 0 0250 975 40 20 2040 40 40 故当水平为 0 05 时不能拒绝原假设 可认为该仪器的方差也符合要求 7 12 某化工厂生产的一种产品的含硫量在正常情形时服从 2 4 55 N 为了解设备维修后 产品含硫量的均值 是否改变 测试了 5 个产品 测得它们的含硫量为 4 28 4 40 4 42 4 35 4 37 在下列两种情形下分别检验 01 4 55 4 55Hv s H 假定方差不变 取0 05 1 2 0 01 2 2 未知 解 解 1 方差已知时应采用 Z 检验法 检验统计量为 4 55 X Z n 显著性水平为 的检验 规则为 当 12 Zz 时 拒绝 0 H 因 4 3644 55 4 16 0 01 5 Z 0 975 1 96z 0 975 Zz 故当水平为 0 05 时拒绝 0 H 认为维修后产品含硫量的均值有显著变化 2 2 未知时应采用 t 检验法 检验统计量为 4 55 X T Sn 显著性水平为 的检验规 则 为 当 12 1 Ttn 时 拒 绝 0 H 因 4 3644 55 7 68 0 00293 5 T 0 975 5 1 2 776t 0 975 4 Tt 故当水平为 0 05 时拒绝 0 H 认为维修后产品含 硫量的均值有显著变化 13 欲确定是否可以通过某种特殊的训练增加智商 对 25 名儿童进行调查 记录了他们参 加训练前后的智商 并计算它们的差 发现 25 名儿童的智商平均增加了 3 点 标准差是 9 点 设智商差服从正态分布 在0 05 水平下检验 智商无增加 这个假设 解 解 假定儿童在参加训练前后的智商差服从 2 N 参加训练的 25 名儿童相当于一个 随机样本 需检验的是 01 0 0Hv s H 因总体方法未知 应采用 t 检验 法 显著性水平为 的检验规则为 当 0 1 X Ttn Sn 时拒绝 0 H 由样本数据算得 30 1 667 9 25 T 0 95 24 1 711t 故在 0 05 水平下不能拒绝 原假设 这表明 没有充分证据说明智商在训练后增加了 8 14 在显著性水平0 05 下对 01 80 80Hv s H 进行 t 检验 1 要求在 1 H中 1 80 时 犯第二类错误的概率 0 01 所需样本容量 n 是多少 2 若样本容量 33n 问在 1 H中 1 80 时 犯第二类错误的概率是多少 解 解 对该问题水平为 0 05 的 t 检验规则是 当 0 95 80 1 X Ttn Sn 时 拒绝 0 H 当 1 时 犯第二类错误的概率为 1 0 9 5 80 1 X Ptn Sn 该概率的计算涉及到非中心 t 分布 超出课程要求 15 假定香烟中焦油的含量 单位 毫克 服从 10 2 4 N 现开发了一种新的香烟制造技术 以减少焦油的含量 随机抽取 16 根利用新技术生产的香烟 得平均焦油含量为 8 8mg 给 定0 05 1 试利用以下要点 制定一假设检验以检验新技术是否明显地减少了焦油含量 原假设原假设 备择假设备择假设 拒绝域拒绝域 检验统计量和计算检验统计量和计算 用统计语言给出结论用统计语言给出结论 用简单直观用简单直观 的语言给出结论的语言给出结论 2 基于你的结论 你是可能犯第一类错误 还是可能犯第二类错误 还是两类错误都 没犯 还是同时可能犯两类错误 解 解 1 假定新技术生产的香烟中焦油的含量服从 2 4 N 原假设 0 10H 备择假设 1 10H 检验统计量 10 2 4 16 X Z 显著性水平为 时的拒绝域 Zz 根据样本数据算得 8 8 10 3 098 2 4 16 Z 又 0 05 1 64zZ 用统计语言给出的结论 在水平 0 05 时拒绝原假设 对实际问题的结论 新技术明显地减少了香烟中焦油的含量 2 上述结论可能会犯第一类错误 但不可能犯第二类错误 9 16 过去几年 都市的某大医院对孕妇预产期进行预测 效果相当差 医生参加了一项在 职培训计划以提高技术 以改进她们的预测效果 在最近一次调查中 随机选取了 100 名母亲 他们都是在培训计划之后在这家医院分娩的 由样本数据得 超过预测的预产 期的平均天数为 9 2 天 标准差为 12 4 天 如果在培训前 超过预产期的平均天数是 13 天 那么在显著性水平为 0 05 时 是否有充分的证据表明平均天数减少了 解 解 假定医生培训后对预产期的预测误差 实际分娩日 预测分娩日 服从 2 N 对 100 名孕妇的预测误差相当于来自该总体的一个随机样本 题中实际问题可通过检验 01 13 13Hv s H 来回答 方差未知 应采用 t 检验法 水平为 0 05 的规 则是 当 0 05 13 1 X Ttn Sn 时 拒绝 0 H 由样本数据知 100 9 2 12 4nXS 故3 065T 而 0 05 99 1 66t 因此在显著性水平为 0 05 时拒绝 0 H 即认为有充分证据表明平均预测误差减少了 17 某自动控制装置的厂商声称该装置将能使房间的平均湿度保持在80 记录了30天装有 该控制装置的房间的平均湿度 均值和标准差分别为78 3 和2 9 数据是否提供了充 分的证据足以反对厂商的声称 取 0 05 解 解 假定使用该装置时房间的平均湿度 2 XN 记录的 30 天的房间平均湿度可视 为来自该总体的一个简单随机样本 题中的问题可通过检验 01 80 80 Hv s H 来回答 方差未知 应采用 t 检验法 水平为 0 05 的规则是 当 0 975 1 Ttn 时 拒绝 0 H 其中 80 X T Sn XS分别为样本均值 样本标准差 由 样 本 数 据 知 30 78 3 2 9 nXS 故3 2 1T 而 0 975 29 2 045t 因此在显著性水平为 0 05 时拒绝 0 H 即认为有充分证据反对厂 商的声称 10 18 从某学院学生的经常参加锻炼和不经常参加锻炼的男生中各随机抽取50名 测得平均身 高174 34x 厘米 172 42y 厘米 设身高服从正态分布 已知 12 5 35 6 11 问 经常参加锻炼的男生是否高于不经常参加锻炼的男生 0 05 解 解 假定经常锻炼的男生身高服从 2 1 x N 不经常锻炼的男生身高服从 2 2 y N 该 实际问题可由检验 01 xyxy Hv s H 回答 检验统计量为 22 12 12 XY Z nn 显著性水平为 时的检验规则为 当 1 Zz 时拒绝 0 H 由样本数据知 22 174 34 172 42 1 67 5 35 506 11 50 Z 而 0 95 1 64z 故在 0 05 水 平下拒绝原假设 认为经常锻炼的男生平均身高显著地高于不常锻炼的男生 19 下表分别给出马克 吐温的 8 篇小品文以及斯诺特格拉斯的 10 篇小品文中由 3 个字母组 成的词的比例 马克 吐温 0 225 0 262 0 217 0 240 0 230 0 229 0 235 0 217 斯诺特格拉斯 0 209 0 205 0 196 0 210 0 202 0 207 0 224 0 223 0 220 0 201 设两组数据分别来自正态总体 且两总体方差相等 两样本相互独立 问两个作家所写的小 品文中包含由 3 个字母组成的词的比例是否有显著的差异 取0 05 解 解 设马克 吐温各篇文章中由 3 个字母组成的词的比例服从 2 1 N 斯诺特格拉斯各 篇文章中由 3 个字母组成的词的比例服从 2 2 N 欲检验 012012 Hv sH 应采用两样本 t 检验法 检验统计量为 11 XY T S mn 其中 X表示马克 吐温 8m 篇文章中 3 字母词比例的均值 Y表示斯诺特格拉斯 11 10n 篇文章中 3 字母词比例的均值 22 11 1 2 mn ii ii SXXYY mn 显 著 性 水 平 为 的 拒 绝 域 为 12 2 Ttmn 当0 05 时 0 975 16 2 120t 根据样本数据算得 0 23190 20970 0222 3 88 0 00574 0 0121 1 8 1 10 T 因为 0 975 16 Tt 所以在 0 05 水平下拒绝原假设 可认为两作家文章中 3 字母词 的比例有显著差异 20 据现在的推测 矮个子的人比高个子的人寿命要长一些 下表给出了美国 31 个自然死 亡的总统的寿命 他们分别归属于矮个子 身高小于 5 8 和高个子 身高大于 5 8 两个类型 设两个寿命总体均为正态且方差相等 试问这些数据是否符合上述推测 0 05 解 解 设矮个子总体寿命服从 2 A N 高个子总体寿命服从 2 B N 将美国 31 位自然死亡的总统视为来自两个总体的容量为5 26mn 的两个样本 题中的推测 可由检验 01 ABAB Hv s H 来回答 检验统计量为 11 AB XX T S mn 其中 AB XX 分别是两个样本的方差 22 2 1 1 2 AB mSnS S mn 22 AB SS 分别是 两个样本的方差 显著性水平为 时的检验规则为 当 1 2 Ttmn 时拒绝 0 H 取 0 05 时 0 95 29 1 699t 由样本数据算得 80 2 68 88 AB XX 9 3614S 2 48T 因 0 95 29 Tt 故拒绝 0 H 可认为数据支持矮个子的人 比高个子的人寿命要长一些的推测 12 21 在 70 年代后期人们发现 酿啤酒时 在麦芽干燥过程中形成致癌物质亚硝基二甲胺 NDMA 80年代初期开发了一种新的麦芽干燥过程 下面为老 新两种过程中形成的NDMA 含量 以 10 亿份中的份数计 老过程 6 4 5 5 6 5 5 6 4 6 7 4 新过程 2 1 2 2 1 0 3 2 1 0 1 3 设两样本分别来自正态总体两总体方差相等 两样本独立 分别以 12 表示老 新过程 的总体均值 试检验 012112 2 2Hv s H 0 05 解 解 检验统计量为 12 2 11 XX T S mn 其中12mn 分别是从老 新过程中抽取的样本容量 12 XX 分别是两个样本的 方差 22 2 12 1 1 2 mSnS S mn 22 12 SS 分别是两个样本的方差 水平为 的检 验规则为 当 1 2 Ttmn 时拒绝 0 H 取0 05 时 0 95 22 1 717t 由 样 本 数 据 算 得 12 5 25 1 50XX 0 9828S 4 36T 因 0 95 29 Tt 故拒绝 0 H 23 一个环境控制检验员怀疑一个河边社区往河里排放半处理的污水 这会导致河水中被溶 解的氧气的变化 为了证实这一怀疑 他分别在这个城镇的上下游抽取了12个水样 下 表给出了这24处水样中被溶解的氧气 单位 PPM 的数据 上游 5 2 4 8 5 1 5 0 4 9 4 8 5 0 4 7 4 7 5 0 4 7 5 1 下游 4 2 4 4 4 7 4 9 4 6 5 1 4 3 5 5 4 7 4 9 4 8 4 7 解 解 假定上游水中含氧量 X 服从 2 11 N 下游水中含氧量 Y 服从 2 22 N 假定两 样本独立 该问题可由检验 012112 Hv s H 回答 若假定 22 12 则检 验统计量为 11 XY T S mn 13 其中 XY 分别是两个样本的方差 22 2 12 1 1 2 mSnS S mn 22 12 SS 分别是两个样 本的方差 显著性水平为 时的检验规则为 当 12 2 Ttmn 时拒绝 0 H 由 样 本 数 据 算 得 4 917 4 733XY 0 2799S 1 60T 因 0 975 22 2 74Tt 故在 0 05 水平下不能拒绝 0 H 即无充分证据说明上下游水中含 氧量有显著差异 26 无线电厂生产某型号的高频管 其中一项指标服从正态分布 2 N 现从该厂生产 的一批高频管中任取9个 测得该项指标的数据如下 58 72 68 70 65 55 46 56 64 请在下列两种情况下分别检验假设 取0 05 22 01 48 48Hv sH 1 60 2 未知 解 解 1 总体服从 2 N 已知60 时 检验 22 01 48 48Hv s H 的规则为 当 2 22 1 1 60 48 n i i X n 时 拒绝 0 H 因 9 0 05n 故临界值 2 0 95 9 16 919 由样本数据算得 2 590 12 29 48 故接受 0 H 2 总体服从 2 N 未知时 检验 22 01 48 48Hv s H 的规则为 当 2 22 1 1 1 48 n i i XX n 时 拒绝 0 H 因 9 0 05n 故临界值 2 0 95 8 15 507 由样本数据算得 2 568 22 11 84 48 故接受 0 H 14 27 已知某厂生产的灯泡的寿命服从 2 N 2 均未知 现在从该厂生产的产品 中随机地抽取 20 只进行测试 测得它们的平均寿命 1700X 小时 样本标准差 20 2 1 1 490 19 i i SXX 小时 试问 1 在显著性水平 0 01 下 能否认为这批灯泡的平均寿命为 2000 小时 2 在显著性水平 0 05 下 能否认为灯泡寿命的方差不大于 3502 解 解 1 检验 01 2000 2000Hv sH 显著性水平为 时的检验规则为 当 2000 1 X Ttn Sn 时 拒绝 0 H 取 0 01 时 0 01 19 2 539t 由样本数据算得 17002000 2 74 490 20 T 因 0 01 19 Tt 故拒绝 0 H 不能认为这批灯泡的平均寿命达到 2000 小时 2 检验 2222 01 350 350Hv sH 显著性水平为 时的检验规则为 当 2 22 1 2 1 1 350 nS n 时 拒绝 0 H 取 0 05 时 2 0 95 19 30 1435 由样本数据算得 2 2 2 20 1 490 37 24 350 因 22 0 95 19 故拒绝 0 H 不能认为这批灯泡寿命的方差不大于 3502 28 某厂生产的汽车蓄电池使用寿命服从正态分布 其说明书上写明其标准差不超过 0 9 年 现随机抽取 10 只 得样本标准差为 1 2 年 试在 0 05 水平下检验厂方说明书上所 写的标准差是否可信 解 解 检验 2222 01 0 9 0 9Hv sH 显著性水平为 时的检验规则为 当 2 22 1 2 1 1 0 9 nS n 时 拒绝 0 H 取 0 05 时 2 0 95 9 16 919 由样本数据算得 2 2 2 10 1 1 2 16 0 9 因 22 0 95 9 故接受 0 H 可认为厂方说明书上所写的标准差可信 15 29 设有 A 种药随机地给 8 个病人服用 经过一个固定时间后 测得病人身体细胞内药的浓 度为 1 40 1 42 1 41 1 62 1 55 1 81 1 60 1 52 又有 B 种药给 6 个病人服用 并在同样固定时间后 测得病人身体细胞内药的浓度为 1 76 1 41 1 81 1 49 1 67 1 81 设两种药在病人身体细胞内的浓度都服从正态分布 试问 A 种药在病人身体细胞内的 浓度的方差是否为 B 种药在病人身体细胞内浓度方差的2 3 取0 10 解 解 假定病人服用 A 种药一个固定时间后身体细胞内药的浓度服从 2 AA N 服用 B 种药一个固定时间后身体细胞内药的浓度服从 2 BB N 现从两个总体中分别抽取 了容量为 8 6mn 的两个样本 欲检验 2222 01 22 33 ABAB HvsH 检验统计量为 22 2 3 AB FSS 其中 22 AB SS 分别是两个样本的方差 显著性水平 为 时的检验规则为 当 212 1 1 or 1 1 FFmnFFmn 时拒绝 0 H 由样本数据计算得 22 0 0192 0 0293 AB SS 0 9829F 而0 10 时 0 050 95 0 95 11 7 5 0 25 7 5 4 88 5 7 3 97 FF F 因此接受 0 H 36 设 22 1122 XNYN 从总体 X 与总体 Y 各取容量为 7 5 的样本 设两样本独立 样本观测数据为 X 81 165 97 134 92 87 114 Y 102 86 98 109 92 作下列假设检验 0 05 1 2222 012112 10 10Hv sH 2 利用 1 的结论 检验 012112 10 10Hv s H 解 解 1 取检验统计量 2 1 2 2 10 S F S 显然 拒绝域的形式为 12 Fc or Fc 0 H真时 1 1 FF mn 其中 m 是 X 的样本容量 n 是 Y 的样本容量 若取显著性水平为 0 05 则拒绝域的临界值为 16 1 20 025 21 20 975 1 1 6 4 0 1606 1 1 6 4 9 1973 cFmnF cFmnF 根据样本数据算得 913 3 1 1590 10 78 8 F 因 0 0250 975 6 4 6 4 FFF 故接 受 0 H 2 根据 1 的结论 可假定 22 12 10 检验统计量取为 10 101 75 XY T S 其中 75 22 11 10 752 ii ii XXYY S 易证明 原假设真时 10 Tt 故 显著性水平为 的检验规则为 当 2 10 Tt 时拒绝 0 H 取0 05 则 0 975 10 2 228t 根据样本数据算得 5479 8 10315 2 86 3189 2907 10 11097 4 102 6 0 2193 11 8564101 9 2907 75 S T 因 0 975 10 Tt 故接受 0 H 38 在美国市场上减肥药品的销售给许多生产这些药品的公司带来了可观的收入 一种减肥 方法对一个人的减肥效果既受这个人身体条件的影响又受心理条件的影响 比较两种减 肥药品A和B 特别的 考虑人们持续使用一种治疗方法的时间长度 随机将总共26名 身体条件相当的超重男子分成两组 第一组服用药品A 第二组服用药品B 数据如下 以天为单位 药品A 42 47 12 17 26 27 28 26 34 19 20 27 34 药品B 35 38 35 36 37 35 29 37 31 31 30 33 44 服用这两种药的持续治疗时间的波动是否有显著差异 0 05 解 解 假定超重男子服用 A 药的持续时间服从 2 AA N 服用 B 药的持续时间服从 2 BB N 按照试验的设计方法可知 这两个组是分别来自于两个总体的独立样本 样 本容量为26mn 需要检验的是 2222 01 ABAB Hv sH 检验统计量为 17 22 AB FSS 其中 22 AB SS 分别是两个样本的方差 显著性水平为 时的检验规则为 当 212 1 1 or 1 1 FFmnFFmn 时拒绝 0 H 由样本数据计算得 22 96 59 16 23 AB SS 5 95F 而0 05 时 0 950 025 0 975 11 25 25 2 23 25 25 25 25 2 23 FF F 因此拒绝 0 H 认为服用这两种药的持续治疗时间的波动有显著差异 40 从一批寿命服从指数分布的产品中随机抽取 10 个进行寿命试验 观测值如下 单位 小时 1643 1629 426 132 1522 432 1759 1074 528 283 根据这批数据能否认为这批产品的平均寿命不低于 1100 小时 0 05 解 解 由题目条件知 这批产品寿命的总体分布 1 Exp X 其中 为总体均值 记 1 n XX 是来自于该总体的一个简单随机样本 需要检验 01 1100 1100Hv s H 因样本均值是 的一个合理的估计 因而可样本均值或等价地用样本总和 1 n i i TX 作 为检验统计量 直观地 检验规则形式应取为 当Tc 时拒绝 0 H 因 T 为 n 个独立同分布的指数分布随机变量之和 故 1 Gamma Tn 2 2 2 YTn 上述规则的势函数为 2 2 22 c n cc gP TcP YF 其 中 2 2 n F 为 2 2 n 的 分 布 函 数 要 使 该 规 则 的 水 平 为 则 c 应满足 2 2 2 1100 1100 c n c gF 即 2 2 2 1100 c n 故 2 550 2 cn 还考虑最小化犯 第 II 类错误的概率 则应取 2 550 2 cn 由样本数据知 9528T 2 0 05 550 20 550 10 8508 5967 94c 故接受 0 H 因此 没有充分证据说明这批产品的平均寿命低于 1100 小时 18 若用检验 01 1100 1100Hv s H 来回答本题 根据类似的讨论可得 水平为 的检验规则为 当 2 1 1100 2 2 Tn 时 拒绝 0 H 因 0 05 10n 故 2 1 1100 2 550 31 410417275 72 2 nT 接受 0 H 这说明 也没有充分证据支持这批产品的平均寿命高于 1100 小时 42 解 解 根据题目假定 单位时间内电话总机接到的呼唤次数 Poi X 将观察到的 40 个 单位时间内的呼唤次数视为来自于该总体的一个简单随机样本 若将问题理解为 是否有充 分证据支持单位时间内平均呼唤次数不超过 1 8 次 则应检验的是 1 01 1 8 1 8Hv sH 若将问题理解为 是否没有充分证据反驳单位时间内平均呼唤次数不超过 1 8 次 则应检 验的是 2 01 1 8 1 8Hv sH 先讨论前一种问题的检验方法 因为 的信息主要集中在样本总和 1 n i i TX 中 因而对于 1 直观地检验规则形式应取为 当 Tc 时拒绝原假设 因 Poi Tn P Tc 随 递减 故欲使此规则水平为 且犯第 II 类错误的概率最小化 则应取 c 为 满 足 1 8 PTc 的 最 大 整 数 当40 0 05n 时 因 1 81 8 57 0 040 58 0 052PTPT 故临界值 57c 由样本观测值知 0 5 1 102 12 3 8 4 3 5 28057T 故在 0 05 水平下不能拒绝原假设 即没有充分证据支持单位时间内平均呼唤次数不超过 1 8 次 若按后一种理解处理 检验 2 的规则形式为 当 Td 时拒绝原假设 P Td 随 递增 故欲使此规则水平为 且犯第 II 类错误的概率最小化 则应取 d 为满足 1 8 PTd 的最小整数 当40 0 05n 时 因 1 8 87 0 047PT 1 8 86 0 059PT 故临界值 87c 而 8087T 故在 0 05 水平下不能拒绝原 假设 即也没有充分证据反驳单位时间内平均呼唤次数不超过 1 8 次 19 另外 如果样本容量比较大 那么由中心极限定理知 TN nn 因而检验规则 中的临界值 c d 都可以近似地用正态分布的分位点来确定 43 解 解 设这种布每平方米上的疵点数的总体分布 Poi X 为总体均值 设所观测的 100 平方米是从该总体抽取的一个简单随机样本 即 1100 i i d XXX 现欲检验 01 1 1Hv sH 由 42 题 2 的讨论可知 水平为 的规则形式为 当 1 n i i TXd 时拒绝原假设 其 中d为 满 足 1 PTd 的 最 小 整 数 当1 0 0 0 0 5n 时 因 1 117 0 0428PT 1 116 0 0522PT 故临界值 117d 本题中样本总和的观测值为 126117T 故拒绝 0 H 说明有充分证据认为 这 种布每平方米上平均疵点数超过 1 因 100n 较大 TN nn 可用中心极限定理近似地计算临界值 d 由 1 100 1 1 100 1 d PTd 知 1 100 10dz 当 0 05 时 100 10 1 64116 4d 由此近似规则得到的 检验结论与前面精确规则的结论一致 44 解 解 由 42 题的讨论知 1 拒绝域的形式为 1 1 n ni i xxTXc 2 因 Poi Tn 故犯第一类错误概率的极大值为 0 00 0 00 max max ii cc nn ii nn P Tcee ii 其中第二个等式因为 P Tc 关于 单调减 20 50 某厂有一批产品共 5 万件 须经检验后方可出厂 按规定标准 次品率不得超过 10 今从中随机抽取 100 件产品进行检验 发现有 14 件次品 问这批产品能否出厂 水平取 0 05 解 解 设这批产品的次品率为 p 100 件产品可视为来自总体 1 Bp的一个随机样本 欲检验 01 10 10 Hpv s Hp 取样本之和 T 作为检验统计量 水平为 的检验规则为 当 Tc 时拒绝 0 H 其中 c 为满足下式的最小整数 00 1 n tn t t c n pp t 当 0 100 10 0 05np 时 16c 而由样本数据知 T 14 2 0 9135 因而接受原假设 认为数据与模型相符 75 过去 5 年 某保险公司承接的保险单中 40 为终身人寿保险 20 为普通人寿保险 25 为年度更新 ART 保险 15 为其他类型保险 要改变保险单的这种结构 需要经过长期 努力 在佣金结构 储备金和甚至可能需要在投资方面作出调整 从最近几个月承接的保险 单中随机抽取 1000 份保单 由样本数据算得结果如下 根据这些数据评价现在的比例和历 史的比例是否发生了变化 取水平为 0 05 如果有的话 哪一种保险更受欢迎 类别 终身 普通 ART 其他 总和 观察单数 320 280 240 160 1000 解 解 用取值为 1 终身人寿险 2 普通人寿险 3 ART 4 其他 的属性变量 X 表示保单类 型 问题就是要检验该保险公司现在四类保单的比例是否与过去一样 即检验 0123410 1 2 3 4 HP XpP XpP XpP Xpv s HH 不真 采用 2 检验法 检验统计量为 2 4 2 1 jj j j nnp np 其中 1234 0 4 0 2 0 25 0 15pppp 表示过去 5 年中四类保单的比例 j n表示 样本中第 j 类保单的频数 水平 的检验规则为 当 22 1 4 1 时拒绝原假设 根据样本数据 对 2 检验统计量列表计算如下 23 类别 终身 普通 ART 其他 合计 X 1 2 3 4 观察单数 i n 320 280 240 160 1000 理论单数 i np 400 200 250 150 1000 2 iii nnpnp 16 32 0 4 0 666667 49 06667 水平取0 05 时 2 0 95 3 7 815 2 49 06667 因而拒绝原假设 认为现在保单 的比例与历史相比发生了变化 第 2 类普通人寿险的比例明显增大了 可能比较受欢迎 76 解 解 用取值为 1 无效 2 中等有效 3 有效 的属性变量 X 表示一个人对减轻抑郁药品的 反应 问题是要检验 X 在抑郁症人群中的总体分布是否与已知的在正常人群中的总体分布 有显著差别 即检验 010 1 0 6 2 0 3 3 0 1 HP XP XP Xv sHH 不真 采用 2 检验法 检验统计量为 2 3 2 1 jj j j nnp np 其中 123 0 6 0 3 0 1ppp 表示 X 在正常人群中的总体分布列 j n表示来自抑郁 症人群的样本中 Xj 的频数 水平 的检验规则为 当 22 1 3 1 时拒绝原假设 根据样本数据 对 2 检验统计量列表计算如下 类别 无效 中等有效 有效 合计 X 1 2 3 j n 30 35 20 85 j np 51 25 5 8 5 85 2 jjj nnpnp 8 6471 3 5392 15 5588 27 7451 0 05 时 22 0 95 2 5 99 因而拒绝原假设 认为抑郁症人群对药品的反应与正 常人群有显著不同 24 77 解 解 1 如果对每 50 平方米草原上发光蚁丘数量 X 的总体分布只假定其均值 方差存在 不假 定特别的形式 那么 通常用样本均值估计总体均值 用样本方差估计总体方差 根据本题 中的样本观测数据 总体均值 总体方差 2 的估计分别为 1313 222 11 1141593102 49 5 57 10010 67 100100 199 iiii ii n yn y 2 需要检验 01 Poi PoissonHXv sHX 不服从分布 参数 不定 采用 2 检验法检验 具体步骤为 a 首先 在 Poi X 的假定下 根据样本观测值求出 的 MLE b 其次 将 X 的取值范围分割为 k 组 计算各组的理论频数 1 j npjk 分 组应保证 1 min 5 j jk np c 统计样本中落入各组的实际频数 1 j njk d 计算检验统计量 2 2 1 k jj j j nnp np e 水平 的检验规则为 当 22 1 2 k 时拒绝原假设 由本题中的样本数据知 100 5 57n 按 b 中的分组原则将 X 的取值范围 分割成 9 组 分组方式 理论频数 实际频数以及检验统计量的计算如下表所列 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 合计 j np 8 41 10 97 15 28 17 02 15 80 12 58 8 76 5 42 5